浙江省寧波外國語學(xué)校2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（解析版）

寧波外國語學(xué)校二○二四學(xué)年第一學(xué)期初二期始考數(shù)學(xué)試題卷考生須知：1．全卷分試題卷Ⅰ、試題卷Ⅱ和答題卷。試題卷共4頁．滿分為100分，考試時間為90分鐘．2．請將班級、姓名等分別填寫在答題卷的規(guī)定位置上．3．答題時，把試題卷Ⅰ的答案在答題卷上對應(yīng)的選項位置用2B鉛筆涂黑、涂滿．將試題卷Ⅱ答案用黑色字跡鋼筆或簽字筆書寫，答案必須按照題號順序在答題卷各題目規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，做在試題卷上或超出答題卷區(qū)域書寫的答案無效．試題卷Ⅰ一、選擇題：（本題共10小題，每題3分，共30分）1.若分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查分式有意義的條件，根據(jù)分式的分母不能為零求解即可．【詳解】解：∵分式有意義，∴，解得，故選：A．2.若三角形的三邊長分別是，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系、解一元一次不等式組，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，分情況列不等式組求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得，故選：B．3.如圖，在中，分別是上的點，且，若，則（）°A.66 B.92 C.96 D.98【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出兩個底角相等，即，同理得出，因為，運用平角性質(zhì)算出，結(jié)合三角形內(nèi)角和，列式計算，即可作答．本題考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及平角，熟練掌握相關(guān)判定定理及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，如圖：∵∴∵∴∵∴∴在中，故選：B．4.如圖，直線與軸、軸分別交于兩點，把繞點順時針旋轉(zhuǎn)后得到，則點的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，作軸，證是解題關(guān)鍵．【詳解】解：作軸，如圖所示：令，則；令，則；∴∵∴∵∴∴∴點的坐標(biāo)是故選：D5.若關(guān)于的不等式組無解，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，得：，由，得：，不等式組無解，，故選：B6.對于關(guān)于的分式方程，以下說法錯誤的是（）A.分式方程的增根是或 B.若分式方程有增根，則C.若分式方程無解，則或 D.分式方程的增根是【答案】A【解析】【分析】本題考查了分式方程的解和增根，明確分式方程何時有增根及方程有解與無解的條件是解題的關(guān)鍵．將原方程去分母并整理，然后將增根（分母為0的未知數(shù)的值）代入，解得值即可．【詳解】解：∵的公分母是∴∴∴方程兩邊同時乘上得把分別代入得出（舍去）；，則∴分式方程的增根是故A選項是錯誤的；故D選項是正確的；B選項是正確的；若分式方程無解，則∴則或故C是正確的；故選：A7.如圖所示，在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線與直線分別與軸交于點與，則不等式組的解為（）A. B. C. D.無解【答案】A【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)直線與x軸的交點，結(jié)合圖象，找到直線在x軸下方，同時直線在x軸上方部分對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)的取值范圍即可求解．【詳解】解：由圖象知，當(dāng)時，直線在x軸下方，同時直線在x軸上方，∴不等式組的解為，故選：A．8.如圖，在中是上的一點，，點是的中點．設(shè)，，的面積分別為，，，且，則（）A.2 B.4 C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】本題考查了三角形面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半．利用三角形面積公式，等高的三角形的面積比等于底邊的比，則，，然后利用即可得到答案．【詳解】解：，，點是的中點，，，即，．故選：B．9.如圖，在三角形紙片中，，折疊該紙片，使點C落在邊上的點處，折痕與交于點，若，則折痕的長為（）A.3 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查圖形翻折變換，勾股定理，熟練掌握翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：由翻折而成，，，，設(shè)，則，在中，，，解得，則，設(shè)，則，在中，，即，解得．故選B．10.