高中數(shù)學(xué)：高中數(shù)學(xué)知識方法

高中數(shù)學(xué)知識方法匯總

（理）（2020-06-12）

第一部分集合、復(fù)數(shù)、簡易邏輯、不等式

一、集合：

1、集合｛%,出，…，凡｝共有2"個子集，有個真子集。

2、①是任何集合的子集。（子、交、并、補、全，空集最討嫌）

二、復(fù)數(shù)：z=a+biCa,beR）

1、基本概念：復(fù)數(shù)的實部，虛部，純虛數(shù)，共朝復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模。

2、Z=1Z『=|Z/+'2；

3、|z.z2HziIJzzI；IA1=1A!；\\z\-\z\\<\z±z\<\z\+\z,\.

Zl2lol

z2I2I

三、簡易邏輯：

1、“充分條件”與“必要條件”：

如果p=q,那么p是q的充分條件，q是p的必要條件。

2、“否命題”與“命題的否定”：

（原）命題“若P，則q”的否命題是“若r?,則「q”；

而命題的否定則只是否定其結(jié)論。

3、全稱命題p：VxeM,p（x）；其否定3%0eM,^p（x0）

特稱命題p：3x0eM,p（x0）；其否定r>：VXG.

四、不等式：

1、不等式的性質(zhì)：（如：倒數(shù)性質(zhì)a>b,ab>Q=>1<1）

ab

2、不等式的證明（或比大小）：

（比較法（比差、比商）、函數(shù)單調(diào)性法、中間量法、放縮法、（三角）換元等等）

3、不等式的解法：（一元二次不等式；簡單的分式不等式，等等）

4、重要不等式：@a2+b2>2ab；2（a2+Z?2）>（?+Z?）2

②a+b>24ab;ab<—（a+b）2（a>0,b>0）

即：巴廣（結(jié)構(gòu)：積、和、平方和、和的平方）

1

（在用“均值不等式”求最值時，必須緊扣“一正二定三相等”三個條件。）

③||?|-|M|<\a+b\<\a\+\b\（三角不等式，注意等號成立的條件）

5、不等式的應(yīng)用：

如：定義域、值域（最值）的求法；單調(diào)性的推斷；

特別地，求參數(shù)取值范圍時，常常分離變量（或分類討論）再求解。

其中不等式“恒成立問題”等問題常常轉(zhuǎn)化為量值求解。

6、線性規(guī)劃：（注意三類目標(biāo)函數(shù)，如z=2尤+y,J（x-l）2+y2的幾何意義）

x-4

附：不等式轉(zhuǎn)化為最值問題：

①、對任意xeA,都有a>/（x）恒成立o；（a</（x）恒成立呢？）

②、對任意xwA,都有y（x）>g（x）恒成立oo

③、存在尤eA,使得a>/（x）成立o；（使得a</（x）成立呢？）

④、存在xeA,使得/（%）>g（x）成立o；

⑤、對任意x2eB,都有/（xj>g（%）恒成立Oo

⑥、對任意總存在%e3,使得/（玉）>8（々）成立oo

⑦、存在x2^B,使得/（Xi）>g（X2）成立O=

⑧、存在%2eB,使得/（%1）=g（%2）成立O。

第二部分函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

一、“定義域”問題：???研究函數(shù)時，定義域優(yōu)先???

1、,中的%20；6中的1之0；log°x中的x>0；2、實際問題

二、“值域”問題：.

1、基本函數(shù)的值域（如：丫=優(yōu)（4>0且"1））

2、二次函數(shù)常用配方法；

3、分式函數(shù)常用分離整式法（如：）=空口）

X+1

4、（均值）不等式法；（注意：一正二定三相等）???

5、利用函數(shù)的單調(diào)性、有界性、數(shù)形結(jié)合（如：利用幾何意義求解（圓、橢圓

兩點間的距離、兩點連線的斜率、線性規(guī)劃等）等方法。

2

三、“單調(diào)性”問題：一圖二導(dǎo)三觀察（變化）

1、圖象法（掌握雙勾函數(shù)y=+>0,〃>0）和y=（—W—）的圖象）

x-ax+mam

2、導(dǎo)數(shù)法（注意：若/（X）遞增，求所含參數(shù)時，則應(yīng)滿足止任???）

3、觀察法（觀察y隨x的變化如何變化。如：增+增一增；復(fù)合函數(shù)“同增異減”）

???多個單調(diào)區(qū)間輕易不要用“U”???

