2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之題型全歸納：圓的有關(guān)概念(解析版)

圓的有關(guān)概念

技巧1：巧用圓的基本性質(zhì)解圓的五種關(guān)系

技巧2:垂徑定理的四種應(yīng)用技巧

技巧3:圓中常見的計(jì)算題型

【題型】一、圓的周長(zhǎng)與面積問題

【題型】二、利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算

【題型】三、垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

【題型】六、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

【題型】七、直徑所對(duì)的圓周角是直角

【考綱要求】

1.理解圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，了解圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.

2.了解圓心角與圓周角的關(guān)系，掌握垂徑定理及推論.

【考點(diǎn)總結(jié)】一、圓的有關(guān)概念及性質(zhì)

(1)圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓，圓既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形.

(2)圓具有對(duì)稱性和旋轉(zhuǎn)不變性.

(3)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓.

(4)圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑.

(5)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧，大于半圓周的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓周的弧稱為劣弧.

(6)連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.

(7)弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等.

推論：在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中如果有一組量相等，則它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分

別相等.

【考點(diǎn)總結(jié)】二、垂徑定理

(1)定理：垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

(2)推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.

(3)推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

注意:軸對(duì)稱性是圓的基本性質(zhì)，垂徑定理及其推論就是根據(jù)圓的軸對(duì)稱性總結(jié)出來的，它們是證明線段相等、

角相等、垂直關(guān)系、弧相等和一條弦是直徑的重要依據(jù).遇弦作弦心距是圓中常用的輔助線.

【考點(diǎn)總結(jié)】三、與圓有關(guān)的角及其性質(zhì)

(1)圓心角:頂點(diǎn)在圓心，角的兩邊和圓相交的角叫做圓心角.

圓周角:頂點(diǎn)在圓上且角的兩邊和圓相交的角叫做圓周角.

(2)圓周角定理

定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.

推論：

①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.

②半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直徑,90。的圓周角所對(duì)的弦是圓的直徑.

③圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

【考點(diǎn)總結(jié)】四、圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)計(jì)算

(1)半徑為R的圓周長(zhǎng)：C=nd=2兀R.

(2)半徑為R的圓中,〃。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為/,則1="巴

180

【考點(diǎn)總結(jié)】五、圓、扇形面積計(jì)算

(1)半徑為火的圓面積5=成2

(2)半徑為R的圓中，圓心角為"。的扇形面積為5扇=,根或S扇=竹建一.

236

【考點(diǎn)總結(jié)】六、圓柱、圓錐的有關(guān)計(jì)算

(1)圓柱的側(cè)面展開圖是長(zhǎng)方形，圓柱側(cè)面積S=2〃〃，全面積S=27rRh+27vR2(R表示底面圓的半徑也表示圓柱

的高).

(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，圓錐側(cè)面積5=泅/,全面積S=7rRl+7rR-(R表示底面圓的半徑，/表示圓錐的母

線).

(3)圓柱的體積=底面積x高,即V=Sh=nR2h.圓錐的體積x底面積x高,即V=-M.

33

【考點(diǎn)總結(jié)】七、正多邊形與圓

(1)正多邊形:各邊相等，各角相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)圓與正多邊形的有關(guān)概念:一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做

正多邊形的半徑;正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做

正多邊形的邊心距.

(3)正多邊形的內(nèi)角和=("-2>180。；

正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=(*2)180；

n

正多邊形的周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)X邊數(shù)；

正多邊形的面積=4X周長(zhǎng)X邊心距.

2

【技巧歸納】

技巧1:巧用圓的基本性質(zhì)解圓的五種關(guān)系

類型一：弦、弧之間的關(guān)系

,@=2近，則下列結(jié)論正確的是(

(第1題)

A.AB>2CD

B.AB=2CD

C.AB<2CD

D,以上都不正確

2.如圖，在。O中，弦AD=BC,求證：?=①.

（第2題）

類型二：圓周角、圓心角之間的關(guān)系

3.如圖，AB,AC,BC都是。O的弦，且NCAB=NCBA,求證：ZCOB=ZCOA.

（第3題）

類型三：弧、圓周角之間的關(guān)系

4.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C,D在。。上，ZBAC=50°,求NADC的度數(shù).

（第4題）

類型四：弦、圓心角之間的關(guān)系

5.如圖，以等邊三角形ABC的邊BC為直徑作OO交AB于D,交AC于E,連接DE.試判斷BD,DE,

（第5題）

類型五：弦、弧、圓心角之間的關(guān)系

6.如圖，在。。中，ZAOB=90°,且C,口是@的三等分點(diǎn)，AB分別交OC,OD于點(diǎn)E,F.

求證：AE=BF=CD.

（第6題）

答案

1C

2.證明：因?yàn)锳D=BC,所以根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的劣弧相等，可得?=京，所以?+

京=豌+0即?=處

點(diǎn)撥：在同圓或等圓中，等弦對(duì)等弧、等弧對(duì)等弦（劣弧等于劣弧，優(yōu)弧等于優(yōu)弧）.

