2023-2024學年遼寧省撫順市新?lián)釁^(qū)八年級（下）第二次段考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023-2024學年遼寧省撫順市新?lián)釁^(qū)八年級（下）第二次段考數(shù)學試卷一、選擇題（本題10小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．（3分）一個三角形的三邊長分別是cm，cm，cm，則此三角形的周長為（）A． B． C． D．3．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標分別是（1，0），（﹣2，0），（0，2），則頂點C的坐標是（）A．（﹣4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（4，2）4．（3分）如圖，在數(shù)軸上，過表示數(shù)2的點A作數(shù)軸的垂線，以點A為圓心，1長為半徑畫弧，交其垂線于點B，再以原點O為圓心，OB長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點C，則點C表示的數(shù)為（）A．2.1 B．2.2 C． D．5．（3分）若，則的值是（）A．3 B．±3 C． D．6．（3分）如圖，一棵大樹被大風刮斷后，折斷處離地面7.5m，樹的頂端離樹根4m，則這棵樹在折斷之前的高度是（）A．16m B．18m C．22m D．24m7．（3分）如圖，玻璃杯的底面半徑為4cm，高為6cm，有一只長13cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管露出杯口外的長度至少為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm8．（3分）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．若知道．圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．較小兩個正方形重疊部分的面積 C．最大正方形的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和9．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點F是AB邊上一點，點E是BC延長線上一點，AF＝CE，BF＝2AF．連接DF、DE、EF，EF與對角線AC相交于點G，則線段BG的長是（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠ADC的角平分線與邊AB相交于點P，E是PD中點，若AD＝6，CD＝10，則EO的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）計算的結(jié)果是．12．（3分）已知a＝1+，b＝，則a2+b2﹣2a+1的值為．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠CAD的平分線交BD于點E，過點E作EF∥AD交AC于點F，則＝．14．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°．E是對角線BD上的一個動點（不與點B，D重合），連接AE，以AE為邊作菱形AEFG，其中，點G位于直線AB的上方，且∠EAG＝60°，點P是AD的中點，連接PG，則線段PG的最小值是．15．（3分）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，點D為△ABC內(nèi)一點，BD＝CD，∠ABD+∠ADC＝180°，若AD＝2，則AC的長為．三、解答題（16題15分，17題6分，共計21分）16．（15分）計算：（1）；（2）；（3）．17．（6分）已知，求代數(shù)式的值．四、解答題（18題8分，19題8分，共計16分）18．（8分）某縣轄A、B、C、D四鎮(zhèn)，其中C、A、D三鎮(zhèn)在一條直線上，相互兩鎮(zhèn)間的公路里程如圖所示，由于大山阻隔，原來從A、C兩鎮(zhèn)去D鎮(zhèn)都需繞道B鎮(zhèn)前往．為了發(fā)展經(jīng)濟，縮短A、C兩鎮(zhèn)到D真的路程，現(xiàn)決定開鑿隧道修通A、C兩鎮(zhèn)直達D鎮(zhèn)的公路AD．請問公路修通后從A鎮(zhèn)區(qū)D鎮(zhèn)比原來縮短路程多少千米？（數(shù)據(jù)＝32，＝46.65供選用）19．（8分）如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接CE，AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面積．五、解答題（8分）20．（8分）蕩秋千（圖1）是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動．有一天，趙彬在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.8m（水平距離BC＝1.8m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．六、解答題（8分）21．