黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE18-黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題文（含解析）考試說明：（1）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．考試時間為120分鐘；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷試題答案均答在答題卡上，交卷時只交答題卡．第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知圓的方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化成標(biāo)準(zhǔn)式，即得圓心坐標(biāo).【詳解】因此圓心坐標(biāo)為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.2.若，且為第四象限角，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選D.3.四張卡片上分別寫有數(shù)字，若從這四張卡片中隨機(jī)抽取兩張，則抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定從這四張卡片中隨機(jī)抽取兩張總事務(wù)數(shù)，再確定抽取的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的事務(wù)數(shù)，最終依據(jù)古典概型概率公式求解.【詳解】因?yàn)閺倪@四張卡片中隨機(jī)抽取兩張共有6種基本領(lǐng)件，取的兩張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)有（1，2），（3，2），（5，2）三種基本領(lǐng)件，因此所求概率為.故選：C點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.4.已知橢圓E：與雙曲線C：（）有相同焦點(diǎn)，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以得，得，從而可得到雙曲線方程，進(jìn)而可得其漸近線方程.【詳解】解：因?yàn)闄E圓E：與雙曲線C：（）有相同的焦點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為故選：B【點(diǎn)睛】此題考查橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線，屬于基礎(chǔ)題.5.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)k，使直線與圓相交的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線與圓相交，可知圓心到直線的距離小于半徑，從而可求出k的取值范圍，然后利用幾何概型求概率的方法可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€與圓相交，所以，解得，所以所求概率為故選：C【點(diǎn)睛】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，幾何概型，屬于基礎(chǔ)題.6.已知均為銳角，，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩角和余弦公式求解.【詳解】因?yàn)榫鶠殇J角，所以因?yàn)?，所以，因此故選：A【點(diǎn)睛】本題考查兩角和余弦公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.7.中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不行割，則與圓周合體，而無所失矣”.意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多的時候，它的周長的極限是圓的周長，它的面積的極限是圓的面積”，如圖，若在圓內(nèi)任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自其內(nèi)接正六邊形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先分別求圓面積以及內(nèi)接正六邊形的面積，再依據(jù)幾何概型概率公式求解.【詳解】設(shè)圓半徑為1，則圓面積以及內(nèi)接正六邊形的面積分別為，所以所求概率為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.8.已知角的終邊上的一點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)誘導(dǎo)公式以及弦化切進(jìn)行化簡，再依據(jù)三角函數(shù)定義得值，最終代入求解.【詳解】又因?yàn)榻堑慕K邊上的一點(diǎn)，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)定義以及弦化切，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.9.某工廠對一批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢測.右圖是依據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重（單位：克）數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96，106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是().A.90 B.75 C.60 D.45【答案】A【解析】樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.3，頻數(shù)為36，∴樣本總數(shù)為.∵樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的頻率為(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，∴樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)為120×0.75＝90.考點(diǎn)：頻率分布直方圖.10.在滿意不等式組的平面內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，設(shè)事務(wù)A＝“”，那么事務(wù)A發(fā)生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合幾何概型的計(jì)算方法，求出對應(yīng)面積之比即為所求概率.【詳解】如下圖，作出不等式組表示的平面區(qū)域（陰影部分），易知，，，該區(qū)域面積為.事務(wù)A＝“”，表示的區(qū)域?yàn)殛幱安糠諥OC，其面積為.所以事務(wù)A發(fā)生的概率是.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的概率計(jì)算，考查不等式組表示的平面區(qū)域，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.已知函數(shù)（，），滿意，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，若的圖象關(guān)于直線對稱，則的取值可以為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由，求得，進(jìn)而得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得，，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，函?shù)的圖象向右平移個單位得到，的圖象關(guān)于直線對稱，，，即，，令，得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓（圓心為點(diǎn)）與拋物線交于兩點(diǎn)，若此拋物線的焦點(diǎn)為，且兩點(diǎn)都在以為直徑的圓上，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先依據(jù)條件得,再與拋物線方程聯(lián)立求坐標(biāo)，最終解三角形得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮牲c(diǎn)都在以為直徑的圓上，所以,設(shè)，則，，所以（舍負(fù)），因此故選：C【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線位置關(guān)系，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上．13.已知一個扇形的圓心角為3弧度，半徑為4，則這個扇形的面積等于__________．【答案】24【解析】【分析】依據(jù)扇形面積公式求解.【詳解】扇形的面積為.故答案為：24【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.14.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】先依據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系，再依據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【詳解】曲線上的點(diǎn)到直線的距離為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.15.