3.證明：在。0中，ZCAB,/COB分別是⑨所對(duì)的圓周角和圓心角,

ZCOB=2ZCAB.

同理，ZCOA=2ZCBA.

又ZCAB=ZCBA,

ZCOB=ZCOA.

4.解：如圖，連接BC,

??,AB是。。的直徑,

ZACB=90°.

在ABC中，ZABC=90°-ZBAC=90°-50°=40°.

X.ZADC,NABC是R所對(duì)的圓周角,,

NADC=ZABC=40°.

5.解：BD=DE=EC.理由如下：如圖，連接OD,OE.

A

?/OB=OD=OE=OC,ZB=ZC=60°,

AABOD與aCOE都是等邊三角?形.

/.ZBOD=.ZCOE=60°.

/.zDOE=180?！?BOD-ZCOE=60°.

/.ZBOD=ZDOE=ZCOE.

「.BD=DE=EC.

點(diǎn)撥：本題利用“在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等”去證明三條線段相等，因此，連接OD,OE,

構(gòu)造弦所對(duì)的圓心角是解此題的關(guān)鍵.

（第6題）

6.證明：如圖，連接AC,BD.

■「C,D是a的三等分點(diǎn)，

.?.0=6=薊

「.AC=CD=BD,

ZAOC=NCOD=zBOD.

又,./AOBrgO。，

/.zAOC=zCOD=zBOD=30°.

/OA=OB,ZAOB=90°,

ZOAB=/OBA.=45。.

ZAEC=ZAOC+ZOAB=75°.

\OA=O.C,/AOC=30。,

ZACE=^X(180°-30°)=75°=ZAEC.

/.AE=AC.同理可得BF=BD.

.'.AE=BF.=CD.

技巧2：垂徑定理的四種應(yīng)用技巧

類型一：巧用垂徑定理求點(diǎn)的坐標(biāo)

1如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（10,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)是（8,0）,點(diǎn)C,D在以O(shè)A為直徑的

半圓M上，且四邊形OCDB是平行四邊形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).

（第1題）

類型二：巧用垂徑定理解決最值問題（對(duì)稱思想）

2.如圖，AB,CD是半徑為5的OO的兩條弦，AB=8,CD=6,MN是直徑，AB^MN于點(diǎn)E,CDXMN

于點(diǎn)F,P為直線EF上的任意一點(diǎn)，求PA+PC的最小值.

（第2題）

類型三：巧用垂徑定理計(jì)算

3.如圖，CD為。。的直徑，CD_LAB,垂足為點(diǎn)F,AO1BC,垂足為E,BC=23.求:

(1)AB的長(zhǎng);

（2）00的半徑.

D（第3題）

類型四：巧用垂徑定理解決實(shí)際問題(建模思想)

4.某地有一座拱橋，它的橋拱是圓弧形，橋下的水面寬度為7.2%,拱頂高出水面2.4外現(xiàn)有一艘寬3加,

船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過這里，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？

答案

1解：如圖，連接CM,作MNLCD于N,CHLOA于H.

???四邊形OCDB為平行,四邊形，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,0),

.-.CD=OB=8,CN=MH,CH=MN.

又「MN_LCD,

.?.CN=DN=~CD=4.

2

易知OA=10,,-.MO=MC=5.

在放Z\MNC中，MN=^CM2-CN2=^52-42=3.

/.CH=3.XOH=OM-MH=5-4=1.

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,3).

2.解：如圖，易知點(diǎn)C關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D,連接AD,交MN于點(diǎn)P,連接PC,易知此時(shí)PA

+PC最小且PA+PC=AD.過點(diǎn)D作DHLAB于點(diǎn)H,連接OA,OC.易知AE=4,CF=3,由勾股定理易

得OE=3,OF=4,.-.DH=EF=7,又AH=AE+EH=4+3=7.AD=7仍.即PA+PC的最值為7也.

點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將分散的線段轉(zhuǎn)化為一條線段，然后運(yùn)用勾股定理求出.線段的長(zhǎng)度.

3.解：⑴連接AC,

「CD為的直徑，CD1AB,

.-.AF=BF.

.-.AC=BC.延長(zhǎng)AE交OO于G,

則AG為。。的直徑，

XAOIBC,

.-.BE=CE.

.-.AC=AB.

.-,AB=BC=2A/3.

(2)由(1)知AB=BC=AC,

.1△ABC為等邊三角形.

ZBAC=60°.

?■"AE1BC,

ZEAB=ZCAE=-ZCAB=30°.

2

即NOAF=30。，

在放/XOAF中，AF=3,

易得OA=2,即。。的半徑為2.

4.解：如圖，AB為水面位置，若MN為貨船頂部位置，則MN//AB.設(shè)圓弧形橋拱AB所在圓的圓心為O,

連接OA,ON,作OCLAB于點(diǎn)D,交&于點(diǎn)C,交MN于點(diǎn)H,貝I」OC^MN,由垂徑定理可知，D為

AB的中點(diǎn)，H為MN的中點(diǎn).所以AD=3.6"NH=1.5w.

o

(第4題)

設(shè)OA=i■/，貝OD=OC-DC=(r-2.4>?.

