與圓有關(guān)的計(jì)算求陰影部分面積-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

易圓彳吳妁計(jì)算

題型徐速

模型01陰影部分面積計(jì)算

方法一直接利用公式法求陰影部分面積

方法二直接或構(gòu)造和差法求陰影部分面積

求陰影部分面積方法總結(jié)

方法三利用等積轉(zhuǎn)換法求阻影部分面積

方法四利用容斥原理求陰影部分面積

求陰影部分面積在考試中主要考查學(xué)生對圖形的理解和數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)能力具有一定的難度.一般考試

中選擇題或填空題型較多，熟練掌握扇形面積、弧長的計(jì)算、等邊三角形的判定和性質(zhì)，特殊平行四邊形性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

模型02陰影部分周長計(jì)算

求陰影部分弧長或周長的計(jì)算，掌握弧長計(jì)算方法是正確計(jì)算的前提，求出相應(yīng)的圓心角度數(shù)和半徑是

正確計(jì)算的關(guān)鍵.該題型一般考試中選擇題或填空題型較多，圓心角是九。，圓的半徑為R的扇形面積為S,則

S扇形=47T兀&或S扇形==田（其中/為扇形的弧長）.熟練應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵.

模型03與最值相關(guān)的計(jì)算

陰影部分面積和周長中求最值，此題有一定的難度，解題中注意掌握輔助線的作法,注意掌握方程思想與

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.本題考查中經(jīng)常與軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性

質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或

轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

廷結(jié)?牌型鈾建［

模型01陰影部分面積計(jì)算

考I向隅I測

陰影部分面積計(jì)算問題該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，目前與綜合性大題結(jié)合考試，作為其中一問，

難度系數(shù)不大,在各類考試中都以中檔題為主.解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的

面積進(jìn)行求解，屬于中考選擇或填空題中的壓軸題.

???

答I題I技I巧

第一步：確定弧所對的圓心，（找圓心）

第二步：連接圓心與弧上的點(diǎn)；（連半徑）

第三步：確定圓心角度數(shù)（有提示角度的話注意求解相應(yīng)角，沒有提示角度的話一般為特殊角，大膽假

設(shè)小心論證）

第四步：把不規(guī)則圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積進(jìn)行求解

|即型T<5'I

題目Q（2023?四川）一個(gè)商標(biāo)圖案如圖中陰影部分,在長方形ABCD中，AB=6cm,BC=4cm,以點(diǎn)A為

圓心，人。為半徑作圓與氏4的延長線相交于點(diǎn)F,則陰影部分的面積是（）

FAB

A.(4TT+4)cm2B.(4TT+8)cm2C.(8兀+4)cm?D.(47t—16)cm2

【答案】4

【詳解】解：由題意知AF=AD=BC=4cm,BF=AF+AB=10cm,

陰影部分的面積S=48?BC+^-KAD2-^-BF-BC

42

=6x4+=~兀x42-4X10X4

42

=24+4兀―20

=4兀+4,

故選4

〔題目團(tuán)（2023?湖北）如圖，在△48。中，ZA=90°,AB=3,AC=6,0是BC邊上一點(diǎn)，以。為圓心的半圓

分別與AB,邊相切于。,E兩點(diǎn)，則圖中兩個(gè)陰影部分面積的和為.

【答案】5—兀/—兀+5

【詳解】解:如圖，連接OD,OE,

?/以O(shè)為圓心的半圓分別與4B,AC邊相切于RE兩點(diǎn),

：.OD±ABfOE_LAC,

???乙4=90°,

???四邊形ADOE是矩形，

又OD=OE,

???四邊形ADOE是正方形，

AAD=DO=OE=AD,ZDOE=90°f

???ZA=ZOSC=90°,/LACB=AECO,

：.4ACB?—ECO,

.AC=AB

''~EC~~EO'

設(shè)4。=。0=0石=4。=7，則石。=4。一鉆=6一廣，

...6----—_—3,

6—rr

解得丁=2,

??.AD=OO=OE=4O=2,

???NOOE=90°,

/\DOB和/\EOC所包含扇形的面積之和為：—粵-x7rr2=：兀X22=兀,

3604

K2

圖中兩個(gè)陰影部分面積的和為：SA4BC-S正方形ADOE~=1X3X6—2—7T=5—7T,

故答案為：5—兀.

