2024高考數(shù)學(xué)模擬試題分類：導(dǎo)數(shù)

第十三章《導(dǎo)數(shù)》

一、選擇題(共6題)

1.(安徽卷)若曲線>=/的一條切線/與直線x+4y—8=0垂直，貝I"的方程為

A.4x-y-3=QB.x+4y-5=0

C.4x—y+3—0D.x+4y+3=0

解：與直線x+4y—8=0垂直的直線/為4x—y+m=0,即y=/在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4,

而>'=4尤3,所以y在(1,1)處導(dǎo)數(shù)為生此點(diǎn)的切線為4x—y—3=0,故選A

2.(江西卷)對于R上可導(dǎo)的隨意函數(shù)f(x),若滿意(x-1)f(x)>0,則必有(C)

A.f(0)+f(2)<2f(1)B.f(0)+f(2)<2f(1)

C.f(0)+f(2)>2f(1)D.f(0)+f(2)>2f(1)

解：依題意，當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,函數(shù)f(x)在(1,+oo)上是增函數(shù)；當(dāng)x<l時(shí)，f

(x)<0,f(x)在(-co,1)上是減函數(shù)，故f(x)當(dāng)x=l時(shí)取得最小值，即有f(0)

>f(1),f(2)>f(1),故選C

3.(全國ID過點(diǎn)(一1,0)作拋物線丁=必+1+1的切線，則其中一條切線為

(A)2x+y+2=0(B)3x-y+3=0(C)x+y+l=0(D)x-y+l=0

解：y'=2x+l,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(七,%),則切線的斜率為2%+1,且%=其+/+1

于是切線方程為y-x；-XoT=(2Xo+D(x-Xo)，因?yàn)辄c(diǎn)(T，0)在切線上，可解得

%=0或一4,代入可驗(yàn)正D正確。選D

4.(四川卷)曲線y=4x-三在點(diǎn)(_b3)處的切線方程是

(A)y=7x+4(B)y=7x+2(C)y=x-4(D)y=x-2

解：曲線y=4x—d,導(dǎo)數(shù)y=4—3/,在點(diǎn)(T,—3)處的切線的斜率為左=1,所以切

線方程是y=x—2,選D.

5.(天津卷)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(。力)，

導(dǎo)函數(shù)((x)在①力)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)

/(x)在開區(qū)間(。力)內(nèi)有微小值點(diǎn)()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：函數(shù)/'（x）的定義域?yàn)殚_區(qū)間（。,5）,導(dǎo)函數(shù)/■'（%）在（。,6）內(nèi)的圖象如圖所示，函數(shù)

/（X）在開區(qū)間（凡。）內(nèi)有微小值的點(diǎn)即函數(shù)由減函數(shù)變?yōu)樵龊瘮?shù)的點(diǎn)，其導(dǎo)數(shù)值為由負(fù)到

正的點(diǎn)，只有1個(gè)，選A.

6.（浙江卷）/（x）=V—3/+2在區(qū)間［—1』上的最大值是

（A）-2（B）0（C）2（D）4

解：/'（x）=3x?-6x=3x（x-2）,令/''（x）=0可得x=0或2（2舍去），當(dāng)一lVx<0時(shí),

f'（x）>0,當(dāng)0<xVl時(shí)，f'（x）<0,所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最大值為2。選C

二、填空題（共3題）

7.（福建卷）已知直線x—y—1=0與拋物線>=。必相切，則。=.

解析：直線x-y-1=0與拋物線丁=。必相切，將y=x-i代入拋物線方程得

,1

ax"—%+1=0,=1—4a=0,a=—<,

4

8.（湖北卷）半徑為r的圓的面積S（r）=；rr2,周長C（r）=2?r,若將r看作（0,十8）上的

變量，則（萬一）'=2萬=①，

①式可以用語言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)。

對于半徑為R的球，若將R看作（0,+8）上的變量，請你寫出類似于①的式子：

_____________________________②

②式可以用語言敘述為：。

444

解：/球=一萬7?3,又（_〃尺3）'=4%R2故②式可填（—〃&）,=4乃尺2,用語言敘述為，，球

333

的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)?！?/p>

10

9.（湖南卷）曲線y=—和y=V在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積

是.

