人教版九年級數(shù)學(xué)上冊2024年知識點(diǎn)總結(jié)史上

人教版九年級數(shù)學(xué)上冊學(xué)問點(diǎn)總結(jié)

21.1一元二次方程

學(xué)問點(diǎn)——元二次方程的定義

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的

方程，叫做一元二次方程。

留意一下幾點(diǎn)：

①只含有一個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是2；③是整式方程。

學(xué)問點(diǎn)二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax?+bx+c=0(aW0).其中，ax?是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一

次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。

學(xué)問點(diǎn)三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方

程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗(yàn)根的依據(jù)。

21.2降次一一解一元二次方程

21.2.1配方法

學(xué)問點(diǎn)一干脆開平方法解一元二次方程

(1)假如方程的一邊可以化成含未知數(shù)的代數(shù)式的平方，另一邊是非負(fù)數(shù)，可以干脆

開平方。一般地，對于形如x2=a(a20)的方程，依據(jù)平方根的定義可解得

Xi=Vo,X2=—Vtz.

(2)干脆開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(^lW0)形式的方程，假如p20,就可

以利用干脆開平方法。

(3)用干脆開平方法求一元二次方程的根，要正確運(yùn)用平方根的性質(zhì)，即正數(shù)的平方

根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。

(4)干脆開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)；②使二次項(xiàng)系數(shù)或含有未知數(shù)

的式子的平方項(xiàng)的系數(shù)為1;③兩邊干脆開平方，使原方程變?yōu)閮蓚€一元二次方程;

④解一元一次方程，求出原方程的根。

學(xué)問點(diǎn)二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把

一個一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程來解。

配方法的一般步驟可以總結(jié)為：一移、二除、三配、四開。

(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號的右邊；⑵方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù)；

⑶方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把左邊配成完全平方式；⑷若等號

右邊為非負(fù)數(shù)，干脆開平方求出方程的解。

21.2.2公式法

學(xué)問點(diǎn)一公式法解一元二次方程

(1)一般地,對于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),假如b?-4ac牝0,那么方程的兩個

-b±b—4(ic

根為x=-N-------------，這個公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，

2a

我們可以由一元二方程的系數(shù)a,b,c的值干脆求得方程的解，這種解方程的方法

叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(aWO)的過程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a#0),一般a化為正值②確定公式中a,b,c

的值，留意符號；

③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac^0,則把a(bǔ),b,c和b-4ac的值代入公式即可求解,

若b2-4ac<0,則方程無實(shí)數(shù)根。

學(xué)問點(diǎn)二一元二次方程根的判別式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(aW0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即4

=b2-4ac.

△>0,方程ax2+bx+c=0(aW0)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

一元二次升程△=(),方程ax2+bx+c=0(aW0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根

根的判別式

△<0,方程ax'+bx+cR(aWO)無實(shí)數(shù)根

21.2.3因式分解法

學(xué)問點(diǎn)一因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一邊化為0,而另一邊分解成兩個一次因式的積，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求

兩個求一元一次方程的解，這種解方程的方法叫做因式分解法。

(2)因式分解法的具體步驟：

①移項(xiàng)，將全部的項(xiàng)都移到左邊，右邊化為0；

②把方程的左邊分解成兩個因式的積，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方

公式；

③令每一個因式分別為零，得到一元一次方程；

④解一元一次方程即可得到原方程的解。

學(xué)問點(diǎn)二用合適的方法解一元一次方程

方法名理論依據(jù)適用范圍

稱

干脆開平平方根的意形如x2=p或(mx+n)2=p(p

方法義20)

配方法完全平方公式全部一元二次方程

公式法配方法全部一元二次方程

因式分解當(dāng)ab=O,則a=0一邊為0,另一邊易于分解

法或b=0成兩個一次因式的積的一

元二次方程。

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

2

若一元二次方程x+px+q=0的兩個根為Xi,X2,則有xi+x2=-p,XiX2=q.