（8分）如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上的一點（不與點C，D重合），連接BE，BF平分∠ABE，交AD邊于點F，試判斷線段AF，CE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．七、解答題（10分）22．（10分）【問題背景】（1）如圖1，點P是線段，AB，CD的中點，求證：AC∥BD；【變式遷移】（2）如圖2，在等腰△ABC中，BD是底邊AC上的高線，E為△ABD內(nèi)一點，連接ED，延長ED到點F，使DF＝DE，連接AF，若BE⊥AF，請判斷AF，BE，BC三邊數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB中點，點E在線段BD上（點E不與點B，點D重合），過點A作AF⊥CE，連接FD，若AF＝12，CF＝4，求FD的長．八、解答題（12分）23．（12分）通過對《勾股定理》的學習，我們知道：如果一個三角形中，兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形一定是直角三角形．如果我們新定義一種三角形﹣﹣兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．（1）根據(jù)奇異三角形的定義，請你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？（填“是”或不是）；（2）若某三角形的三邊長分別為1、、2，則該三角形是不是奇異三角形，請做出判斷并寫出判斷依據(jù)；（3）在Rt△ABC中，兩邊長分別為a、c，且a2＝50，c2＝100，則這個三角形是不是奇異三角形？請做出判斷并寫出判斷依據(jù)；探究：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a2：b2：c2．

2023-2024學年遼寧省撫順市新?lián)釁^(qū)八年級（下）第二次段考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題10小題，每題3分，共30分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．（3分）下列式子中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：＝中含有分母，它不是最簡二次根式，則A不符合題意；＝×＝2，則B不符合題意；中含有分母，它不是最簡二次根式，則C不符合題意；符合最簡二次根式的定義，則D符合題意；故選：D．2．（3分）一個三角形的三邊長分別是cm，cm，cm，則此三角形的周長為（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意得，++＝2＝9（cm），答：此三角形的周長為9cm．故選：A．3．（3分）如圖，平行四邊形ABCD的頂點A，B，D的坐標分別是（1，0），（﹣2，0），（0，2），則頂點C的坐標是（）A．（﹣4，2） B．（﹣3，2） C．（3，2） D．（4，2）【解答】解：∵平行四邊形ABCD，A（1，0）、B（﹣2，0），∴AB＝3，∴DC＝3，∵D（0，2），∴C（﹣3，2）．故選：B．4．（3分）如圖，在數(shù)軸上，過表示數(shù)2的點A作數(shù)軸的垂線，以點A為圓心，1長為半徑畫弧，交其垂線于點B，再以原點O為圓心，OB長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點C，則點C表示的數(shù)為（）A．2.1 B．2.2 C． D．【解答】解：∵OB＝，∴點C所表示的實數(shù)為，故選：C．5．（3分）若，則的值是（）A．3 B．±3 C． D．【解答】解：∵，即，∴，∴，故選：B．6．（3分）如圖，一棵大樹被大風刮斷后，折斷處離地面7.5m，樹的頂端離樹根4m，則這棵樹在折斷之前的高度是（）A．16m B．18m C．22m D．24m【解答】解：如圖：∵BC＝7.5m，AC＝4m，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，即AB2＝42+7.52，∴AB＝8.5m，∴這棵樹在折斷之前的高度＝8.5+7.5＝16m．故選：A．7．（3分）如圖，玻璃杯的底面半徑為4cm，高為6cm，有一只長13cm的吸管任意斜放于杯中，則吸管露出杯口外的長度至少為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【解答】解：如圖，由題意得：CB＝2×4＝8cm，DC＝6cm，∴，∴露出杯口外的長度為：13﹣10＝3（cm），故選：C．8．（3分）勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)．若知道．圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）A．直角三角形的面積 B．較小兩個正方形重疊部分的面積 C．最大正方形的面積 D．最大正方形與直角三角形的面積和【解答】解：設(shè)直角三角形的斜邊長為c，較長直角邊為b，較短的直角邊為a，根據(jù)勾股定理得，c2＝a2+b2，∴陰影部分的面積＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），∵較小的兩個正方形重疊部分的長＝a﹣（c﹣b），寬＝a，∴較小的兩個正方形重疊部分的面積＝a?[a﹣（c﹣b）]＝a（a+b﹣c）＝陰影部分的面積，∴知道圖中陰影部分的面積，則一定能求的是兩個小正方形重疊部分的面積，故選：B．9．