解析：曲線y=工和y=，在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是（1,1）,兩條切線方程分別是y=—x+2和

X

3

y=2x-l,它們與％軸所圍成的三角形的面積是一.

4

三、解答題（共31題）

10.（安徽卷）已知函數(shù)/（同在R上有定義，對任何實(shí)數(shù)〃>。和任何實(shí)數(shù)x,都有

f(ax)=qf(x)

(I)證明/(O)=O；

kx,x_0,其中左和丸均為常數(shù);

(II)證明/(X)=<

hx,%<0,

(III)當(dāng)(II)中的左>0時(shí),設(shè)g(x)=—+/(x)(x>0),探討g(x)在(0,+oo)

f\x)

內(nèi)的單調(diào)性并求極值。

證明(I)令尤=0,則/(0)=4(0),：a>0,.../(0)=0。

(II)①令x=a,a>0,x>0,則/#(x)。

假設(shè)無之0時(shí)，于(X)=kx(keR),則小，而對^力;無心二代，；.

/(x2)=xf(%),即/'(x)=Ax成立。

②令x=-a,=a〉。，；.x<0,/(-x2)=

假設(shè)x<0時(shí)，于(x)=hx(heR),則/(-必)=-法？，而一_^(%)=一次.而=—法之,

紅行。成立。

；./(一x?)=(x),即/(x)=/zx成立。/(X)=<

hx,x<0

(III)當(dāng)X>。時(shí),g(x)=/(.)+/(%)=層+"'g，(X)=_^?+左=履2

令g'(x)=0,得x=l或x=—1；

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g'(x)<0,g(x)是單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)xe[l,+oo)時(shí)，g'(x)>0,g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；

所以當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)g(x)在(0,+8)內(nèi)取得微小值，微小值為g⑴=1+左

K

11.(安徽卷)設(shè)函數(shù)/(力=三+/7d+0^￡尺)，已知g(JC)=/(X)—/'(X)是奇函數(shù)。

(I)求Z?、c的值。

(II)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

解析：(I)f^=x3+bx2+cx,/z(x)=3x2+2/>x+co從而

g(x)=/(x)-f'{x)-x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=%3+(b-3)x2+(c-26)x-c是

一個(gè)奇函數(shù)，所以g(0)=0得c=0,由奇函數(shù)定義得3=3；

(II)由(I)知g(x)=x3-6x,從而g'(x)=3必一6,由此可知，

(-8,-J5)和(0,+8)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；

(-行,6)是函數(shù)g(X)是單調(diào)遞減區(qū)間；

g(x)在x=-時(shí)，取得極大值，極大值為40,g(x)在％■時(shí)，取得微小值,

微小值為-4?。

12.(北京卷)已知函數(shù)/(幻=奴3+桁2+次在點(diǎn)飛處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)丁=尸(幻

的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示.求:

(I)x0的值；

(II)a,8,c的值.

解析：解法一：(.1)由圖象可知，在(一8,1)上/(x)>0,在(1,2)上/(x)<0,在(2,+oo)

上/''(￡)>0,故/(x)在(-8,1),(2,+8)上遞增，在(1,2)上遞減，因此/(%)在x=1處取得極

大值，所以％=1.

(II)f\x)=3ax2+2bx+c,由/'⑴=0,/(2)=0,/(1)=5,

3a+2b+c=0,

得<12a+46+c=0,

a+b+c=5,

解得a=2,b=—9,c=12.

解法二:(I)同解法一.

(II)設(shè)f\x)=m[x-1)(%-2)=mx2-3mx+2m,

7Tz3

又/r(x)=3ax2+2bx+c,所以。=1/=—/九c=2m,

Z773

/(%)=一x3——mx2+2mx.

32

m3

由/⑴=5,即可一萬機(jī)+2加=5,得加=6,

所以〃=2,b=-9,。=12.

