重慶市梁平區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)押題卷（含解析）

重慶市梁平區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)押題卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）

1.已知一組數(shù)據(jù)1、2、3、X、5,它們的平均數(shù)是3,則這一組數(shù)據(jù)的方差為（）

A.1B.2C.3D.4

2.如圖所示的幾何體的左視圖是（）

3.如果一組數(shù)據(jù)1、2、X、5、6的眾數(shù)是6,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）

A.1B.2D.6

4.如圖是我國南海地區(qū)圖，圖中的點(diǎn)分別代表三亞市，永興島，黃巖島，渚碧礁，彈丸礁和曾母暗沙，該地區(qū)圖上兩

個(gè)點(diǎn)之間距離最短的是（）

二一

三I法

>??第m

n

A.三亞--永興島B.永興島--黃巖島

C.黃巖島--彈丸礁D.渚碧礁--曾母暗山

5.如圖，兩個(gè)一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（2,4）,則關(guān)于x,y的方程組力'；的解為（）

%=k2x+b2

y訴十瓦

y

\/y=&x+%

4

<4O

x=2,x=4,x=-4,x=3,

y=4y=2y=oy=0

6.在學(xué)校演講比賽中，10名選手的成績折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列說法正確的是（

■?0if9095

A.最高分90B.眾數(shù)是5C.中位數(shù)是90D.平均分為87.5

7.如圖，直線AB與口MNPQ的四邊所在直線分別交于A、B、C、D,則圖中的相似三角形有（）

AMQ

A.4對B.5對C.6對D.7對

8.一次函數(shù)—--滿足;：…，且隨的增大而減小，則此函數(shù)的圖象不經(jīng)過（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

9.如圖，把一個(gè)直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若Nl=50。，則N2=（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

10.1.桌面上放置的幾何體中，主視圖與左視圖可能不同的是（）

A.圓柱B.正方體C.球D.直立圓錐

二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）

11.如圖，已知AABC和△AOE均為等邊三角形，點(diǎn)。4c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在4射線3。上，連接OE,EC,若45=4,

則OE的最小值為.

A

12.實(shí)數(shù)標(biāo)，-3,―,痣，0中的無理數(shù)是.

13.自2008年9月南水北調(diào)中線京石段應(yīng)急供水工程通水以來，截至2018年5月8日5時(shí)52分，北京市累計(jì)接收河

北四庫來水和丹江口水庫來水達(dá)50億立方米.已知丹江口水庫來水量比河北四庫來水量的2倍多1.82億立方米，求

河北四庫來水量.設(shè)河北四庫來水量為x億立方米，依題意，可列一元一次方程為.

14.在四張背面完全相同的卡片上分別印有等腰三角形、平行四邊形、菱形和圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，

混合后從中隨機(jī)抽取兩張，則抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的概率為.

15.在RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,點(diǎn)E,F分別在邊AB,AC±,將△AEF沿直線EF翻折，點(diǎn)A

落在點(diǎn)P處，且點(diǎn)P在直線BC上.則線段CP長的取值范圍是.

2

16.如圖，在菱形ABCD中，AE_LDC于E,AE=8cm,sinD=-,則菱形ABCD的面積是.

3

-4B

A7

DEC

三、解答題（共8題，共72分）

17.（8分）如圖所示，AABC內(nèi)接于圓O,

（D如圖1,當(dāng)為直徑，求證：ZOBC=ZACD；

（2）如圖2,當(dāng)A5為非直徑的弦，連接05,則（1）的結(jié)論是否成立？若成立請證明，不成立說明由；

（3）如圖3,在（2）的條件下，作于E,交CZ>于點(diǎn)尸，連接ED,且AD=5￡>+2石D,若DE=3,OB=5,

求CF的長度.

ccc

圖1圖2圖3

18.（8分）目前“微信”、“支付寶”、“共享單車”和“網(wǎng)購”給我們的生活帶來了很多便利，初二數(shù)學(xué)小組在校內(nèi)對“你

最認(rèn)可的四大新生事物”進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了m人（每名學(xué)生必選一種且只能從這四種中選擇一種）并將調(diào)查結(jié)果

繪制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

根據(jù)圖中信息求出m=

請你幫助他們將這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)全；根據(jù)抽樣調(diào)查的結(jié)果，請估算全校2000名學(xué)生中，大約有多少人最認(rèn)可“微信”

這一新生事物？已知A、B兩位同學(xué)都最認(rèn)可“微信”，C同學(xué)最認(rèn)可“支付寶”D同學(xué)最認(rèn)可“網(wǎng)購”從這四名同學(xué)中抽

取兩名同學(xué)，請你通過樹狀圖或表格，求出這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的概率.

