高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎圓錐曲線

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯相關(guān)信息高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?圓錐曲線張楊文主編/蘭師勇副主編高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?《高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?數(shù)列》《高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?函數(shù)》《高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?圓錐曲線》《高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?數(shù)學(xué)五章》是否持久與數(shù)形結(jié)合若即若離?你是否向來對“恒成立”百思不解?你是否從未參透數(shù)列放縮的玄機(jī)?你是否一直認(rèn)為圓錐曲線只是計算?……倘若你領(lǐng)略大學(xué)之于人生的真諦,倘若你明晰高考之于大學(xué)的意義,倘若你清晰數(shù)學(xué)之于高考的地位,倘若你定要突破高考數(shù)學(xué)的瓶頸,那么，這套書一定是你最明智的挑選!研究群:內(nèi)容簡介本套書基于作者團(tuán)隊多年輔導(dǎo)經(jīng)驗總結(jié),對高考內(nèi)容舉行了科學(xué)合理的篩選和調(diào)節(jié),側(cè)重體現(xiàn)知識點的系統(tǒng)性和邏輯性.函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線這三部分重要內(nèi)容自立成書;相對容易零散的平面向量、不等式、直線與圓、立體幾何、計數(shù)原理與概率統(tǒng)計共同含于《數(shù)學(xué)五章》一書;集合與常用邏輯用語、復(fù)數(shù)、算法、三角函數(shù)等內(nèi)容未收納.書中內(nèi)容絕非容易拼湊,相當(dāng)多的內(nèi)容是作者團(tuán)隊實踐堆積的成績,比如函數(shù)恒成立部分的“端點效應(yīng)”、數(shù)形結(jié)合中的兩圖像法和異常規(guī)函數(shù)圖像的解決主意、數(shù)列放縮的系統(tǒng)歸類及解法、圓錐曲線中的框架圖,以及其他一些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用等.針對全國各地的高考題型及特點,作者力求探索容易、高效、容易控制的普適主意,讓高難度的壓軸題不再成為考生的絆腳石.希翼對廣大考生提供協(xié)助.本書封面貼有清華大學(xué)出版社防偽標(biāo)簽,無標(biāo)簽者不得銷售.版權(quán)所有,侵權(quán)必究.侵權(quán)舉報電話:010-9圖書在版編目(CIP)數(shù)據(jù)高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?圓錐曲線/張楊文主編.一北京:清華大學(xué)出版社,2023年年(2023年年.12重印)ISBN978-7-302-35602-8I.(1)高…II.(1)張…III.(1)中學(xué)數(shù)學(xué)課一高中一升學(xué)參考資料IV.(1)G634.603中國版本圖書館CIP數(shù)據(jù)核字(2023年年)第042398號責(zé)任編輯:陳明封面設(shè)計:傅瑞學(xué)責(zé)任校對:趙麗敏責(zé)任印制:李紅英出版發(fā)行:清華大學(xué)出版社網(wǎng)址:http://www.tup.com.cn,http://www.wpbook.com地址：北京清華大學(xué)學(xué)研大廈A座郵編:100084杜總機(jī)郵?郵?郵投稿與讀者服務(wù):010-9,c-service@tup.tsinghua.edu.cn質(zhì)量反饋:010-5,zhiliang@tup.tsinghua.edu.cn印刷者:北京鑫豐華彩印有限公司裝訂者:三河市溧源裝訂廠經(jīng)銷:全國新華書店開?本:203?mm×280?mm印張:13.75版次:2023年年年8月第1版印次:2023年年年12月第2次印刷定價:35.00元產(chǎn)品編號:056537-01編委會主編張楊文副主編蘭師勇編委鄭曉波王嘎宋小東彭艷唐鴻周彭威楊世卿皮偉葉浩劉祿波皮良雅序數(shù)學(xué)在高考中的地位毋庸置疑.一方面,數(shù)學(xué)作為主干學(xué)科,既容易得分也容易失分的特點使得莘莘學(xué)學(xué)對其又愛又恨;另一方面,數(shù)學(xué)排在高考第一天的下午,當(dāng)語文讓考生們安穩(wěn)進(jìn)人高考狀態(tài)后,數(shù)學(xué)就要學(xué)子們開始真正發(fā)揮威力了,并且數(shù)學(xué)考試的感覺將對第二天的考試起著至關(guān)重要的作用.因此,控制好高考數(shù)學(xué)迫在眉睫!本套《高考數(shù)學(xué)你真的控制了嗎?》以不落俗套的形式、發(fā)明性的思維、系統(tǒng)化的視角詮釋高考數(shù)學(xué)的精髓,協(xié)助廣大學(xué)子消解持久以來的困窘,從而突破數(shù)學(xué)的瓶頸,收獲自己愜意的成績!本套書具有如下幾個特點:一、科學(xué)合理的編排結(jié)構(gòu)我們摒棄按照教科書的順序編寫本書,而是按照重難點的分布舉行科學(xué)合理的篩選與整合.函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線三部分內(nèi)容分離自立成書;平面向量、不等式、直線與圓、立體幾何、計數(shù)原理與概率統(tǒng)計共同構(gòu)成另外一本書.二、內(nèi)容具有發(fā)明性,獨家研究成績遍布全書書中無數(shù)解法、結(jié)論、主意總結(jié)都是我們經(jīng)過持久實踐后研究出來的成績,在此作容易的說明.1.《函數(shù)》第四章:數(shù)形結(jié)合對于復(fù)合方程的根的問題,我們采用“兩個圖像”法來解決,一方面避免了復(fù)雜函數(shù)的作圖,另一方面也可以達(dá)到普遍適用的效果.而對于動曲線的問題,我們重點考查了兩條曲線在某個交點附近是否還有其他交點的情況,通過交點處的局部分析舉行深刻的剖析,此處輕微引進(jìn)了高等數(shù)學(xué)的一些基本思想,這將徹底消除學(xué)子們對此類疑難問題的困窘.2.《函數(shù)》第五章:恒成立對于大多數(shù)情況,函數(shù)恒正(恒負(fù))等價于函數(shù)在區(qū)間端點處恒正(恒負(fù))是錯誤的,但這并不意味著端點就沒有任何作用.我們通過事先考慮函數(shù)在端點的情形,固然不能得到總算結(jié)果,但卻可以據(jù)此排除某些情形,從而避免了復(fù)雜的分類研究.這種先通過端點來縮小參數(shù)取值范圍的主意,我們將其稱為“端點效應(yīng)”.這個主意容易易行,且經(jīng)得起考驗和推敲,可以很好地協(xié)助廣大考生輕巧解決本身并不簡單的函數(shù)恒成立一類問題.3.《數(shù)列》第四章:放縮數(shù)列放縮無疑是學(xué)子們心中的噩夢,除了“就題論題”以外,極少有人能對此有一個整體的、系統(tǒng)的認(rèn)識和理解,我們在書中對這類較難的題型舉行了清晰的歸納總結(jié),并系統(tǒng)地給出了相應(yīng)的思維主意和求解方式.4.《圓錐曲線》第六、七、八、九章普通認(rèn)為圓錐曲線似乎就是計算,其實遠(yuǎn)不止于此.即便是計算,也會有一些技巧,我們在書中都舉行了說明.而在第六、七、八、九章中,我們以框架圖的形式給出了獨家研究成績,利用這些結(jié)論和條件,部分考題可以輕巧解決.三、強(qiáng)調(diào)思維方式的引導(dǎo)在本套輔導(dǎo)書中,我們并非單純地給出解法和技巧,而是從原理人手,通過分析研究,一步一步引導(dǎo)讀者理解我們的思維,使讀者真正領(lǐng)略其中的奧妙,從而做到舉一反三,也逐漸養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)主意,培養(yǎng)自主探索學(xué)習(xí)的能力.