模型02陰影部分周長計(jì)算

考I向I殖I測

陰影部分弧長或周長計(jì)算該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn),一般較為靠后，有一定難度，該題

型主要考查求與弧結(jié)合的不規(guī)則圖形的周長，準(zhǔn)確應(yīng)用弧長公式是解題的關(guān)鍵.但許多實(shí)際問題

沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形

的長度問題.

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定弧長和線段長；

第二步：利用弧長公式求長度；

第三步：求圖形中其它邊的長度；

簸吧三停I

題目1（2023?河北）如圖,正方形ABCD的邊長為2,分別以B,C為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓相較

于點(diǎn)P,那么圖中陰影部分①的周長為，陰影部分①②的總面積為.

3

?：PB=PC=BC=2,

.?.△PB。為等邊三角形，

NPBC=APCB=60°,NPBA=30°,

PF=PB-sin60°=2乂噂=瓜,

...陰影部分①的周長=l^+l&+AB

_307rx2.60兀義2,

180180

=兀+2

陰影邰分①②的芯面積=[S扇形工Rp—（S扇形BPC~^^BPC）]義2

=產(chǎn)兀x22_（60兀X22—Lx?*⑸]X2

L360V3602

=2人等,，

O

故答案為：兀+2;2\/3—

O

目口（2023?浙江）如圖，正方形ABCD中，分別以B,。為圓心，以正方形的邊長a為半徑畫弧，形成樹葉

形（陰影部分）圖案，則樹葉形圖案的周長為.

【答案】Ka

【詳解】解：?.?四邊形ABCD是正方形，邊長為a,

：.AB=CB=AD=CD=a,/8=/。=90°,?M

樹葉形圖案的周長=2x喋詈=兀a.

lot）

故答案為：兀a.

模型03與最值相關(guān)的計(jì)算

考|向|森|測

圓的弧長與面積和量值相關(guān)的計(jì)算主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常

以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握.該題型也主要以選擇、填空的形式出現(xiàn),一般較為靠后，有一定難度，該

題型主要考查軸對稱——最短路徑問題、勾股定理、三角形及平行四邊形的判定與性質(zhì),要利用“兩點(diǎn)之間線

段最短”“點(diǎn)到直線距離垂線段最短”等,但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它

相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題,進(jìn)而解決求陰影部分的最值問題.

答I題I技I巧

第一步：觀察圖形特點(diǎn)，確定變量和不變的量（一般情況下弧長固定,線段長變化）

第二步：利用將軍飲馬或者“兩點(diǎn)之間線段最短”“點(diǎn)到直線距離垂線段最短”等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化

第三步：牢記弧長公式，求對弧長和線段長；

第四步：利用數(shù)形結(jié)合思想注意確定最值；

］或型守傷I

1目Q（2023?江蘇）如圖，點(diǎn)。為《圓。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC,反7,若。4=L則陰影部分面積的最小值

【答案】。

【詳解】解:連接AB,OC,AC,BC,

要使陰影部分的面積最小，需要滿足四邊形的面積最大，只需滿足△AB。的面積最大即可,

從而可得當(dāng)點(diǎn)。位于弧AB的中點(diǎn)C時(shí)，&ABC的面積最大，

連接OC,則OC4B于。，

.-.OD=1AB=^5E=^,

DC'=OC'-OD=1-空，

S四邊衫AOBC=SA>IOB+SAABC'=—X1X1+—XA/2X

2

扇形AOB的面積=9%：1=%

3604

陰影部分面積的最小值=十一岑，

故選：C.