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點F是AB邊上一點，點E是BC延長線上一點，AF＝CE，BF＝2AF．連接DF、DE、EF，EF與對角線AC相交于點G，則線段BG的長是（）A． B． C． D．【解答】解：過點F作FH∥BC交AC于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD＝BC＝3，∠ABC＝∠DAF＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∠BAC＝45°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝90°，∴∠DAF＝∠DCE，∵AF＝CE，∴△DFA≌△DEC（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDC，∵BF＝2AF，∴AF＝1，BF＝2，∴DF＝＝＝DE，∵∠EDF＝∠EDC+∠CDF＝∠FDA+∠CDF＝∠ADC＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF＝2，∵FH∥BC，∴∠AFH＝∠ABC＝90°，∠FHG＝∠ECG，又∵∠BAC＝45°，∴△AFH是等腰直角三角形，∴FH＝AF＝CE，∵∠FGH＝∠EGC，∴△FGH≌△EGC（AAS），∴FG＝EG，∵∠ABC＝90°，∴BG＝EF＝，故選：A．10．（3分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O，∠ADC的角平分線與邊AB相交于點P，E是PD中點，若AD＝6，CD＝10，則EO的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，∴∠CDP＝∠APD，∵DP平分∠ADC，∴∠CDP＝∠ADP，∴∠ADP＝∠APD，∴AP＝AD＝6，∵CD＝10，∴AB＝10，∴PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4，∵E是PD的中點，O是BD的中點，∴EO是△DPB的中位線，∴EO＝PB＝2，故選：B．二、填空題（每小題3分，共15分）11．（3分）計算的結(jié)果是﹣．【解答】解：原式＝2﹣＝2﹣3＝﹣．故答案為﹣．12．（3分）已知a＝1+，b＝，則a2+b2﹣2a+1的值為5．【解答】解：∵a＝1+，b＝，∴a2+b2﹣2a+1＝（a2﹣2a+1）+b2＝（a﹣1）2+b2＝（1+﹣1）2+（）2＝2+3＝5，故答案為：5．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，∠CAD的平分線交BD于點E，過點E作EF∥AD交AC于點F，則＝．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAF＝45°，∠AOD＝90°，∵AE平分∠CAD，∴，∵EF∥AD，∴∠DAE＝∠AEF＝22.5°，∴△OEF∽△ODA，∴，∴，∴，故答案為：．14．（3分）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝60°．E是對角線BD上的一個動點（不與點B，D重合），連接AE，以AE為邊作菱形AEFG，其中，點G位于直線AB的上方，且∠EAG＝60°，點P是AD的中點，連接PG，則線段PG的最小值是．【解答】解：連接DG，在菱形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD＝4，∠BAD＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∠ADC＝120°，∴∠ABD＝60°，在菱形AEFG中，AE＝AG，∠EAG＝60°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG＝60°，∴C，D，G三點共線，過P點作PG′⊥CD于G′點，則當G點位于G′點時，PG有最小值即PG′的長，∵P為AD的中點，AD＝4，∴PD＝2，∵∠DPG′＝90°﹣60°＝30°，∴，∴，即線段PG的最小值是．故答案為：．15．（3分）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝10，點D為△ABC內(nèi)一點，BD＝CD，∠ABD+∠ADC＝180°，若AD＝2，則AC的長為．【解答】解：如圖，延長AD交BC于E，在AB上截取AF＝AD，連接DF．作AH⊥BC于H．設(shè)∠ABD＝α，則∠ADC＝180°﹣α，∠DBC＝60°﹣α，∵DB＝DC，∴∠DCB＝∠DBC＝60°﹣α，∴∠BDC＝60°+2α，∴∠ADB＝120°﹣α，∴∠BAD＝60°＝∠AEB，∴△AEB是等邊三角形，∵AF＝AD＝2，∴△ADF是等邊三角形，∴DF＝AD＝AF＝2，∵∠FBD＝∠EDC＝α，BF＝DE，BD＝DC，∴△BFD≌△DEC（SAS），∴EC＝DF＝2，∵BC＝10，∴BE＝AB＝AE＝10﹣2＝8，∵AH⊥EB，∴BH＝EH＝4，∴，∴．故答案為：．三、解答題（16題15分，17題6分，共計21分）16．（15分）計算：（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）＝＝＝0；（2）＝＝＝；（3）＝＝14．17．（6分）已知，求代數(shù)式的值．【解答】解：∵，∴＝＝＝49﹣48+1+1＝3．四、解答題（18題8分，19題8分，共計16分）18．