四、針對性極強(qiáng)通過多年的教學(xué)實踐,我們了解廣大高考學(xué)子的迫切需求.因此,針對全國各地的高考題型及特點,我們著力于探索越發(fā)容易、高效且容易控制的普適主意,力求做到清晰、系統(tǒng),從而讓高三學(xué)子事半功倍,也讓高考數(shù)學(xué)不再令人望而生畏.希翼我們辛勤勞動的成績能助全國高三學(xué)子們揚帆遠(yuǎn)航!本書的完成有賴于一支高度負(fù)責(zé)的團(tuán)隊,各位編委都花了大量時光精心編寫各自分工的內(nèi)容.然而,編者雖傾心傾力,但總算水平有限,書中若有不妥之處,懇請廣大讀者批評指正!前言在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,幾何與代數(shù)曾一度處于分裂狀態(tài),而當(dāng)數(shù)與形邂逅之時,數(shù)學(xué)便開始綻放出越發(fā)優(yōu)美的光彩,正所謂“數(shù)缺形時少直觀,形缺數(shù)時難人微”!本套叢書的《函數(shù)》一書中,我們特意開辟了一章推薦數(shù)形結(jié)合,用來特指以形解數(shù),而本書則開始了以數(shù)解形的時代,圓錐曲線就是典型的解析幾何.在高考數(shù)學(xué)中,圓錐曲線似乎總是不那么友好,令廣大學(xué)子望而生畏.每每談及圓錐曲線,幾乎所有人最先想到的都是“計算”兩個字,倘若非要用一個字來概括,便是“難”確實,圓錐曲線在高考中從來不缺乏壓軸的分量!高中階段的圓錐曲線由橢圓、雙曲線和拋物線三部分組成,主要內(nèi)容包括其定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖像以及相關(guān)概念,其中最核心的莫過于離心率和焦半徑,而直線與圓,亦為解析幾何,從而,彼此的融合是該部分內(nèi)容不可避免的趨勢.編寫本套叢書的初衷是通過思維的引導(dǎo)而形成強(qiáng)大的邏輯體系,因而,我們摒棄按照橢圓、雙曲線和拋物線的順序舉行編排,而是從內(nèi)容的本質(zhì)出發(fā),將本書編排為九章.第一章概括了圓錐曲線的基本性質(zhì)與軌跡,系統(tǒng)探索了焦點三角形的相關(guān)性質(zhì)、離心率的求法,以及求解軌跡方程的類型;第二章著重研究焦半徑這一概念,深人剖析了焦半徑的坐標(biāo)式和傾斜角式,并提出了焦點弦的兩大模型;第三章歸納了向量與圓錐曲線的結(jié)合類型,并通過分析給出了相應(yīng)的解題技巧;然后,我們特意開辟了第四章,選取典型的面積問題和切線問題帶領(lǐng)大家直面令人反感的計算問題;同時,我們將圓錐曲線中最流行的定點、定值問題提出來自立成為第五章,分析總結(jié)了相關(guān)解決主意;在第六、七、八章中,我們展示出了獨家探索的三大斜率模型;第九章提出了乘積為某個定值的六大模型,在這一系列模型中,不乏涉及定點、定值等相關(guān)問題.圓錐曲線部分最大的特色便是框架圖,這是我們經(jīng)過實踐不斷探索、反復(fù)雕琢而形成的研究成績.通過容易明了的框架圖,讀者們可以疾馳領(lǐng)略我們的編排脈絡(luò),以及知識的內(nèi)在邏輯關(guān)系.同時,我們也給出了大大小小的一系列結(jié)論和思想主意總結(jié).初衷依然:通過思維的引導(dǎo)形成強(qiáng)大的邏輯體系,進(jìn)而認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì),達(dá)到真正的舉一反三、事半功倍的效果!編者目錄第一章基本性質(zhì)與軌跡1第一節(jié)焦點三角形2一、焦點三角形的周長2二、焦點三角形的面積4三、焦點三角形的角平分線7四、焦點三角形的中位線10第二節(jié)離心率15一、普通求值和取值范圍15二、利用頂角建立不等式求離心率范圍18三、利用焦半徑的取值范圍求離心率的取值范圍20四、利用漸近線求離心率的取值范圍22第三節(jié)轉(zhuǎn)換24一、焦點間的互相轉(zhuǎn)換24二、焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)換28三、點線距離與線線距離的轉(zhuǎn)換30第四節(jié)軌跡31一、定義法31二、直譯法36三、相關(guān)點法38四、參數(shù)法40五、交軌法41六、空間點的軌跡42第一章變式參考答案45第二章焦半徑59第一節(jié)坐標(biāo)式60第二節(jié)傾斜角式63第三節(jié)焦點弦的兩大模型72第二章變式參考答案75第三章向量與圓錐曲線79第一節(jié)AP=λPB第二節(jié)PA=λ1第三節(jié)OM=λOA第三章變式參考答案90第四章計算問題94第一節(jié)面積計算95第二節(jié)切線問題101第四章變式參考答案107第五章如何求解定值、定點問題114第一節(jié)計算某些量為定值115第二節(jié)已知某些量為定值反求參數(shù)123第五章變式參考答案129第六章斜率乘積為-b第一節(jié)kMN第二節(jié)kM一、A1,A二、A1,A第三節(jié)kOA一、軌跡問題(I)149二、軌跡問題(II)151三、面積為定值問題152第六章變式參考答案154第七章斜率乘積為-1159第一節(jié)OP⊥一、橢圓中的垂直問題160二、雙曲線中的垂直問題170三、拋物線中的類似情形171第二節(jié)定點問題172一、拋物線中的定點問題172二、橢圓中的定點問題175第七章變式參考答案177第八章斜率之和為零183一、橢圓情形184二、雙曲線情形185三、拋物線情形186第八章變式參考答案187第九章乘積為a2第一節(jié)模型1及其應(yīng)用190第二節(jié)模型2及其應(yīng)用191第三節(jié)模型3及其應(yīng)用192第四節(jié)模型4及其應(yīng)用195第五節(jié)模型5及其應(yīng)用197第六節(jié)模型6及其應(yīng)用199第九章變式參考答案201參考文獻(xiàn)206第一章基本性質(zhì)與軌跡【導(dǎo)讀】基本性質(zhì)與軌跡焦點三角形焦點三角形的周長焦點三角形的面積焦點三角形焦點三角形的角平分線焦點三角形的中位線離心率普通求值和取值范圍利用頂角建立不等式求離心率范圍利用焦半徑的取值范圍求離心率的取值范圍利用漸近線求離心率的取值范圍轉(zhuǎn)換焦點間的互相轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)換點線距離與線線距離的轉(zhuǎn)換軌跡定義法直譯法相關(guān)點法軌跡參數(shù)法本章從圓錐曲線的基本概念及性質(zhì)出發(fā),探索并總結(jié)出一些重要結(jié)論,詳細(xì)涉及焦點三角形、離心率,極其重要的轉(zhuǎn)換思想在這部分內(nèi)容中體現(xiàn)得淋漓盡致.章末對軌跡的常見求法進(jìn)行了清晰而詳盡的歸類,希翼讀者能夠用心理解并熟練控制和應(yīng)用.第一節(jié)焦點三角形首先回顧一下圓錐曲線的定義:【知識點1.1】橢圓平面內(nèi),到兩個定點F1,F2的距離之和為常數(shù)2a2a>F1F2的點的軌跡叫做橢圓,即PPF1+PF2【注】(1)當(dāng)2a=2c(2)當(dāng)2a<2c【知識點1.2】雙曲線平面內(nèi),到兩個定點F1,F2的距離的差的絕對值為常數(shù)2a2a<F1F2的點的軌跡叫做雙曲線,即P|PF1-PF【注】(1)若在定義式中去掉絕對值,則曲線僅為雙曲線的一支,若PF1-PF2=2a,則點的軌跡僅為雙曲線的右支,(2)當(dāng)2a=2c時,點的軌跡是以F1和(3)當(dāng)2a>2c【知識點1.3】拋物線平面內(nèi),到一個定點F和一條直線lF?l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線,定點F叫做拋物線的焦點,定直線l由橢圓或者雙曲線上的一點及其兩個焦點構(gòu)成的三角形稱為“焦點三角形”,因為圓錐曲線的焦點是一個異常重要的概念,這也就決定了焦點三角形的某些異常之處.下面將從焦點三角形的周長、面積、角平分線以及中位線這幾個角度對其舉行細(xì)致而深人的探索與剖析.一、焦點三角形的周長【例1.1】(2023年年.