如圖，在中，是射線上的動點，，則當(dāng)是直角三角形時，的長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理，等邊三角形的判定及性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時，；在中，，當(dāng)，，，，，為等邊三角形，，，；情況二：，，，為等邊三角形，；故選C．二、填空題：（本題共6小題，每題3分，共18分）11.將點關(guān)于軸對稱后再向左平移個單位，其對應(yīng)點落在軸上，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查平移的性質(zhì)，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)軸對稱求出對稱點，再根據(jù)平移的性質(zhì)求出平移后的坐標(biāo)即可得到答案．【詳解】解：點關(guān)于軸對稱的點為2,3，根據(jù)“左減右加”，得到點的坐標(biāo)為，對應(yīng)點落在軸上，解得．故答案為：．12.已知方程組的解滿足方程，則______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．方程組中兩方程相加表示出，代入已知方程即可求出答案．詳解】解：，①②得：．，，解得．故答案為：．13.若且，則的值為________【答案】-7或6【解析】【分析】由x2+xy+y=14，y2+xy+x=28，即可求得x2+2xy+y2+x+y=42，則變形得（x+y）2+（x+y）-42=0，將x+y看作整體，利用因式分解法即可求得x+y的值．【詳解】解：∵x2+xy+y=14①，y2+xy+x=28②，∴①+②，得：x2+2xy+y2+x+y=42，∴（x+y）2+（x+y）-42=0，∴（x+y+7）（x+y-6）=0，∴x+y+7=0或x+y-6=0，解得：x+y=-7或x+y=6．故答案為-7或6.【點睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，將（x+y）2+（x+y）-42正確因式分解是解答本題的關(guān)鍵.14.如圖，，點在邊上，與交于點，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的判定即可判斷；，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可知的度數(shù)，從而可求出的度數(shù)；本題考查全等三角形，解題的關(guān)鍵是熟練運用全等三角形的性質(zhì)與判定，本題屬于中等題型．【詳解】解：和相交于點，．在和中，∵，．又，，．在和中，，．，．在中，，，，．故答案為：15.如圖，在中，的周長是8，于點于點，且點是的中點，則等于______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線以及等腰三角形的性質(zhì)即可求出答案．本題考查勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，解題的關(guān)鍵是熟練運用直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．【詳解】解：，，是的中線，，是的中點，是的中位線，設(shè)，，，點是的中點，點是的中點，，，的周長為8，，，，由勾股定理可知：，故答案為：16.如圖，是邊長為的等腰直角三角形，分別是上的點，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．要求的最小值及使最小，根據(jù)垂線段最短得到時，最短，根據(jù)勾股定理得到，即可得到答案．【詳解】解：要求的最小值及使最小，時，最短，在是邊長為的等腰直角三角形中，，根據(jù)等面積法：，解得的最小值為．故答案為：．三、解答題（共52分，17、18每題6分，19、20每題8分，21題10分，22題14分）17.解分式方程和不等式組（1）（2）解不等式組并把解集表示在數(shù)軸上．【答案】（1）（2），見詳解【解析】【分析】（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解；（2）先求出每個不等式的解集，找出不等式組的解集，最后在數(shù)軸上表示出來即可．本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出不等式組的解集．【小問1詳解】解：經(jīng)檢驗：是原分式方程的解．【小問2詳解】解：由①得：，由②得：，原不等式組的解集為：，在數(shù)軸上表示為18.在邊長為1的小正方形組成的方格紙中，若三角形的各頂點都在方格的格點（橫豎格子線的交錯點）上，這樣的三角形稱為格點三角形．（1）請在圖甲中作一個格點三角形，使是一個面積為2的等腰三角形．（2）請在圖乙中僅用無刻度的直尺，作出的平分線（保留作圖痕跡）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式進(jìn)行計算即可；（2）連接，取中點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)畫圖即可．【小問1詳解】解：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，；；【小問2詳解】解：連接，取中點，根據(jù)題意得：，，故平分．．19.