（8分）某縣轄A、B、C、D四鎮(zhèn)，其中C、A、D三鎮(zhèn)在一條直線上，相互兩鎮(zhèn)間的公路里程如圖所示，由于大山阻隔，原來從A、C兩鎮(zhèn)去D鎮(zhèn)都需繞道B鎮(zhèn)前往．為了發(fā)展經(jīng)濟，縮短A、C兩鎮(zhèn)到D真的路程，現(xiàn)決定開鑿隧道修通A、C兩鎮(zhèn)直達D鎮(zhèn)的公路AD．請問公路修通后從A鎮(zhèn)區(qū)D鎮(zhèn)比原來縮短路程多少千米？（數(shù)據(jù)＝32，＝46.65供選用）【解答】解：∵AC2+AB2＝102+242＝676，BC2＝262＝676，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝90°，在直角△ABD中，AD＝＝32（km），則公路修通以后從A到D比原來縮短的路程是：24+40﹣32＝32（km）．19．（8分）如圖所示，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，連接CE，AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的面積．【解答】（1）證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴EF⊥AC，AO＝CO，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO和△FCO中，∴△EAO≌△FCO（ASA），∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵EF⊥AC，∴四邊形AECF為菱形；（2）解：∵四邊形AECF為菱形，∴AF＝CF，設(shè)AF＝CF＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，即42+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝5，即CF＝AF＝5，∵AB＝4，∴菱形AECF的面積S＝CF×AB＝5×4＝20．五、解答題（8分）20．（8分）蕩秋千（圖1）是中國古代北方少數(shù)民族創(chuàng)造的一種運動．有一天，趙彬在公園里游玩，如圖2，他發(fā)現(xiàn)秋千靜止時，踏板離地的垂直高度DE＝0.5m，將它往前推送1.8m（水平距離BC＝1.8m）時，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝CE＝1.1m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長度．【解答】解：由題意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，設(shè)繩索AD的長度為xm，則AC＝（x﹣1.1+0.5）m，∴x2＝1.82+（x﹣0.6）2，解得：x＝3，答：繩索AD的長度是3m．六、解答題（8分）21．（8分）如圖，正方形ABCD中，點E是CD邊上的一點（不與點C，D重合），連接BE，BF平分∠ABE，交AD邊于點F，試判斷線段AF，CE和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【解答】解：AF+CE＝BE．理由：如圖所示，過點B作BG⊥BE，與DA的延長線交于點G．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝BC，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∵BG⊥BE，∴∠GBE＝∠ABG+∠ABE＝90°，∴∠ABG＝∠CBE，在△CBE和△ABG中，，∴△CBE≌△ABG（ASA），∴CE＝AG，BE＝BG，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠EBF，∵∠ABG＝∠CBE，∴∠ABG+∠ABF＝∠CBE+∠EBF，即∠GBF＝∠CBF，∵AD∥BC，∴∠CBF＝∠AFB，∴∠AFB＝∠GBF，∴BG＝GF＝BE，即AF+CE＝BE．七、解答題（10分）22．（10分）【問題背景】（1）如圖1，點P是線段，AB，CD的中點，求證：AC∥BD；【變式遷移】（2）如圖2，在等腰△ABC中，BD是底邊AC上的高線，E為△ABD內(nèi)一點，連接ED，延長ED到點F，使DF＝DE，連接AF，若BE⊥AF，請判斷AF，BE，BC三邊數(shù)量關(guān)系并說明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點D為AB中點，點E在線段BD上（點E不與點B，點D重合），過點A作AF⊥CE，連接FD，若AF＝12，CF＝4，求FD的長．【解答】（1）證明：∵點P是線段AB，CD的中點，∴AP＝PB，DP＝CP，在△ACP與△BDP中，，∴△PAC≌△PBD（SAS），∴∠A＝∠B，∴AC∥BD；（2）解：AF2+BE2＝BC2，理由如下：連接CE，如圖2：∵△ABC是等腰三角形，BD是底邊AC上的高線，∴AD＝DC，在△ADF與△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠FAD＝∠ECD，AF＝CE，∴AF∥CE，∵BE⊥AF，∴BE⊥CE，∴∠BEC＝90°，∴AF2+BE2＝BC2；（3）解：延長FD到T，使得DT＝DF，連接BT，延長CE交BT于點J，如圖3：∵D為AB的中點