四、”奇偶性”問題：（定義、圖象、賦值法）

1、奇土奇f奇，偶土偶f偶，奇X奇f偶，偶義偶f偶，奇X偶f奇.

2、偶函數(shù)無奇次項，奇函數(shù)無偶次項。（如/（x）=+an_iX"T+…+/%+。0）

3、/（x）為偶函數(shù)n/'（x）為奇函數(shù)；/（幻為奇函數(shù)n/'（x）為偶函數(shù)

4、幾類常見奇函數(shù)：y=ln――y-ln（7x2+1-x）,.....

x+1

5、求奇（偶）函數(shù)式中的參數(shù)時,常用賦值法。

如：奇函數(shù)/（幻若在x=0處有意義，則有/（0）=0。

五、“周期性”問題：/（x±T）=/（x）O/（x）的周期為T。

六、”對稱性與周期性”問題：

m

1、若/（X1）=/（X2）,且玉+%2=加（常數(shù)），則有對稱軸％=萬

2、若/（X1）+/（&）=0,且一+々=加（常數(shù)），則有對稱中心（￡,0）

3、若/（xi）=/（x2）,且七一%2=。（常數(shù)），則有周期T=a。

4、/（x+a）=—/（x）或/。+°）=編或/（x+a）=一點nT=2a

5、若函數(shù)具有兩個對稱性（對稱軸〃y軸），那么這個函數(shù)一定具有周期性，且：

對稱軸x=a,x=b=>T=2\a—b\;對稱中心（a,0）,（b,0）=>T=2\a—b\;

對稱軸尤=a,對稱中心（b,0）=>T=4|a-）|.如：y=sinx,y=cosx

七、“零點”問題：（方程法、定理法、圖象法）（二分法）

注意：1、超越方程需善于觀察求解，或圖象了解根的情況；

2,用零點存在性定理時，常結(jié)合單調(diào)性判斷；

3、已知函數(shù)/（%）的零點個數(shù)求所含參數(shù)a時，或分離（參變量）或分類（討論）

（分離變量，轉(zhuǎn)化為a=g（x）的解的問題，并注意數(shù)形結(jié)合）

3

八、“圖象變換”問題:

1、平移：y=/(x)--------->y=/(x+a)；_y=/(x)--------->y=/(x)+。

(點P(x,y)按a=(/?,左)平移后得點P(W),則x，=x+/z,y'=y+k

2、伸縮：y=/(x)----------->y=/(ox)；y=/(x)----------->y=Af{x)

3、翻折：y=/(x)----------->y=\/(x)I；y=/(x)----------->y=/(|x|)

4、中心對稱：y=/(%)----------->y=-/(-x)

(另：紇三與歸空^(。>0且"ND互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線y=x對稱)

九、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：

1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：左切=/'(/)=;/1=跖

2、求切線方程的一般方法：

X已知切點時，曲線y=/(x)在點x=/處的切線方程為y-/(/)=/'(%)(x—%)

※不知切點時，需設(shè)切點坐標(biāo),并結(jié)合“切點既在切線上也在曲線上”等條件求之。

注意：(1)曲線在某點處的切線與曲線過某點的切線的區(qū)別；

(2)公切線問題：(分別求兩曲線的切線方程，統(tǒng)一化為斜截式后對比即可)

3、利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值：

(1)/\%)>0n/(x)遞增；但求參數(shù)時，/(x)遞增n

(2)/'(%)=0是/(x)在x=x0處取得極值的必要不充分條件；

(3)函數(shù)/(%)在閉區(qū)間[a,b]上的最值總在端點或極值點取到。

十、定積分的應(yīng)用：

利用[y(九)dr可求x軸上方的曲線f(x)與x軸及直線*=2/斗所圍成的圖形面積。

Ja

f[/(%)-g(x)]dx表示上方曲線f(x)與下方曲線g(x)及直線x=a,x=b圍成的圖形面積。

Ja

附：

n___

1、指數(shù)與對數(shù)運算：=而；log『,b"='log*；aogab=Z?

m

2、求導(dǎo)公式：(w±v)r=；(uv)r=；(—)r=o

v

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法：y[=y：?另：37=〃ln〃；(k>g“xy=^^

4

3、熟記一些導(dǎo)數(shù)的常用結(jié)論(可結(jié)合圖象記憶)

如：ex+lnx<x-l,lnx>l--,sinx<x<tanx(0<x<-)

x

4、幾類重要函數(shù)圖象:

三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(aWO)的圖象

(1)當(dāng)AW。時，/(%)有唯一零點；

f\x)=3ax2A-2bx-ic

當(dāng)時，

A=4b2-12ac=4(/?2-3ac)(2)A>0

/(x)有唯一零點=/(%)/(工2)0;

/(九)有兩個零點<=>/(^)/(%2)0;

/(%)有三個零點=/(^)/(%2)0o

補充幾個常見函數(shù)圖象:

(1)/(x)=xlnx(2)f(x)=xex(3)/(%)=xe~x

6、洛比塔法則:

￡

若9或藝則

如limxlnx=lim=Hm—=lim(—x)=0

g(犬)0OOg(x)g\x)x-0+xf0+1x―0+1xf0+

XX2

5

第三部分三角函數(shù)

一、“化簡與求值”類問題

①從角度關(guān)系入手:(和、差、倍、半、互余、互補)

如：工+=與工一a互余，工+a與女—a互補，cc=(?-—)+—)...

443333

②從函數(shù)名稱入手:(切化弦，弦化切一適用于分式齊次式)

③從式子的結(jié)構(gòu)特征入手:(熟記公式結(jié)構(gòu)特征.另：sinx±cos尤，sin尤?cos尤)。

附：誘導(dǎo)公式：奇變偶不變，符號看象限。同角基本關(guān)系式：(略)

和、差角公式二倍角公式降次公式

sin（cr±/?）=sina?cos/?±cosa?sin/3sin2a=2sinacosa

2.2l-cos2a

cos@±/?）=coscr-cos夕干sina?sin夕cos2a=cosa-sin2asma=--------

2

-2cos2a1

/,c、tana±tanB2l+cos2a

tan（6z±/?）=----------------2acosa=--------

1+tana?tan/3=l-2sin2

輔助角公式（asin6>+Z?cosg=Ja2+Z?2sin（4+。）其中tan°=2）

----------------------a

另：sinl5°=；sin75°=；tanl5°=；tan75°=。

二、“圖象與性質(zhì)”類問題:

1、熟悉正弦、余弦、正切曲線的圖象與性質(zhì)；

2,先將式子化為“一角一名一次”的形式；

3、運用“數(shù)形結(jié)合”、“整體思想”或“平移變換”等方法求解相關(guān)問題。如：周期性、

單調(diào)性、最值、對稱性等；

注意：

(1)求正、余弦的單調(diào)區(qū)間時，應(yīng)先將x的系數(shù)化正；???

(2)正余弦圖象的對稱軸必經(jīng)過“最高或最低點”,對稱中心即是“平衡點”o

(3)正切函數(shù)的性質(zhì)與正余弦函數(shù)的重要區(qū)別：定義域、值域、單調(diào)性、周期性

三、“解斜三角形"類問題：

1、正弦定理：=—也==(常用于邊角互化，以及牽涉到對應(yīng)邊角的條件)

sinAsinBsinC

扇22

2、余弦定理：Q2=/+/一20c?cosA,cosA=---------------

2bc

3、面積公式：S=-^a-h=^absinC(|xxy2-x2yx\)

4、A+B+C=7insin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin=cos—

6

5、兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；大邊對大角，小邊對小角

6、幾種特殊三角形：=1:1:72,1：V3:2,1:1：V3）

7、三角形中的“四心”：（正三角形四心合一，名為中心；反之，任兩心重合的必為正三角形）

重心G外心0內(nèi)心I垂心H

三條中線交點三條垂直平分線交點三條角平分線交點三條高的交點

幺孳

BDCBDC

AGBGCG2ABDB.......

GD-GE-GF-T0A=0B=0C=RAC-DC?

2尺='=上=工2S

GA+GB+GC=Gr=------

sinAsinBsinCa+b+c

（正弦定理）（等面積法）

"+X2+X3%+為+為、

G（3，3）RtA外心為斜邊中點

jr

8、在銳角三角形△ABC中，由于2,所以sinA>cosB，sinB>cosA??2+/?2>（?.