某產(chǎn)品的商標(biāo)如圖所示，O是線段AC、DB的交點，且AC=BD，AB=DC，小林認(rèn)為圖中的兩個三角形全等，他的思考過程是：∵AC=DB，∠AOB=∠DOC，AB=DC，∴△ABO≌△DCO．你認(rèn)為小林的思考過程對嗎？如果正確，指出他用的是哪個判別三角形全等的方法；如果不正確，寫出你的思考過程【答案】小華的思考不正確；理由見解析．【解析】【分析】顯然小華的思考不正確，因為AC和BD不是這兩個三角形的邊．我們可以連接BC，先利用SSS判定△ABC≌△DBC，從而得到∠A=∠D，然后再根據(jù)AAS來判定△AOB≌△DOB．【詳解】解：小華的思考不正確，因為AC和BD不是這兩個三角形的邊；正確的解答是：連接BC，在△ABC和△DBC中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）；∴∠A=∠D，在△AOB和△DOC中，∵，∴△AOB≌△DOC（AAS）．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵．20.在平面直角坐標(biāo)系中，直線上有一點，其橫坐標(biāo)為1，經(jīng)過點的直線交軸負(fù)半軸于一點，且，（1）求的面積；（2）求經(jīng)過點且平分面積直線解析式．【答案】（1）3（2）【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、求一次函數(shù)的解析式、三角形的中線性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形等知識，熟知三角形的中線平分該三角形的面積是解答的關(guān)鍵．（1）先求得點A的坐標(biāo)，再根據(jù)坐標(biāo)與圖形和三角形的面積公式求解即可；（2）先求得點P坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形中線平分該三角形的面積得過點P的直線經(jīng)過線段的中點，利用中點坐標(biāo)公式求得中點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線解析式即可．【小問1詳解】解：將代入，得，∴，∵，∴；【小問2詳解】解：∵，點P在x軸的負(fù)半軸，∴；∵經(jīng)過點的直線平分面積，∴該直線經(jīng)過線段的中點，∵，∴線段的中點坐標(biāo)為，設(shè)該直線的解析式為，將、代入，得，解得，∴經(jīng)過點且平分面積的直線解析式為．21.學(xué)校超市欲購進(jìn)A，B兩種水杯進(jìn)行銷售．已知每個A種水杯的進(jìn)價比每個B種水杯的進(jìn)價貴5元，并且800元購進(jìn)B種水杯的數(shù)量是500元購進(jìn)A種水杯數(shù)量的2倍．（1）求A，B兩種水杯的進(jìn)價分別是多少元．（2）學(xué)校超市計劃按（1）題的進(jìn)價購進(jìn)A，B兩種水杯共90個，且A，B兩種水杯的售價分別定為30元和26元．若超市計劃購買A，B兩種水杯的費用大于2000元但不超過2100元，請問滿足條件的進(jìn)貨方案共有幾種，并求出利潤最大的進(jìn)貨方案及最大利潤．【答案】（1）每個A種水杯的進(jìn)價為25元，每個B種水杯的進(jìn)價為20元；（2）滿足條件的進(jìn)貨方案共有20種，當(dāng)購進(jìn)A種水杯41個，購進(jìn)B種水杯49個，利潤最大，最大利潤為499元【解析】【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解答的關(guān)鍵．（1）設(shè)每個A種水杯的進(jìn)價為a元，根據(jù)題意列分式方程求解即可；（2）設(shè)購進(jìn)A種水杯x個，根據(jù)題意列不等式組得到x的取值范圍，設(shè)利潤為W元，根據(jù)題意，得，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】設(shè)每個A種水杯的進(jìn)價為a元，則每個B種水杯的進(jìn)價為元，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗，是所列分式方程的解且符合題意，∴，答：每個A種水杯的進(jìn)價為25元，則每個B種水杯的進(jìn)價為20元；【小問2詳解】解：設(shè)購進(jìn)A種水杯x個，則購進(jìn)B種水杯90-x根據(jù)題意，得，解得，，設(shè)利潤為W元，根據(jù)題意，，∵，∴W隨x的增大而減小，又x為整數(shù)，∴當(dāng)時，W最大，最大值為，答：滿足條件的進(jìn)貨方案共有20種，當(dāng)購進(jìn)A種水杯41個，購進(jìn)B種水杯49個，利潤最大，最大利潤為499元．22.在平面直角坐標(biāo)系中，是軸上一點，是軸上一點，（1）若，判斷的形狀．（2）在（1）的條件下，延長至，使，求點的坐標(biāo)．（3）在（2）條件下，點是軸上的動點，若為等腰三角形，直接寫出點的坐標(biāo)．（4）如圖，若平分的橫坐標(biāo)為，探究與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）直角三角形（2）（3）或或或（4）【解析】【分析】本題主要考查兩點間的坐標(biāo)公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