新課標(biāo)理,20)如圖1-1所示,F圖1-1【解析】易知AF2+BF2+AB=設(shè)直線AB的方程為y=x+c,A,B兩點的坐標(biāo)分離為x1,y1,x2,y2,坐標(biāo)滿意方程組y=x+c,x2a2+y2b2對于焦點三角形的周長,有以下結(jié)論:【結(jié)論1.1】(1)已知F1,F2分離為橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點,(2)已知F1,F2分離為橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點,l過焦點F1【變式1】(2023年年-浙江理,12)已知F1,F2為橢圓x225+y29=1的兩個焦點,過F1的直線【變式2】(2023年年-全國II理,5)已知△ABC的頂點B,C在橢圓x23+y2=1上,頂點A是橢圓的一個焦點,且橢圓另外一個焦點在BCA.23B.6C.43D.12【變式3】(2023年年?新課標(biāo)理,14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中央為原點,焦點F1,F2在x軸上,離心率為22.過點F1的直線l交C于A,B兩點,且△AB【變式4】(2023年年-湖北文,12)如圖1-2所示,過雙曲線x24-y23=1左焦點F1的直線交曲線的左支于M,N圖1-2二、焦點三角形的面積【例1.2】(2004-湖北理,6)已知橢圓x216+y29=1的左、右焦點為F1,F2,P在橢圓上,若P,A.95B.3C.97【解析】若直角頂點為F1,則點P到x軸的距離為d=PF1=b2a=94;若直角頂點為F2,則點P到x軸的距離為d=PF2=b2a=94;若直角頂點為對于焦點三角形的面積,有以下結(jié)論:【結(jié)論1.2】(1)已知F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(2)已知F1,F2為雙曲線x2a2-△MF1F2【證實】只證(2),類似可證(1).由余弦定理可知F1F假設(shè)M在雙曲線的左支上,F1,F2分離為其左、右焦點,由雙曲線定義有MF2-MF1=2aS△【注】固然結(jié)論1.2針對的是已知焦點三角形頂角的情形,但若知道兩個底角時,按照三角形內(nèi)角和為180°也可轉(zhuǎn)化為已知頂角的情形,故不再單獨列出【變式1】(2023年年-全國理,9)已知雙曲線x2-y22=1的焦點為F1,F2,點M在雙曲線上且MF1A.43B.53C.2【變式2】(2023年年-全國I理,9)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點P在C上,∠FA.32B.62C.3【變式3】(2023年年-上海理,9)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個焦點,【變式4】(2023年年-全國I文,8)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=1的左、右焦點,點PA.2B.4C.6D.8【變式5】(2023年年-遼寧理,11)設(shè)P為雙曲線x2-y212=1上的一點,F1,F2是該雙曲線的兩個焦點,若A.63B.12C.12【變式6】(2023年年-全國II理,6)已知雙曲線x26-y23=1的焦點為F1,F2,點M在雙曲線上且MF1垂直于xA.365B.566三、焦點三角形的角平分線【例1.3】(2023年年-安徽理,17)已知F1,F2為橢圓x216+y212=1的左、右焦點,點A2,3【解析】由題意知F1-2,0,F22,0,A2,3,所以AF1=5,AF2=3,設(shè)l與x軸的交點為對于焦點三角形的角平分線,有以下結(jié)論:【結(jié)論1.3】(1)如圖1-3所示,△ABC中,AD為∠BAC的角平分線,則ABAC(2)如圖1-4所示,P是橢圓x2a2+y2b2=1上的動點,F1,F圖1-3圖1-4.【證實】(1)如圖1-5所示,過點A作AE⊥BC,過D分離作AB,AC的高h(yuǎn)1,h2,因為ADS(2)如圖1-4所示,S圖1-512?【變式1】(2023年年.全國理,15改編）已知F1,F2分離為雙曲線C:x29-y227=1的左、右焦點,A為C上一點,點M的坐標(biāo)【變式2】已知橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點分離為F1,F2,O為橢圓的中央,P是橢圓上的點,△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I,延伸直線A.eB.1C.1eD.不【變式3】P是橢圓C:x24+y2=1上除長軸端點外的任一點,銜接PF1,PF2,設(shè)∠F1PF【例1.4】(2023年年-成都一診理,12)已知P是橢圓x24+y23=1上的一點,F1,F2是橢圓的左、右焦點,A.32B.-94【解析】如圖1-6所示,不妨設(shè)P在第一象限(其他象圖1-6限類似),S△PF1F2=S△PIF2+S△PF1I+S△IF1F2=12PF【變式1】已知點P12,62,點F1,F2分離是雙曲線x216-y29=1的左、右焦點,點A.45B.-45C.四、焦點三角形的中位線【例1.5】(2023年年.成都二診,10)如圖1-7所示,已知橢圓的左焦點為F1,若橢圓上存在一點P,滿意以橢圓短軸為直徑的圓與線段PF1相切于線段PF1的中點E,則橢圓的離心率A.53B.23C.2【解析】如圖1-7所示,銜接P和右焦點F2,則OE是△PF1F2的中位線,得到PF2=2b,且PF1⊥PF2,得到PF1=2圖1-7【主意總結(jié)1.1】在圓錐曲線的挑選題與填空題中,若有中點這樣的信息浮上,就要聯(lián)想到中位線,因為原點是橢圓和雙曲線的中央,是兩焦點的天然中點.【變式1】如圖1-8所示,F1,F2是雙曲線x2a2-y2b2=1a,b>0的左、右焦點,過點F1作斜率為k的直線交雙曲線右支于點P,且∠F1PF2為銳角,M為線段A.baB.abC.a圖1-8【變式2】從雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點F引圓x2+y2=a2的切線l,切點為T,且lA.b-a2B.b-【變式3】過雙曲線x2a2-y2b2=1的左焦點F1-c,0作圓x2+y2=a2的切線,切點為E,延伸A.1+52B.1+【變式4】(2023年年-遼寧理,15)已知橢圓C:x29+y24=1,點M與C的焦點不重合,若M關(guān)于C的焦點的對稱點分離為A,B,線段【例1.6】已知點M是雙曲線x2a2-y2b2=1右支上的隨意一點,F2是它的右焦點,則以A.內(nèi)切B.外切圖1-9C.外切或內(nèi)切D.無公共點或相交【解析】如圖1-9所示,以MF2為直徑的圓的半徑為r1=12MF2,圓O的半徑為r2=a,所以圓心距為d=OA=12MF通過類比有如下結(jié)論:【結(jié)論1.4】(1)橢圓中以焦半徑為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓相切.(2)雙曲線中以焦半徑為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.(3)拋物線中以焦半徑為直徑的圓必與頂點處的切線相切.【變式1】已知點A是橢圓x2a2+y2b2=1上的隨意一點,F2是橢圓的右焦點,則以A.內(nèi)切B.外切C.外切或內(nèi)切D.無公共點或相交【例1.7】橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,過橢圓右焦點F2c,0A.相切B.相離C.相交D.無法決定【解析】令A(yù)B的中點為M,過A,B,M分離作準(zhǔn)線的垂線,垂足分離為A',B',M',【注】無論是橢圓、雙曲線或者拋物線,都有上述統(tǒng)一的做法.設(shè)過橢圓焦點的直線與橢圓交于A,B兩點,d是AB的中點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離,r為以AB為直徑的圓的半徑,則dr=1e,按照【結(jié)論1.5】(1)橢圓中以焦點弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相離.(2)雙曲線中以焦點弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相交.