19.（8分）已知△ABC中，AD是NBAC的平分線，且AD=AB,過點(diǎn)C作AD的垂線，交AD的延長線于點(diǎn)H.

(1)如圖1,若NBAC=60。.

①直接寫出NB和NACB的度數(shù);

②若AB=2,求AC和AH的長;

（2）如圖2,用等式表示線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

20.（8分）“母親節(jié)”前夕，某商店根據(jù)市場調(diào)查，用3000元購進(jìn)第一批盒裝花，上市后很快售完，接著又用5000元

購進(jìn)第二批這種盒裝花.已知第二批所購花的盒數(shù)是第一批所購花盒數(shù)的2倍，且每盒花的進(jìn)價(jià)比第一批的進(jìn)價(jià)少5

元.求第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是多少元？

21.（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)A,C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4,OC=3,

若拋物線經(jīng)過O,A兩點(diǎn)，且頂點(diǎn)在BC邊上，對稱軸交BE于點(diǎn)F,點(diǎn)D,E的坐標(biāo)分別為（3,0）,（0,1）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

（3）點(diǎn)M在對稱軸右側(cè)的拋物線上，點(diǎn)N在x軸上，請問是否存在以點(diǎn)A,F,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

22.（10分）在矩形ABCD中，點(diǎn)E在8C上,鉆=4￡）,￡）/，AE,垂足為■求證.￡>尸=AB若/EDC=30。,且

>18=4,求40.

23.（12分）觀察猜想：

在RtZkABC中，NBAC=90。，AB=AC,點(diǎn)D在邊BC上，連接AD,把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，點(diǎn)D落在點(diǎn)

E處，如圖①所示，則線段CE和線段BD的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是.探究證明：

在（1）的條件下，若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，請判斷（1）中結(jié)論是還成立嗎？請?jiān)趫D②中畫出圖形，并證明你

的判斷.拓展延伸：

如圖③，/BACW90。，若ABrAC,ZACB=45°,AC=0,其他條件不變，過點(diǎn)D作DFJ_AD交CE于點(diǎn)F,請直

接寫出線段CF，長度的最大值.

24.如圖，已知AB為。O的直徑，AC是。O的弦，D是弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作。。的切線，分別交AC、AB的

延長線于點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接CD、BD.

(1)求證：NA=2/BDF；

(2)若AC=3,AB=5,求CE的長.

參考答案

一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)

1、B

【解析】

先由平均數(shù)是3可得x的值，再結(jié)合方差公式計(jì)算.

【詳解】

?.?數(shù)據(jù)1、2、3、X、5的平均數(shù)是3,

1+2+3+%+5

???---------------------=3,

5

解得：x=4,

則數(shù)據(jù)為1、2、3、4、5,

.,?方差為gx[(1-3)2+(2-3)2+(3-3)2+(4-3)2+(5-3)2]=2,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查算術(shù)平均數(shù)和方差，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平均數(shù)和方差的定義.

2、A

【解析】

本題考查的是三視圖.左視圖可以看到圖形的排和每排上最多有幾層.所以選擇A.

3、C

【解析】

分析：根據(jù)眾數(shù)的定義先求出x的值，再把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，找出最中間的數(shù)，即可得出答案.

詳解：???數(shù)據(jù)1,2,x,5,6的眾數(shù)為6,

把這些數(shù)從小到大排列為：1,2,5,6,6,最中間的數(shù)是5,

則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為5；

故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了中位數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，將一組數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，則處于中間位置

的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

4、A

【解析】

根據(jù)兩點(diǎn)直線距離最短可在圖中看出三亞-永興島之間距離最短.

【詳解】

由圖可得，兩個(gè)點(diǎn)之間距離最短的是三亞-永興島.

故答案選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是兩點(diǎn)之間直線距離最短，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握兩點(diǎn)之間直線距離最短.

5、A

【解析】

根據(jù)任何一個(gè)一次函數(shù)都可以化為一個(gè)二元一次方程，再根據(jù)兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)就是二元一次方程組的解可直接得到

答案.

