高考數(shù)學總復習（基礎知識+高頻考點+解題訓練）基本不等式

第四節(jié)基本不等式

■他知溟工打牢

1強雙基I固本源I得基礎分I掌握程度

［知識能否憶起］

一、基本不等式4獲W丁

1.基本不等式成立的條件：a〉0,力0.

2.等號成立的條件：當且僅當a=力時取等號.

二、幾個重要的不等式

b之

M助（乃,6ER）；—+722（@,6同號）.

---ab~

J（&6ER）；|—^―J~--（a,6ER）.

三、算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)

設a>0,b>0,則a,b的算術平均數(shù)為一］一幾何平均數(shù)為盛，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的

算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).

四、利用基本不等式求最值問題

已知x>0,y>0,則:

（1）如果積盯是定值R那么當且僅當x=y.時,x+y有最小值是25.（簡記：積定和最?。?/p>

2

（2）如果和x+y是定值口那么當且僅當x=y時,燈有最大值是生.（簡記：和定積最大）

［小題能否全取］

1.（教材習題改編）函數(shù)y=x+：（x>0）的值域為（）

A.（一8,-2］U［2,+8）B,（0,+8）

C.［2,+8）D.（2,+8）

解析：選C?.?x>0,??.y=x+：三2,當且僅當x=l時取等號.

2.已知%>0,77>0,且即=81,貝IJ/+〃的最小值為（）

A.18B.36

C.81D.243

解析：選A?.?必〉0,〃>0,.?.0+〃22而=.18.當且僅當0=〃=9時，等號成立.

3.(教材習題改編)已知0<Xl,則H3-3x)取得最大值時x的值為()

11

3-艮2-

32

C-40-3

11931

解析：選B由x(3-3x)=yX3x(3-3x)W§X1=4，當且僅當3x=3-3x,即x=]時等號成立.

4

4.若x〉l,貝I]X+E的最小值為.

44

解析：x+--=^-1+—7+124+1=5.

X—1X—1

4

當且僅當x-l=口，即￡=3時等號成立.

答案：5

25

5.已知x>0,y>0,lgjr+1gy=1,則z=]+請)最小值為.

解析：由已知條件lgx+lg7=1,可得燈=10.

則彳+%2\^=2,故住+。-2,當且僅當2尸5x時取等號.又燈=10,即x=2,尸5時等

號成立.

答案：,2

1.在應用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正一一各項均為正；二定一一

積或和為定值；三相等一一等號能否取得"，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤.

2.對于公式a+后2衣，a氏(號今，要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)

了和a+6的轉(zhuǎn)化關系.

3.運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如步+822數(shù)逆用就是

a+1Ja+b,—(a+

a6W—^一；一廠三，荔(a,6>0)逆用就是a6W[-y-J(a,6>0)等.還要注意“添、拆項”技巧和公式等

號成立的條件等.

樹?高頻考點要S3,心<、、抓考點|學技法|得拔高分|掌握程度

利用基本不等式求最值

典題導入

,、4

［例1］(1)已知x<0,則F(x)=2+1+x的最大值為.

⑵(?浙江高考)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5盯，貝U3x+4p的最小值是()

2428

A.-B.-

55

C.5D.6

［自主解答］⑴..?￡<0,A-x>0,

4「4—

F(x)=2+—x+或=2-x+-x_.

4I-4

?「丁+(-.)22皿=4,當且僅當一x==，即％=-2時等號成立.

XX

4

??小)=2-.-W2-4=-2,

的最大值為-2.

'13、

(2)?.?^>0,y>0,由x+3y=5燈得:-+—1.

ZX,

1

/.3x+4y=~(3x+4力

u

5(當且僅當x=2y時取等號)，.?.3x+4y的最小值為5.

［答案］(1)-2(2)C

?>一題多變

本例⑵條件不變，求燈的最小值.

解：y>0,則5燈=x+3y22yx?3K

12

二燈》或，當且僅當x=3y時取等號.

，盯的最小值為前.