(3)拋物線中以焦點弦為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切.【變式1】已知拋物線y2=2pxp>0,過其焦點F的直線l交拋物線于Ax1,yA.相切B.相離C.相交D.無法決定【變式2】已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0,過雙曲線右焦點F2cA.相切B.相離C.相交D.無法決定【變式3】過雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F2的直線l與雙曲線的右支交于A,B兩點,A.3B.233C.【例1.8】F1,F2是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點,P是橢圓上隨意一點,從右A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線【解析】如圖1-10所示,延伸F1P交F2Q圖1-10點M,因為PQ是∠MPF2的角平分線,則由△PQF2和△PQM全等知,Q是線段MF2的中點,且PM=PF2.根據(jù)橢圓定義可知PF2+PF1=2a,即PF1+PM=F1M=2a.銜接OQ,【變式1】(2023年年-南昌一模,12)已知點P是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0,xy≠0上的動點,F1-c,0,F2c,0A.0,cB.0,a【變式2】已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點分離為F1,F2,O為雙曲線的中央,P是雙曲線右支上的點,△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I,且圓IA.bB.aC.cD.不決定【變式3】已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點分離為F1,F2,O為雙曲線的中央,P是雙曲線右支上的點,△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I,且圓I與x軸相切于點A,過FA.OB=eC.OB=OAD.OB與OA第二節(jié)離心率一、普通求值和取值范圍求離心率的本質(zhì)就是探求a,b,c之間的數(shù)量關(guān)系,知道a,b,c中隨意【例1.9】(2023年年-天津文,22)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的兩個焦點分離為F1-c,【解析】由F1A//F2B,F1A=2F2B,得E【變式1】(2023年年-安徽理,9)如圖1-11所示,F1和F2分離是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩個焦點,A和BA.3B.5C.52D.圖1-11【變式2】(2023年年-湖南理,7)過雙曲線M:x2-y2b2=1的左頂點A作斜率為1的直線l,若l與雙曲線M的兩條漸近線分離相交于B,C兩點,A.10B.5C.103D.【變式3】(2023年年-浙江理,9)過雙曲線x2a2-y2b2=1a>b>0的右頂點A作斜率為-1的A.2B.3C.5D.10【變式4]2014?湖北理,9已知F1,F2是橢圓和雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點A.433B.例1.9及其變式是按照題目中的條件建立a,b,c的等式關(guān)系,從而求得離心率的詳細(xì)取值,但若題目給出的是a,b,c【例1.10】(2023年年-北京文,4)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分離為F1,FA.0,12B.0,【解析】由題意可知MN=2a2c,F1F2=2c【變式1】(2023年年-湖南,8)若雙曲線x2a2-y2b2=1aA.1,2B.2,+∞C.【變式2】(2023年年-湖南理,9)設(shè)F1,F2分離是橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0A.0,33B.0,二、利用頂角建立不等式求離心率范圍我們將圓錐曲線上的點向兩個焦點張開的角叫做焦點三角形的頂角,通過這個頂角所建立的聯(lián)系,就可以得到關(guān)于離心率的許多實用結(jié)論.【例1.11】(2023年年+江西理,7)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,滿意MF1?MFA.0,1圖1-12C.0,2【解析】因為滿意MF1?MF2=0的點M總在橢圓內(nèi)部,則對橢圓上隨意一點P,∠F1PF2均為銳角,如圖1-12所示,事實上只需頂點位置的頂角為銳角即可【知識點1.4】(1)F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0(2)A,B為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0【證實】只證(1),類似可證(2).設(shè)PF1=m,PF2=n,∠F1PF2=θ,則m+n=2a.于按照知識點1.4的思想,在焦點三角形中,可以通過頂角的取值范圍建立有關(guān)離心率的不等式從而求得離心率的取值范圍,詳細(xì)結(jié)論如下:【結(jié)論1.6】F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1的左右焦點,P【證實】在知識點1.4的證實中已經(jīng)得到cosθ≥2b2a2-1,再按照a,b,c的關(guān)系,有【注】結(jié)論1.6僅僅是針對橢圓的情形,對于雙曲線則不然.緣故是在其證實中用到了均值不等式mn≤m2+n22,而橢圓的定義m+n=2a保證了此不等式的應(yīng)用條件,但雙曲線的定義為結(jié)論1.6是已知焦點三角形頂角的情形,但若已知焦點三角形的兩個底角,則離心率會是一個定值,而不再是一個范圍了,詳見下面結(jié)論.【結(jié)論1.7】(1)F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1(2)F1,F2為雙曲線x2a2-y2b2=1的左右焦點,【證實】(1)設(shè)PF1m?(2)雙曲線的情形類似可證.【變式1】F1,F2為橢圓x2a2+y2b2=1a>b【變式2】若A,B為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0長軸的兩個端點三、利用焦半徑的取值范圍求離心率的取值范圍焦半徑與離心率是密不可分的兩個概念,而無論是在橢圓中還是在雙曲線中,焦半徑本身都是有取值范圍的,于是利用這一點就可以解決一些離心率取值范圍的問題.【例1.12】(2023年年-四川理,9)如圖1-13所示,橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦點為F圖1-13AP的垂直平分線過點F2,則橢圓的離心率的取值范圍是A.0,2C.[2-【解析】橢圓上存在點P使得線段AP的垂直平分線過點F2,則PF2=AF2,所以PFac+c2,則ac-c2≤a2-c【結(jié)論1.8】(1)F為橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0(2)F為雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點,若P是雙曲線右支上的動點,則PF≥【變式1】(2023年年-重慶文,15)已知橢圓x2a2+y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點【變式2】(2023年年-重慶理,15)已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點分離為F1-c,0【變式3】(2004-重慶理,10)已知雙曲線x2a2-y2b2=1的左、右焦點分離為F1,F2,點PA.43B.53【變式4】(2023年年-福建理,11)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的兩個焦點為F1,A.1,3B.