【詳解】

解：?直線yi=kix+bi與y2=k2x+b2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4),

X=幻+4,x=2,

.?.二元一次方程組＜的解為,

y2=k2x+b.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)解析式與圖象的關(guān)系，滿足解析式的點(diǎn)就在函數(shù)的圖象上，在函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，就一定滿足函

數(shù)解析式.函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解.

6、C

【解析】

試題分析：根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖可得：最高分為95,眾數(shù)為90；中位數(shù)90；平均分=(80x2+85+90x5+95x2)+(2+1+5+2)=88.5.

7、C

【解析】

由題意，AQ〃NP,MN〃BQ,.'.△ACM^ADCN,△CDN^ABDP,△BPD^ABQA,△ACM^AABQ,

△DCN^AABQ,AACM^ADBP,所以圖中共有六對相似三角形.

故選C.

8、A

【解析】

試題分析：根據(jù)y隨X的增大而減小得：k<0,又kb>0,則b<0,故此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，即不經(jīng)

過第一象限.

故選A.

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

9、C

【解析】

由兩直線平行，同位角相等，可求得N3的度數(shù)，然后求得N2的度數(shù).

【詳解】

VZ1=5O°,

.*.Z3=Z1=5O°,

Z2=90°-50°=40°.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟悉掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.

10、B

【解析】試題分析：根據(jù)從正面看得到的視圖是主視圖，從左邊看得到的圖形是左視圖，從上面看得到的圖形是俯視

圖，正方體主視圖與左視圖可能不同，故選B.

考點(diǎn)：簡單幾何體的三視圖.

二、填空題(本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分)

11、1

【解析】

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得OC=LAC,ZABD=30°,根據(jù)“S4S”可證△A3O名△ACE,可得乙4。￡=30。=乙43。,

2

當(dāng)OELEC時(shí)，OE的長度最小，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可求OE的最小值.

【詳解】

解：???△ABC的等邊三角形，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，

AOC=-AC,ZABD=3d0

2

?.?△43(7和4AOE均為等邊三角形，

：.AB^AC,AD^AE,N5AC=NZME=60。，

：.ZBAD=ZCAE,SLAB=AC,AD=AE,

：./\ABD^/\ACE(SAS)

ZACE=30°=ZABD

當(dāng)OE_LEC時(shí)，OE的長度最小，

,.,ZOEC=90°,ZACE=30°

曰，-11

：.OE最小值=-OC=-AB=1,

24

故答案為1

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定是本題的關(guān)鍵.

12、^5

【解析】

無理數(shù)包括三方面的數(shù)：①含7T的，②一些開方開不盡的根式，③一些有規(guī)律的數(shù)，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.

【詳解】

解：716=4,是有理數(shù)，-3、T、0都是有理數(shù)，

V5是無理數(shù).

故答案為：5

【點(diǎn)睛】

本題考查了對無理數(shù)的定義的理解和運(yùn)用，注意：無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)，包括三方面的數(shù)：①含7T的，②一些

開方開不盡的根式，③一些有規(guī)律的數(shù).

13、x+(2x+1.82)=50

【解析】

【分析】河北四庫來水量為x億立方米，根據(jù)等量關(guān)系：河北四庫來水和丹江口水庫來水達(dá)50億立方米，列方程即可

得.

【詳解】河北四庫來水量為x億立方米，則丹江口水庫來水量為(2X+L82)億立方米，

由題意得：x+(2x+1.82)=50,

故答案為x+(2x+1.82)=50.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，弄清題意，找出等量關(guān)系列出方程是關(guān)鍵.

1

14、-

2

【解析】

用字母A、B、C、D分別表示等腰三角形、平行四邊形、菱形和圓，畫樹狀圖展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找

出抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解.

【詳解】

解：用字母A、B、C、D分別表示等腰三角形、平行四邊形、菱形和圓，

畫樹狀圖：

共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的結(jié)果數(shù)為6,

所以抽到卡片上印有圖案都是軸對稱圖形的概率

122

故答案為.一

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)

果數(shù)目m,求出概率.也考查了軸對稱圖形.

15、1<CP<5

【解析】

根據(jù)點(diǎn)E、F在邊AB、AC±,可知當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CP有最小值，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)CP有最大值，根據(jù)

分析畫出符合條件的圖形即可得.