13.(福建卷)己知/(%)是二次函數(shù),不等式/(%)<0的解集是(0,5),且/(%)在區(qū)間[—1,4]

上的最大值是12。

(I)求/(%)的解析式；

(II)是否存在實(shí)數(shù)也使得方程/(%)+二37=0在區(qū)間(加,a+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不等

x

的實(shí)數(shù)根？若存在，求出機(jī)的取值范圍；若不存在，說明理由。

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等基本學(xué)問，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性質(zhì)

的方法，考查運(yùn)算實(shí)力，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問

題、解決問題的實(shí)力。

解：⑴/(x)=-X2+8%=-(x-4)2+16.

當(dāng)f+1<4,即，<3時(shí)，/(x)在匕/+1］上單調(diào)遞增，

h(t)=f(t+1)=_(t+1)2+8(/+1)=-r+6z+7；

當(dāng)/+即3W/W4時(shí)，A(0=/(4)=16;

當(dāng)/〉4時(shí)，/(無)在上,/+1］上單調(diào)遞減，h(t)-f(t)--t2+St.

—+6t+7,/<3,

綜上，W)=16,3<Z<4,

一廠+St,f〉4

(ID函數(shù)y=/(x)的圖象與丁=8(乃的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)

0(x)=g(x)-/(X)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)。

0(x)=x2-8x+61nx+m,

、co62x~—8x+62(x—l)(x—3),

。(%)=2x-8+-=---------------=---------------(x>0),

XXX

當(dāng)xe(0,1)時(shí)，。'(幻>0,。(%)是增函數(shù)；

當(dāng)xe(0,3)時(shí)，0'(x)<O,0(x)是減函數(shù)；

當(dāng)xe(3,+。。)時(shí)，。'(%)>0,。(尤)是增函數(shù)；

當(dāng)x=l,或x=3時(shí)，。'(％)=0.

。(％)最大值=。(1)=刈-7,。(幻最小值=。(3)=m十61113—15.

:當(dāng)x充分接近。時(shí)，。(%)<0,當(dāng)x充分大時(shí),。(%)>0.

要使0(x)的圖象與％軸正半軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，必需且只須

\威大值即7<加<15—61n3.

”(x)最小值=m+61n3-15<0,

所以存在實(shí)數(shù)m,使得函數(shù)丁=/(x)與y=g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，m

的取值范圍為(7,15—61n3).

14.(福建卷)統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)耗油量y(升)關(guān)于行駛速

13

度x(千米/小時(shí))的函數(shù)解析式可以表示為：y=---------必——x+8(0aW120).已知甲、

'12800080

乙兩地相距100千米。

(I)當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升?

(II)當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？

本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基本學(xué)問，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問分析和解決實(shí)際問題

的實(shí)力。滿分12分。

解：(I)當(dāng)x=40時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了——=2.5小時(shí)，

40

1,3

要耗沒(------x403——x40+8)x2.5=17.5(升)。

12800080

答：當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油17.5升。

(II)當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，汽車從甲地到乙地行駛了些小時(shí)，設(shè)耗油量為/z(x)升,

X

依題意得h(x)=(一1一%3-—%+8).—=-^―x2+-(0<%<120),

12800080x1280%4

X3-8O3

如--粵(0<x<120).

640%2640%2

令〃'(x)=0,得x=80.

當(dāng)xe(0,80)時(shí),"(x)<0,〃(x)是減函數(shù)；

當(dāng)xe(80,120)時(shí),h\x)>0,h(x)是增函數(shù)。

.?.當(dāng)x=80時(shí)，/z(x)取到微小值A(chǔ)(80)=11.25.

因?yàn)?z(x)在(0,120］上只有一個(gè)極值，所以它是最小值。

答：當(dāng)汽車以80千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少，最少為11.25升。

15.(福建卷)已知函數(shù)人無)=—1+8x,g(x)=61n.r+m

(I)求加)在區(qū)間也什1］上的最大值耳⑺;

(II)是否存在實(shí)數(shù)相，使得月(無)的圖象與產(chǎn)g(x)的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)？若存

在，求出機(jī)的取值范圍；，若不存在，說明理由。

本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等基本學(xué)問，考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性質(zhì)的方法,

考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法和分析問題、解決問題的實(shí)力。滿分12分。

解：(I)“X)是二次函數(shù)，且/(x)<0的解集是(0,5),

可設(shè)/(x)=ax{x-5){a>0).