附：圓心角為a，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式：l=\a\-R，S扇=；/.尺=義|研出

第四部分平面向置

平面向量問題三大方法：

1、圖形法2、坐標(biāo)法3、基底法（通常選關(guān)起點的兩個不共線向量作基底）

附：

1、若直線/的方向向量為t=，且直線/的斜率存在，則斜率左=。

2、平面向量共線定理：如果a^Q,那么o&=

推論：已知而=加而+〃而，則A、B、尸三點共線的充要條件是〃+“=1。

特別地,P為AB的中點時（而為AQA相勺中線向量時）<=>0P=0

3、向量的數(shù)量積：（分別用幾何方式、坐標(biāo)方式表示）,

（1）、定義：==。向量a在E方向上的投影為

（2）、重要性質(zhì)：①（求模）101=7^7=

:②（求夾角）cos<a,b>=

③（判斷垂直）albo

7

第五部分?jǐn)?shù)列

一、等差數(shù)列與等比數(shù)列：（基本數(shù)列基本量或基本性質(zhì)）

等差數(shù)列等比數(shù)列

定義=d（常數(shù)）=q（非零常數(shù)）

通項

a=a+(n—l)d=a+(n—m)da~=a—-q~〃一1=a一-q~n-m

公式nxmnxm

求和

s〃=-----------=-----------------

公式

若m+n=p+q=2k,若m+n=p+q=2k,

基則___________________________；則____________________________

本

等差（比）數(shù)列中，Cl,ak+m^ak+2m^ak+3m…也成等差（比）

性k

質(zhì)

等差（比）數(shù)列中，sm,s2m-sm,s3m-s2m,…也成等差（比）

二、求通項公式樂：

1、等差數(shù)列、等比數(shù)列：

2、己知S“，求明,則a”1---------------------o（注意分類討論）

3、由遞推關(guān)系求明:

①疊加法：a?+1=an+/（?）=>+（?2-?；）+（tz3-?2）+??■+-an_}

②疊乘法：4+i=/（〃）?%na,=q??…&

a?an-i

③構(gòu)造法：%=qa”+p=>an+i+%=q{an+A）

又如：na“+i=（n+l）an-n（n+l）,an+1=2a“+20,……

④分奇偶類求通項：如：an+i+an=2n

⑤歸納猜想（證明）

三、求前n和鼠：

1、等差、等比數(shù)列的求和公式；

2、分組求和法；

8

3、錯位相減法：形如｛a/b/、｛%/2｝的數(shù)列求和（但“｝,｛>｝分別為等差、等比）

4、拆項相消法：形如｛---｝（其中｛a"為等差數(shù)列）的數(shù)列求和。

,^n+1

x111

女口?---------,---------=,------=o

??（?+1）----------'n（H+2）-----------4/-1----------

5、倒序相加法（首尾配對）

四、與數(shù)列綜合的不等式證明：常用放縮法一一常常與裂項相消法相關(guān)。

如：證明：1H—-H----1不<一（關(guān)鍵：-y<-=—（---------------））

2232n24KI」2/1-1n+1

五、用“函數(shù)”的觀點解決數(shù)列問題：

運用函數(shù)思想可有效解決數(shù)列的單調(diào)性、最值等問題。特別地：

等差數(shù)列：a,=kn+b,Sn=Az?+Bn,是關(guān)于n的一次、二次函數(shù);（dH0時）

等比數(shù)列：S.=C（l—〃"），是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)。時）。

???對正負(fù)相間的擺動數(shù)列，在求值域或最值時，應(yīng)分奇偶類。

五、用“歸納一猜想一證明”的思維方法探求某些數(shù)列問題。

第六部分立體幾何

一、簡單幾何體（棱柱、直棱柱、正棱柱；棱錐、正棱錐；圓柱、圓錐、球）

1、空間幾何體的直觀圖和三視圖05五，長對正,）寬相等）。

2、空間幾何體的表面積、體積：

圓柱表面積公式：

圓錐表面積公式:

$球=；/=

長、寬、高分別為a,b,c的長方體的一條體對角線長為

9

3、球的截面圓性質(zhì)：如圖，OO'，。。，且店=產(chǎn)+12。

外接球半徑求法：直接法、補形法（補形為長方體）??

3V

內(nèi)切球半徑求法：直接法、等體積法（R內(nèi)="）??

???另：正四面體、正方體、球等幾何體的對稱性及相互關(guān)系。

（1）正方體中，平行且全等的AAgC、AADG與對角線3,垂直，且被3,三等分。

（2）正四面體的對棱（如AB與CD）互相垂直;且對棱間的距離為棱長;（AB=a）

二、空間的平行與垂直:

三、空間中的角

異面直線所成的角直線與平面所成的角二面角

范圍

(0,1][0,1][0㈤

圖

—7

示Z^

幾何找平行線找射影（斜足與垂足）找平面角（垂直于棱）

法一作（找）二證三求（解相關(guān)三角形）

向

sinZABC=|cos<AB,n>|Icos91=|cos<m,n>|

量cos^=|cos<a,b>\

法

???結(jié)果要還原（并注意角的范圍）???