【詳解】

如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，CP的值最小，

此時(shí)BP=AB=3,所以PC=BC-BP=4-3=1,

如圖，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，CP的值最大,

此時(shí)CP=AC,

RtAABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,根據(jù)勾股定理可得AC=5,所以CP的最大值為5,

所以線段CP長的取值范圍是1<CP<5,

故答案為1<CP<5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問題，能根據(jù)點(diǎn)E、F分別在線段AB、AC上，點(diǎn)P在直線BC上確定出點(diǎn)E、F位于什么位置時(shí)PC

有最大（?。┲凳墙忸}的關(guān)鍵.

16、96cm2

【解析】

根據(jù)題意可求AD的長度，即可得CD的長度，根據(jù)菱形ABCD的面積=CDxAE,可求菱形ABCD的面積.

【詳解】

"AD3

.?.AD=11

???四邊形ABCD是菱形

/.AD=CD=11

???菱形ABCD的面積=llx8=96cmi.

故答案為：96cmi.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練運(yùn)用菱形性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

三、解答題(共8題，共72分)

14

17、(1)見解析；(2)成立；(3)y

【解析】

(1)根據(jù)圓周角定理求出NACB=90。，求出NADC=90。，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

(2)根據(jù)圓周角定理求出NBOC=2NA,求出NOBC=90"NA和NACD=9(T-NA即可；

(3)分別延長AE、CD交。O于H、K,連接HK、CH、AK,在AD上取DG=BD,延長CG交AK于M,延長

KO交。O于N,連接CN、AN,求出關(guān)于a的方程，再求出a即可.

【詳解】

(1)證明：；AB為直徑，

.../ACB=90°,

；CDJ_A^D,

.../ADC=90°,

ZOBC+/A=90°,ZA+ZACD=90°,

.?./OBC=/ACD；

(2)成立，

證明：連接OC,

圖2

由圓周角定理得：/BOC=2/A,

,/OC=OB,

NOBC=1(180°-^BOC)=1(1800-2/A)=90°-ZK,

：/ADC=90°,

.../ACD=90°—/A,

.,?/OBC=/ACD；

(3)分別延長AE、CD交。O于H、K,連接HK、CH、AK,

八圖3

VAE±BC,CD±BA,

ZAEC=NADC=90°,

.'.”CD+/CFE=90°,^BAH+^DFA=90°,

???/CFE="FA,

:.^BCD=^BAH,

?.?根據(jù)圓周角定理得：NBAH=/BCH,

:."CD=4AH="CH，

由三角形內(nèi)角和定理得：ZCHE=/CFE,

?,.CH=CF,

，EH=EF,

同理DF=DK,

???DE=3,

.??HK=2DE=6,

在AD上取DG=BD,延長CG交AK于M,則AG=AD—BD=2DE=6,

BC=GC,

/.^MCK="CK=4AK,

.?./CMK=90°,

延長KO交。O于N,連接CN、AN,

貝(IZNAK=90°=NCMK,

ACM//AN,

■:NNCK=/ADK=90°,

.,.CN//AG,

二四邊形CGAN是平行四邊形，

AG=CN=6,

作OTLCK于T,

則T為CK的中點(diǎn)，

為KN的中點(diǎn)，

OT=-CN=3,

2

,.2OTC=90。，OC=5,

...由勾股定理得：CT=4,

.,.CK=2CT=8,

作直徑HS,連接KS,

VHK=6,HS=10,

...由勾股定理得：KS=8,

3

tan/HSK=-=tan/HAK,

4

/.tan^EAB=—=tan^fBCD,

3

設(shè)BD=a,CD=3a,

AD=BD+2ED=a+6,DK=-AD=-a+2,

33

VCD+DK=CK,

:.3aH—a+2=8,

3

9

解得：a=-,

113

DK=-a+2=—,

35

CF=CK-2DK=8--=—.

55

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂徑定理、解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行

推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大.

18、(1)100、35；(2)補(bǔ)圖見解析；(3)800人；(4)-

【解析】

分析：(1)由共享單車人數(shù)及其百分比求得總?cè)藬?shù)m,用支付寶人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得其百分比n的值；

(2)總?cè)藬?shù)乘以網(wǎng)購人數(shù)的百分比可得其人數(shù)，用微信人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求得其百分比即可補(bǔ)全兩個(gè)圖形；

(3)總?cè)藬?shù)乘以樣本中微信人數(shù)所占百分比可得答案；

(4)列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率公式計(jì)算可得.