若一元二次方程a2x+bx+c=0(aWO)有兩個實(shí)數(shù)根xx,則有xi+x=,XiX=-

b22a2a

22.3實(shí)際問題與一元二次方程

學(xué)問點(diǎn)一列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：

(1)審：是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量以及它們之間

的等量關(guān)系。

(2)設(shè)：是指設(shè)元，也就是設(shè)出未知數(shù)。

(3)歹［J：就是列方程，這是關(guān)鍵步驟，一般先找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個相等

含義，然后列代數(shù)式表示這個相等關(guān)系中的各個量，就得到含有未知數(shù)的等式，

即方程。

(4)解：就是解方程，求出未知數(shù)的值。

(5)驗(yàn)：是指檢驗(yàn)方程的解是否保證明際問題有意義，符合題意。

(6)答：寫出答案。

學(xué)問點(diǎn)二列一元二次方程解應(yīng)用題的幾種常見類型

(1)數(shù)字問題

三個連續(xù)整數(shù)：若設(shè)中間的一個數(shù)為X,則另兩個數(shù)分別為xT,x+lo

三個連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))：若中間的一個數(shù)為x,則另兩個數(shù)分別為x-2,x+2。

三位數(shù)的表示方法：設(shè)百位、十位、個位上的數(shù)字分別為a,b,c,則這個三位數(shù)是

100a+10b+c.

(2)增長率問題

設(shè)初始量為a,終止量為b,平均增長率或平均降低率為x,則經(jīng)過兩次的增長或降低后

的等量關(guān)系為a(1+x)2=bo

(3)利潤問題

利潤問題常用的相等關(guān)系式有：①總利潤:總銷售價(jià)-總成本；②總利潤:單位利潤X總

銷售量；③利潤;成本X利潤率

(4)圖形的面積問題

依據(jù)圖形的面積與圖形的邊、高等相關(guān)元素的關(guān)系，將圖形的面積用含有未知數(shù)的代數(shù)

式表示出來，建立一元二次方程。

二次函數(shù)學(xué)問點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)學(xué)問

1.定義：一般地，假如y=/+6x+c(a,仇c是常數(shù)，a/O),那么y叫做x的二次函數(shù).

2.二次函數(shù)丁=依2的性質(zhì)

(1)拋物線y=的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y軸.

(2)函數(shù)>=依2的圖像與。的符號關(guān)系.

①當(dāng)a>0時o拋物線開口向上o頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a<0時o拋物線開口向下o頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y=(a彳0).

3.二次函數(shù)y=a/+bx+c的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

4.二次函數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a（x-h）2^k的形式，其中

7b7^ac-b2

rl-，K—?

2a4〃

5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①尸一；②尸公2+心③好小_”）2；

④y=a（x-A）2+k；⑤y=ax2+bx+c.

6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

①a的符號確定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下；

時相等，拋物線的開口大小、形態(tài)相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作x=機(jī)特殊地，y軸記作直線x=0.

7.頂點(diǎn)確定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，假如二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的

開口方向、開口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法

（1）公式法：y=ax1+bx+c=a（x+—,?,?頂點(diǎn)是（一2,^^——）J對稱軸是

2a）4ala4a

直線x=-2.

la

（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=a（x-4+左的形式，得到頂

點(diǎn)、為（h,k）,對稱軸是直線％=〃.

（3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的

連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬無一失.

9.拋物線y=ax?+6x+c中，a,,c的作用

（1）a確定開口方向及開口大小，這與y=中的a完全一樣.

（2）b和。共同確定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線ynad+bx+c的對稱軸是直線

x=-—,故：①6=0時，對稱軸為y軸；②2〉0（即外匕同號）時，對稱軸在y軸

laa

左側(cè)；③2<0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側(cè).

（3）c的大小確定拋物線y=/+bx+c與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x=0時，y=c,???拋物線y=6+法+。與y軸有且只有一個交點(diǎn)（0,c）:

①c=O,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；②c>0,與y軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半

軸.

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則

2<0.

a

10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

y=ax2x=O(y軸)(0,0)

y=ax2+kx=O(y軸)(0,k)

y=a(x-7z)2x-h(m0)

y=a{x-hf+k當(dāng)a>0時x-h(h,k)

b

y=ax2+bx+c開口向上x=---(b4ac-b2

la

2a4a

當(dāng)a<0時

)

開口向下

11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：y=&+6x+c.已知圖像上三點(diǎn)或三對X、y的值，通常選擇一般式.

（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-獷+h已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)七、4,通常選用交點(diǎn)式：y=a（x-M）（x-%）.

