2024云南中考數(shù)學(xué)二輪訓(xùn)練：規(guī)律探索題 (含答案)

2024云南中考數(shù)學(xué)二輪專題訓(xùn)練題型二規(guī)律探索題

熱身小練

(1)若一列正整數(shù)：1，2，3，依照此規(guī)律，則第〃(〃21)個(gè)數(shù)是；這〃(〃21)個(gè)

數(shù)的和為.

(2)若一列數(shù)：1，3，5，7，9，依照此規(guī)律，則第〃(〃21)個(gè)數(shù)是;這〃(〃21)

個(gè)數(shù)的和為.

(3)若一列數(shù)：2，4，6，8，…，依照此規(guī)律，則第九(幾21)個(gè)數(shù)是；這幾(〃21)個(gè)數(shù)

的和為.

(4)若一列數(shù)：一1，1，一1，1，一1，…，依照此規(guī)律,則第〃但21)個(gè)數(shù)是.

⑸若一列數(shù)：1，T，1，T，1，…，依照此規(guī)律，則第〃(〃21)個(gè)數(shù)是.

(6)若一列數(shù)：1，4，9，16，…，依照此規(guī)律，則第〃(〃三1)個(gè)數(shù)是.

⑺若一列數(shù)：2，5，10，17，…，依照此規(guī)律，則第〃伽21)個(gè)數(shù)是.

(8)若一列數(shù)：0，3，8，15，…，依照此規(guī)律，則第個(gè)數(shù)是.

(9)若一列數(shù)：4，7，10，…，依照此規(guī)律，則第幾(〃21)個(gè)數(shù)是.

(10)若一列數(shù)：3，1只，…，依照此規(guī)律,則第〃(心1)個(gè)數(shù)是.

類型一數(shù)式規(guī)律

典例精講

例1(2023云南黑白卷)按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：一4°2，9.4，-16泊，25〃，-36a10，

49al2，…，第"個(gè)單項(xiàng)式是()

A.(-l)"n2a2"

B.2a2”

C.(一1)"—1(〃+1)2於，

D.(―1)”一52a2〃

滿分技法

解答數(shù)式遞推規(guī)律的方法，一般通過題中前幾項(xiàng)的數(shù)字或數(shù)式找出每項(xiàng)數(shù)字或數(shù)式間的關(guān)系

求解，步驟為：

第一步：標(biāo)序數(shù)；

第二步：對(duì)比序數(shù)(1，2，3，…，〃)和所給數(shù)字或數(shù)式的關(guān)系，把每一部分與序數(shù)之間的關(guān)

系用含序數(shù)的式子表示出來；

第三步：根據(jù)找出的規(guī)律求出第〃個(gè)式子，并檢驗(yàn)；

第四步：若所求的數(shù)字或式子前面的符號(hào)是正（+）、負(fù)（一）交替出現(xiàn)時(shí)，根據(jù)正負(fù)號(hào)的變化

規(guī)律，則第"個(gè)數(shù)字（或式子）的符號(hào)用（一1）〃或（一1）"+1表示.

例2觀察以下等式：

第1個(gè)等式：|x（^-i）=-i-

第2個(gè)等式：jx（|-2）=-4，

第3個(gè)等式：—X（--3）=-9-

310

第4個(gè)等式：yX（^-4）=-16>

第5個(gè)等式：—X（--5）=-25--

526

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第6個(gè)等式：；

（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式：（用含n的等式表示），并證明.

滿分技法

解答等式規(guī)律，步驟為：

第一步：標(biāo)序數(shù)；

第二步：將等式左邊的每項(xiàng)用含序數(shù)的式子表示出來，得到關(guān)系式;

第三步：將等式右邊的每項(xiàng)用含序數(shù)的式子表示出來；

第四步：用題中所給的數(shù)據(jù)驗(yàn)證等式的正確性.