詳解：(1)???被調(diào)查的總?cè)藬?shù)m=10+10%=100人，

35

二支付寶的人數(shù)所占百分比n%=——xl00%=35%,即n=35,

100

40

(2)網(wǎng)購人數(shù)為100xl5%=15人，微信對應(yīng)的百分比為——xl00%=40%,

(3)估算全校2000名學(xué)生中，最認(rèn)可“微信”這一新生事物的人數(shù)為2000x40%=800人

(4)列表如下：

ABcD

A—A.BACAD

BAE—B、CBD

CA、CB：C—C.P

DA、DB、Dc、D—

共有12種情況，這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的有10種，

所以這兩位同學(xué)最認(rèn)可的新生事物不一樣的概率為—

126

點(diǎn)睛：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率以及扇形統(tǒng)計(jì)圖與條形統(tǒng)計(jì)圖的知識(shí).列表法或畫樹狀圖法可以不

重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件.用到

的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

19、(1)①45。，②叫8；(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系：2AH=AB+AC.證明見解析.

2

【解析】

(1)①先根據(jù)角平分線的定義可得NBAD=NCAD=30。，由等腰三角形的性質(zhì)得NB=75。，最后利用三角形內(nèi)角和可

得NACB=45。；②如圖1,作高線DE,在RtAADE中，由NDAC=30。，AB=AD=2可得DE=1,AE=6,在

RtACDE中，由NACD=45。，DE=1,可得EC=1,AC=君+1,同理可得AH的長；(2)如圖2,延長AB和CH

交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH,易證AACH之△AFH,貝！jAC=AF,HC=HF,根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰

三角形的性質(zhì)可得AG=AH,再由線段的和可得結(jié)論.

【詳解】

(1)①；AD平分NBAC,ZBAC=60°,

.,.ZBAD=ZCAD=30°,

；AB=AD,

:.ZACB=180°-60°-75°=45°；

②如圖1,過D作DE_LAC交AC于點(diǎn)E,

圖1

在RtAADE中，VZDAC=30°,AB=AD=2,

.\DE=1,AE=73,

在RtACDE中，?.?/ACD=45。，DE=1,

.\EC=1,

；.AC=G+1,

在RtAACH中，VZDAC=30°,

.,.CH=-AC=^-1

22

AH=VAC2-CH2=J(V3+1)2-

(2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系：2AH=AB+AC.

證明：如圖2,延長AB和CH交于點(diǎn)F,取BF的中點(diǎn)G,連接GH.

易證△ACH絲△AFH,

.\AC=AF,HC=HF,

，GH〃BC,

VAB=AD,

；.NABD=NADB,

ZAGH=ZAHG,

；.AG=AH,

/.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.

【點(diǎn)睛】

本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理、三角形

的中位線定理等知識(shí)，熟練掌握這些性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，第（2）問構(gòu)建等腰三角形是關(guān)鍵.

20、30元

【解析】

試題分析：設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒，則第一批進(jìn)的數(shù)量是：口啦，第二批進(jìn)的數(shù)量是：小，再根據(jù)等量

關(guān)系：第二批進(jìn)的數(shù)量=第一批進(jìn)的數(shù)量x2可得方程.

解：設(shè)第一批盒裝花的進(jìn)價(jià)是x元/盒，則

,30005000

/X-L，

XX-5

解得x=30

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的根.

答：第一批盒裝花每盒的進(jìn)價(jià)是30元.

考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用.

21、（1）y=--x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形；證明見解析；（3）（6+2^>2）或（如名叵，-2）.

433

【解析】

（1）由條件可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及A點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;

(2)由3、。、E的坐標(biāo)可分別求得OE、30和BE的長，再利用勾股定理的逆定理可進(jìn)行判斷；

(3)由5、E的坐標(biāo)可先求得直線5E的解析式，則可求得尸點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)AF為邊時(shí)，則有尸M〃AN且bM=AN,

則可求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，代入拋物線解析式可求得“點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)A歹為對角線時(shí)，由4、尸的坐標(biāo)可求得平行四邊形

的對稱中心，可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，則可表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，再由N點(diǎn)在x軸上可得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)

坐標(biāo).

