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文檔簡介
第二章函數(shù)
2.2.1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性(題型戰(zhàn)法)
知識梳理
一函數(shù)的單調(diào)性
1.單調(diào)性的定義
一般地,設(shè)函數(shù)“X)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量4%,當
不<三時,都有/(玉)</?),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是增函數(shù);如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)
間。上的任意兩個自變量百,三,當百<三時,都有/0)>/(%),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間O上是減
函數(shù)。
2.單調(diào)性的注意事項
1.函數(shù)的單調(diào)性要針對區(qū)間而言,因此它是函數(shù)的局部性質(zhì);對于連續(xù)函數(shù),單調(diào)區(qū)間可閉可開,
即“單調(diào)區(qū)間不在一點處糾結(jié)”;單調(diào)區(qū)間不能搞并集。
2.若函數(shù)于(x)滿足(玉-電)"(玉)-/&)]>0,則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增;若滿足
(占-%2)[/(^)-/(%2)]<0,則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減。
3.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法主要有:
(1)定義法:在定義域內(nèi)的某個區(qū)間D上任取小電并使得不<三,通過作差比較“不)與〃々)的大
小來判斷單調(diào)性。
(2)性質(zhì)法:若函數(shù)/(x)為增函數(shù),g(x)為增函數(shù),//(x)為減函數(shù),°。)為減函數(shù),則有
①/⑺+g(x)為增函數(shù),②/(X)(無)為增函數(shù),
③/z(x)+°(x)為減函數(shù),④/i(x)-g(x)為減函數(shù)。
(3)圖像法:對于含絕對值或者分段函數(shù)經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思想,通過函數(shù)的圖象來判斷函數(shù)的
單調(diào)性。
二函數(shù)的奇偶性
一.函數(shù)奇偶性的定義:
(1)對于函數(shù)/(尤)的定義域內(nèi)任意一個X,都有=函數(shù)/(尤)是偶函數(shù);
(2)對于函數(shù)了(尤)的定義域內(nèi)任意一個x,都有/(-%)=-/(%)=函數(shù)/5)是奇函數(shù)。
二.函數(shù)奇偶性的相關(guān)性質(zhì)
1.奇偶性是針對整個定義域而言的,單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的。
這兩個概念的區(qū)別之一就是:奇偶性是一個“整體”性質(zhì),單調(diào)性是一個“局部”性質(zhì);
2.定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.
3.常用的結(jié)論:若“X)是奇函數(shù),且x在0處有定義,則f(x)=O;
4.(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同,最值相反;奇函數(shù)了。)在
區(qū)間,,可(0(〃<6)上單調(diào)遞增(減),則/⑺在區(qū)間[-d-句上也是單調(diào)遞增(減);
(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反,最值相同;偶函數(shù)"X)在區(qū)
間可(04。<人)上單調(diào)遞增(減),則/(尤)在區(qū)間[->,-a]上是單調(diào)遞減(增);
5.若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),/(尤)是奇函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(1)g(x)±/(x)是奇函數(shù),⑵g(x)"(尤)或萼是偶函數(shù)
/(X)
(3)|/(尤)|是偶函數(shù),(4)第尤|)是偶函數(shù)
6.若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),/(x)是偶函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(1)g(x)±/(x)是偶函數(shù),(2)g(x)?/■(》)或警是偶函數(shù)
f(x)
(3)"(x)|是偶函數(shù),(4)/(|x|)是偶函數(shù)
7.若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),/(無)是偶函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(1)g(x)±/(x)是非奇非偶函數(shù),(2)g(x)"(尤)或皿是奇函數(shù)
于3
8.若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),/(尤)是奇函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
⑴g(x)±c是是偶函數(shù)(2)〃x)±c是非奇非偶函數(shù),