/(x)在區(qū)間［―1,4］上的最大值是/(—l)=6a

..ci-2,

由己知，得6a=12,,

/(%)=2x(x-5)=2x~-10x(xeR).

37

(II)方程/(%)+—=0等價(jià)于方程2犬—lOf+37=0.

設(shè)/z(x)=2X3-10%2+37,貝uh'(%)=6x2-20x=2x(3x-10).

當(dāng)xe(0,g)時(shí)，"(x)<0,〃(x)是減函數(shù)；

當(dāng)xe(m，+oo)時(shí)，〃'(x)>0,7z(x)是增函數(shù)。

/z(3)=l>0,//(y)=<0,A(4)=5>o,

方程〃(x)=0在區(qū)間(3,弓),(弓,4)內(nèi)分別有惟一實(shí)數(shù)根，而在區(qū)間(0,3),(4,+8)

內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，

37

所以存在惟一的自然數(shù)根=3,使得方程/(x)+—=0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有

x

兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根。

16.(廣東卷)設(shè)函數(shù)/&)=-丁+3了+2分別在士、泡處取得微小值、極大值.xoy平面上

點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(占,/0))、(x2,/(x2)),該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿意以?尸3=4,點(diǎn)。是點(diǎn)

尸關(guān)于直線y=2(x-4)的對稱點(diǎn).求

。)求點(diǎn)A、5的坐標(biāo)；

。1)求動(dòng)點(diǎn)。的軌跡方程.

解:(1)令尸(x)=(—Y+3x+2)'=—3》2+3=0解得x=l期=—1

當(dāng)-1時(shí),/'(%)<0,當(dāng)一1<%<1時(shí),/'(%)>0，當(dāng)*>1時(shí),/'(%)<0

所以，函數(shù)在x=-l處取得微小值，在x=l取得極大值，故

尤1=—1,%2=1，/(-1)=°，/(1)=4,所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A(—1,0),5(1,4).

(II)設(shè)p(北〃)，。(羽y),PA^PB=(—l—m—n)^(l—m,4—n)=m2—l+n2-4n=4

心0=—工，所以2二3=—工，又PQ的中點(diǎn)在y=2(x—4)上，所以)磬=2(W—4]

2x—m22I2J

消去加，〃得(X—8)2+(>+2)2=9

17.(湖北卷)設(shè)％=3是函數(shù)/(幻=(必+奴+b)e3f(xeR)的一個(gè)極值點(diǎn)。

(I)、求a與匕的關(guān)系式(用a表示〃)，并求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)、設(shè)a>0,g(x)=(6+亍),。若存在生”[0,4]使得|/&)—g6><l成

立，求a的取值范圍。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等學(xué)問，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問解決

問題的實(shí)力。

解：(I)f'(x)=—[x2-\-(a—2)x-\-b~a]e3x,

由/'(3)=0,得一[32+3—2)3+—]/-3=0,即得b=—3—2a,則

23x=2Jxx

f'(x)=[x'-\-(<a—2')x—3-2a-a]e—[x+(a-2)x—3-3a]e=—(x-3)(x+a+l)/.

令f'(x)=0,得x/=3或％2=—a—1，由于尤=3是極值點(diǎn)，所以x+a+lKO,那么aW—4.

當(dāng)a<一4時(shí)，X2>3=XI，則在區(qū)間(一8,3)上，/'⑴<0,/⑴為減函數(shù)；在區(qū)間(3,一

?-1)上，f'(X)>0,/㈤為增函數(shù)；在區(qū)間(-67-1,+8)上，f'(X)<0,/㈤為減函數(shù)。

當(dāng)a>—4時(shí)，%2<3—xi,則在區(qū)間(一8,—a—1)上，f'(x)<0,/㈤為減函數(shù)；在區(qū)

間(-a-1,3)上，f'(x)>0,/㈤為增函數(shù)；在區(qū)間(3,+8)上，f'(x)<Q,/⑴為減函

數(shù)。

(II)由(I)知，當(dāng)a>0時(shí)，〃尤)在區(qū)間(0,3)上的單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,4)上

單調(diào)遞減，那么/⑴在區(qū)間[0,4]上的值域是f(4)),f(3)],

而〃0)=一(2a+3)e^<0,R4)=(2a+13)e」>0,f(3)^a+6,

那么〃力在區(qū)間[0,4]上的值域是[—(2A+3)/,a+6].