在7?/AAOD中，OA2=AD2+OD2,

即於=3.62+(r-2.4)2,解得「=3.9.

在7?/AOHN中，OH=A/0N2-NH2=^3.92-1.52=3.6(加).

所以DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(%).

因?yàn)?.1%>2m,所以此貨船能順利通過這座拱橋.

技巧3:圓中常見的計(jì)算題型

類型一：有關(guān)角度的計(jì)算

1.如圖，在。。中，AB,CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，連接AD,BC,BD.

(1)求證：△ABD04CDB；

(2)若NDBE=37。，求NADC的度數(shù).

類型二：半徑、弦長(zhǎng)的計(jì)算

C

D

(第2題)

2.如圖，在。0中，CD是直徑，弦ABLCD,垂足為E,連接BC,若AB=2?m,ZBCD=22°30,,

則。0的半徑為.

3.如圖，已知。0中直徑AB與弦AC的夾角為30。，過點(diǎn)C作。。的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,OD=

30c加.求直徑AB的長(zhǎng).

(第3題)

類型三：面積的計(jì)算

技巧1利用“作差法”求面積

4.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。分別與BC,AC交于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作。。的切

線DF,交AC于點(diǎn)F.

⑴求證：DFXAC；

⑵若。。的半徑為4,ZCDF=22.5°,求陰影部分的面積.

技巧2利用“等積法”求面積

5.如圖，在4BCE中，點(diǎn)A是邊BE上一點(diǎn)，以AB為直徑的。。與CE相切于點(diǎn)D,AD//OC,點(diǎn)F為

0C與OO的交點(diǎn)，連接AF.

(1)求證：CB是。。的切線；

(2)若NECB=60。，AB=6,求圖中陰影部分的面積.

技巧3利用“平移法”求面積

6.如圖，兩個(gè)半圓中，。為大半圓的圓心，長(zhǎng)為18的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰

影部分的面積等于多少？

COD

(第6題)

技巧4利用“割補(bǔ)法”求面積

7.如圖，。0的直徑AB=10,弦AC=6,NACB的平分線交。。于D,過點(diǎn)D作DE//AB交CA的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)E,連接AD,BD.

(1)由AB,BD,?圍成的曲邊三角形的面積是；

(2)求證：DE是。。的切線;

(3)求線段DE的長(zhǎng).

ED(第7題)

類型四：實(shí)際應(yīng)用的計(jì)算

應(yīng)用1利用垂徑定理解決臺(tái)風(fēng)問題

8.如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P,并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30的”力，受影響區(qū)域的半徑

為200km,B市位于點(diǎn)P北偏東75。的方向上，距離P點(diǎn)320加處.

（1）試說明臺(tái)風(fēng)是否會(huì)影響B(tài)市；

（2）若B市受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間.

（第8題）

應(yīng)用2利用圓周角知識(shí)解決足球射門問題（轉(zhuǎn)化思想）

9.如圖，在“世界杯”足球比賽中，隊(duì)員甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻，當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴隊(duì)員乙已

經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)，現(xiàn)有兩種射門方式：一是由隊(duì)員甲直接射門；二是隊(duì)員甲將球迅速傳給隊(duì)員乙，由隊(duì)員

乙射門.從射門角度考慮，你認(rèn)為選擇哪種射門方式較好？為什么？

（第9題）

應(yīng)用3利用直線與圓的位置關(guān)系解決范圍問題

10.如圖，已知A,B兩地相距1和;.要在A,B兩地之間修建一條筆直的水渠（即圖中的線段AB）,經(jīng)

測(cè)量在A地的北偏東60。方向，B地的北偏西45。方向的C處有一個(gè)以C為圓心，350m為半徑的圓形公園,

則修建的這條水渠會(huì)不會(huì)穿過公園？為什么？

北

-東

C

45（第10題）

答案

1.（1）證明：:AB,CD是。O的直徑,

...AB=CD,ZADB=ZCBD=90°.

在7?/AABD和放ZXCDB中，

AB=CD,

BD=DB.

/.ABD^7?rACDB(ffi),

即AABD衛(wèi)Z^CDB.

(2)解：:BE是。。的切線，

/.AB1BE.

/.ZABE=90°.

,「/DBE=37。.

/./ABD=53。.

/OD=OA,

/.ZODA=ZBAD=90°-53°=37°.

即/ADC的度數(shù)為37°.

2.2cm點(diǎn)撥：如圖，^^OB,/ZBCD=22°30；AZBOD=2ZBCD=45°./AB±CD,/.BE=AE=1AB

2

=；＞2也=/(。加)，且ABOE為等腰直角三角形，/.OB=^2BE=2cm.

3.解：如圖，連接OC「//A=30。，

/.ZCOD=60°.

