2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7章-計(jì)數(shù)原理-章末復(fù)習(xí)【課件】

章末復(fù)習(xí)

第7章計(jì)數(shù)原理一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理二、排列與組合的綜合應(yīng)用三、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用內(nèi)容索引知識(shí)網(wǎng)絡(luò)隨堂演練知識(shí)網(wǎng)絡(luò)一、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是本章內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，在進(jìn)行計(jì)數(shù)過(guò)程中，常因分類(lèi)不明導(dǎo)致增(漏)解，因此在解題中既要保證類(lèi)與類(lèi)的互斥性，又要關(guān)注總數(shù)的完備性.2.掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).例1

(1)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張，從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一顏色，且綠色卡片至多1張，則不同的取法種數(shù)為A.484 B.472

C.252 D.232√(2)車(chē)間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車(chē)工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車(chē)工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車(chē)工修理一臺(tái)機(jī)床，則有多少種選派方法？解

方法一

設(shè)A，B代表2位老師傅.所以共有75＋100＋10＝185(種)選派方法.所以共有35＋120＋30＝185(種)選派方法.跟蹤訓(xùn)練1

(1)從1,2,3,4,5,6這6個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中，若有1和3時(shí)，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個(gè)時(shí)，它應(yīng)排在其他數(shù)字的前面，這樣不同的三位數(shù)共有____個(gè).(用數(shù)字作答)60解析

1與3是特殊元素，以此為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類(lèi).(2)由甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、寫(xiě)作、英語(yǔ)三科競(jìng)賽，每科至少1人(且每人僅報(bào)一科)，若學(xué)生甲、乙不能同時(shí)參加同一競(jìng)賽，則不同的參賽方案共有____種.30所以不同的參賽方案共有36－6＝30(種).二、排列與組合的綜合應(yīng)用1.排列、組合是兩類(lèi)特殊的計(jì)數(shù)求解方式，在計(jì)數(shù)原理求解中起著舉足輕重的作用，解決排列與組合的綜合問(wèn)題要樹(shù)立先選后排，特殊元素(特殊位置)優(yōu)先的原則.2.明確排列和組合的運(yùn)算，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).例2

在高三(1)班元旦晚會(huì)上，有6個(gè)演唱節(jié)目，4個(gè)舞蹈節(jié)目.(1)當(dāng)4個(gè)舞蹈節(jié)目要排在一起時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有5040×24＝120960(種)安排順序.(2)當(dāng)要求每2個(gè)舞蹈節(jié)目之間至少安排1個(gè)演唱節(jié)目時(shí)，有多少種不同的節(jié)目安排順序？×□×□×□×□×□×□×根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，一共有720×840＝604800(種)安排順序.(3)若已定好節(jié)目單，后來(lái)情況有變，需加上詩(shī)朗誦和快板2個(gè)節(jié)目，但不能改變?cè)瓉?lái)節(jié)目的相對(duì)順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？跟蹤訓(xùn)練2

某局安排3位副局長(zhǎng)帶5名職員去3地調(diào)研，每地至少去1名副局長(zhǎng)和1名職員，則不同的安排方法種數(shù)為_(kāi)_____.900三、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用1.二項(xiàng)式定理有比較廣泛的應(yīng)用，可用于代數(shù)式的化簡(jiǎn)、變形、證明整除、近似計(jì)算、證明不等式等，其原理可以用于二項(xiàng)式相應(yīng)展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)求解.2.二項(xiàng)式原理所體現(xiàn)的是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).角度1二項(xiàng)展開(kāi)式的“賦值問(wèn)題”例3

(1)若(2x＋

)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值為A.－1B.0C.1D.2√兩式相乘，得所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(－4＋3)4＝1.(2)若(3x2－2x＋1)5＝a10x10＋a9x9＋a8x8＋…＋a1x＋a0(x∈C)，求：①(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2；解令x＝1，得a0＋a1＋…＋a10＝25；令x＝－1，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＝65.兩式相乘，得(a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10)2－(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)2＝25×65＝125.②－a2＋a4－a6＋a8－a10.解令x＝i，得－a10＋a9·i＋a8－a7·i－a6＋a5·i＋a4－a3·i－a2＋a1·i＋a0＝(－2－2i)5＝－25(1＋i)5＝－25[(1＋i)2]2(1＋i)＝128＋128i.整理得(－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0)＋(a9－a7＋a5－a3＋a1)·i＝128＋128i，故－a10＋a8－a6＋a4－a2＋a0＝128.因?yàn)閍0＝1，所以－a10＋a8－a6＋a4－a2＝127.跟蹤訓(xùn)練3

若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為_(kāi)___.5解析

令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.角度2二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題(1)求展開(kāi)式中的所有有理項(xiàng)；解得n＝10(負(fù)值舍去)，于是有理項(xiàng)為T(mén)1＝x5和T7＝13440.(2)求展開(kāi)式中系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)；又因?yàn)閞∈N，所以r＝7，解設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則當(dāng)r＝7時(shí)，T8＝－15360，又因?yàn)楫?dāng)r＝0時(shí)，T1＝x5，當(dāng)r＝10時(shí)，T11＝所以系數(shù)的絕對(duì)值最大的項(xiàng)為T(mén)8＝－15360

.解

二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n＝256，可得n＝8.解

設(shè)常數(shù)項(xiàng)為第r＋1項(xiàng)，故8－2r＝0，即r＝4，(3)若(x＋m)n展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)，求m的取值情況.解

易知m>0，設(shè)第r＋1項(xiàng)系數(shù)最大.由于只有第6項(xiàng)和第7項(xiàng)系數(shù)最大，所以m只能等于2.解

由題意得，2n＝1024，∴n＝10，∴展開(kāi)式的通項(xiàng)為(2)求(1－x)3＋(1－x)4＋…＋(1－x)n的展開(kāi)式中x2項(xiàng)的系數(shù).隨堂練習(xí)1.在x(1＋x)6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)為A.30

B.20

C.15

D.101234√√解析

令x＝－1，得(2＋1)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35，令x＝1，得(2－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝－121，a0＋a2＋a4＝122，123412343.身穿紅、黃兩種顏色衣服的各有兩人，身穿藍(lán)色衣服的有一人，現(xiàn)將這五人排成一行，要求穿相同顏色衣服的人不能相鄰，則不同的排法種數(shù)共有A.24種 B.28種

C.36種 D.48