(1,四、利用漸近線求離心率的取值范圍【例1.13】(2023年年-福建理,10)已知雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F,若過A.(1,2]B.1【解析】雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且惟獨一個交點,【例1.14】(2004-全國I理,21)設(shè)雙曲線C:x2a2-y2=1a>0與直線l:x+y【解析】按照題意可知x2a2-y2=1,x+y=1,收拾得1-a2x2+2a2x-2a2=0,即方程有兩個不同的實數(shù)解.則故離心率e的取值范圍為62【結(jié)論1.9】若直線恒過的定點落在雙曲線兩支之外,則(1)當(dāng)直線與雙曲線惟獨一個交點時,該直線的斜率為k=±(2)當(dāng)直線與雙曲線的左右兩支都有交點時,該直線的斜率滿意k∈(3)當(dāng)直線與雙曲線的單支有兩個交點時,該直線的斜率滿意k∈-∞【注】圖1-14?圖1-16給出上面三種情形的解釋.(1)如圖1-14所示,l1,l2圖1-14顯然此時與雙曲線惟獨一個交點;(2)如圖1-15所示,l1,l2分離與漸近線平行,倘若直線與雙曲線的左右兩支都有交點,則動直線(3)如圖1-16所示,l1,l2分離與漸近線平行,倘若直線與雙曲線的單支有兩個交點,圖1-15圖1-16【結(jié)論1.10】若直線恒過的定點不落在雙曲線內(nèi),則(1)當(dāng)直線與雙曲線惟獨一個交點時,有k=±ba或(2)當(dāng)直線與雙曲線有兩個交點時,有Δ>(3)當(dāng)直線與雙曲線的左右兩支都有交點時,有x1(4)當(dāng)直線與雙曲線的左支有兩個交點時,有Δ(5)當(dāng)直線與雙曲線的右支有兩個交點時,有Δ【變式1】已知斜率為2的直線l過雙曲線x2a2-y2b2=1【變式2】已知斜率為2的直線l過雙曲線x2a2-y2b2=1a【變式3】(2023年年-四川模擬)斜率為2的直線l過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,A.1,2B.1,3【變式4】若雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的離心率為第三節(jié)轉(zhuǎn)換一、焦點間的互相轉(zhuǎn)換焦點間的轉(zhuǎn)換,其核心思想是考查圓錐曲線的第一定義,利用“三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊”的知識求解.【例1.15】設(shè)橢圓x225+y216=1的左、右焦點分離為F1,F2,點M是橢圓上隨意一點,點【解析】如圖1-17所示,因為M在橢圓上,所以有圖1-17MF1+MF2=2a=10.令Z=MF1+MA,則有Z=10+MA-MF2.當(dāng)M落在F2A的延伸線上時,可得MA-MF2=-F2A,當(dāng)M落在AF2的延伸線上時,【注】這里利用橢圓定義將與曲線有關(guān)的最值問題轉(zhuǎn)化為線段間的最值.對于上述類型的最值問題,有如下結(jié)論:【結(jié)論1.11】設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1a>b>(1)若定點Qx0,y0在橢圓內(nèi)部,則(2)若定點Qx0,y0在橢圓外部【證實】(1)如圖1-18所示,由MF2+MF1=2a,則MF2+MQ=2a-MF1+MQ,所以MF2+MQ=2a+(2)如圖1-19所示,因為MF2+MQ≥QF2,當(dāng)且僅當(dāng)M為線段QF2與橢圓的交點時不等式取等號.又因為MF2+MF1=2a,所以MF2=2a-MF1,于是圖1-18圖1-19【變式1】已知橢圓x225+y216=1的右焦點為F2,點M在橢圓上,平面上一點【變式2】已知橢圓x225+y216=1的右焦點為F2,點M在橢圓上,平面上一點【變式3】(2023年年-四川理,15)如圖1-20所示,把橢圓x225+y216=1的長軸AB分成8等份,過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1,P2,P圖1-20【例1.16】已知F1,F2是雙曲線x2-y23=1的左、右焦點,P6,【解析】因為P在雙曲線內(nèi)部,所以MP+MF2=MP+MF1-2a【結(jié)論1.12】設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1a>0,b>(1)若定點Qx0,y0與雙曲線右焦點F2在雙曲線右支的同側(cè),則MQ+M(2)若定點Qx0,y0與雙曲線右焦點F2在雙曲線右支的異側(cè),則MQ+M【變式1】(2023年年-遼寧理,15)已知F是雙曲線x24-y212=1的左焦點,已知點A1,4,而【變式2】(2023年年-江西理,9)P是雙曲線x29-y216=1右支上一點,M,N分離是圓(x+5)2+A.6B.7C.8D.9【變式3】已知P為雙曲線x24-y2=1上的動點,F是右焦點,且已知點M355,4二、焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)換【例1.17】平面上隨意一點Px,y到點Fc,0的距離與到直線x=a2c的距離之比為ca【解析】由題意PFx-a2c=ca,即x-c2+y2x-a2c=ca,收拾得x-c2+y2=c2a2x-a2c2,化簡得a2-c2x2通過此題我們發(fā)現(xiàn),點的軌跡是橢圓或是雙曲線跟比值大小有一定的聯(lián)系,事實上,對于圓錐曲線有如下統(tǒng)一的定義:【知識點1.5】（圓錐曲線的第二定義）平面上隨意一點到定點F(焦點)的距離與到相應(yīng)定直線(準(zhǔn)線,且F不在該直線上)的距離之比為常數(shù)e(離心率)的點的軌跡為圓錐曲線.(1)當(dāng)0<e<1時,軌跡為橢圓;(2)當(dāng)e>1時,軌跡為雙曲線;(3)當(dāng)e=【例1.18】若橢圓x24+y23=1內(nèi)有一點P-1,1,F為右焦點,則橢圓上存在點【解析】注重到P點在橢圓內(nèi)部,且e=1圖1-21為l,則2MF就是M到準(zhǔn)線的距離MP',則MP+MP'≥PP'=5,當(dāng)且僅當(dāng)M,P,P'三點共線時取最小值,如圖1-21所示,此時y0=【注】通過看見就會發(fā)現(xiàn),2MF中的系數(shù)2就是離心率的倒數(shù).這類題型在雙曲線、拋物線、橢圓中都有,其共同的特征是在圓錐曲線上找一個點使它到定點距離和到焦點距離的1e倍之和取得最值,解法是都轉(zhuǎn)化為圓錐曲線上的動點到定點和定直線(準(zhǔn)線)【變式1】定點A2,1,F1為橢圓C:x225+y216=【變式2】F1,F2是雙曲線x2-y23=1的左、右焦點,P6,6【例1.19】(2023年年?四川理,9)已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=-1,拋物線A.2B.3C.115D.【解析】如圖1-22所示,直線l2:x=-1圖1-22準(zhǔn)線,由拋物線的定義知,P到l2的距離等于P到拋物線的焦點F1,0的距離,故本題轉(zhuǎn)化為在拋物線上找一個點P,使得P到點F與到直線l1的距離之和最小,于是最小值為F到直線l1的距離d,【變式1】(2023年年-天津理,10)設(shè)拋物線y2=2x的焦點為F,過點M3,0的直線與拋物線相交于A,B兩點,與拋物線的準(zhǔn)線相交于C,BF=2A.45B.23C.4【變式2】已知點P在拋物線y2=4x上,那么點P到點Q2,-1的距離與點P到拋物線焦點距離之和取得最小值時,點A.14,-1B.14三、點線距離與線線距離的轉(zhuǎn)換【例1.20】已知橢圓x225+y29=1,直線l:4x-5【解析】如圖1-23所示,由直線l的方程與橢圓的方程可以知道,直線l與橢圓不相交.當(dāng)橢圓的切線m平行于直線l時,切點到直線l的距離取得最值,則直線m的方程可以表示成4x圖1-23聯(lián)立方程4x-5y+k=0,解得k=25或k=-25.按照圖1-23可知,當(dāng)k=25時,直線m與橢圓的交點到直線l的距離最小,此時直線m的方程為4x-5y+25=0.直線m與【例1.21】拋物線y=-x2上的點到直線4A.43B.75C.