「DC切OO于點(diǎn)C,/.ZOCD=90°.

/.ZD=30°.

/OD=30cm,OC=-OD=15cm.

AB=2OC=30cm.

4.(1)證明：如圖，連接0D,

\OB=OD,

/.ZABC=ZODB.

,「AB=AC,

/.ZABC=ZACB.

/.ZODB=ZACB.

.,.OD//AC.

.DF是。0的切線，/.DF1OD.

/.DF1AC.

(2)解：如圖,連接OE,

/DFIAC,ZCDF=22.5°,

ZABC=ZACB=67.5°.

/.ZBAC=45°.

\OA=OE,/.ZOEA=ZBAC=45°.

/.ZAOE=90°.

,/OO的半徑為4,

「?S扇形AOE=4TT,SAAOE=8.

「?S陰影=S扇形AOE-SAAOE=4^-8.

5.(1)證明：如圖，連接OD,與AF相交于點(diǎn)G,

?「CE與。0相切于點(diǎn)D,

/.OD1CE.

/.ZCDO=90°.

?.AD//OC,

/.ZADO=ZDOC,ZDAO=ZBOC.

\OA=OD,

/./ADO=/DAO.

/.ZDOC=ZBOC.

在△CDO和△CBO中，

co=co,

ZDOC=ZBOC,

OD=OB,

.-.△CDO^ACBO.

ZCBO=ZCDO=90°.

「?CB是。0的切線.

(2)解：由(1)可知

ZDOC=ZBOC,

?/ZECB=60°,

ZDCO=ZBCO=-ZECB=30°.

2

/.ZDOC=ZBOC=60°.

/.ZDOA=60°.

\OA=OD,

-0?AOAD是等邊三角形.

,-.AD=OD=OF.

在AFOG和aADG中，

ZGOF=ZGDA,

ZFGO=ZAGD,

OF=DA,

/.△FOG^AADG.

「?SAADG=SAFOG.

「AB=6,

.??。0的半徑r=3.

'S陰影=S扇形ODF=60^3=

6.解：將小半圓向右平移，使兩個(gè)泮圓的圓心重合，如圖所示，則陰影部分的面積等于半圓環(huán)的面積.

作OE，AB于E(易知E為切點(diǎn))，連接0A,

AE=_AB=9.

2

陰影部分的面積=LrOA?--^rOE2=-7T(OA2-OE2)=-^AE2=-^-92=以萬.

222222

點(diǎn)撥：觀察圖形可知陰影部分的面積等于大半圓的面積減去小半圓的面積，因此當(dāng)小半圓在大半圓范

圍內(nèi)左右移動(dòng)時(shí)，陰影部分面積不改變，所以我們可以通過平移，使兩個(gè)半圓的圓心重合，這樣就能運(yùn)用

(2)證明：如圖，連接OD,「AB是直徑,

ZACB=90°.

/CD平分/ACB,

/.ZABD=ZACD=-ZACB=45°.

2

ZAOD=90°,

即OD_LAB,

/DE//AB,

.-.ODXDE.

；DE是。0的切線.

(3)解：/AB=10,AC=6,

/.BC=JAB2-AC2=8,AO=BO=DO=5.

如圖，過點(diǎn)A作AF^DE于點(diǎn)F,則四邊形AODF是正方形,

.?.AF=OD=FD=5,ZFAB=90°.

/.zEAF=90°-zCAB=ZABC.

/.tanZEAF=tanZABC.

,EFAC0nEF_6

AFBC58

?

..EeF=——15.

4

1535

.,.DE=DF+EF=5+U==

44

8.解：⑴如圖，過點(diǎn)B作BHXPQ于點(diǎn)H,在?△BHP中,由條件易知:BP=320km,ZBPQ=30。...BH

=1BP=160km<200km.：.臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市.

(2)如圖,以B為圓心，200而為半徑作圓，交PQ于Pi,P2兩點(diǎn)，連接BPi,由垂徑定理知PIP2=2PIH.

BH=160km,

/.PiH=AJ2002-1602=120(M-

：PIP2=2PIH=240碗.

???臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間為町=8(/z).

點(diǎn)撥：本題在圖形中畫出圓，可以非常直觀地構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，然后利用垂徑定理解決生活中的實(shí)際問

題.

9.解：選擇射門方式二較好，理由如下.：設(shè)AQ與圓的另一交點(diǎn)為C,連接PC,如圖所示.

??,/PCQ是APAC的外角，

ZPCQ>ZA.X.-ZPCQ=ZB,

NB>NA..?.在B點(diǎn)射門比在A點(diǎn)射門好..?.選擇射門方式二較好.

點(diǎn)撥：本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將射門角度大小的問題，建模轉(zhuǎn)化到圓中，根據(jù)圓周角的相關(guān)結(jié)論來解決

實(shí)際問題.

10.解：修建的這條水渠不會(huì)穿過公園.

理由：如圖，過點(diǎn)c作CDLAB,垂足為D.

