藝術(shù)生專用2025版高考數(shù)學總復(fù)習第六章不等式推理與證明第6節(jié)直接證明和間接證明課時沖關(guān)_第1頁
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PAGEPAGE1第6節(jié)干脆證明和間接證明1.若a,b,c是不全相等的實數(shù),求證:a2+b2+c2>ab+bc+ca.證明過程如下:因為a,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac又因為a,b,c不全相等,所以以上三式至少有一個等號不成立,所以將以上三式相加得2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),所以a2+b2+c2>ab+bc+ca.此證法是()A.分析法 B.綜合法C.分析法與綜合法并用 D.反證法解析:B[由因?qū)Ч蔷C合法.]2.(2024·濟南市模擬)用反證法證明:若整系數(shù)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理數(shù)根,那么a,b,c中至少有一個是偶數(shù).用反證法證明時,下列假設(shè)正確的是()A.假設(shè)a,b,c都是偶數(shù)B.假設(shè)a,b,c都不是偶數(shù)C.假設(shè)a,b,c至多有一個偶數(shù)D.假設(shè)a,b,c至多有兩個偶數(shù)解析:B[“至少有一個”的否定為“都不是”,故選B.]3.設(shè)a=eq\r(3)-eq\r(2),b=eq\r(6)-eq\r(5),c=eq\r(7)-eq\r(6),則a、b、c的大小依次是()A.a(chǎn)>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.a(chǎn)>c>b解析:A[∵a=eq\r(3)-eq\r(2)=eq\f(1,\r(3)+\r(2)),b=eq\r(6)-eq\r(5)=eq\f(1,\r(6)+\r(5)),c=eq\r(7)-eq\r(6)=eq\f(1,\r(7)+\r(6)),又∵eq\r(7)+eq\r(6)>eq\r(6)+eq\r(5)>eq\r(3)+eq\r(2)>0,∴a>b>c.]4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“已知a>b>c,且a+b+c=0,”求證eq\r(b2-ac)<eq\r(3)a.索因應(yīng)當是()A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c>0C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0解析:C[由a>b>c,a+b+c=0,得b=-a-c,a>0,c<0.要證eq\r(b2-ac)<eq\r(3)a只需證(-a-c)2-ac<3a2,只需證a2-ac+a2-c2>0,只需證a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,只需證a(a-c)-b(a-c)>0,只需證(a-c)(a-b)>0.]5.若P=eq\r(a)+eq\r(a+7),Q=eq\r(a+3)+eq\r(a+4),a≥0,則P、Q的大小關(guān)系是()A.P>Q B.P=QC.P<Q D.由a的取值確定解析:C[令a=0,則P=eq\r(7)≈2.6,Q=eq\r(3)+eq\r(4)≈3.7,∴P<Q.據(jù)此猜想a≥0時P<Q.證明如下:要證P<Q,只要證P2<Q2,只要證2a+7+2eq\r(aa+7)<2a+7+2eq\r(a+3a+4),只要證a2+7a<a2+7只要證0<12,∵0<12成立,∴P<Q成立.故選C.]6.設(shè)a>b>0,m=eq\r(a)-eq\r(b),n=eq\r(a-b),則m,n的大小關(guān)系是________.解析:解法一(取特別值法):取a=2,b=1,則m<n.解法二(分析法):eq\r(a)-eq\r(b)<eq\r(a-b)?eq\r(b)+eq\r(a-b)>eq\r(a)?a<b+2eq\r(b)·eq\r(a-b)+a-b?2eq\r(b)·eq\r(a-b)>0,明顯成立.答案:n>m7.有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是____________.解析:依據(jù)丙的說法知,丙的卡片上寫著1和2,或1和3;(1)若丙的卡片上寫著1和2,依據(jù)乙的說法知,乙的卡片上寫著2和3;∴依據(jù)甲的說法知,甲的卡片上寫著1和3;(2)若丙的卡片上寫著1和3,依據(jù)乙的說法知,乙的卡片上寫著2和3;又甲說,“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”;∴甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2,這與已知沖突;∴甲的卡片上的數(shù)字是1和3.答案:1和38.設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:①a+b>1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2;⑤ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是________.(填序號)解析:若a=eq\f(1,2),b=eq\f(2,3),則a+b>1,但a<1,b<1,故①推不出;若a=b=1,則a+b=2,故②推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故④推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故⑤推不出;對于③,反證法:假設(shè)a≤1且b≤1,則a+b≤2與a+b>2沖突,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.答案:③9.若a>b>c>d>0且a+d=b+c,求證:eq\r(d)+eq\r(a)<eq\r(b)+eq\r(c).證明:要證eq\r(d)+eq\r(a)<eq\r(b)+eq\r(c),只需證(eq\r(d)+eq\r(a))2<(eq\r(b)+eq\r(c))2,即a+d+2eq\r(ad)<b+c+2eq\r(bc),因a+d=b+c,只需證eq\r(ad)<eq\r(bc),即ad<bc,設(shè)a+d=b+c=t,則ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0,故ad<bc成立,從而eq\r(d)+eq\r(a)<eq\r(b)+eq\r(c)成立.10.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿意an+Sn=2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求證:數(shù)列{an}中不存在三項按原來依次成等差數(shù)列.解析:(1)當n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=eq\f(1,2)an,所以{an}是首項為1,公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列,所以an=eq\f(1,2n-1).(2)證明(反證法):假設(shè)存在三項按原來依次成等差數(shù)列,記為ap+1,aq

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