【解析】設(shè)4x+3y-m=0與y=-x2相切,聯(lián)立y=-x2,4x+3y-m=0,得4x-3x2-m=【主意總結(jié)1.2】將直線l平移到與圓錐曲線相切的位置,得到圓錐曲線的一條與直線l平行的切線l',此時直線l與l'【變式1】(2023年年?山東理,12)設(shè)直線l:2x+y+2=0關(guān)于原點對稱的直線為l',若l'與橢圓x2+y24=1的交點為A,B,點PA.1B.2C.3D.4第四節(jié)軌跡一、定義法若動點運動的限制條件與某一類圓錐曲線的定義吻合,可直接按照定義建立動點的軌跡方程,于是就決定了曲線的類型與方程的詳細(xì)結(jié)構(gòu)式,再用待定系數(shù)法求解這種主意稱為定義法.【例1.22】(2023年年?四川理,21)已知兩定點F1-2,0,F22,0,滿意PF2-P【解析】由題意知點P的軌跡是雙曲線的左支,焦點在x軸上,且a=1,c=2,b=1,【注】求軌跡要注重隱含條件對軌跡的范圍限制,本題中隱含條件是PF2【變式1】(2023年年?湖北理,21)已知曲線C在y軸右側(cè),C上每一點到點F1,0的距離減去它到y(tǒng)軸的距離是1,求曲線C【變式2]2008?北京理,6若點P到直線x=-1的距離比它到點2,0A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線【變式3】(2023年年-四川理,21)已知F2,0,定直線l:x=12,不在x軸上的動點P與點F的距離是它到直線l的距離的2【知識點1.6】到兩個定點的距離之比為常數(shù)λλ≠1的點的軌跡是圓,以這種方式定義的圓叫做【例1.23】已知動點P與兩個O0,0,A3,0定點的距離的比為12【解析】設(shè)Px,y,則x2+y2x-32+y2=1【例1.24】(2023年年?江蘇,13)若AB=2,AC=2【解析1】由AC=2BC知,點C的軌跡是圓(阿波羅尼斯圓).要求三角形面積的最大值,只需求C到AB的距離的最大值.如圖1-24所示,以AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)Cx,y,由AC=2BC得點C的軌跡方程x+12+y2=2x-12+y2,圖1-24圖1-25【解析2】如圖1-25所示,過C作CD⊥AB的延伸線于D,設(shè)BD=t,BC=x,則CD2=x2-t2,又CD2=2x2-2+t2,由此可得【例1.25】如圖1-26所示,已知圓M:x+52+y2=36,定點N5,0,點P為圓M上的動點,點Q在NP上,點G在MP上,【解析】設(shè)Gx,y,因為點P為圓M上的動點,則MG+GP=MP=6,又因為NP=2NQ,NP?GQ=0,所以GQ垂直平分PN,所以GP=GN,進(jìn)而有MG+GN=MP【結(jié)論1.13】(1)定圓上一動點和圓內(nèi)一定點的垂直平分線與其半徑的交點的軌跡是橢圓.(2)定圓上一動點與圓外一定點的垂直平分線與其半徑的交點的軌跡是雙曲線.【證實】僅給出(1)的證實,(2)同理可證.如圖1-27所示,Q為圓心,半徑為R的圓內(nèi)一定點A,動點B在圓Q上,AB的中點為M,AB的垂直平分線交BQ于點P.因為PM是AB的垂直平分線,所以PA=PB,則PQ+PA=PQ+PB=BQ=R,又因為A在圓內(nèi),所以R>AQ圖1-26圖1-27【例1.26】一動圓過定點A-2,0,且與定圓B:x-22【解析】設(shè)定圓與動圓的切點為P,則CA+CB=CP+CB=PB=23,AB=22所以CA+CB=23>22=AB.按照橢圓的第一定義可知C【結(jié)論1.14】倘若動圓與兩個互相內(nèi)含定圓的位置關(guān)系為與一個外切,與另一個內(nèi)切,那么動圓的圓心軌跡為橢圓.【變式1】已知動圓P過定點A-3,0,并且在定圓B:x-32+y【例1.27】(2023年年?廣東理,21)設(shè)圓C與兩圓x+52+y2=4,x-52+y2=【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知兩圓的圓心分離為F1-5,0,F25,0,則圓C與這兩個圓分離外切和內(nèi)切,設(shè)圓C的半徑為r,則有LF1=r-2,LF2=r+2,或者LF2=r-2,LF1=r+【結(jié)論1.15】倘若動圓與兩個相離定圓的位置關(guān)系為與其中一個定圓外切,與另一個定圓內(nèi)切,那么動圓圓心的軌跡為雙曲線.【變式1】已知圓F1:x+22+y2=1,圓F2:x-22+y2=【變式2】已知圓C1:x+32+y2=1,圓C2:x-32【結(jié)論1.16】倘若動圓與兩個相離定圓的位置關(guān)系為同時外切或同時內(nèi)切,那么動圓圓心的軌跡為雙曲線的一支.【例1.28】已知動圓P與定圓C:x+2圖1-28與定直線l:x=1相切,求動圓圓心【解析】如圖1-28所示,設(shè)動圓P的半徑為R,點P到定點C的距離為R+1,PD=R,易知P只能在直線l:x=1的左側(cè),將直線x=1向右平移1個單位得到x=2,則點P到定點C的距離等于P到定直線x=2的距離,由拋物線的定義可知點P的軌跡為拋物線【結(jié)論1.17】倘若動圓與一個定圓和一條直線同時相切(且直線與該定圓不相切),那么動圓的圓心軌跡為拋物線.【變式1】已知圓C1x2+y2-10x=0,求與y軸相切,且與圓二、直譯法直接將動點滿意的幾何關(guān)系“翻譯”成動點坐標(biāo)x,y的關(guān)系式,就是求動點的軌跡方程的直譯法.用直譯法求解時列式容易,但在對等式變形與化簡過程中應(yīng)異常注意是否需要分情況【例1.29】(2023年年.北京理,20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A-1,1關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于-13,【解析】因為點B與點A-1,1關(guān)于原點O對稱,所以點B的坐標(biāo)為1,-1.設(shè)點P的坐標(biāo)為x,y,則kAP?kBP=y-1x+1?y+1x-1=-13【變式1】(2023年年-四川理,21)點M與兩定點A-1,0,B2,0構(gòu)成△MAB,∠MBA=2∠MAB【變式2】已知雙曲線x2a2-y23a2=1的左頂點為A,右焦點為F,設(shè)P為第一象限內(nèi)雙曲線上隨意一點【變式3】F是雙曲線x216-y29=1的左焦點,在x軸上點F的右側(cè)有一點A,以FA為直徑的圓與雙曲線左右兩支在x軸上方的交點分離為A.25B.52C.5【變式4】(2023年年-四川文,21)點M與兩定點A-1,0,B1,0構(gòu)成△MAB,且MA,MB斜率之積為4,設(shè)動點M【變式5】(2023年年?新課標(biāo)理,20)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點A0,-1,點B在直線y=-3上,點M滿意MB//OA三、相關(guān)點法倘若動點滿意的限制條件不容易直接列出等式,但是動點隨著另一相關(guān)點的運動而運動,這時可用動點坐標(biāo)表示相關(guān)點的坐標(biāo),按照相關(guān)點所滿意的方程求得動點的軌跡方程.這種方法稱為相關(guān)點法.【例1.30】&2023年年-海南理,20）P為橢圓C:x216+y27=1上的動點,M為過點P且垂直于x軸的直線上的點,【解析】設(shè)Mx,y,Px0,y0,由題意可知x0=x.OPOM=λ,即故當(dāng)0<λ2<916時,M的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線;當(dāng)λ2=916時,M的軌跡是兩條平行于x軸的直線;當(dāng)λ2【變式1】(2023年年-陜西理,17)P是圓x2+y2=25上的動點,D是P在x軸上的射影,M為PD上一點,且MD=45PD,當(dāng)【變式2】(2023年年-全國I理,20)設(shè)橢圓x2+y24=1在第一象限的部分為曲線ζ,動點P在C上,C在點P處的切線與x,y軸的交點分離為A,B,且【變式3】2004?浙江理,4曲線y2=4xA.y2=8-4x【變式4】(2023年年-湖北理,7)設(shè)過點Px,y的直線分離與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A,B兩點,點Q與點P關(guān)于y軸對稱,O為坐標(biāo)原點,若BP=2PA且OQ?A.3x2C.32x四、參數(shù)法倘若動點本身所滿意的條件式中含有一個參數(shù),或在運動過程中受到某個變量的制約,那么以此變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,再設(shè)法消去參數(shù),即可得到軌跡的方程.