由題易得NCBA=45。，

ZBCD=45°.

.-.CD=BD.

設(shè)CD=xkm”,貝！JBD=xkm.

北

十

(第10?)

由題易得/CAB=30。，

，AC=2CD=2x癡，

/.AD=(2x)12-x2=\[ix(bn),

「?3x+X=1.解得X=^~

2

-1

即CD=^—-0.366(M=366m>350m,

也就是說，以點(diǎn)C為圓心，350冽為半徑的圓與AB相離.

」?修建的這條水渠不會(huì)穿過公園.

【題型講解】

【題型】一、圓的周長(zhǎng)與面積問題

例1、如圖，0O的半徑為1,分別以。。的直徑48上的兩個(gè)四等分點(diǎn)。2為圓心，；為半徑作圓,

則圖中陰影部分的面積為（）

11

A.nB.-JTC.一JTD.2TT

24

【答案】B

【提示】把陰影部分進(jìn)行對(duì)稱平移，再根據(jù)半圓的面積公式計(jì)算即可.

0111

【詳解】"Xlx—二〃xlx—

222

【提示】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a,依次表示出每個(gè)圖形灰色和白色區(qū)域的面積，比較即可得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2a,貝IJ：

A、灰色區(qū)域面積=正方形面積-圓的面積=(2a>-=(4—,白色區(qū)域面積=圓面積:"片，兩者

相差很大；

B,灰色區(qū)域面積=正方形面積-圓的面積=(202-=(4—,白色區(qū)域面積=圓面積="/,兩者

相差很大；

C、色區(qū)域面積=正方形面積-圓的面積=(2口)2-"/=(4一")/,白色區(qū)域面積=圓面積="/,兩者相

差很大；

D、灰色區(qū)域面積=半圓的面積-正方形面積=g〃(2a)2-Rap=(2"-4)],白色區(qū)域面積=正方形面積

-灰色區(qū)域面積=Ra?-(2"-4)a2=(8-2n)a2,兩者比較接近.

故選D.

【題型】二、利用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算

例3、如圖，。。的直徑CD=20,42是。。的弦，ABLCD,垂足為M,OM-.OD=3：5,則的長(zhǎng)為

)

A.8B.12C.16D.25

【答案】C

【提示】連接0a先根據(jù)。。的直徑CD=20,OM-.OZ)=3：5求出。。及0M的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可

求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】連接04

,.,。。的直徑。。=20,0M：<9/)=3：5,

OD=10,OM=6,

:ABA_CD,

AM=-OM?=7102-62=8■

:.AB=2AM=16.

故選：C.

例4、如圖，點(diǎn)4民。,。在oo上，OALBC,垂足為E.若乙WC=30。，AE=1,則BC=()

A.2B.4C.GD.2G

【答案】D

【提示】連接OC,根據(jù)圓周角定理求得乙4。。=60°,在RtaCOE中可得OE=LOC=L04,可得

22

OC的長(zhǎng)度，故CE長(zhǎng)度可求得，即可求解.

【詳解】解：連接OC,

B

O

D

AADC=30°,

AAOC=60°,

OE1

在Rtz\CO￡中，——=cos60°=-,

OC2

OE=-OC=~OA,

22

AE=]-OC=-OA

22

AE=1,

OA=OC=2,

二CE=6

.OALBC,垂足為瓦

:BC=26,

故選：D.

【題型】三、垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用

例5、往直徑為52c加的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬48=48c加，則水的最

大深度為（）

A.8cmB.10cmC.16cmD.20cm

【答案】C

【提示】過點(diǎn)。作于。，交。。于瓦連接CM,根據(jù)垂徑定理即可求得的長(zhǎng)，又由。。的直

徑為52cm,求得。/的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理，即可求得。。的長(zhǎng)，進(jìn)而求得油的最大深度QE的長(zhǎng).

【詳解】解：過點(diǎn)。作于D,交。。于E,連接04,

由垂徑定理得：AD=-AB=-x48=24cm,

22

。0的直徑為52cm,

OA-OE=26cm,

在RtMOD中，由勾股定理得：OD=-AD2=J26）-24?=10cm，

DE=OE—OD=26—10=16cm,

二油的最大深度為16。加，

故選：C.

例6、我國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大

小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小.用

鋸去鋸這木材，鋸口深￡￡?=1寸，鋸道長(zhǎng)28=1尺（1尺=10寸）.問這根圓形木材的直徑是寸.

【答案】26

【提示】根據(jù)題意可得148,由垂徑定理可得2。=80=446=j尺=5寸，設(shè)半徑。4=。￡=乙

22

則。。=r-1,在中，根據(jù)勾股定理可得：（「-1）2+52=/,解方程可得出木材半徑，即可得

出木材直徑.

【詳解】解：由題可知。￡145,

?；OE為。O半徑，

AD=5。=工28=工尺=5寸，

設(shè)半徑。4=?！?乙

'：ED=1

OD=r-1

在中，根據(jù)勾股定理可得:

(r-l)2+52=r2

解得：r=13,

???木材直徑為26寸；

故答案為：26.