針對(duì)訓(xùn)練

1.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)依次為一。［，一。（，…（a。。），按此規(guī)律排列下去，這列

數(shù)中的第9個(gè)數(shù)是.

2.觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；@10，24，

26；…請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：

3.觀察下列等式:

第一個(gè)等式：-^=3X（1-4）；

第二個(gè)等式：刃=，三討。

第三個(gè)等式:的=1=1義（1」

7X103710

第四個(gè)等式：

10X1331013

按照上述規(guī)律，則。1+42+的+。4+…+〃2020=.

類型二圖形累加規(guī)律

典例精講

例1（2023官渡區(qū)二模）用形狀大小完全相同的等邊三角形和正方形按如圖所示的規(guī)律拼

圖案，即從第2個(gè)圖案開始每個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多4個(gè)等邊三角形和1個(gè)正方形，則第

2023個(gè)圖案中等邊三角形的個(gè)數(shù)為個(gè).

例1題圖

滿分技法

基礎(chǔ)圖形固定累加的解答步驟為：

1.找關(guān)系：找后一個(gè)圖與前一個(gè)圖中所求圖形或元素個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，一般是通過作差的

形式觀察是否有固定的數(shù)量關(guān)系；

2.找規(guī)律：若第一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)為a，第二個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比第一個(gè)圖形多b，

且此后每一個(gè)圖形所求元素個(gè)數(shù)比前一個(gè)圖形都多b，則第n個(gè)圖形中所求圖形或元素的個(gè)

數(shù)為a+b（n—l）.

例2（2023云大附中模擬）下列圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中

第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)

菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為

例2題圖

滿分技法

基礎(chǔ)圖形遞變累加的解答步驟為：

1.標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“I，2，3，…，〃”；

2.數(shù)圖形個(gè)數(shù)：數(shù)出每組圖形的個(gè)數(shù)或用序號(hào)的乘積表示出個(gè)數(shù)；

3.尋找第〃項(xiàng)數(shù)量與序數(shù)〃的關(guān)系：將后一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比，

通過作商來觀察圖形個(gè)數(shù)；或?qū)D形個(gè)數(shù)與〃進(jìn)行對(duì)比，尋找是否是與〃有關(guān)的平方、平方

加1、平方減1等關(guān)系；

4.驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確.

針對(duì)訓(xùn)練

1.如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由相同的矩形拼接而成，已知矩形的長(zhǎng)為a，寬為6，

則第?個(gè)圖案的周長(zhǎng)為_______.

2.如圖的三角形圖案為謝賓斯基加拓）三角形，在下列四個(gè)三角形圖案中，涂有陰影

的三角形個(gè)數(shù)依次為：第1個(gè)圖案中有1個(gè)，第2個(gè)圖案中有3個(gè)，第3個(gè)圖案中有9個(gè)，

第4個(gè)圖案中有27個(gè)，…，按此規(guī)律，第n個(gè)圖案中有個(gè)涂有陰影的三角形.

“

*1分第2小房3小第§個(gè)

第2題圖

類型三圖形成倍遞變規(guī)律

典例精講

例如圖，正方形/BCD的邊長(zhǎng)為1，其面積標(biāo)記為Si，以N3為斜邊向外作等腰直角三角

形，再以該等

例題圖

腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下

去，貝！ISi的值為.

滿分技法

圖形線段（面積）成倍遞變的解題步驟為：

1.求出第一次變化前圖形的邊長(zhǎng)或面積；

2.計(jì)算第一次、第二次、第三次、…變化后的邊長(zhǎng)或面積，找出相鄰圖形邊長(zhǎng)或面積之間

的倍數(shù)關(guān)系，歸納出第n次變化后的邊長(zhǎng)或面積與變化次數(shù)n的關(guān)系式；

3.代入所給圖形中的某一變化，并驗(yàn)證所歸納的關(guān)系式；

4.求解設(shè)問中要求的量.