12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線卜&+bx+c得交點(diǎn)為（0,c）.

（2）與y軸平行的直線x=7i與拋物線y=以2+法+c有且只有一■個交點(diǎn)（//,ah2+bh+c）.

（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)

二次函數(shù)了=以2+法+。的圖像與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)修、x2,是對應(yīng)一元二次

方程"2+法+c=。的兩個實(shí)數(shù)根.拋物線與X軸的交點(diǎn)狀況可以由對應(yīng)的一元二次

方程的根的判別式判定：

①有兩個交點(diǎn)oA>0o拋物線與X軸相交；

②有一個交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）oA=0o拋物線與x軸相切；

③沒有交點(diǎn)oA<0o拋物線與%軸相離.

（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個交點(diǎn)、1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn).當(dāng)有2個交點(diǎn)時，兩交點(diǎn)的

縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為左，則橫坐標(biāo)是雙之+法+0=左的兩個實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)y=kx+n（k主0）的圖像/與二次函數(shù)y=ax-+6x+c（aw0）的圖像G的交點(diǎn)，

由方程組丘:"的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時o/與G

y=ax+bx+c

有兩個交點(diǎn)；②方程組只有一組解時。/與G只有一個交點(diǎn)；③方程組無解時。/

與G沒有交點(diǎn).

（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線丁=以2+法+。與x軸兩交點(diǎn)為

B（X2,0）,由于X］、%是方程ax?=0的兩個根，故

其次十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

學(xué)問點(diǎn)一旋轉(zhuǎn)的定義

在平面內(nèi)，把一個平面圖形圍著平面內(nèi)某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)

。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。

學(xué)問點(diǎn)二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；（2）對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾

角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

理解以下幾點(diǎn)：

（1）圖形中的每一個點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心

的距離相等，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。（3）圖形的大小和形態(tài)都沒有發(fā)生變

更，只變更了圖形的位置。

學(xué)問點(diǎn)三利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖

旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：（1）隨意一對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（2）

對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：

①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心

轉(zhuǎn)過肯定角度（作旋轉(zhuǎn)角）

③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離，得到各點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；④接:

即連接到所連接的各點(diǎn)。

23.2中心對稱

學(xué)問點(diǎn)一中心對稱的定義

中心對稱：把一個圖形圍著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，假如它能夠與另一個圖形重合，那么

就說這兩個圖形關(guān)于這個點(diǎn)對稱或中心對稱，這個點(diǎn)叫做對稱中心。

留意以下幾點(diǎn)：

中心對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180。兩個

圖形能夠完全重合。

學(xué)問點(diǎn)二作一個圖形關(guān)于某點(diǎn)對稱的圖形

要作出一個圖形關(guān)于某一點(diǎn)的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵是作出該圖形上關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)于對稱

中心的對稱點(diǎn)。最終將對稱點(diǎn)依據(jù)原圖形的形態(tài)連接起來，即可得出成中心對稱圖形。

學(xué)問點(diǎn)三中心對稱的性質(zhì)

有以下幾點(diǎn)：

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心

平分；

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠相互重合，是全等形；

(3)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行(或共線)且相等。

學(xué)問點(diǎn)四中心對稱圖形的定義

把一個圖形圍著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，假如旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么

這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心。

學(xué)問點(diǎn)五關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

在平面直角坐標(biāo)系中，假如兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)p(x,y)

關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)為(-x,-y)o

其次十四章圓

24.1圓

24.1.1圓

學(xué)問點(diǎn)一圓的定義

圓的定義：第一種：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個

端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓。固定的端點(diǎn)。叫作圓心，線段OA叫作半徑。其次種：圓

心為0,半徑為r的圓可以看成是全部到定點(diǎn)0的距離等于定長r的點(diǎn)的集合。

比較圓的兩種定義可知：第一種定義是圓的形成進(jìn)行描述的，其次種是運(yùn)用集合的觀

點(diǎn)下的定義，但是都說明確定了定點(diǎn)與定長，也就確定了圓。

學(xué)問點(diǎn)二圓的相關(guān)概念

(1)弦：連接圓上隨意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑。

(2)?。簣A上隨意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。圓的隨意一條直徑的兩個端點(diǎn)把

圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

(3)等圓：等夠重合的兩個圓叫做等圓。

(4)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠相互重合的弧叫做等弧。

弦是線段，弧是曲線，推斷等弧首要的條件是在同圓或等圓中，只有在同圓或等圓中完

全重合的弧才是等弧，而不是長度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直徑

學(xué)問點(diǎn)一圓的對稱性

圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸。

學(xué)問點(diǎn)二垂徑定理

(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。如圖所示，直徑

c

為CD,AB是弦,且CDLAB,

AD=BD

垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

如上圖所示，直徑CD與非直徑弦AB相交于點(diǎn)M,

VCD±AB

AM=BMAC=BC

AD=BD

留意：因?yàn)閳A的兩條直徑必需相互平分，所以垂徑定理的推論中，被平分的弦必需不

是直徑，否則結(jié)論不成立。

24.1.3弧、弦、圓心角

學(xué)問點(diǎn)弦、弧、圓心角的關(guān)系

(1)弦、弧、圓心角之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相

等，所對的弦也相等。

(2)在同圓或等圓中，假如兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它

們所對應(yīng)的其余的各組量也相等。

(3)留意不能忽視同圓或等圓這個前提條件，假如丟掉這個條件，即使圓心角相等,

所對的弧、弦也不肯定相等，比如兩個同心圓中，兩個圓心角相同，但此時弧、

弦不肯定相等。

24.1.4圓周角

學(xué)問點(diǎn)一圓周角定理

(1)圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所

對的圓心角的一半。

(2)圓周角定理的推論：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對弦

是直徑。

(3)圓周角定理揭示了同弧或等弧所對的圓周角與圓心角的大小關(guān)系。“同弧或等弧”

是不能改為“同弦或等弦”的，否則就不成立了，因?yàn)橐粭l弦所對的圓周角有兩

類。

學(xué)問點(diǎn)二圓內(nèi)接四邊形及其性質(zhì)

圓內(nèi)接多邊形：假如一個多邊形的全部頂點(diǎn)都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接

多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。

24.2點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系

24.2.1點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

學(xué)問點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)三種。

(2)用數(shù)量關(guān)系表示：若設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓的距離0P=d,則有:

點(diǎn)P在圓外Qd>r；點(diǎn)p在圓上Qd=r；點(diǎn)p在圓內(nèi)Qd<ro

學(xué)問點(diǎn)二過已知點(diǎn)作圓

(1)經(jīng)過一個點(diǎn)的圓(如點(diǎn)A)

以點(diǎn)A外的隨意一點(diǎn)(如點(diǎn)0)為圓心，以0A為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓可以作

多數(shù)個。

,02

?03

(2)經(jīng)過兩點(diǎn)的圓(如點(diǎn)A、B)

以線段AB的垂直平分線上的隨意一點(diǎn)(如點(diǎn)0)為圓心，以0A(或0B)為半徑作圓即

可，如圖，這樣的圓可以作多數(shù)個。

B

(3)經(jīng)過三點(diǎn)的圓

①經(jīng)過在同一條直線上的三個點(diǎn)不能作圓

②不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓，即經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)可以作

圓，且只能作一個圓。如經(jīng)過不在同一條直線上的三個點(diǎn)A、B、C作圓，作法：連接

AB、BC(或AB、AC或BC、AC)并作它們的垂直平分線，兩條垂直平分線相交于點(diǎn)0,

以點(diǎn)。為圓心，以0A(或OB、0C)的長為半徑作圓即可，如圖，這樣的圓只能作一

個。

BC

學(xué)問點(diǎn)三三角形的外接圓與外心

(1)經(jīng)過三角形三個頂點(diǎn)可以作一個圓，這個圓叫做三角形的外接圓。

(2)外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個三角形的外心。

學(xué)問點(diǎn)四反證法

(1)反證法：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，經(jīng)過推理得出沖突，由沖突斷定所作假設(shè)不正