【題型】四、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求解

例7、如圖，AD是oO的直徑，點(diǎn)。在oO上，AB=AD,ZC交AD于點(diǎn)G.若NCOQ=126°.則

ZAGB的度數(shù)為()

A.99°B.108°C,110°D,117°

【答案】B

【提示】先根據(jù)圓周角定理得到ZBAD=90°,再根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等，得到AB=AD,/ABD=45°,

最后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，得至以CAD=63°,ZBAG=27°,即可求解.

【詳解】

解：?.?RD是。。的直徑

ZBAD=90°

-AB^AD

.AB=AD

ZABD=45°

???ZCOD=126°

CAD」NCO￡>=63。

2

.-.ZBAG=90°-63°=27°

ZAGB=180°-27°-45°=108°

故選：B.

例8、如圖，AB是。。的直徑，BC=CD=DE，ZCOD=34°,則/AEO的度數(shù)是()

C.68°D.78°

【答案】A

【解析】

如圖，在。O中,

-BC=CD=DE,

ZBOC=ZCOE=ZDOE=34°,

■,AB是。O的直徑，

ZBOC+ZCOE+ZDOE+ZAOE=180°,

ZAOE=180°-34o-34o-34o=78°,

?.OA=OE,

180°-NNOE180°-78°

ZAEO=ZA=

22

故選A.

【題型】五、利用弧、弦、圓心角的關(guān)系求證

例9、如圖，N5是半圓。的直徑，。,。是半圓。上不同于43的兩點(diǎn)/。=5。,/。與5。相交于點(diǎn)

F,BE是半圓。所任圓的切線，與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,

(1)求證：&CBg2AB；

（2）若BE=BF,求AC平分NDAB.

【答案】⑴證明見解析；（2）證明見解析.

【提示】

（1）利用AD=BC,證明ZABD=ABAC,利用AB為直徑，證明ZADB=/BCA=90°,結(jié)合已知條件可

得結(jié)論；

（2）利用等腰三角形的性質(zhì)證明：ZEBC=ZFBC,再證明ZCBF=ZDAF,利用切線的性質(zhì)與直徑所對(duì)

的圓周角是直角證明：ZEBC=ZCAB,從而可得答案.

【詳解】

（1）證明：-：AD=BC,

AD-BC,

:"ABD=ABAC,

QAB為直徑，

ZADB=NBCA=90°,

'：AB=BA,

:.ACBA/ADAB.

（2）證明：?"￡=5尸，44cs=90。，

ZFBC=ZEBC,

'：ZADC=ZACB=9QO/DFA=ZCFB,

ZDAF=4FBC=NEBC,

為半圓。的切線，

NABE=90°,AABC+ZEBC=90°,

'：ZACB=90°,

ZCAB+AABC=90°,

Z.CAB=4EBC,

/LDAF=/LCAB,

平分/.DAB.

例10、如圖，已知3C是。。的直徑，半徑curse,點(diǎn)。在劣弧NC上(不與點(diǎn)/，點(diǎn)C重合)，BD與

0/交于點(diǎn)E.設(shè)//ED=a,//。。=優(yōu)則()

B

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-p=90°D.2a-p=90°

【答案】D

【提示】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用a表示/C2。，進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系，用a表示/C。。

最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果.

【詳解】：OALBC,

：.AAOB=AAOC=90°,

:.NDBC=90。-ABEO

=90°-AAED

=90°-a,

，COD=2/DBC

=180°-2a,

,.?/4OQ+/CO0=9O。，

.邛+180。-2a=90。，

/.2a-p=90°,

故選：D.

例11、如圖，點(diǎn)S在圓上，若弦的長(zhǎng)度等于圓半徑的血倍，則乙4ss的度數(shù)是（）.

【答案】C

【提示】設(shè)圓心為。，連接040B,如圖，先證明△048為等腰直角三角形得到乙4。=90°,然后根

據(jù)圓周角定理確定乙4sB的度數(shù).

【詳解】解：設(shè)圓心為。，連接04OB,如圖，

弦AB的長(zhǎng)度等于圓半徑的V2倍，

即45=技必，

OA2+OB-=AB-,

.?.△048為等腰直角三角形，ZAOB=90°,

ZASB^-ZAOB^45°.

2

【題型】六、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等

例12、如圖，四邊形NBCD的外接圓為。0,BC=CD,ADAC=35°,AACD=45°,則乙4D5的度

數(shù)為（）

力

c

A.55°B.60°C,65°D,70°

【答案】C

【提示】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等及等邊對(duì)等角，可得NCDB=35。，根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得

Z^DC=100°,利用角的和差運(yùn)算即可求解.

【詳解】

解:ZDAC=35°,

4DBC=35。,

.BC=CD,

ZCDB=35°,

???ZACD=45°,

：.Z^DC=100°,

AADB=/ADC-NCDB=65°,

故選：C.