由題悟法

用基本不等式求函數(shù)的最值，關鍵在于將函數(shù)變形為兩項和或積的形式，然后用基本不等式求出最

值.在求條件最值時，一種方法是消元，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值；另一種方法是將要求最值的表達式變形，然后

用基本不等式將要求最值的表達式放縮為一個定值，但無論哪種方法在用基本不等式解題時都必須驗證等

號成立的條件.

以題試法

1.(D當x>0時，則f(x)=了篤的最大值為.

⑵(?天津高考)已知19+1密心1,則3a+成的最小值為一

(3)已知x>0,y>0,xy=x+2y,若盯20-2恒成立，則實數(shù)0的最大值是

2X22

解析>OA

X--12--

-

7TX+

X

當且僅當即X=1時取等號.

(2)由log2a+log2^^l得log2(aZ?)21,

,,,a+2b”

即a622,.,.：T+9"=3"+32"22X3F—(當且僅當3,=321即a=26時取等號).

又?.?a+26N2di￡24(當且僅當a=26時取等號)，

3"+9*2X3?=18.

即當a=26時，3"+9”有最小值18.

(3)由x>0,y>0,燈=x+2y\2y2燈,得盯28,于是由r-2Wxy恒成立，得勿-2W8,即RWIO.

故加的最大值為10.

答案：(1)1(2)18(3)10

基本不等式的實際應用

典題導入

［例2］(?江蘇高考)如圖，建立平面直角坐標系x軸在〃千米地平面上，y

軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標原點.已知炮/、彈發(fā)射后的

o\二千米

軌跡在方程/=公-白(1+"2)/(">0)表示的曲線上，其中k與發(fā)

射方向有

關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

(1)求炮的最大射程；

(2)設在第一象限有一飛行物C忽略其大小),其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少

時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

［自主解答］⑴令y=0,得府」(1+#"=0,由實際意義和題設條件知x>0,k>0,

s20k20—20,,,，代廣

故才=丁升=-^y=io,當且僅當4=1時取等號.

"+Z

所以炮的最大射程為10千米.

(2)因為a>0,所以炮彈可擊中目標Q存在Q0,使3.2二松-5(1+"2)/成立

o關于"的方程31C—20a?+a"+64=0有正根

=判另IJ式/=(-20a)2-4a2(a2+64)20

=aW6.

所以當a不超過6千米時，可擊中目標.

由題悟法

利用基本不等式求解實際應用題的方法

(1)問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如“物價、銷售、稅收、原材料”等，題目往往較長，

解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題求解.

(2)當運用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解,

此時可根據(jù)變量的范圍用對應函數(shù)的單調(diào)性求解.以題試法

2.(-福州質(zhì)檢)某種商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.

(D據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應戒少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入,

該商品每件定價最多為多少元？

(2)為了擴大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進行全面技術革新和營銷策略

改革，并提高定價到x元.公司擬投入，(*-600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投

入gx萬元作為浮動宣傳費用.試問：當該商品明年的銷售量a至少應達到多少萬件時，才可能使明年的銷

O

售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時每件商品的定價.

解：⑴設每件定價為2元，

(t-25、

依題意，有［80.2卜225X8,

整理得d-65￡+1000W0,解得25W6W40.

因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價最多為40元.

⑵依題意，x>25時，

不等式ax225X8+50+1(/-600)+9有解.，

O0

_...、15011,.

寺價于x>25時，@》下+分才+匚有解.

1501、/1501,,,、

.?.丁+［萬22'/丁?10（z當且僅z當30時，寺節(jié)成乂），10.2.

因此當該商品明年的銷售量a至少應達到10.2萬件時，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總

投入之和，此時該商品的每件定價為30元.

福解題訓練要高效

抓速度I抓規(guī)范I拒絕眼高手低I掌握程度

A級全員必做題

1.已知/'（x）=x+：-2（x<0）,則/<x）有（）

A.最大值為0B,最小值為0

C.最大值為-4D.最小值為-4

-111

解析：選C?,?^<0,f{x）=--x+_-2^-2-2=-4,當且僅當-x=—,即x

-xyJ-X

=-1時取等號.