【詳解】

解：(1)在矩形OABC中，OA=4,OC=3,

AA(4,0),C(0,3),

???拋物線經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，

.??拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

可設(shè)拋物線解析式為y=a(x-2)2+3,

3

把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得0=a(4-2)2+3,解得a=--,

4

33

.?.拋物線解析式為y=--(x-2)2+3,即=--x2+3x；

4y4

(2)AEDB為等腰直角三角形.

證明：

由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),

.*.DE2=32+l2=10,BD2=(4-3)2+32=10,BE2=42+(3-1)2=20,

.\DE2+BD2=BE2,且DE=BD,

.??△EDB為等腰直角三角形；

(3)存在.理由如下：

設(shè)直線BE解析式為y=kx+b,

3=4k+bk=-

把B、E坐標(biāo)代入可得，，解得<2,

l=b,

b=l

...直線BE解析式為y=；x+l,

當(dāng)x=2時(shí)>y=2,

AF(2,2),

①當(dāng)AF為平行四邊形的一邊時(shí)，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的距離為2,

，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2或-2,

在y=-2X2+3X中,令y=2可得2=--x2+3x,解得x=2若,

.443

,/點(diǎn)M在拋物線對稱軸右側(cè)，

：.x>2,

.6+273

??X---------------9

3

???M點(diǎn)坐標(biāo)為(6+2出,2)；

3

在y=-2x2+3x中，令y=-2可得-2=-2x2+3x,解得x=,

'443

；點(diǎn)M在拋物線對稱軸右側(cè)，

/.x>2,

._6+2V15

??X-----------------f

3

???M點(diǎn)坐標(biāo)為(6+2后,-2).

3

②當(dāng)AF為平行四邊形的對角線時(shí)，

VA(4,0),F(2,2),

二線段AF的中點(diǎn)為(3,1),即平行四邊形的對稱中心為(3,1),

3

設(shè)M(t,--t2+3t),N(x,0),

4

則-'t2+3t=2,解得t=6±2退,

43

點(diǎn)M在拋物線對稱軸右側(cè)，

：.x>2,

Vt>2,

.一6+2月

??I---------------f

3

點(diǎn)坐標(biāo)為(6+26,2)；

3

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M,其坐標(biāo)為（生28,2）或（6+2岳,-2）.

33

【點(diǎn)睛】

本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法、勾股定理及其逆定理、平行四邊形的性質(zhì)、方程思想及

分類討論思想等知識(shí).在（1）中求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意拋物線頂點(diǎn)式的應(yīng)用，在（2）中求得AEDB

各邊的長度是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出M點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意分類討論.本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜

合性較強(qiáng)，難度較大.

22、（1）證明見解析；（2）1

【解析】

分析：（1）利用“AAS”證△ADF^^EAB即可得；

（2）由NADF+NFDC=90。、NDAF+NADF=90。得NFDC=NDAF=30。，據(jù)此知AD=2DF,根據(jù)DF=AB可得答案.

詳解：（1）證明：在矩形ABCD中，TADaBC,

/.ZAEB=ZDAF,

又；DF_LAE,

:.ZDFA=90°,

.\ZDFA=ZB,

又；AD=EA,

/.△ADF^AEAB,

/.DF=AB.

（2）VZADF+ZFDC=90°,ZDAF+ZADF=90°,

:.NFDC=NDAF=30°,

/.AD=2DF,

VDF=AB,

.\AD=2AB=1.

點(diǎn)睛：本題主要考查矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).

23、（1）CE=BD,CE±BD.（2）（1）中的結(jié)論仍然成立.理由見解析；（3）

4

【解析】

分析：（1）線段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE,ZBAD=ZCAE,得到

△BAD^ACAE,CE=BD,ZACE=ZB,得至叱BCE=NBCA+NACE=90。，于是有CE=BD,CE±BD.

（2）證明的方法與（1）類似.

（3）過A作AMLBC于M,ENLAM于N,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到NDAE=90。，AD=AE,利用等角的余角相等得到

ZNAE=ZADM,易證得R3AMD也RtAENA,貝!|NE=MA,由于NACB=45。，則AM=MC,所以MC=NE,易得

四邊形MCEN為矩形，得到NDCF=90。，由此得到RtAAMDsRtADCF,得絲2=4絲，設(shè)DC=x,MD=l-x,利