又8(%)=(/+1)產(chǎn)在區(qū)間[0,4]上是增函數(shù)，

且它在區(qū)間[0,4]上的值域是d+325,(一+2上5)e4],

44

由于(/+2巴5)-(a+6)=a2~a+1-=(a—1—)2^0,所以只須僅須

442

253

(a2+——)—(a+6)<1且”>0,解得0<。<一.

42

3

故a的取值范圍是(0,-)o

2

18.(湖北卷)設(shè)函數(shù)於在x=l處取得極值-2,試用c表示。和b,并求力尤)

的單調(diào)區(qū)間。

解：依題意有/⑴=-2,/⑴=0,而/(1)=3x2+2ax+b,

,1+〃+/7+。=—2a—c

故\解得\從而

3+2a+b=0\b=-2c-3

f(x)=3%?+2cx-(2c+3)=(3x+2c+3)(九-1)。

+3

令/(%)=0,得x=l或%=———o

2c+3

由于/(%)在x=l處取得極值，故———^1,即cw—3。

(1)若—答^〉1,即c<—3,則當(dāng)xe'oo,—答31時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)xe1一等2,11時(shí),

/(%)<0；當(dāng)x￡(l,+oo)時(shí)，/(%)>0；

(_|_o2r+3

從而/'(X)的單調(diào)增區(qū)間為一00,-￡二,［1,+00)；單調(diào)減區(qū)間為-」丁,1

、33

(2)若------->1,即c<—3,同上可得，

3

/(X)的單調(diào)增區(qū)間為—8,1］,—弓坦，+°°］；單調(diào)減區(qū)間為L—普3

19.(湖南卷)已知函數(shù)/(%)=x—sinx,數(shù)列｛%｝滿意:0<q〈I,.=/(〃“),〃=1,2,3,.

1[

證明：(1)0<an+l<an<\\(11)%+]<—〃/.

6

證明：(1).先用數(shù)學(xué)歸納法證明<1,n=l,2,3,…

(D.當(dāng)n=l時(shí)，由已知明顯結(jié)論成立.

(ii).假設(shè)當(dāng)n二k時(shí)結(jié)論成立,即0</<1.因?yàn)?<x<l時(shí)

/'(%)=1—cosx〉0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù)，

從而f(0)</)</(I),即。</+iv1—sin1<1.故n=k+1時(shí),結(jié)論成立.

由(i)、(ii)可知，0</<1對一切正整數(shù)都成立.

又因?yàn)?<。〃<1時(shí)，an+1-an=an-sinan-an=-sinan<0,

所以?！?i<4，綜上所述0<a〃+i<1.

(II).設(shè)函數(shù)g(x)=sin犬一工+!13,0<x<l.由(I)知，當(dāng)0vx<l時(shí)，sinx<x,

6

222

從而g(%)=COS%—1+土=-2sin22+土>-2(二『+2-=0.所以g(x)在(0,1)上是增函

2r222

數(shù).又g(x)在［0,1］上連續(xù)，且g(0)=0,所以當(dāng)0<%<1時(shí)，g(x)>0成立.于是

g(a“)>0,即sina“-a,+，>o故口用<1

oo

20.(湖南卷)已知函數(shù)/。)=63_3.+1一』.

a

(I)探討函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(H)若曲線y=/(x)上兩點(diǎn)4B處的切線都與y軸垂直，且線段42與無軸有公共點(diǎn),

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

■一2

解(I)由題設(shè)知aw0,尸(%)=3以2一6%=3ax(x—).

a

2

令/'(%)=。得%1=0,%2=—?

a

當(dāng)(i)a>0時(shí)，

若％￡(-oo,0)，則/(%)>0，所以/⑺在區(qū)間(-oo,2)上是增函數(shù)；

a

若xe(0,2),則尸(x)<0,所以/(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)；

aa

若xe(2,+?),則/(x)>0,所以/(x)在區(qū)間(2,y)上是增函數(shù)；

aa

(ii)當(dāng)a<0時(shí)，

若XG(-OO,—),則/v)<o,所以/(X)在區(qū)間(F,2)上是減函數(shù)；

aa

若xe(0,2),則尸(x)<0,所以/(x)在區(qū)間(0,2)上是減函數(shù)；

aa

若xe(—,0),則尸(x)>0,所以/(x)在區(qū)間(一,0)上是增函數(shù)；

aa

若X￡(0,+oo),則尸(%)vO,所以f(x)在區(qū)間(0,+oo)上是減函數(shù).