例13、如圖，點(diǎn)4B、C、。在。。上，乙4。。=120。，點(diǎn)2是金的中點(diǎn)，則/￡＞的度數(shù)是（）

A.30°B.40°C,50°D,60°

【答案】A

【提示】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到NAOB=；NAOC,再根據(jù)圓周角定理解答.

【詳解】連接OB,

?點(diǎn)B是，b的中點(diǎn),

1

/.ZAOB=—ZAOC=60°,

由圓周角定理得，ND=；NAOB=30。,

故選：A.

【題型】七、直徑所對(duì)的圓周角是直角

例14、如圖，/是圓。上一點(diǎn)，是直徑，AC=2,48=4,點(diǎn)。在圓。上且平分弧則。。的

長(zhǎng)為（）

A.242B.V5C.2下D.V10

【答案】D

【提示】由8C是圓0的直徑，可得/A=/D=90。，又。在圓。上且平分弧BC,則/CBD=/BCD=45。,

即ABCD是等腰直角三角形.在RtAABC中，根據(jù)勾股定理求出BC長(zhǎng)，從而可求DC的長(zhǎng).

【詳解】

解：?二5C是圓0的直徑，

ZA=ZD=90°.

又。在圓。上且平分弧BC,

NCBD=/BCD=45。，即ABCD是等腰直角三角形.

在RtAABC中，AC=2,45=4,根據(jù)勾股定理，得BC74c2+4B?=2下.

ABCD是等腰直角三角形,

故選:D.

例15、如圖，是半圓的直徑，C、。是半圓上的兩點(diǎn)，AADC=106°,則NC48等于（）

A0S

A.10°B.14°C,16°D.26°

【答案】c

【提示】連接AD,如圖，根據(jù)圓周角定理得到=90°,則可計(jì)算出N3DC=16。，然后根據(jù)圓周角定

理得到NC/8的度數(shù).

【詳解】解：連接3。，如圖

：AB是半圓的直徑，

；"ADB=9。。,

：.ABDC=AADC-AADB=二106°-90°=16°,

：.ACAB=/BDC=16°.

故選：C.

二

A0i3

圓的有關(guān)概念（達(dá)標(biāo)訓(xùn)練）

一、單選題

1.如圖，點(diǎn)A,B,C在O。上，AC=2AB,ZABC=38。，連接。/交8c于點(diǎn)W,則//MC的度數(shù)是

c

B

A.108°B,109°C,110°D,112°

【答案】B

【分析】連接08,。。由已知條件求得N495,由00=05,得NOCB=NOBC,繼而求得

ZAMC=ZOMB=109°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，即可求得

乙48。=38。，

/.ZAOC=2ZABC=76°.

-AC=2AB,

/.ZAOB=-ZAOC=38°.

2

1/OC=OB,

ZOCB=ZOBC=1x(18(P-7ff-38^)=33°,

AOMB=180°-AAOB-4OBC=180°-38°-33°=109°,

ZAMC=ZOMB=109°.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角定理，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，熟悉以上知識(shí)是解題的

關(guān)鍵.

2.如圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A,8、。是小正方形頂點(diǎn)，。。的半徑為1,尸是

。。上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，貝I]sin//%等于()

【答案】B

【分析】由圖，//依與N/O3為同弧所對(duì)的角，根據(jù)同圓內(nèi)，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的關(guān)系即可求

得答案.

【詳解】解：.:/、B、。是小正方形頂點(diǎn)，

：.^AOB=9Q°,

:ZPB=g/OB=45。（同圓內(nèi)，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半），

sinZ.APB=sin45°=,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了同圓內(nèi)，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的一半及特殊角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵熟悉特

殊角的正弦值及同圓內(nèi)，同弧所對(duì)的圓周角與圓心角的一半的性質(zhì).

3.如圖，CD是圓0的直徑，AB是圓0的弦，且AB=10,若CD_LAB于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為（）

【分析】由垂徑定理可得，直徑CD垂直平分AB,即AE=5AB.

【詳解】解：:AB是圓0的弦，CD1AB

.'.AE=vAB=5.

故答案為B.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，垂徑定理是垂直與弦的直徑平分這條弦.

4.如圖，。。的直徑43垂直于弦CD,垂足為點(diǎn)及連接/C,/CAB=22.5。,AB=12,則CD的長(zhǎng)為（

【答案】C

【分析】連接。。，求出NCO3=45。，根據(jù)垂徑定理求出CD=2CE,根據(jù)勾股定理求出CE即可.

:OA=OC,ACAB=22.5°,

ACAB=^ACO=22.5°,

：.ZCOB=ACAB+AACO=45°,

：ABLCD,48為直徑，

CD=1CE,ACE0=90°,

：.NOCE=/COB=45。,

:.OE=CE,

-：CE2+OE2=OC2,

:.2CE2=62,

解得：CE=3亞.

即CD=2CE=66,

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的外角性質(zhì)，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出CE=OE

是解此題的關(guān)鍵.