題目②（2022.浙江）如圖，。。是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，4方為半徑的圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,2）,弦4B經(jīng)過

點(diǎn)P,則圖中陰影部分面積的最小值為（）

A.8兀B.■兀C.8兀一16D.■?！?A/3

OJ

【答案】。

【詳解】解：由題意當(dāng)OPJ_時(shí)，陰影部分的面積最小，

???P(2,2),p,

OP=A/22+22=2V2,T

,/OA'=OB'=4A/2,/

：.PA'=PB'=VOB2-OP2=V(4V2)2-(2V2)2=2^/6,

...tan/4OP=tan/_B'OP=^J=V^,\°\B，

2,\y

ZA'OP=AB'OP=60°,

：.ZA'OB'=120°,

7r

Sm=S羸衫°A舊—S^A'OB"=―°Jn''I"'4^6?2V2=—8V3,

oouzo

故答案為：。.

題目E(2023?吉林)如圖，在Rt/XABC中，4ACB=90°,=30°,AC=4,以AB直徑作圓，P為B。邊的

垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則圖中陰影部分周長的最小值為.

【答案】8+詈

【詳解】解:如圖，連接CE,連接BP

??,P為BC邊的垂直平分線DE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

???點(diǎn)。和點(diǎn)B關(guān)于直線。石對稱，

:?CP=BP,

???AP-^CP=AP+BP

：.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P與點(diǎn)石重合時(shí)4P+BP最小，此時(shí)AP+CP最小,

???AACB=90°,ZB=30°,AC=4,

??.AB=2AC=8fAE=4,

：.CP=AP=AC,

???AACP是等邊三角形，

??.ZAFC=60°,

???AP+CP=AP+BP=AB=8,

：.陰影部分的周長最小值為8+6°0**4=8+字.

1803

故答案為8+萼.

O

真題?強(qiáng)化加綠、

題目工(2023?江蘇)如圖，在RtZVLBC中，乙4=90°,AB=3,47=4,以。為圓心的半圓分別與AB、邊

相切于。、E兩點(diǎn)，且。點(diǎn)在BC邊上,則圖中陰影部分面積$陰=()

A.B.弋C.5—■兀D儂―晅兀

4949

【答案】。

【詳解】解:連接ODQE,設(shè)◎O與BC交于M、N兩黑,

?：AB,力。分別切0O于。、E兩點(diǎn)，

ZA￡>O=ZAEO=90°,

又；乙4=90°,

二.四邊形ADOE是矩形，

,/OD=OE,

四邊形ADOE是正方形，

ZDOE=90°,

：.ZDOM+4EON=90°,

設(shè)OE=2，則AB=人。=①，EC=4。一AE=4—①.

?/ZC=ZCZCEO=乙4=90°,?M

???△8后?△CR4,

.CE=OE

"~CA~'AB'

.4—N_X

"4’

解得①=券，

S陰影=S&4B。-S正方形ADOE~（S扇形DOM~^~S扇形EON）

907cx（竿y

=]x3x4一

360

15036

--------------兀

4949

故選D

題目可（2022?湖北）如圖，在Rt/XABC中，90°,AB=6,AD是ABAC的平分線，經(jīng)過4D兩點(diǎn)的圓

的圓心。恰好落在上，。O分別與AB、AC相交于點(diǎn)E、F.若圓半徑為2.則陰影部分面積（

）.

【答案】。

【詳解】解:連接OD,OF.

?.?AD是/BAC的平分線,

ADAB=ADAC,

,：OD=OAf

：.ZODA=ZOADf

：.AODA=ADAC,

：.OD//AC,

???/0￡?=NC=90°,

^^AFD~S^OFA，

$陰=S扇形o%，

?：OD=OA=2,4B=6,

.\OB=4,

:.OB=2OD,

??.ZB=30°,

ZA=60°,

OF=OA,

：.△4OF是等邊三角形，

8

???乙40斤=60°,

S陰=S扇形OFA=6藝；22=聾.

3603

故選：C.