2.（,太原模擬）設a、6E.R,已知命題P：a+少/2@力；命題0：1—-—JW-,貝。是q成立的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D..既不充分也不必要條件

解析：選B命題。：（a-6）W0=a=6；命題］：（a-6），0.顯然，由?？傻?成立，但由q不能推

出。成立，故。是1的充分不必要條件.

x+2

3.函數(shù)y=7（x>D的最小值是（）

X~1

A.273+2B.273-2

C.2事D.2

解析：選A.?.x-l〉0.

x"+2x~+2x+2x~2x+1+2x—1+3

“=』=-Tn=7^1

\2Yx-l-^+2=2y/3+2.

3

當且僅當x-l=E，即x=l+4時取等號.

4.（-陜西高考）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和6（水6）,其全程的平均時速為匕則（）

A.a<v<yTabB.v=yl~ab

?-bb

C.qaKr<-~-D.v

2

ss

解析：選A設甲、乙兩地的距離為s,則從甲地到乙地所需時間為一，從乙地到甲地所需時間為7

aU

2s2ab2ab1—

又因為水6,所以全程的平均速度為v=------

ss=R<也心

Jb

2ab2ab/~~；

f〉/=a,即a<Za6.

若存在兩項a%a〃使得=則［+［的最小值為

5.已知正項等比數(shù)列｛&｝滿足：&二戊+2念,

)

35

A.—B-3

25

C-~6D.不存在

解析：選A設正項等比數(shù)列｛a｝的公比為4由國二%+2〃5,得/一q—2=0,解得q=2.

I---7Z7+77—2.

由底以二4皿即2---=4,得2研"Q2=2\即/+77=6.

故阜=腦+〃）14'5\(4/zzn34/n

-+—=+當且僅當了=潮寸等號成立.

66Co662,

設a>0,b>Q,且不等式）+；+告NO恒成立,

6.則實數(shù)A的最小值等于（

aUa^U

A.0B.4

C.-4D.-2

11

選

解

由

析c-+z+ka+bbba

af川得心一而「^=』+7+2》4心j時取等號），所以

a+ba+b

---W-4,因此要使A2—-~7一恒成立，應有彳2-4,即實數(shù)4的最小值等于-4.

auaU

7.已知x,y為正實數(shù)，且滿足4x+3y=12,則燈的最大值為.

3

,------f4x=3y,

解析：:123+3/2k“凌當且僅當33y=12,即°,時xy取得最

J=2

大值3.

答案：3

8.已知函數(shù)/U)=x+*①為常數(shù)，且。>0)若F(x)在(1,+8)上的最小值為4,則實數(shù)。的值

X—1

為.

解析：由題意得X-1>0,f(x)=x-1+言y+1》25+1,當且僅當x=W>+1時取等號，因為f(x)

I-9

在(1,+8)上的最小值為4,所以25+1=4,解得°=了

答案：|

9.(??朝陽區(qū)統(tǒng)考)某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤

y(單位萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間X(單位年)的關系為7=-/+18^-25(xEN*)則當每臺機器運轉(zhuǎn)

年時，年平均利潤最大，最大值是萬元.

解析：每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為1=18-1x+中，而x>0,故((18-24=8,當且僅當x

=5時，年平均利潤最大，最大值為8萬元.

答案：58

10.已知x>0,a為大于2x的常數(shù)，

(1)求函數(shù)P=x(a-2x)的最大值；

⑵求的最小值

dLX?

解：(1),.,^>0,a>2x,

y-x{a-2x)=~X2x(a-2x)

12x+a—2x。才司a

W5X-------------2=~當且僅當x時取等號，故函數(shù)的最大值為Q.

/、1a—2xa、[1ar-a

⑵片K+丁一/2Qi-丁木y

a-\[2

當且僅當時取等號.

故y=~a^x~X的最小值為、門

19

11.正數(shù)工y滿足：+";=1.

xy

⑴求盯的最小值；

⑵求x+2y的最小值.

19/I919

解：⑴由22------得以236,當且僅當：二一，即廣9x=18時取等號，故燈的最小值

xyxyxy

為36.