9.若函數(shù)g(x),〃x)"[g(x)],定義域都是關(guān)于原點對稱
(1)g(x)是奇函數(shù)時,/(元)奇函數(shù),則y=〃g(x)]是奇函數(shù);
(2)g(x)是奇函數(shù)時,/(尤)偶函數(shù),則y=〃g(x)]是偶函數(shù);
題型戰(zhàn)法
題型戰(zhàn)法一單調(diào)性與奇偶性的判斷
典例1.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()
A.y=x+—B.y=_尤3C.j=2-lxlD.y=--\
X尤2
變式1-1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(0,+S)上是單調(diào)遞增函數(shù)的是()
A.y=|x|-lB.y=-r+3C.y=lgxD.y=Y
變式1-2.下列函數(shù)中為奇函數(shù),且在定義域上是增函數(shù)的是()
5
A.y=T+2-xB.y=sinxC.y=tanxD._
/yv一人
變式1-3.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間(口,0)上單調(diào)遞增的是()
A./(x)=-cosxB./(x)=sinxC./(^)=tanxD./(x)=x3-x-1
變式1-4.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()
A.'=xeRB.y=(-)x,xeR
c.y=x,XGRD.y=-x3,XGR
題型戰(zhàn)法二函數(shù)(包含復(fù)合函數(shù))的單調(diào)區(qū)間
典例2.函數(shù)/(x)=/-2x+4的單調(diào)區(qū)間為()
A.在R上單調(diào)遞增B.在R上單調(diào)遞減
C.在單調(diào)遞增,在(1,+⑹單調(diào)遞減D.在(TU)單調(diào)遞減,在(1,—)單調(diào)遞增
變式2-1.函數(shù)/。)=’的單調(diào)遞減區(qū)間是()
x
A.(-co,0),(0,+co)B.(。,+°°)C.(T?,0)(0,+co)D.(-8,0)
變式2-2.函數(shù)〃尤)=-1尤-2]的單調(diào)遞減區(qū)間為()
A.(TO,2]B.[2,+8)
C.[0,2]D.[0,+oo)
變式2-3.函數(shù)y=Jf+2x_3的單調(diào)增區(qū)間是()
A.[-l,+oo)B.[l,+oo)C.(-00,-1]D.(-00,-3]
變式2-4.函數(shù)/。)=1。82(-1+*+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為()
3
A.B.1,切C.1,+力D,1,3;
題型戰(zhàn)法三根據(jù)奇偶性求解析式
典例3.設(shè)為奇函數(shù),且當xNO時,f(x)=x2+x,貝!j當%<0時,()
A?工2+XB.—f+%
C.V—xD.—必—JQ
變式3-1.已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù),且當X>0時,/(%)=%+2,則當%<0時,/(%)=()
A.—x—2B.—x+2
C.%一2D.x+2
變式32已知函數(shù)/(%)為R上的奇函數(shù),且當xNO時,/(%)=2'+x-1,則當了<0時,/(x)=()
A.Tx-x-1B.+x+l
C.-2-1-x-lD.-2-1+x+l
變式3-3.函數(shù)?x)為R上奇函數(shù),且/(%)=?+1(%>0),則當%<0時,段)=()
A.--\[x+1B.-1C.yj—x+lD.V=x-1
變式3-4.設(shè)〃尤)為奇函數(shù),且當尤20時,f(x)=e~x-l,則當x<0時,/?=()
A.一一1B.尸+1C.-e^-1D.一e'+l
題型戰(zhàn)法四根據(jù)單調(diào)性與奇偶性解不等式
典例4.已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的增函數(shù),且/⑺+〃2/+1)>0,則實數(shù)/的取值范
圍是()
變式4-1.定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,+。)上單調(diào)遞增,若/⑴<〃ln力,則x的取值范圍
是()
A.(e,+oo)B.(l,+oo)C.(^x>,-e)u(e,-Hx))D.10,-|u(e,+oo)
變式4-2.若函數(shù)〃尤)是定義在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù),且"2)=1,則使得〃制+1<0成立的x
的取值范圍為()
A.(2,+co)B.(-2,+oo)C.(-oo,2)D.(-8,-2)
變式43已知函數(shù)〃元)是定義在R上的偶函數(shù),且在(。,+")上單調(diào)遞減,/(-3)=0,則不等式
的解集為()
A.(f,-3)。(0,3)B.(-?),-3)(3,4W)C.(-3,0)(0,3)D.(-3,0)“3,同
變式4-4.已知定義在R上的函數(shù)y=/W是偶函數(shù),且在[0,+8)上單調(diào)遞減,則不等式f(x-1)>f(x)
的解集為()
A.(2,+oo)B.(―(?,0)(2,+co)C.f-,+°°jD.f1,1(2,+co)
題型戰(zhàn)法五根據(jù)單調(diào)性與奇偶性比大小
典例5.定義在R上的偶函數(shù)〃x)滿足:對任意的49目0,.)(占/々),有“^^<0,則()
A./(3)</(-2)</(1)B./(1)</(-2)</(3)
C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)
變式5-1.設(shè)偶函數(shù)〃力的定義域為R,當xe[0,3)時,是減函數(shù),則2),〃兀),/(-3)
的大小關(guān)系是().