題目區(qū)（2023?安徽）如圖是某芯片公司的圖標(biāo)示意圖，其設(shè)計(jì)靈感源于傳統(tǒng)照相機(jī)快門的機(jī)械結(jié)構(gòu)，圓。中

【答案】B

【詳解】解:如圖所示，連接OB,OC

設(shè)正六邊形的邊長為1,貝I04=1,ZAOB=60°,OA^OB

???△496為等邊三角形，則ABOA=AOBA=60°,OA=OB=AB=1,AC=2,

：.4BCO=/BOC,

又???AABO=ABCO+ABOC,

??.ABCO=ABOC=30°,則AAOC=90°,

??.OC=y/AC2-AO2=，§,即圓的半徑為V3,

=

所以圓的面積為3兀，正六邊形的面積為6SAAOB6x?OA-sin60°=6x-^-xlxlx=3f,

3V3

則陰影部分面積與圓的面積之比為一=③,

37r2兀

故選：R

題目⑷（2022.廣西）如圖所示，OO是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（四,V2）,弦AB

經(jīng)過點(diǎn)P,則圖中陰影部分面積的最小值等于（）

c8兀一6盜167C-12V3

A.2兀一4B.4兀一8C3

3

【答案】。

【詳解】由題意當(dāng)OP_L時(shí)，陰影部分的面積最小，

VP(V2,V2),

.?.OP=2,?.?OA=OB=4,

:.PA=PB=2通,

：.tanAAOP—ta.nZ.BOP—A/3,

/AOP=/BOP=60°,

ZAOB=120°,

.a_o_Q_12。兀-42L乂4/o9_16兀-12，5~

??Q陰一Q扇形O4B——AvK/一~-

故選D

題目回（2023?山東）如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于AB、兩點(diǎn),分別以AB、兩點(diǎn)為圓心，畫與

，軸相切的兩個(gè)圓，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,則.圖中兩個(gè)陰影部分面積的和是（）

C.兀D.4兀

【答案】。

【詳解】解：?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,1）,且。人與立軸相切，

二。A的半徑為1,

,點(diǎn)A和點(diǎn)B是正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn),

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2,-1）,

同理得到OB的半徑為1,

.?.0A與。B關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，

.?.?人的陰影部分與08空白的部分完全重合，

.?.。人的陰影部分與0B空白的部分的面積相等，

圖中兩個(gè)陰影部分面積的和=兀?]?=n.

故選C.

題目⑤（2023?山西）如圖，在跳△AB。中，/。=90°,/B=30°,點(diǎn)。在AB上，以O(shè)為圓心作圓與相切

10

于點(diǎn)。，與AB、AC相交于點(diǎn)E、F；連接AD、FD,若。。的半徑為2.則陰影部分面積為（）

D.白一遍

O

【答案】。

【詳解】解:連接OD,OF.

???0。與BC相切,

.?.zons=90°.

vZC=90°,

???/ODB=/C,

：.OD//AC,

???ZB=30°,

??.ABAC=60°,

?：OF=OA,

：.ZVIOF是等邊三角形,

???乙4OF=60°,

60,7T,22_27r

S陰影=S扇形OFA

故選c.

題目0（2023?黑龍江）如圖，△ABC中，/ACB=90°,AC=BC=4,分別以點(diǎn)A,B為圓心，AC,BC的長

為半徑作圓,分別交于點(diǎn)DE,則弧CD弧CE和線段DE圍成的封閉圖形（圖陰影部分）的面積

（結(jié)果保留兀）

【答案】4兀一8

【詳解】解：：ZACB=90°,AC=BC=4,

SAABC=[x4X4=8,S扇形碎=既-4=2兀，S空白=2x（8—2兀）=16—4兀,

/oou

S陰影=S^ABC-S空白=8_（16-4兀）=4兀-8,

故答案為：4兀一8.

題目回（2022.河南）在矩形ABCD中，AB=4,人。=472,以BC為直徑作半圓（如圖1）,點(diǎn)P為邊CD上一

點(diǎn).將矩形沿BP折疊，使得點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)E恰好落在邊AD上（如圖2）,則陰影部分周長是.

【答案】2兀+4/4+2兀

【詳解】解:設(shè)陰影部分所在的圓心為O,如圖，連接OF,

四邊形ABCD是矩形，

乙4及7=乙4=90°,

由折疊得，BE=BC=4?