(II)由(I)的探討及題設(shè)知，曲線y=/(x)上的兩點(diǎn)A、5的縱坐標(biāo)為函數(shù)的極值,

7Q04

且函數(shù)y=/(%)在冗=0,九=—處分別是取得極值"0)=1——,/(-)=---一一+1.

ac1aoia

因?yàn)榫€段AB與x軸有公共點(diǎn)，所以f(0)./(2)V0.

a

即(一二一』+1)(1_▲)V0.所以(°+D(a,3)(。-4)g0

22

aaaa

故(a+l)(a-3)(a-4)<0,且。w0.

解得一lWa<0或3WaW4.即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,0)U[3,4].

21.(江蘇卷)請您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形態(tài)是高為1m的正六棱柱，上部的形態(tài)是側(cè)

棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)。究竟面中心力的距離為多少時(shí),

帳篷的體積最大？

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)學(xué)問，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)N01實(shí)

際問題的實(shí)力。

解：設(shè)001為xm,則由題設(shè)可得正六棱錐底面邊長為

J3?+(%—1)2=J8+2X—尤2(單位：m)

于是底面正六邊形的面積為(單位：m2)

732+(X-1)2=6.^.(A/8+2X-X2)2=當(dāng)(8+2x-x2)

3

帳篷的體積為(單位：m)V(x)=±f(8+2x—f)|(%-1)+1=*(16+12x—/)

J?

求導(dǎo)數(shù)，得V'(x)=^(12-3-)

令V'(x)=O解得x=-2(不合題意，舍去)，x=2.

當(dāng)"x<2時(shí),V'(x)>O,V(x)為增函數(shù)；當(dāng)2〈x<4時(shí)，V'(x)<O,V(x)為減函數(shù)。

所以當(dāng)x=2時(shí),V(x)最大。

答當(dāng)OOi為2m時(shí)，帳篷的體積最大。

2

22.(江西卷)已知函數(shù)f(x)=x3+ax?+bx+c在x=——與x=1時(shí)都取得極值

3

(1)求a、b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間

(2)若對xe(-1,2),不等式f(x)?2恒成立，求c的取值范圍。

解：(1)f(x)—x3+an?+bx+c,fr(x)—3^+2ax+b

21241

由rr--；=——a+b=0,fCl)=3/2々*6=0得。=一一，b=~2

3932

f(x)=3x2—X—2=(3X+2)(X-1),函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間如下表：

2_2「，1)

X(-co,——)1(1,+oo)

33

rg+0—0+

f(x)T極大值J微小值T

2?

所以函數(shù)f(X)的遞增區(qū)間是(一00,--)與(1,+oo),遞減區(qū)間是(一一，1)

33

1222

(2)f(x)=x3——x2—2x+c,xe［一1,2),當(dāng)*=一一時(shí)，f(x)=—+c

2327

為極大值，而/<2)=2+c,則/'(2)=2+c為最大值。要使/6J<c2(xe(-1,2))

恒成立，只需c2>/〈2)=2+c,解得C<—1或c>2

23.(遼寧卷)已知函數(shù)f(x尸一狽3+bx2+cx+d,其中a,b,c是以d為公差的等差數(shù)列，，

3

且a>0,d>0.設(shè)/為/'(X)的極小值點(diǎn)，在［『-^,0］上，/'(X)在X1處取得最大植，

a

在9處取得最小值，將點(diǎn)(%0，/。())),01，/'01)),(尤2，/'區(qū),/(%2))依次記為人，B,C

(I)求X。的值

(II)若/ABC有一邊平行于X軸，且面積為2+百，求a,d的值

【解析】(I)：2b=a+c

f\x)=ax2+2bx+c=ax2+(a+c)x+<?=(%+l)(ax+c)