確，從而得到原命題成立，這種證明命題的方法叫做反證法。

(2)反證法的一般步驟：

①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

②從假設(shè)動身，經(jīng)過邏輯推理，推出或與定義，或與公理，或與定理，或與已知等相沖

突的結(jié)論；

③由沖突判定假設(shè)不正確，從而得出原命題正確。

24.2.2直線和圓的位置關(guān)系

學(xué)問點(diǎn)一直線與圓的位置關(guān)系

(1)直線與圓的位置關(guān)系有：相交、相切、相離三種。

(2)直線與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系表示

若設(shè)。。的半徑是r,直線1與圓心0的距離為d,則有：

直線1和。夕箱交d<r；雷線1和。。相切V=r；直線1和。0

相離d>ro

學(xué)問點(diǎn)二切線的判定和性質(zhì)

(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。

(3)切線的其他性質(zhì)：切線與圓只有一個公共點(diǎn)；切線到圓心的距離等于半徑；經(jīng)過

圓心且垂直于切線的直線必過切點(diǎn)；必過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。

學(xué)問點(diǎn)三切線長定理

(1)切線長的定義：經(jīng)過園外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這

點(diǎn)到圓的切線長。

(2)切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓

心的連線平分兩條切線的夾角。

(3)留意：切線和切線長是兩個完全不同的概念，必需弄清晰切線是直線，是不能度

量的；切線長是一條線段的長，這條線段的兩個端點(diǎn)一個是在圓外一點(diǎn)，另一個

是切點(diǎn)。

學(xué)問點(diǎn)四三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心

(1)三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。這個三角

形叫做圓的外切三角形。

(2)三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。

(3)留意：三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，所以當(dāng)三角形的內(nèi)心已知時,

過三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線，必平分三角形的內(nèi)角。

24.2.3圓和圓的位置關(guān)系

學(xué)問點(diǎn)一圓與圓的位置關(guān)系

(1)圓與圓的位置關(guān)系有五種：

①假如兩個圓沒有公共點(diǎn)，就說這兩個圓相離，包括外離和內(nèi)含兩種；

②假如兩個圓只有一個公共點(diǎn)，就說這兩個圓相切，包括內(nèi)切和外切兩種；

③假如兩個圓有兩個公共點(diǎn)，就說這兩個圓相交。

(2)圓與圓的位置關(guān)系可以用數(shù)量關(guān)系來表示：

若設(shè)兩圓圓心之間的距離為d,兩圓的半徑分別是nn,且n<c,則有

兩圓外離Qd>n+n兩圓外切=d=n+n/兩圓相交口r2-ri<d<ri+r2兩圓

內(nèi)切d=r2~ri兩圓內(nèi)含—d<r2-ri

24.3正多邊形和圓

學(xué)問點(diǎn)一正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形與圓的關(guān)系特別親密，把圓分成n(n是大于2的自然數(shù))等份，順次連接各

分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

正多邊形的中心：一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑。

正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角。

正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距。

學(xué)問點(diǎn)二正多邊形的性質(zhì)

(1)正n邊形的半徑和邊心距把正多邊形分成2n個全等的直角三角形。

(2)全部的正多邊形都是軸對稱圖形，每個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都

經(jīng)過正n邊形的中心；當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時，這個正n邊形也是中心對稱

圖形，正n邊形的中心就是對稱中心。

(3)正,邊形的每一個內(nèi)角等于5-2)x180。,中心角和外角相等，等于幽。

nn

24.4弧長和扇形面積

學(xué)問點(diǎn)一弧長公式1=過

180

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的弧長就是圓的周長C=2“R,所以n。的圓心

角所對的弧長的計(jì)算公式1=—X2"R=些o

360180

學(xué)問點(diǎn)二扇形面積公式

在半徑為R的圓中，360°的圓心角所對的扇形面積就是圓的面積S=口R?,所以圓心角

為n°的扇形的面積為S扇形二嗡。

比較扇形的弧長公式和面積公式發(fā)覺：

2

o_n7iRn兀R1八17n匚匚?1

1r?t

S扇形一耳—=而又5氏=5〃?'所以5扇形=5"

學(xué)問點(diǎn)三圓錐的側(cè)面積和全面積

圓錐的側(cè)面積是曲面，沿著圓錐的一條母線將圓錐的側(cè)面綻開，簡單得到圓錐的側(cè)面綻

開圖是一個扇形。設(shè)圓錐的母線長為1,底面圓的半徑為r,那么這個扇形的半徑為1,

扇形的弧長為2nr,因此圓錐的側(cè)面積$=工.2"./=加。圓錐的全面積為