???AB=4,

:?AE=dBE2—AB2=4

：.AB=AE,

：./ABE=Z.AEB=y（180°-90°）=45°

???/LOBE=90°-AABE=90°-45°=45°,

?：OB=OF

：.AOBF=AOFB=45°

：.ZBOF=180°-45°-45°=90°

???熊的長=9°兀：乎=V27U,

lot）

BF=^OB2+OF2=V（2V2）2+（2V2）2=4,

陰影部分周長=血兀+4,故答案為：血兀+4.

題目司（2022?內(nèi)蒙古）如圖，在Rt/\AOB中，/AQB=90°,以。為圓心，03的長為半徑的圓交邊AB于點(diǎn)

。，點(diǎn)。在邊04上且CD=AC,延長CD交03的延長線于點(diǎn)

12

⑴求證：CD是圓的切線；

(2)已知sinZOCD=,AB=4A/^,求AC長度及陰影部分面積.

【答案】(1)證明見詳解；

(2)47=3,陰影部分面積為雪一4兀.

【詳解】⑴證明：連接OD

?：OD=OB

：./OBD=/ODB

?：AC=CD

??.ZA=AADC

???ZADC=ABDE

：.ZA=AEDB

???ZAOB=90°

??.ZA+ZABO=90°

???/ODB+/BDE=90°

即00_LCE,

又。在。o上

???CD是圓的切線；

⑵解：由⑴可知，zone=90°

在Rt/\OCD中，sinZOCD=4=%

oC/O

設(shè)OD=OB=4，，則。。=5x,

：.CD=y/OC2-OD2=V(5$)2+(4x)2=3rc

:.AC—3x

:.OA—OC+AC—8x

在Rt/\OAB中：052+04=AB2

即:(4①y+(8%B=(4A/5)2

解得x—\,(—1舍去)

:.AC—3,OC—5,OB—OD=4

在RtAOCE中，sinZOCD=4=架

5CE

???設(shè)O石=4g,則CE=5y,

■：OE~+OC2^CE2

(4y)2+52=(5y)2

解得y=-|-,(―舍去)

oo

：.OE=4y=^~

o

Ucc9071?OB2120“50.

$陰影=-OE-OC------——=v—Xv5-4TT=--4TT

/OOUZDo

陰影部分面積為萼一4兀.

o

13

題目如圖,在以點(diǎn)。為圓心的半圓中，4B為直徑，且AB=4,將該半圓折疊，使點(diǎn)力和點(diǎn)B落在點(diǎn)O

處，折痕分別為EC和FD，則圖中陰影部分面積為（）

ACODR

A.4V3-^-B.4V3-^C.2遍一看D.2遍一等

oooJ

【答案】。

【詳解】AB是直徑，且AB=4,

OA=OE=2,

?.?使點(diǎn)A和點(diǎn)B落在點(diǎn)O處，折痕分別為EC和FD,

：.AC=OC=OD=DB=1,

：.CD=2,EC=y/OE2-OC2=V3,

???ASOF是等邊三角形，

???/EOF=60°,

S半圓=了兀CDFE=2xV3=2V3

SM=S長方衫CDFE-（S半國—S長方彩CDFE）+2（S扇形OEF-S/^OF）=4V3—2K+2（4—

故選D

題目區(qū)如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，在AO上取一點(diǎn)G,以點(diǎn)G為圓心，GD

的長為半徑作圓,該圓與BC邊相切于點(diǎn)F,連接。則圖中陰影部分面積為（）

A.3兀B.4兀C.2兀+6D.5兀+2

【答案】B

【詳解】如圖，連接GF,

???四邊形ABCD是矩形

??.AD=BC=6fAADC=ZC=90°=NA=NB,AB=CD=4

?.?點(diǎn)E是AB中點(diǎn)

AE=BE=2

?.?BC與圓相切

GF_LB。,且NADC=/C=90°

A四邊形GFCD是矩形，

又,/GD=DF

：.四邊形GFCD是正方形

：.GD=GF=CD=CF=4

：.BF=BC-FC=2

$陰影=(S^ABFD-S&AED-S^BEF)+(S版影GDF-S&GDF)

（絲一異乂號義義）（兀

”6222+44x4x4)=4兀.