（19、2v9x]2y~9xj—2P9x

⑵由題意可得x+2%（x+2y）|j+/=19+：+亍219+2A/-^?—=19+6^/2,當且僅當[=7,

即9x2=2爐時取等號，故了+2曠的最小值為19+6吊1

12.為了響應國家號召，某地決定分批建設保障性住房供給社會.首批計劃用100萬元購得一塊土地,

該土地可以建造每層1000平方米的樓房，樓房的每平方米建筑費用與建筑高度有關，樓房每升高一層，

整層樓每平方米建筑費用提高20元.已知建筑第5層樓房時，每平方米建筑費用為800元.

（1）若建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為y萬元（綜合費用是建筑費用與購地費用之和），寫出y=f（x）

的表達式；

（2）為了使該樓房每平方米的平均綜合費用最低，應把樓層建成幾層？此時平均綜合費用為每平方米

多少元？

解：（1）由題意知建筑第1層樓房每平方米建筑費用為720元，

建筑第1層樓房建筑費用為720X1000=720000（元）=72（萬元），

樓房每升高一層，整層樓建筑費用提高20義1000=20000（元）=2（萬元），

建筑第x層樓房的建筑費用為72+（x-1）X2=2x+70（萬元），

建筑第x層樓時，該樓房綜合費用為

xx—1

y=f（x）=72x+-------------X2+100=/+7U+100,

綜上可知y=f（x）=f+71x+100（x21,xEZ）.

fx義10000_10fx

⑵設該.樓房每平方米的平均綜合費用為g（x）,則g（x）Foool=7

10V+71X+1001000、/1000

=10x+--------+71022A/10x?--------+710=910.

Xx\x

當且僅當10才=上詈，即x=10時等號成立.

綜上可知應把樓層建成10層，此時平均綜合費用最低，為每平方米910元.

B級重點選做題

1.（?浙江聯(lián)考）已知正數(shù)X,y滿足x+2^，W4（x+y）恒成立，則實數(shù)A的最小值為（）

A.1B.2

C.3D,4

?----x+2\l2xy

解析選B依題意得x+2，麗Wx+（x+2y）=2（x+力，即丑2（當且僅當x=2y時取等號）,

x+2x12xyx+2\l2xy

即v1“一的最大值是2；又兒》;，因此有4N2,即4的最小值是2.

*'y'y

V2

2.設x,y,z為正實數(shù)，滿足x-2y+3z=0,則七的最小值是

XZ

x+3z

解析：由已知條件可得

y2/+9z2+&xz

所以不=

xz\xz

9z

寧一+一+6

&zx

x9z

刃2-X一+6=3,

zx

y2

當且僅當X=y=3z時，會取得最小值3.

答案：3

3.某食品廠定期購買面粉，已知該廠每天需用面粉6噸，每噸面粉的價格為1800元，面粉的保管

等其他費用為平均每噸每天3元，購買面粉每次需支付運費900元.

(1)求該廠多少天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少？

(2)某提供面粉的公司規(guī)定：當一次購買面粉不少于210噸時，其價格可享受9折優(yōu)惠，問該廠是否

考慮利用此優(yōu)惠條件？請說明理由.

解：(1)設該廠應每隔x天購買一次面粉，其購買量為6x噸，由題意可知，面粉的保管等其他費用為

3[6x+6(x-1)+6(x-2)+,,?+6X1]=9x(x+1),

設平均每天所支付的總費用為力元，

[9xx+1+900]

貝%=-----------------+1800X6

900

=---+9x+10809

x

、/900

22\—?9x+10809=10989,

900

當且僅當9^=—即x=10時取等號.

即該廠應每隔10天購買一次面粉，才能使平均每天所支付的總費用最少.

(2)因為不少于210噸，每天用面粉6噸，所以至少每隔35天購買一次面粉.

設該廠利用此優(yōu)惠條件后，每隔x(xN35)天購買一次面粉，平均每天支付的總費用為K元，

貝U及=：[9x(x+l)+900]+6X1800X0.90

900/、、

二一+9x+9729(x235).

x

令f(x)=x+[x》35),…235,

,/、,、（