浙教版八年級數(shù)學(xué)培優(yōu)試卷專題29 幾何變換

專題29幾何變換閱讀與思考幾何變換是指把一個幾何圖形變換成另一個幾何圖形的方法，若僅改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，這種變換稱為合同變換，平移、對稱、旋轉(zhuǎn)是常見的合同變換.1.平移變換如圖1，如果把圖形上的各點都按一定方向移動一定距離得到圖形后，則由到的變換叫平移變換.平移變換前后的對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)角的兩邊分別平行且方向一致.2.對稱變換如圖2，將平面圖形變換到與它成軸對稱的圖形，這樣的幾何變換就叫做關(guān)于直線（對稱軸）的對稱變換.對稱變換前后的對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，其對稱軸是連結(jié)各對應(yīng)點線段的垂直平分線.3.旋轉(zhuǎn)變換如圖3，將平面圖形繞這一平面內(nèi)一定點M旋轉(zhuǎn)一個定角，得到圖形，這樣的變換叫旋轉(zhuǎn)變換，M叫旋轉(zhuǎn)中心，叫旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)變換前后的圖形是全等的，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.例題與求解【例l】如圖，∠AOB=，角內(nèi)有點P，PO=，在角的兩邊上有兩點Q，R（均不同于O），則△PQR的周長的最小值為_______________.（黃岡市競賽試題）解題思路：作P點關(guān)于OA，OB的對稱點，確定Q，R的位置，化折線為直線，求△PQR的最小值.【例2】如圖，P是等邊△ABC的內(nèi)部一點，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是，則以PA，PB，PC為邊的三角形的三個角的大小之比（從小到大）是（）A.B.C.D.不能確定（全國通訊賽試題）解題思路：解本例的關(guān)鍵是如何構(gòu)造以PA，PB，PC為邊的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的任一個，繞一個頂點旋轉(zhuǎn)，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.【例3】如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求證：AB+BD=CD.（天津市競賽試題）解題思路：用截長法或補短法證明，實質(zhì)都利用AD翻折造全等.【例4】如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，對邊之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，求證：該六邊形的各角都相等.（全俄數(shù)學(xué)奧林匹克競賽試題）解題思路：設(shè)法能將復(fù)雜的條件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞，用一個基本圖形表示，題設(shè)條件有平行條件，考慮實施平移變換.【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=，∠MCN=如圖1，當(dāng)M、N在AB上時，求證：如圖2，將∠MCN繞C點旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M在BA的延長線時，上述結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.（天津市中考試題）解題思路：符合勾股定理的形式，需轉(zhuǎn)化為直角三角形可將△ACM沿直線CM對折，得△DCM.連DN，只需證DN=BN，∠MDN=；或?qū)ⅰ鰽CM(或△BCM)旋轉(zhuǎn).【例6】如圖，∠DAC=，∠DBC=，∠CAB=，∠ABD=，求∠DCA的度數(shù).（日本算術(shù)奧林匹克試題）解題思路：已知角的度數(shù)都是的倍數(shù)，，這使我們想到構(gòu)作正三角形.能力訓(xùn)練1.在如圖所示的單位正方形網(wǎng)格中，將△ABC向右平移3個單位后得到△，則的度數(shù)是_______.（泰安市中考試題）(第1題)（第2題）（第3題）2.如圖，P是等邊△ABC內(nèi)一點，PA=6，PB=8，PC=10，則∠APB=_________.3.如圖，直線與雙曲線交于點A，將直線向右平移個單位后，與雙曲線交于點B，與軸交于點C.若，則=______________.（武漢市中考試題）4.如圖，△ABC中，∠BAC=，AD⊥BC，DB=3，DC=2，則△ABC的面積是___________.5.如圖，P為正方形內(nèi)一點，若，則∠APB的度數(shù)是（）.A.B.C.D.6.如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O，把邊BA、CD分別繞點B、C同時逆時針旋轉(zhuǎn)，得四邊形,下列結(jié)論：①四邊形為菱形；②；③線段的長為.其中正確的結(jié)論有（）.A.0個B.1個C.2個D.3個7.如圖，A，B兩個電話機離電話線的距離分別是3米，5米，CD=6米，若由L上一點分別向A，B連電話線，最短為（）.A.11米B.10米C.9米D.8米8.如圖，在△ABC中，∠BAC=，P是△ABC內(nèi)一點，若記，，則（）.A.B.C.D.與的大小關(guān)系不確定9.如圖，已知D是△ABC中BC邊的中點，過D作DE⊥DF，分別交AB于E，交AC于F，求證：.（天津市競賽試題）10.如圖，△ABC，△其各邊交成六邊形DEFGHK，且EF∥KH，GH∥DE，F(xiàn)G∥KD，.求證：△ABC，△均為為正三角形.（“縉云杯”邀請賽試題）11.如圖，已知△ABC中，AB=AC，P，Q分別為AC，AB上的點，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ.（北京市競賽試題）12.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點的坐標(biāo)分別為，.(1)若是軸上的一個動點，當(dāng)△PAB的周長最短時，求的值；（2）若是軸上的兩個動點，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求的值；（3）設(shè)M，N分別為軸，軸上的動點，問：是否存在這樣的點和，使四邊形ABMN的周長最短？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（浙江省湖州市中考試題）13.如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，分別以兩腰AB，CD為邊向兩邊作正方形ABGE和正方形DCHF，設(shè)線段AD的垂直平分線交線段EF于點M，EP⊥于P，F(xiàn)Q⊥于Q，求證：EP=FQ.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）14.如圖所示，已知△ABC中，AB=BC，在△ADE中，AD=DE，連結(jié)EC，取EC中點M，連結(jié)DM和BM.（1）若點D在邊AC上，點E在邊AB上且與點B不重合，如圖1，求證