故選B.

題目區(qū)如圖，四邊形ABCD為正方形,邊長為4,以B為圓心、BC長為半徑畫最，E為四邊形內(nèi)部一點(diǎn),

且BELCE,/BCE=30°,連接AE,求陰影部分面積（）

AD

B

A.4?r-2V3B.6兀C.4兀-2-2遍D.4兀-3—2A/3

【答案】。

【詳解】過E點(diǎn)作EM.LBC于初點(diǎn)，作EN1_AB于N點(diǎn)，如圖，

?：BE±CE,

：.ABEC=90°,

/BCE=30°,

A/EBC=60°,D

?：EM±BC,

：.在Rt/XEMC中，

tanZ.ECM—fy=tan30°=,

MC3

：.MC=V3EM,

:在RtAEBM中，

tanZUBM=々嗎=tan60°=底,BMC

BM

o

???BM+MC=BC=4,

:.嘩EM+質(zhì)EM=4,

o

:.EM=B

BM=冬EM=興乂瓜=\,

OO

???NE_LAB,EM工BC,且/ABC=90°,

???四邊形GMEN是矩形，

：.NE=BM=\,

VAB=BC=4,ZABC=90°,

/.SMBE=yXABx7VE=yX4xl=2,S^EC=-1-xBCxEM=-1-x4xV3=2A/3,

90°,1

S扇形4BC=兀xAB2X兀x49x—=4TT

360°4

$陰影=S扇*AB「S4ABE-S4BEC=4?！?—2A/3,

故選：c.

題目區(qū)如圖，正三角形ABC的邊長為4cm,D,E,F分別為BC,AC,AB的中點(diǎn)，以A,B,。三點(diǎn)為圓

心，2cm為半徑作圓.則圖中陰影部分面積為（）

A.(2A/3—7t)cm2B.(兀一V3)cm2C.(4V3—27r)cm2D.(2?！?V3)cm2

【答案】。

【詳解】連接AD,

???是正三角形，

??.AB=BC=AC=4,ABAC=ZB=ZC=60°,

?：BD=CD,

：.AD±BCf

：.AD=y/AB^BD2=V42-22=2V3,

2

S陰影=S/^45c—3S扇形71sF=Jx4x2^3—6。：2x3=(4V3—27r)cm,

/oOU

故選C.

題目如圖，在Rt/\AOB中,ZAOB=90°,OA=2,OB=1,將RtAAOB繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得

RSFOE,將線段EF繞點(diǎn)、E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED,分別以。，E為圓心，04、ED長為半徑畫弧

AF和弧。F,連接AD,則圖中陰影部分面積是（）

兀

A.兀B.7U+5D

,24-f-4

【答案】。

【詳解】解:作。于

???ZAOB=90°,OA=2fOB=lf

??.AB=VOA2+OB2=V5,

由旋轉(zhuǎn)，得AEOFWABOA,

??.ZOAB=ZEFOf

???ZFEO+ZEFO=AFEO+ZHED=90°,

??.AEFO=AHEDf

：.4HED=/OAB,

???ADHE=AAOB=90°,DE=AB,

???dDHEmdBOA(AAS),

:?DH=OB=1,

陰影部分面積=Z\ADE的面積+Z\EOF的面積+扇形4OF的面積一扇形OEF的面積

907Tx22907TX5

=yX3xl+yX1X2+

360360

51

一”

2

故選：C.