這種主意稱為參數(shù)法.【例1.31】(2023年年-全國I理,21)設(shè)橢圓方程為x2+y24=1,過點M0,1的直線l交橢圓于點A,B,點【解析】設(shè)點Px(1)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)斜率為k,直線l的方程為y=kx+1,聯(lián)立y=kx+1,4x2+y2=4,得k2+4x2+2kx-3=0,(2)當(dāng)直線的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,聯(lián)立x=0,x2+y24=1,解得x綜上所述,故P的軌跡為x2【注】本題中直線與曲線相交為何不需要考查判別式?因為點M在橢圓的內(nèi)部,過點M的直線與橢圓必有兩個交點,但斜率的存在性問題一定要去研究.設(shè)P是l上一點,M是線段OP的垂直平分線上一點,且滿意∠MPO=∠AOP,當(dāng)點P在l上運動時,求點M的軌跡E五、交軌法倘若動點是兩條曲線的交點,則其坐標(biāo)同時滿意兩條曲線方程,那么消去輔助量即可求得動點的軌跡.這種主意稱為交軌法.【例1.32】(2023年年-廣東理,20)已知雙曲線x22-y2=1的左、右頂點分離為A1,A2,點Px1,y1,Qx【解析】由題意知A1,A2的坐標(biāo)分離為-2,0,2,利用點P,Q在雙曲線上的條件即可求解.于是有y=-y1x1+2x+2,y=-y故直線A1P與A2Q的交點的軌跡E【結(jié)論1.18】雙曲線x2a2-y2b2=1中垂直于實軸的弦和雙曲線相交于M,N兩點,A1,A2為雙曲線的左、右頂點,P為lA【變式1】(2023年年-遼寧理,20)橢圓C0:x2a2+y2b2=1a>b>0,動圓C1:x2+y2=t12(b<t1<a,點A1【結(jié)論1.19】橢圓x2a2+y2b2=1中垂直于長軸的弦和橢圓相交于M,N兩點,A1,A2為橢圓的左、右頂點,P為【注】拋物線y2=2px中垂直于對稱軸的弦和拋物線相交于M,N兩點,P為lOM與y=yN六、空間點的軌跡1.空間中平面性質(zhì)與平面平行垂直【例1.33】(2004+天津文,8)如圖1-29所示,定點A和B都在平面α內(nèi),定點P?α,PB⊥α,C是α內(nèi)異于A和B的動點,且PC⊥AC.那么,動點A.一條線段,但要去掉兩個點圖1-29B.一個圓,但要去掉兩個點C.一個橢圓,但要去掉兩個點D.半圓,但要去掉兩個點【解析】由PB⊥α,得PB⊥AC,又因為PC⊥AC,所以AC垂直于平面PBC,因此AC⊥BC,則C的軌跡是以AB為直徑的圓,又C【變式1]2006?北京理,4平面α的斜線AB交α于點B,過定點A的動直線l與AB垂直,且交α于點C,則動點A.一條直線B.一個圓C.一個橢圓D.雙曲線的一支2.空間建系或空間轉(zhuǎn)平面建系【例1.34】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點M在棱AB上,且AM=13,點P是平面ABCD上的動點,且動點P到直線A1D1的距離與點PA.圓B.雙曲線C.拋物線D.直線【解析】如圖1-30所示,在平面ABCD內(nèi),設(shè)AB為x軸,AD為y軸,設(shè)Px,y,則M13,0,于是PM2=x-132+y2,PN圖1-30圖1-31【變式1】如圖1-31所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a.點Q在平面ABCD內(nèi),且△BCQ是正三角形,點P在側(cè)面BB1C1C3.幾何定義【例1.35】如圖1-32所示,在正方體中,P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一動點,若P到直線BC與到直線C1D1的距離相等A.直線B.圓C.雙曲線D.拋物線【解析】如圖1-33所示,在正方體中,C1D1垂直于面BCC1B1,面BCC1B1垂直于面ABCD,所以銜接PC1,且過P作PF垂直于BC,PC1就是P到直線C1D1的距離,PF就是P圖1-32圖1-33【變式1】如圖1-34所示,正三菱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與底面ABC所成的二面角等于α,動點P在側(cè)面SAB內(nèi),PQ垂直于底面ABC,垂足為Q,PQ=PS?sinαA.直線B.圓圖1-34C.雙曲線D.拋物線【變式2】(2023年年?浙江理,10)如圖1-35所示,AB是平面α的斜線段,A為斜足,若點P在平面α內(nèi)運動,使得△ABP的面積為定值,則動點P的軌跡是A.圓B.橢圓C.雙曲線D.兩條平行線圖1-35【變式3】AC1是棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的體對角線,P為底面正方形ABCD內(nèi)的一動點,若三角形APA.圓的一部分B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分D.橢圓的一部分【變式4】在正三棱錐P-ABC中,M為△ABC內(nèi)(含邊界)一動點,且到三個側(cè)面PAB,PBC,PAC的距離成等差數(shù)列,則點A.一條線段B.橢圓的一部分C.雙曲線的一部分D.拋物線的一部分第一章變式參考答案【例1.1變式1】按照橢圓定義可知AF1+AF2=2a【例1.1變式2】設(shè)橢圓另一個焦點為F,則△ABC的周長l=AB+BC【例1.1變式3】△ABF2的周長=AB+BF2+AF2=AF1+BF1+BF2+AF【例1.1變式4】MF2+【例1.2變式1】S△MF1F2=b2tanθ2=2,【例1.2變式2】S△PF1F2=b2tanθ2=1tan30【例1.2變式3】S△PF1F2=【例1.2變式4】S△PF1F2=b2tanθ【例1.2變式5】由PF1:PF2=3:2與雙曲線定義PF1-PF2=2a=2得P【例1.2變式6】MF1=b2a=36=62,所以MF2【例1.3變式1如圖1-36所示,在△AF1F2中,按照角平分線的性質(zhì)有AF1F1M=AF2F2M【例1.3變式2】如圖1-37所示,△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為I,所以PB是∠F1PF2的角平分線,在△PF1B中,由角平分線定理知圖1-36圖1-37【例1.3變式3】由角平分線定理知PF1PF2=MF1MF2=3+m3-m,即3+m【例1.4變式1按照題意點P在雙曲線上,如圖1-38所示,S△IPF2=S△IPF1-λS△IF1F2,即S【例1.5變式1】線段OM是△PF1F2的中位線,于是OM=12PF2,MF1=12PF1,在雙曲線中PF1-【例1.5變式2】如圖1-39所示,切點為T,在Rt△OTF1中,由勾股定理可得F1T=b,又因為線段OM是△PF1F2的中位線,圖1-38圖1-39【例1.5變式3]如圖1-40所示,銜接PF2,首先在Rt△OEF1中,OE=a,OF1=c,由勾股定理可得EF1=b,由S△OEF1=12OEEF1=12OF1yE,則yE=abc,所以E的橫坐標(biāo)為-【例1.5變式4】如圖1-41所示,銜接CF1,CF2,則AN=2CF2,BN【例1.6變式1】如圖1-42所示,銜接AF1,橢圓的外接圓方程為x2+y2=a2,其半徑R=a,設(shè)以AF2為直徑的圓的圓心為Q,因為OQ為△AF1F圖1-40圖1-41圖1-42【例1.7變式1令A(yù)B的中點為M,過A,B,M分離作準(zhǔn)線的垂線,垂足分離為A',B',M'【例1.7變式2】如圖1-43所示,令A(yù)B的中點為M,過A,B,圖1-43的垂線,垂足分離為A',B',M',則MM'=A【例1.7變式3】如圖1-44所示,設(shè)AB的中點為M,以AB為直徑的圓與雙曲線的右準(zhǔn)線交于E,F兩點,且EF的中點為M'.