現(xiàn)采納隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動員射擊4次，至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281依據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動員射擊4次至少擊中3次的概率為__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)擊中目標(biāo)的次數(shù)，再用古典概型概率公式求解.【詳解】由數(shù)據(jù)得射擊4次至少擊中3次的次數(shù)有15，所以射擊4次至少擊中3次的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.16.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，射線平分交軸于點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線平行于直線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】在軸上取點(diǎn)，使得,過作直線平行于直線交于點(diǎn)，利用正弦定理證明,再依據(jù)雙曲線定義解得,即得，代入條件解得離心率.【詳解】在軸上取點(diǎn)，使得,過作直線平行于直線交于點(diǎn)，如圖，因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,因?yàn)?所以，因此故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率，考查綜合分析求解實(shí)力，屬較難題.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線（為參數(shù)）與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn).（1）求直線的一般方程和極坐標(biāo)方程；（2）求和.【答案】（1），；（2），.【解析】【分析】（1）依據(jù)加減消元得直線的一般方程，再依據(jù)得極坐標(biāo)方程；（2）將直線參數(shù)方程代入拋物線方程，依據(jù)參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理求結(jié)果.【詳解】（1）因此極坐標(biāo)方程為（2）代入得所以，【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程化一般方程、直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程以及直線參數(shù)方程應(yīng)用，考查基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.18.設(shè)甲、乙、丙三個羽毛球協(xié)會的運(yùn)動員人數(shù)分別為18，9，18，先采納分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取5名運(yùn)動員參與競賽.（1）求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員人數(shù)；（2）將抽取的5名運(yùn)動員進(jìn)行編號，編號分別為，從這5名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參與雙打競賽.設(shè)“編號為的兩名運(yùn)動員至少有一人被抽到”為事務(wù)A，求事務(wù)A發(fā)生的概率.【答案】（1）2,1,2；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)分層抽樣方法確定抽取人數(shù)；（2）先確定從這5名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參與雙打競賽總事務(wù)數(shù)，再確定事務(wù)A所包含事務(wù)數(shù)，最終依據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.【詳解】（1）從這三個協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員人數(shù)分別為即2,1,2；（2）從這5名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參與雙打競賽共有10種基本領(lǐng)件，其中編號為的兩名運(yùn)動員都不選的事務(wù)有3個，因此事務(wù)A所包含事務(wù)數(shù)為7，從而所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣方法以及古典概型概率公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.19.如圖所示，“8”是在極坐標(biāo)系Ox中分別以和為圓心，外切于點(diǎn)O的兩個圓．過O作兩條夾角為的射線分別交⊙C1于O、A兩點(diǎn)，交⊙C2于O、B兩點(diǎn)．（1）寫出⊙C1與⊙C2的極坐標(biāo)方程；（2）求△OAB面積最大值．【答案】（1）；；（2）【解析】【分析】(1)干脆由條件求出與極坐標(biāo)方程即可;(2)由(1)得,,,代入三角形面積公式,再利用三角函數(shù)求出△OAB面積的最大值.【詳解】解:(1)因?yàn)樵跇O坐標(biāo)系中圓和圓的圓心分別為和,所以圓和圓的極坐標(biāo)方程分別為和.(2)由(1)得,,,則.所以當(dāng)時,面積最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查簡潔曲線的極坐標(biāo)方程、三角形的面積公式和三角函數(shù)求最值,考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想,屬中檔題.20.某校為了診斷高三學(xué)生在市“一?！笨荚囍形目茢?shù)學(xué)備考的狀況，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的市“一?！睌?shù)學(xué)成果進(jìn)行分析，將這些成果分為九組，第一組[60，70)，其次組[70，80)，……，第九組[140，150]，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）試求出的值并估計(jì)該校文科數(shù)學(xué)成果的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)從成果在[120，150]的同學(xué)中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行談話，那么抽取的2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的概率是多少？【答案】（1）a=0.014，眾數(shù)95，中位數(shù)；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)全部頻率和為1求的值，依據(jù)組中值以及頻率確定眾數(shù)，依據(jù)頻率為0.5求中位數(shù)；（2）先確定成果在[120，150]的同學(xué)人數(shù)以及成果在[130,140)中人數(shù)，再利用古典概型概率公式求解.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得區(qū)間對應(yīng)人數(shù)最多，所以眾數(shù)為95，設(shè)中位數(shù)為，則所以中位數(shù)為；（2）成果在[120，150]的同學(xué)人數(shù)有，成果在[130,140)中人數(shù)，從6人抽取2人共有15種方法，其中抽取2人中恰好有一人的成果在[130,140)中的抽法有種，因此所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖以及古典概型概率概率公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.21.已知函數(shù).（1）求函數(shù)最小正周期并用五點(diǎn)作圖法畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；（2）若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的解析式，并求當(dāng)時，函數(shù)的最小值及此時的值.【答案】（1），圖象見解析；（2），最小值，時取到.【解析】【分析】（1）先依據(jù)二倍角公式以及協(xié)助角公式化簡函數(shù)解析式，再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求周期，最終依據(jù)五點(diǎn)作圖法畫出圖象；（2）依據(jù)函數(shù)圖象變換規(guī)律得，再依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】（1）所以周期為，列表如下：作圖如下：（2）函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到,因此當(dāng)時，取最小值為【點(diǎn)睛】本題考查五點(diǎn)作圖法、正弦函數(shù)性質(zhì)、二倍角公式以及協(xié)助角公式，考查綜合分析求解實(shí)力，屬中檔題.22.已知橢圓