:題目回如圖，在半徑為2、圓心角為90°的扇形。4B中，瑟=2/,點(diǎn)。從點(diǎn)O出發(fā)，沿O-4的方向運(yùn)動(dòng)

到點(diǎn)A停止.在點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的過程中，線段皿，CD與熬所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為

B.冬-1cC兀D1

O-J-f-2

【答案】B

【詳解】當(dāng)點(diǎn)。在線段。4上時(shí)，易得當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)4重合時(shí)，陰影部分面積最小，連接O。、，過點(diǎn)C作

CHLOA于點(diǎn)H,如圖，

???ZAOC=^-x90=30°,

o

:.CH=^OC=1,

9oo

???ZBOC=x90=60,

o

??S扇形BOC="^7X兀X22=-|-7r.

oouo

~2112

*,?$陰=S扇形BOC+S故o(j—S故OB=w兀+5x2x1—x2x2=--K—1;

17

線段BD、CD與比所圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）面積的最小值為-f-TT-l.

故答案為B.

題目可如圖，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,F是48中點(diǎn)，以點(diǎn)A為圓心，40為半徑作弧交AB于點(diǎn)

E,以點(diǎn)B為圓心，為半徑作弧交BC于點(diǎn)G,則圖中陰影部分面積的差S—52為（）

【答案】＞1

【詳解】解：；在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,F是AB中點(diǎn),

:.BF=BG=2,

2

90?7tx390?兀x2?_1O13兀

：.S「S?=4x3--iz

360360-------------4

故選4

題目回如圖，在半徑為4的扇形O4B中，/403=90°,點(diǎn)。是檢上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。是OC的中點(diǎn)，連結(jié)AD

并延長交OB于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積的最小值為（）

A.4?！?-C.2兀一4D.2兀一色裂

OO

【答案】B

【詳解】?.?點(diǎn)。是。。的中點(diǎn)，O。=2,

.?.點(diǎn)。在以O(shè)為圓心2為半徑的圓弧上，

二可知當(dāng)AE與小圓O相切于。時(shí)，OE最大，即△AOE的面積最大，此時(shí)陰影部分的面積取得最小值,

?.?OA=2OD=4,

AsinZOAE=焉=則NOAE=30°,

???乙406=90°,

OE^OA-tanZOAE=,

o

?'S陰影=S扇形048一5&94￡=4兀-8^^,

故選R

18

題目包如圖，在中，/。=90°,AB=6,AD是/BAG的平分線，經(jīng)過A,。兩點(diǎn)的圓的圓心。恰

好落在上，OO分別與AB、4。相交于點(diǎn)E、F.若圓半徑為2.則陰影部分面積=.

【答案】!■兀/等

OO

【詳解】解:連接QD,OF.

???AD是NR4C的平分線,

??.ADAB=ADAC,

丁OD—OA,

??.AODA=AOAD,

：.AODA=ADAC,

：.OD//AC,

???NO0B=/C=9O°,

S/^AFD=S4OFA，

??$陰=S扇形OFA，

OD=OA=2,AB=6,

??.OB=4,

：.OB=2OD,

??.ZB=30°,

??.NA=60°,

???OF^OA,

：.ZV1OF是等邊三角形,

???ZAOF=60°,

60兀-呼2兀

S陰影部分=S扇形OE4：

360T

故答案為：等.

O

題目回如圖，在RtAABC中，/4=30°,BC=2一,點(diǎn)。為AC（上一點(diǎn)，以。為圓心，。。長為半徑的圓

與AB相切于點(diǎn)。，交AC于另一點(diǎn)E,點(diǎn)F為優(yōu)弧OCE上一動(dòng)點(diǎn)，則圖中陰影部分面積的最大值為

??

【答案】2+弓元

【詳解】解:連接DE,OD,

?：Rt/\ABC中，/A=30°,BC=2V3,

BC

AC=o==6,

tan301

3

AB為。。的切線，

/ADO=90°,

AO^2OD,AAOD=60°,

?；OD=OE=OC,

：.AC^AO+OC^3OD=6,LODE為等邊三角形，

:.DE=OE=OD=OC=2,

■.■S^S.^DGE+S^DEF

：.當(dāng)OF_LDE時(shí)，陰影部分面積最大，此時(shí)OF與DE交于G,

ZDOG=NEOG=30°,NDGO=90°,

OG=OD-cos30°=2x§=V^,GF=OG+OF=2+遍,

Snti=S扇形ODE-SJDEO+SJDEF

=《°—Jx2x0+Jx2x（2+&）=!■兀+2.