針對(duì)訓(xùn)練

1.（2015省卷14題3分）如圖，在△/BC中，3c=1，點(diǎn)

尸卜跖分別是/8、/C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)2、%分別是/尸卜/跖的中點(diǎn)，點(diǎn)尸3、峪分別是

4P2、的中點(diǎn),按這樣的規(guī)律下去，P”跖的長(zhǎng)為______（"為正整數(shù)）.

明3圖4

第1題圖

2.如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊△NBC的邊2C垂直于直線/,過點(diǎn)/作NS，/于5，以/氏為

邊作等邊△/歷4；再過4作小比，/于明，以4瓦為邊作等邊必2；…；所有圖形都

在直線/同側(cè)，按照此規(guī)律繼續(xù)作下去，則SZX/2020&023/2023=.

B"&從

第2題圖

類型四圖形周期變化規(guī)律

典例精講

例如圖在平面直角坐標(biāo)系中有一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形OAB，邊。在x軸上，

如果以03為直角邊作第二個(gè)等腰直角三角形0321，再以031為直角邊作第三個(gè)等腰直角

三角形OBE，…，照此規(guī)律作下去，點(diǎn)歷022的坐標(biāo)為（）

A?（21011--21011）B.（-21010，-21010）

C?（0，-21011）D.（-21011>0）

例題圖

滿分技法

圖形周期變化規(guī)律題的一般解題思路為：

1.先觀察點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）變化的規(guī)律找出循環(huán)一周的變換次數(shù)，記為"；

2.用…“q（0Wq<n），則第"次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）就是第一個(gè)循環(huán)變換中第

q次變化對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），或存在一定的倍分關(guān)系；

3.根據(jù)題意找出第一個(gè)循環(huán)變換中，第q次變換后對(duì)應(yīng)

的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形），即可推斷出第M次變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)（圖形）.

針對(duì)訓(xùn)練

1.根據(jù)如圖所示的流程圖計(jì)算,若X=3,則02023=.

第1題圖

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知正方形的邊長(zhǎng)為8，與y軸交于點(diǎn)M（0，5），頂

點(diǎn)C（6，-3），將一條長(zhǎng)為2022個(gè)單位長(zhǎng)度且沒有彈性的細(xì)繩一端固定在點(diǎn)“處，從點(diǎn)"

出發(fā)將細(xì)繩緊繞在正方形的邊上，則細(xì)繩的另一端到達(dá)的位置的點(diǎn)N的坐標(biāo)為

4“H

1

—|0|'—

C

第2題圖

參考答案

熱身小練

⑴"(2)2〃T，*(3)2〃，f(4)(-1)-；(5)(-1產(chǎn)或(-1廠;(6)島⑺層

2n—1

+1；(8>2-1；(9)3〃+1；(10)--------.

n-\~\

類型一數(shù)式規(guī)律

典例精講

例1B【解析】?.--4a2=(-l)1X(l+l)VX1>9a4=(-l)2X(2+l)VX2--16a6=(-l)3

X(3+1)VX3'25a8=(—1)4x(4+1)202X4,-36a10=(-l)5X(5+l)2a^5>49a12=(-l)6X(6

+1)202*6.?.第"個(gè)單項(xiàng)式是(一

例2解：(1)—X(^-6)=-36；

637

八、4+1、//n

(2尸」X(---n)-2

n〃/十1

、丁□口??4、上層+1、//n、層+1、//n/+久幾2+1、/~n3+斗

證明：?左邊=----X(---------n)=--------X(-----------------)=-------X--------=一層9=右邊，

nn2+1nn2-\-1?2+1n?2+1

，等式成立.