A./(7:)>/(-3)>/(-2)B./(7T)>/(-2)>/(-3)
C./(K)</(-3)</(-2)D./(7r)</(-2)</(-3)
變式52已知偶函數(shù)〃尤)在[0,+句上單調(diào)遞減,則/⑴和"TO)的大小關(guān)系為()
A./⑴>〃-10)B./(1)</(-10)
C.41)="-io)D.”1)和〃TO)關(guān)系不定
變式5-3.定義域為R的函數(shù)/(無)滿足:對任意的無“%eR,有&-3(〃%)寸(馬))>0,則有()
A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)
C.〃3)</(-2)<51)D./(3)</(1)</(-2)
變式5-4.已知函數(shù)在區(qū)間[0,+功上是增函數(shù),則/⑵,/⑺,”3)的大小關(guān)系是()
A./(^)>/(2)>/(3)B./(3)>/(^)>/(2)
C.〃2)>〃3)>/⑺D./(^)>/(3)>/(2)
題型戰(zhàn)法六根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
典例6.已知/(x)=d+2x+3在(-9,4)為單調(diào)函數(shù),則。的取值范圍為()
A.(-00,-1)B.(-?,-1]C.(-9.-1)D.(-9,-1]
變式6-1.已知二次函數(shù)y=*-2依+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)。的取值范圍是()
A.(-<?,2]u[3,+oo)B.[2,3]
C.(F,-3]u[-2*)D.[-3,-2]
變式6-2.已知函數(shù)/(x)=/-2ax+b在區(qū)間(-ao,1]是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()
A.[1,+oo)B.(-00,1]C.[-1,+oo)D.(-00,-1]
變式6-3.若函數(shù)/(》)=_?_3如+18(〃7€11)在(0,3)上不單調(diào),則加的取值范圍為()
A.0<m<2B.0<m<2C.m<0D.m>2
變式6-4.已知函數(shù)=E21滿足對任意的實數(shù)占w%,都有"不)一’6)>。成立,則
^a-Y)x,x<\x,-x2
實數(shù)a的取值范圍為()
A.(1,3)B.[1,3)C.(1,3]D.[1,3]
題型戰(zhàn)法七根據(jù)奇偶性求參數(shù)
典例7.若函數(shù)八力=三為奇函數(shù),則實數(shù)。的值為()
A.1B.2C.-1D.+1
f尤31無>0
變式7-1.已知函數(shù)=?3:八為偶函數(shù),則2。+。=()
[ax+仇犬<0
c3_1一_3
A.3B.-C.—D.
22~2
變式7-2.若函數(shù)式%)=〃%2+(2〃-4)氏+〃一4是定義在[2—2〃,〃]上的偶函數(shù),則。-力=()
A.1B.2C.3D.4
變式7-3.已知函數(shù)=+〃為奇函數(shù),則/?=()
A.-1B.0C.1D.2
變式7-4./(%)=依2+法一4。是偶函數(shù),其定義域為[a-1,-2〃],貝lja+b等于()
A.1B.-1C.D.01
3
第二章函數(shù)
2.2.1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性(題型戰(zhàn)法)
知識梳理
一函數(shù)的單調(diào)性
1.單調(diào)性的定義
一般地,設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個
自變量x,x2,當百<三時,都有/區(qū)),那么就說函數(shù)/⑴在區(qū)間D上是增函數(shù);
如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量%三,當百<三時,都有
f(xj>f5),那么就說函數(shù)/(X)在區(qū)間。上是減函數(shù)。
2.單調(diào)性的注意事項
1.函數(shù)的單調(diào)性要針對區(qū)間而言,因此它是函數(shù)的局部性質(zhì);對于連續(xù)函數(shù),單調(diào)
區(qū)間可閉可開,即''單調(diào)區(qū)間不在一點處糾結(jié)”;單調(diào)區(qū)間不能搞并集。
2.若函數(shù)/(x)滿足(士-三)"(王)-/(三)]>0,則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增;若滿足
(占-%)"(占)-/(%)]<0,則函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減。
3.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法主要有:
(1)定義法:在定義域內(nèi)的某個區(qū)間。上任取不三并使得不<三,通過作差比較/(X,)
與/'(三)的大小來判斷單調(diào)性。
(2)性質(zhì)法:若函數(shù)“X)為增函數(shù),g(無)為增函數(shù),依尤)為減函數(shù),火龍)為減函數(shù),
則有
①/'(x)+g(x)為增函數(shù),②/(x)-/z(x)為增函數(shù),
③〃(x)+e(x)為減函數(shù),④/z(x)-g(x)為減函數(shù)。
(3)圖像法:對于含絕對值或者分段函數(shù)經(jīng)常使用數(shù)形結(jié)合的思想,通過函數(shù)的圖
象來判斷函數(shù)的單調(diào)性。
二函數(shù)的奇偶性
一.函數(shù)奇偶性的定義:
⑴對于函數(shù)/5)的定義域內(nèi)任意一個尤,都有"-x)=/(x)=函數(shù)/(尤)是偶函數(shù);
(2)對于函數(shù)/(尤)的定義域內(nèi)任意一個無,都有==函數(shù)/(尤)是奇函數(shù)。
二.函數(shù)奇偶性的相關(guān)性質(zhì)
1.奇偶性是針對整個定義域而言的,單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的。
這兩個概念的區(qū)別之一就是:奇偶性是一個“整體”性質(zhì),單調(diào)性是一個“局部”性質(zhì);
2.定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.