3o（J223

題目兀如圖，點(diǎn)。為曾。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接探8。,若04=1,則陰影部分面積的最小值為一

A

【答案】于—空

20

［詳解】OB

取弧AB的中點(diǎn)U,連接、。。、力。、BC',要使陰影部分的面積最小，需要滿足四邊形AOBC的面積

最大，只需滿足△ABC的面積最大即可，從而可得當(dāng)點(diǎn)。位于弧AB的中點(diǎn)C時(shí)，△ABC的面積最大，則

OC'_LAB于。

：.OD^^ABVl2+12_V2

22

DC'=OC'-OD=1-亨

??S曾跡形AOBC,~SAAOB+5AABC"-"^"XlXl+^XV2X

2

扇形AOB的面積=9。：：r=A

3604

陰影部分面積的最小值為=十一空

故答案為：與一冬.

42

「題目正如圖所示，。。是以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，4為半徑的圓，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（方，2）,弦AB經(jīng)過點(diǎn)P,

則圖中陰影部分面積的最小值=

【詳解】解：由題意當(dāng)OP_LAB時(shí)，陰影部分的面積最小.

VF(V2,V2),：.OP=2.

-：OA'=OB'=4：,

:.PA=PB'=2遍,

：.tanAA'OP=tan/BOP=V3,

/AOP=/BOP=60°,

A/4O?=120°,

???S卡S^OA,B'-SAAQB，=I2/，_X，2V3-2=出千6

故答案為：16兀二12@

題目叵如圖，扇形OAB中，。4=R,乙4OB=60°,。為弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD、

_DC,當(dāng)陰影部分周長最小時(shí)，tan/4DC等于

【答案】將《展

OO

【詳解】解:如圖，作點(diǎn)。關(guān)于的對稱點(diǎn)E,連接AE交OB于點(diǎn)F,連接F4OC,

由對稱可知，DC=DE,FC=FE,

???AD+CD=AD+DE>AE=AF+EF,當(dāng)點(diǎn)。移動(dòng)到點(diǎn)F時(shí),取等號，此時(shí)AD+CD最小,

?.?。為弧4B的中點(diǎn)，

??

.?.AC=BC,則ZAOC=ZCOB=ABOE=30°,

乙4OE=90°,

又1/OA=OE,

：./OEF=45°,

：.ZEFB=ABOE+ZOEA=30°+45°=75°,

由軸對稱可知，ACFB=AEFB=75°,

ZAFC=30°,

：.當(dāng)陰影部分周長最小時(shí)，/ADC=/4FC=30°^tan/ADC=￥.

O

故答案為：容.

O

題目B如圖，扇形水汨中，/AOB=120°,。河切弧AB于點(diǎn)C,切04OB分別于點(diǎn)D瓦若。4=1,

22

【答案】竽兀一第兀+&T

【詳解】?.?。河內(nèi)切于扇形4OB,

:.C、M、。三點(diǎn)共線,

連接C、M、O,連接ME、MD,如圖所示,

根據(jù)相切的性質(zhì)可知ZW_LA。，ME_LOB,設(shè)。河的半徑為民

：.ME=MD=MC=R,NMDO=2MEO=90°,

結(jié)合MO=MO,可得Rt/\MDO=Rt/^AEO,

AZMOD=4MOE=-yZAOB=120°X。=60。，

在Rt^MOE中,AOME=90°-AMOE=30°,

：.OE=^ME=^-R,OM=2OE=^-R,

ooo

又OA=OC=OB=1,

.?.OA1+A1C=1,即考^?+R=l,解得A=2，^—3,

.?.OE=2—〃^BE=Q8—OE=g—l,

/MOE=60°,

BC—‘0°xitx20A—,

3603

?.?/OME=30°,

AACME=180°-AOME=180°-30°=150°,

^=JL501x2ME=1501x2/?=