5.如圖，8是。。的直徑，弦于點(diǎn)瓦則下列結(jié)論不一定成立的是（）

A.AE=BEB.OE=DEC.AC=BCD.AD=BD

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理即可判斷.

【詳解】解：是O。的直徑，弦/3LCD于點(diǎn)E,

AE=EB,AC=BC,AD=BD

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，是0O的弦，交。。于點(diǎn)C,連接OB,BC,若N/BC=20。，則的度數(shù)

是（）

A.40°B.50°C.60°D,80°

【答案】D

【分析】根據(jù)圓周角定理得出N/OC=40。，進(jìn)而利用垂徑定理即可得出=80。.

【詳解】解：:N/3C=20。，

AAOC=40°,

是O。的弦，OC_L/8,

ZAOC=ZBOC=40°,

/402=80。.

故選D

【點(diǎn)睛】此題考查垂徑定理、圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)圓周角定理得出40。.

7.如圖，為。。的直徑，NE為O。的弦，C為優(yōu)弧/8E的中點(diǎn)，CDLAB,垂足為。，AE=8,DB=2,

則。。的半徑為（）

【答案】B

【分析】如圖，連接CO,延長(zhǎng)CO交/E于點(diǎn)T.設(shè)。。的半徑為二證明“。7泌C8（44S）,推出

CD=AT=4,在放ACOO中，根據(jù)。構(gòu)建方程求解.

【詳解】解：如圖，連接CO,延長(zhǎng)CO交NE于點(diǎn)T,設(shè)O。的半徑為廠，

：AC=CE,

CTVAE,

:.AT=TE=-AE=4

2

在A/OT和中,

'NATO=NCDO=90P

-AAOT=ZCOD

AO=CO

:"OT=^COD(AAS),

：.CD=AT=A,

在比ACOD中，0c2=必+。。2

r2=42+(r-2)2,

r=5,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題主要考查圓心角，弧，弦之間的關(guān)系，垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知

識(shí)，解答該題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，該題屬于中考?？碱}型.

8.已知點(diǎn)C在線段上（點(diǎn)C與點(diǎn)42不重合），過點(diǎn)43的圓記為圓Q,過點(diǎn)用C的圓記為圓。2,過

點(diǎn)C,/的圓記為圓久，則下列說法中正確的是（）

A.圓。可以經(jīng)過點(diǎn)CB.點(diǎn)C可以在圓。的內(nèi)部

C.點(diǎn)A可以在圓的內(nèi)部D.點(diǎn)8可以在圓。3內(nèi)部

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，畫出符合題意的示意圖，然后求解.

【詳解】解：?點(diǎn)C在線段N8上（點(diǎn)C與點(diǎn)48不重合），過點(diǎn)48的圓記為圓。一.?.點(diǎn)C可以在圓。?的

內(nèi)部，故A錯(cuò)誤，B正確；1?過點(diǎn)SC的圓記為圓.，.?.點(diǎn)A可以在圓儀的外部，故C錯(cuò)誤；1?過點(diǎn)C,/

的圓記為圓。3,???點(diǎn)B可以在圓。3的外部，故D錯(cuò)誤.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，畫出適當(dāng)?shù)妮o助圖形，采用數(shù)形結(jié)合的方法，更有助于解題.

9.如圖，48為。。的直徑，點(diǎn)C為。。上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作。。的切線，交直徑48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。；若

44=23。，則ND的度數(shù)是（）

A.23°B,44°C,46°D,57°

【答案】B

【分析】連接OC,由切線的性質(zhì)可得NOCQ=90。由圓周角定理可求得NCOD的度數(shù)，再由直角三角形兩銳

角互余即可求得答案.

【詳解】解：連接。。，如圖，

;。。為。。的切線,

/.OC1CZ),

:.NOCD=90。,

\'ZCOD=2ZA=46°,

/.ZD=90°-46°=44°

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，已知四邊形/5CQ內(nèi)接于。QZ5DC=130°,則的度數(shù)為（)

A

C

D

A.130°B.120°C.110°D.100°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出NN=50。，再根據(jù)圓周角定理即可求出的度數(shù).

【詳解】,四邊形/BCD內(nèi)接于。。，

../2+/。=180°,而/。=130°,

//=180°=50°,

ZBOC=1ZA=\QQ°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角定理和圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì).

11.在平面內(nèi)與點(diǎn)尸的距離為1cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

A.無數(shù)個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)在平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形為圓進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???在平面內(nèi)與點(diǎn)尸的距離為1cm的點(diǎn)在以尸為圓心，以1cm長(zhǎng)為半徑的圓上，

二在平面內(nèi)與點(diǎn)P的距離為1cm的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為無數(shù)個(gè)，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的定義，熟知圓的定義是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

12.如圖，4ABe是。。的內(nèi)接正三角形，已知。。的半徑為6,則圖中陰影部分的面積是.

【分析】根據(jù)等邊三角