設(shè)圓的半徑為r,過AB作右準(zhǔn)線的垂線,垂足分離為A',B',則MM'=32r,所以AA'+BB'=2M【例1.8變式1如圖1-45所示,延伸F1M,PF2交于點G,因為M是∠F1PF2的角平分線上的一點且F1M⊥PM,所以PM垂直平分F1G,因而有PF1=PG,MF1=MG,又因為O是F1F2的中點,所以O(shè)M是△F1F2G的中位線,所以圖1-44圖1-45【例1.8變式2】如圖1-46所示,設(shè)圓I與PF2相切于點D,與PF1相切于點C,于是有AF2=F2D,AF1=F1C,PC=PD,設(shè)OA=x,則AF【例1.8變式3】如圖1-47所示,延伸F2B交F1P于C,BP為∠F1PF2的角平分線.△PCF2為等腰三角形,PC=PF2,CB=BF2,因為PF1-PF2=2a,而圖1-46圖1-47【例1.9變式1銜接AF1,因為點A在以F1F2為直徑的圓上,故有∠F1AF2=【例1.9變式2】如圖1-48所示,過雙曲線M:x圖1-48A1,0且斜率為1的直線為l:y=x+1,雙曲線的兩條漸近線分離為l1:y=bx和ly=x+1,y=bx,AB=BC,則B為AC的中點,故2y1=y2,即2bb+1=【例1.9變式3】由題意可知Aa,0,則過點A且斜率為-1的直線方程為x+y-a=0,設(shè)該直線與兩條漸近線的交點分離為B,C,聯(lián)立直線方程與漸近線方程可得Ba2a+b,aba+b,Ca【例1.9變式4】設(shè)橢圓和雙曲線的方程為x2a12+y2b12=1,x2a22-y2b22=1,按照S△PF1F2=b12tanθ2,S△PF1【例1.10變式1由雙曲線的第二定義,可得雙曲線上橫坐標(biāo)為3a2的點到右焦點的距離為e3a2-a2c,而該點到左準(zhǔn)線的距離為3a2+a2c【例1.10變式2】圖1-49如圖1-49所示,設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點為K,若PF1的中垂線過點F2,則F1F2=PF2≥F2【例1.11變式1】設(shè)上頂點為B,只要∠F1BF2≥π2,就存在點P使∠圖1-5022,1.故填【例1.11變式2】如圖1-50所示,設(shè)上頂點為M,只需∠AMB≥23π,就存在點Q使∠AQB=23π.ab=aa2【例1.12變式1】由正弦定理得PF2a(1)由橢圓的第一定義有P(2)聯(lián)立(1)和(2),解得PF1=2aca+c,由a-c<PF1<a+c,即a-c<2aca+c【例1.12變式2】在△PF1F2中,a(1)且可知PF1P(2)聯(lián)立(1)和(2),解得PF1=2acc-a,由題知PF1>a+c,即2acc-a>a+c,收拾【例1.12變式3】由題意可知PF1=4PF2,PF1-PF2【例1.12變式4】由題意可知PF1=2PF2,PF1-【例1.13一例1.14變式1設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F,若過點F且斜率為2的直線與雙曲線的右支有且惟獨一個交點,則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率ba,即【例1.13例1.14變式2】若過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F且斜率為2的直線與雙曲線的右支交于不同的兩點,則該直線的斜率大于漸近線的斜率ba,【例1.13例1.14變式3】若過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點F,且斜率為2的直線與雙曲線的左右兩支分離相交,則該直線的斜率小于漸近線的斜率【例1.13例1.14變式4設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的右焦點為F,若過點F且斜率為2e-2的直線與雙曲線的兩個交點分離位于第三象限和第四象限,則該直線的斜率大于零且小于ba,即【例1.15變式1】點P顯然是橢圓內(nèi)的點,一方面MP+MF2=MP+2a-MF1≤2【例1.15變式2】點P顯然是橢圓外的一點,一方面MP+MF2≥PF2=61,另一方面MP+MF2【例1.15變式3】設(shè)F2是橢圓的另一個焦點,則按照橢圓的對稱性知P1F1=P7F2,【例1.16變式1】注重到點P在雙曲線的兩支之間,且雙曲線右焦點為F'4,0,于是PA+PF=PA+PF'+2a≥AF【例1.16變式2】由題意可知雙曲線的兩個焦點分離是F1-5,0,F25,0,而這兩點正巧是兩圓的圓心,當(dāng)且僅當(dāng)點P,M,F【例1.16變式3】因為355<2,所以點M在雙曲線左右兩支之間,則有MP-FP≤MF,當(dāng)且僅當(dāng)M,F,P三點共線,且P在MF的延伸線上時取得最大值MF=5-3552+4552=2.下面求點P的坐標(biāo),聯(lián)立方程x24-y2=1故當(dāng)點P的坐標(biāo)為655,-255【例1.17例1.18變式1點A2,1在橢圓內(nèi)部,e=35,3PA+5PF【例1.17例1.18變式2】點P6,6在雙曲線右支內(nèi)部,MP+12MF2≥6-a【例1.19變式1】如圖1-51所示,設(shè)點AxA,yA;BxB,yB,由題意知S△BCFS△ACF=BCAC=xB+12xA+12=2xB【例1.19變式2】如圖1-52所示,因為Q2,-1是拋物線內(nèi)的點,PF等于P到準(zhǔn)線的距離,所以最小距離就是Q2,-1到準(zhǔn)線的距離,所以P和圖1-51圖1-52【例1.20一例1.21變式1由題意知l'的方程為2x+y-2=0,聯(lián)立x2+y24=1,2x+y-2=0,得x2-x=0,所以A,B的橫坐標(biāo)xA,xB是方程的兩個根,不妨設(shè)xA=1,xB=0,則AB=1+22設(shè)直線l1:2x+y+t=0,則由(1)當(dāng)t=-1時,由x2+y24=1,2x+y-1=0,得(2)當(dāng)t=-3時,由x2+y24=1,2x+y-3=0,得【例1.22變式1】因為C上每一點到點F1,0的距離減去它到y(tǒng)軸的距離是1,則C上每一點到點F(1,0)的距離都等于它到直線x=-1的距離,由拋物線的定義可知C的軌跡是拋物線,且焦點為F1,0,即p2=【例1.22變式2】點P到直線x=-1的距離比它到點2,0的距離小1,則P到直線x=-2的距離等于它到點2,0的距離,【例1.22變式3】由題意可知動點P到定點F的距離與其到定直線l的距離之比為定值2,由雙曲線的第二定義知P的軌跡是雙曲線,且焦點為F2,0,右準(zhǔn)線為l:x=12,即c=2,a2c=【例1.23一例1.26變式1設(shè)Px,y,且動圓P與定圓B內(nèi)切于C.因為動圓P過定點A-3,0,所以CP=AP,由兩圓內(nèi)切得CP+PB=8,即AP+【例1.27變式1】設(shè)Cx,y,F1-2,0,F22,0,動圓半徑為R,CF1=R-1【例1.27變式2】圖1-53如圖1-53所示,設(shè)動圓與C1,C2的切點分離是知得MBC2,得到MC2-MC1=BC2-AC1=2<【例1.28變式1】設(shè)Px,y,動圓半徑為R,由題意知(1)當(dāng)x≥0時,PC=x+5,按照定義知P的軌跡是以5,0為焦點的拋物線,(2)當(dāng)x<0時,PC=-x+5,P的軌跡為x軸的負(fù)半軸,即y=0x<0【例1.29變式1設(shè)點M的坐標(biāo)為x,y,顯然有當(dāng)∠MBA=90°時,點M的坐標(biāo)為2,±3;當(dāng)∠MBA≠90°時,x≠2,由∠MBA=2∠MAB,有tan∠MBA=tan2∠MAB【例1.29變式2】雙曲線x2a2-y23a2=1的右焦點為F2a,0,過F2a,0作垂直于x軸的直線交雙曲線于2a,3a,取點P【例1.29變式3】如圖1-54所示,直接取A點為雙曲線的右焦點F',圖1-54FN-FMFA【例1.29變式4】設(shè)點M的坐標(biāo)為x,y,顯然有y≠0.由題意,得kMA?kMB=yx+1?yx-【例1.29變式5】設(shè)Mx,y,Bx0,-3,因為MB//OA,所以x0-x,-3-y//0,-1,得【例1.30變式1】設(shè)Mx,y,Px0,y0,則點D的坐標(biāo)為x,0,因為MD=45PD,所以MD=±45PD,即x0-x,-【例1.30變式2】設(shè)Mx,y,Ax1,y1,Bx2,y2,由OM=OA+OB得x=x1+x2,y=y1+y2,由題意知y=21-x2,則y'=-2x1-x2.設(shè)點【例1.30變式3】設(shè)點Px,y,則其關(guān)于x=2對稱的點4-x,y在曲線y2=【例