令r(x)=o,得X=_1或x=--

a

.a>Q,d>0ccr

—>1,——<-1

:.Q<a<b<caa

當(dāng)—￡<X<—1時(shí)，f\x)<0;當(dāng)x>—1時(shí)，f'(x)>0

a

所以f(x)在X-l處取得最小值即X。=-1

A

(II)f\x)=ax?+2bx+c(a>0)/.f\x)的圖像的開口向上,對稱軸方程為％=——

a

b2bbb2b

由一〉1知|(1——)-(——)|<|0-(——)|.?.>(%)在［1——,0］上的最大值為了'(0)=c

aaaaa

即再二0

bb2/7hh『b

又由—〉1,知W［1---,0］.,.當(dāng)％=---時(shí)，/'(%)取得最小值為八)----，即/2二

aaaaaaa

f(xo)~f~~^a,,4-1,一三〃),5(0,c)C(—,---)

33aa

1z72

由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸，所以——。二——，即a2與/(1)

3a

又由三角形ABC的面積為2+百得工(—1+2).(c+旦)=2+J3

2a3

2d2r-

利用b=a+d,c=a+2d,得一dH---=2+A/3(2)

3a

聯(lián)立(1)(2)可得d=3,a=30.

,

解法2:?.?r(x)=a?+2fcc+c(a>0)?f'Q—--)=0,/(0)=c

a

2b

又c>0知/(x)在［1——,0］上的最大值為廣(0)=c即：玉=0

a

hh2/7hhd?b

又由2>1,知［1-吆,0］.?.當(dāng))二——時(shí)，f\x)取得最小值為了'(一)二-一，即%2二—

aaaaaaa

f(xo)~f~~^a,,4-1,一彳〃),5(0,c)C(—,---)

53aa

1力

由三角形ABC有一條邊平行于x軸知AC平行于x軸,所以一一。=——,BPa2=3J2(1)

3a

又由三角形ABC的面積為2+百得工(—1+2>(C+3)=2+J3

2a3

2d2r-

利用b=a+d,c=a+2d,得一dH----2+v3(2)

3a

聯(lián)立(1)(2)可得d=3,a=3百

【點(diǎn)評(píng)】本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極值的判定，閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值，等差數(shù)基礎(chǔ)

學(xué)問的綜合應(yīng)用，考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的實(shí)力

24.(遼寧卷)已知函數(shù)/。)=(加+(4+d)/+(。+2，)工+1,g(x)=ax2+2(a+2d)x+a+4t/,

其中。>0,d>0,設(shè)/為/(x)的微小值點(diǎn)，再為g(x)的極值點(diǎn)，g(>2)=g(%)=0，

并且將點(diǎn)Oo，/(%(；)),(%1，8(/)),(々,0方(芍0)依次記為AB,C,D.

(1)求「的值；

(2)若四邊形APCD為梯形且面積為1,求a,d的值.

本小題考查多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)極值的判定，二次函數(shù)與二次方程等基礎(chǔ)學(xué)問的的綜合

運(yùn)用，考查用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題，解決問題的實(shí)力.滿分12分.

解：(I)f(x)=at2+2(a+d)x+a+2d-(x+l)(ax+a+2d),

令/(x)=0,由aw。得x=—1或1=-1----.?

a

。z-7

a>0,d>0..'.-1<——<-1

a

當(dāng)—1—-3<x<-1時(shí),/'U)<0,

a

當(dāng)x>—1時(shí),/'(x)>0,

所以/'(x)在x=—1處取微小值，即不=—1..

(II)g(x)=ax2+(2a+4J)x+a+4d

a>Q,x^R,g(x)在x=_2a+4d=—1—”處取得微小值，即/=—1—衛(wèi).

2aaa

由g(x)=0,即(依+a+4d)(%+1)=0,

4d

a>0,d>0,x2<x1?/.x2=-1----，玉=-1,

a

f(XQ)=f(_1)——_62+(a+d)-(a+2d)+d=—-di,

/、/12d/12d”c/7、/12d、,74d2

g(x0)=g(-l----=a(-l-----1+(2a+4d)(-l----)+a+4d=------,

aaaa

A(-1,-：a),B(-l--C(-l-—,0),D(-l,0)........9分

3aaa

4/2

由四邊形ABCD是梯形及BC與AD不平行，得ABHCD.有—@=-----,即(T=12屋.