10

第七部分解析幾何

一、直線與圓

1、直線的方程：

（1）點斜式、斜截式、截距式；（各有局限）

（2）-■般式：Ax+By+C=0（當(dāng)時，k=；b=）

2、直線平行、垂直的條件：

4//z2I1±z2

:y=k1X+瓦,l2-y=k2x+b2

4:4%+5］丁+儲=0

Z2:4九+B2y+C2=0

3、距離公式：

（1）已知A（X[,%）、B（x2,y2）,貝!|IAB|=o

（2）點P（Xo，x））到直線Ax+5y+C=0的距離d=。

（3）平行線Ac+By+G=0、—+為+。2=0間的距離d=

4、圓的方程：標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程參數(shù)方程

（x-a）2+（y-b）2-r2x2+y2+Dx+Ey+F=0

5、直線與圓的位置關(guān)系：

判斷方法：（1）畫圖（2）比較圓心距與尺±廠的大?。?）方程組的個數(shù)

（兩圓相交時，如何求相交弦所在直線方程？如何求相交弦長？）

11

二、圓錐曲線解題方法一一定義、性質(zhì)、方程組（代點法）。（數(shù)形結(jié)合）

1、求曲線方程常用方法：（“軌跡方程”與“軌跡”的區(qū)別）

“待定系數(shù)法”、“定義法”、“直接法”、“相關(guān)點法”等。

2、求解直線與圓錐曲線的綜合問題時，常運用方程（組）思想，“設(shè)而不求”…

①。??設(shè)直線y=或x=時，應(yīng)考慮斜率k或斜率倒數(shù)加是否存在???

②須保證/>0條件;對于雙曲線與拋物線，還應(yīng)考慮a=0和a豐0兩種情況。

3、弦長公式：

①、\AB\=^je\X1-x2\=^e^=^±iyi-y2i=I^±^

②、拋物線的焦點（在X軸上）的弦長公式：|4初=七+9+2。

附：橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程、性質(zhì):

定義\MF{\+\MF2|=2a\\MF1\-\MF2\\=2a1MF|=|MM'\

X

圖形一一ir

IK

標(biāo)準(zhǔn)2222—=2川（p〉。）

鼻+七=1(?！?〉0)—7-75-=1(〃>。/>0)

方程abab

基本量長軸長2a,短軸長2b,焦距2c實軸長2a,短軸長2b,焦距2cp:焦準(zhǔn)距

e，=Jl_與e(0,l)_c_1豆、

c——=——G((1,+00)

離心率a\aa\a

b

漸近線：y=±—x通徑長為2P

a

（近日點，遠(yuǎn)日點）

焦點到漸近線的距離為b焦點弦中，通徑最短

焦點三角形AM耳耳中，記22

.雙曲線二-斗=〃人0）

ab

1MFX|=m,\MF21=n/FiMF?=d

22

①M為短軸端點時，。最大;有共同漸近線2=0

ab

2e

@^MAFiF1=b-tan-=c|y0

12

第八部分排列組合二項式定理概率統(tǒng)計

一、排列與組合：

1、遵循三個原則:先特殊后一般，先選后排，先分類后分步。

2、掌握基本類型:

“在與不在”問題：

“鄰與不鄰”問題；(捆綁法、插空法)

“均分不均分”問題：

“至多至少型”問題：(或分類相加，或?qū)α⑾鄿p)

二、二項式定理：(a+by=C：a"+CS…+留衛(wèi)+…+C；b"

(注意：1、展開原理：從每個括號各取一項相乘；2、共有"+1項；

3、二項式系數(shù)與系數(shù)的區(qū)別；4、二項式系數(shù)最大的為正中間的一或兩項)

二項式系數(shù)和：C：+C：+C；+…+C：=_;

q-CY-…+(-i)y=。

所有項系數(shù)和：(賦值法)通常將式中的字母取值：1或-1。

三、概率：求解概率問題的一般步驟：1、判斷事件的類型2、運用相關(guān)公式求解。

1、古典概型(有限個基本事件，等可能)、幾何概型(無限個基本事件，等可能)；

2、互斥事件A,B有一個發(fā)生的概率：P(AUB)=P(A)+P(B)

3、獨立事件A,B同時發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B)

4、條件概率：P(8|A)=r@?=>P(AB)^P(A)-P(BIA)(概率乘法公式)

P(A)----------------------

5、n次獨立重