針對(duì)訓(xùn)練

"26〃2lx3-l〃5/,2><3-l

1.--【解析】第l個(gè)數(shù)為一幺=(—l)^a—，第2個(gè)數(shù)為二=(—iy^—，第3個(gè)數(shù)

102v1+131+2

x

“8a33-lna4X3-l.9x3-1

為一里=(-l)利----第4個(gè)數(shù)為攻=(一D的一，…，由此規(guī)律可知第9個(gè)數(shù)是(一1)9^一

41+351+41+9

一遭

10,

2.16,63,65【解析】觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個(gè)數(shù)是2(幾+1)；第二個(gè)數(shù)是〃(〃

+2)；第三個(gè)數(shù)是(〃+iy+1.?,?第⑦組勾股數(shù)為16，63，65.

11

3.—【解析】由題意可得，??=-X(-),當(dāng)n=2020時(shí),Q2O2O=1><(二一

606133:n-23〃+136058

---)，1?Q1+02+03+04+???+q2020=1X(1—g+1xd——)+?,?+-X(----------)=~X(1

6061343473605860613

1,11,,111、―2020

44760586061360616061

類型二圖形累加規(guī)律

典例精講

例18082【解析】當(dāng)"=1時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2，當(dāng)〃=2時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)

為2+4X1=6，當(dāng)〃=3時(shí)，等邊三角形的個(gè)數(shù)為2+4X2=10，當(dāng)〃=4時(shí)，等邊三角形的

個(gè)數(shù)為2+4義3=14，；.第〃個(gè)圖案中等邊三角形的個(gè)數(shù)為2+4(〃-1)=4"—2，；.第2023

個(gè)圖案中等邊三角形的個(gè)數(shù)為4X2023-2=8082.

例257【解析】第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，3=F+2；第②個(gè)圖形中共有7個(gè)菱形，

7=22+3；第③個(gè)圖形中共有13個(gè)菱形，13=32+4；…，.?.第@個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為/

+"+1；.?.第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為72+7+1=57.

針對(duì)訓(xùn)練

1.22a+2b【解析】觀察圖案的變化可知第①個(gè)圖案的周長(zhǎng)為2(a+6)，第②個(gè)圖案的周

長(zhǎng)為2X2(a+6)—2X(2—l)6，第③個(gè)圖案的周長(zhǎng)為3X2(a+b)—2X(3—l)6，…，則第?個(gè)

圖案的周長(zhǎng)為"X2(a+6)—2(〃—1)6，，第?個(gè)圖案的周長(zhǎng)為11義2(°+6)—2X(11—1)6=

22a+26.

2.3'r【解析】???第1個(gè)圖案中有1=3。個(gè)涂有陰影的三角形，第2個(gè)圖案中有3=31個(gè)

涂有陰影的三角形，第3個(gè)圖案中有9=32個(gè)涂有陰影的三角形，第4個(gè)圖案中有27=33

個(gè)涂有陰影的三角形，依次類推，，第〃個(gè)圖案中有3，門個(gè)涂有陰影的三角形.

類型三圖形成倍遞變規(guī)律

典例精講

例(1)6【解析】由題意得$=了=1，&=(1X^)2=(1)1,S3=(?X?)2=；=

=((x]><g)2=：=(；)3，…，則=,.?.S7=(；)6.

222oZ2Z

針對(duì)訓(xùn)練

1.-【解析】在△/BC中，8C=l，點(diǎn)/、跖分別是42、/C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)2、跖分

2n

別是"1、AMi的中點(diǎn)，點(diǎn)P3、跖分別是/22、/跖的中點(diǎn),可得,尸，P2M2=1義1

222

=1'故尸"跖=1.

42"

2.文【解析】?.?JBC_L/，ZU5C為等邊三角形,：.ZABBi=3Q°>'：AB=2>：.ABi=~AB

240422

=l.'：ABi±l>△AB"i為等邊三角形，，/43山2=30：，山2=^>AIB2=-AIBI=~ABI

222

=->/.SA^Ui=-XlX^=^|，同理可得，SAAiB2A2=1義'乂道=E>SAA2BSA3=

-X-X—=—|>>??>SAAnB>l+iA?+iA2020-^2023^2023

24826

類型四圖形周期變化規(guī)律

典例精講