3a

由四邊形ABCD的面積為I,得g(|+\CD\)-\AD\=I,

從而。2=12,得a=2百.

25.(全國卷I)已知函數(shù)〃x)="e

1X

(I)設(shè)a>0,探討y=/(x)的單調(diào)性;

(II)若對隨意恒有求a的取值范圍。

ax2+2—a

解(I)f(x)的定義域?yàn)?一8,l)U(l,+8).對f(x)求導(dǎo)數(shù)得f'(x)=\二)；屋政

(i)當(dāng)a=2時(shí),"(x)=...晨2x,“(X)在(一8,0),(0,1)和(1,+8)均大于0,所以f(x)在(一

(J.X)2

8』),(1,+8).為增函數(shù).

(ii)當(dāng)0<a<2時(shí)，f'(x)>0,f(x)在(一81),(1,+8)為增函數(shù).

a—2

(iii)當(dāng)a>2時(shí),0<--<1,令f'(x)=0，解得xi=

d

(11)(1)當(dāng)0。?2時(shí)，由(I)知：對隨意xd(O,l)恒有f(x)>f(O)=L

1a—2

(ii)當(dāng)a>2時(shí)，取xo=57工一G(0,1),則由(I)知f(xo)<f(O)=l

1+x

(叫當(dāng)aWO時(shí)，對隨意xG(0,1),恒有1>1且■松力,得

1+x1+x

f(x)=--e-ax^-——>1.綜上當(dāng)且僅當(dāng)aG(—8,2］時(shí),對隨意**0,1)恒有心)>1.

1X1X

26.(全國卷I)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)/(%)=尤3一依2+(/_])尤在(《,0)和(1,+00)都是增

函數(shù)，求a的取值范圍。

解f(x)=3x2—2ax+3—1),其判別式△=4a2—12a2+12=12—8a2.

(i)若4=12—822=0,即2=±坐當(dāng)*￡(一8$,或*￡(/+8)時(shí),改)>0胎)在(—8,+8)為增函

數(shù).所以a=±2?

3

(ii)若△=口—8a2<0,恒有￡支)>0,4*)在(-8,+8)為增函數(shù),所以

即aG(-8,—*)u*,+8)

a+

(iii)若—8a2>0,即一坐<a〈坐，令f(x)=O,解得xi一~2a；X2_^^.

當(dāng)*@(—8區(qū)),或*6。2,+8)時(shí)了5)>0,以)為增函數(shù)；當(dāng)*^g1K2)時(shí)『5)<0,貽)為減函數(shù).依

題意xi^O且X2WI.由xi20得a^yj3-2a2，解得lWa<坐

2

由x2<l得[3—2aW3—a,解得一坐<a<坐從而aG[l坐)

綜上,a的取值范圍為(一8,一坐u[坐+8)”1坐)，即aG(—8,一孝|U口尸).

27.(全國n)設(shè)函數(shù)/U)=(x+l)ln(x+l),若對全部的x20,都有八x)》ax成立，求實(shí)數(shù)a

的取值范圍.

解法一：令g(x)=(x+l)ln(x+l)—ax,

對函數(shù)g(x)求導(dǎo)數(shù)：g%x)=ln(x+l)+l—a

令g'(x)=。，解得冗=*一1一L....5分

(i)當(dāng)小時(shí),對全部％>0,g%x)>0,所以g(x)在[0,+oo)上是增函數(shù)，

又g(0)=0,所以對xNO,都有g(shù)(x)2g(0),

即當(dāng)〃時(shí)，對于全部x20,都有兀...9分

(訪當(dāng)〃>1時(shí),對于OVxV炭一i—1,g'(%)VO,所以g(x)在(0,尸1—1)是減函數(shù),

又g(0)=0,所以對OVxVeLi—1,都有g(shù)(x)Vg(O),

即當(dāng)。>1時(shí)，不是對全部的％20,都有八工)2以成立.

綜上，〃的取值范圍是(一8,1].……12分

解法二：令g(x)=(x+l)ln(x+l)—QX,

于是不等