3.常用的結(jié)論:若“無)是奇函數(shù),且x在0處有定義,則/(x)=0;
4.(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同,最值相反;
奇函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,可(0<a<。)上單調(diào)遞增(減),則/(尤)在區(qū)間[-仇-a]上也是單調(diào)
遞增(減);
(2)偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反,最值相同;
偶函數(shù)/5)在區(qū)間[a,6](04a<6)上單調(diào)遞增(減),則/(元)在區(qū)間[-4-句上是單調(diào)遞
減(增);
5.若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),f(x)是奇函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(1)g(x)±f(x)是奇函數(shù),(2)g(x)"(x)或是偶函數(shù)
/(X)
⑶"(x)|是偶函數(shù),(4)/(|x|)是偶函數(shù)
6.若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),/Xx)是偶函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(1)g(x)±/(x)是偶函數(shù),(2)g(x)"(x)或皿是偶函數(shù)
f(x)
(3)"(x)|是偶函數(shù),(4)/(|x|)是偶函數(shù)
7.若函數(shù)g(x)是奇函數(shù),/(x)是偶函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(1)g(x)±F(x)是非奇非偶函數(shù),(2)g(x)"(x)或皿是奇函數(shù)
/(尤)
8.若函數(shù)g(x)是偶函數(shù),/(x)是奇函數(shù),定義域都是關(guān)于原點對稱的
(l)g(x)±c是是偶函數(shù)(2)f(x)土c是非奇非偶函數(shù),
9.若函數(shù)g(x),yo),y[gQ)],定義域都是關(guān)于原點對稱
(1)g(x)是奇函數(shù)時,八>)奇函數(shù),則y=/[g(x)]是奇函數(shù);
(2)g(x)是奇函數(shù)時,f(x)偶函數(shù),則y=/[g(x)]是偶函數(shù);
題型戰(zhàn)法
題型戰(zhàn)法一單調(diào)性與奇偶性的判斷
典例1.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在(0,+8)上單調(diào)遞減的是()
]]
A.y=x+—B.y=-x3C.y=2-|x|D.y=,
xx
【答案】C
【解析】
【分析】
逐項判斷函數(shù)奇偶性和單調(diào)性,得出答案.
【詳解】
解析:人項丫=*+工,B項y=-F均為定義域上的奇函數(shù),排除;
X
D項丫=-3為定義域上的偶函數(shù),在(0,+S)單調(diào)遞增,排除;
C項y=2-國為定義域上的偶函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)遞減.
故選:C.
變式1-1.下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在(。,內(nèi))上是單調(diào)遞增函數(shù)的是()
A.>=1X|-1B.y=-r+3C.y=lgxD.y=r
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)奇偶性與單調(diào)性的概念逐一判斷
【詳解】
對于A,函數(shù)為偶函數(shù),且在(。,+?0上單調(diào)遞增,滿足題意
對于B,函數(shù)為偶函數(shù),但在(0,+向上單調(diào)遞減,故B錯誤
對于C,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故C錯誤
對于D,函數(shù)為非奇非偶函數(shù),故D錯誤
故選:A
變式1-2.下列函數(shù)中為奇函數(shù),且在定義域上是增函數(shù)的是()
5
A.丁=2*+2一*B.y=sinxC.>=tanxD.、,_癡
Jy一人
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗各選項即可判斷.
【詳解】
對于函數(shù)y=/(x)=2'+2T,定義域為R,且〃-河=2-,+2*=/3,所以函數(shù)
>=2工+2-,為偶函數(shù),不符合題意;
對于y=sinx在定義域R上不單調(diào),不符合題意;
對于y=tanx在定義域上不單調(diào),不符合題意;
對于y=),由褰函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)y=j在定義域R上為單調(diào)遞增的奇函數(shù),
符合題意.
故選:D.
變式1-3.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間(f,0)上單調(diào)遞增的是()
A./(x)=-cos%B./(x)=sinxC./(x)=tanxD./(x)=x3-x~'
【答案】D
【解析】
【分析】
利用/(力=-cosx是偶函數(shù)判定選項A錯誤;利用=f(-7i)=0判定選項B錯誤;
利用/(x)=tanx的定義域判定選項C錯誤;利用奇偶性的定義證明,⑴是奇函數(shù),
再通過基本函數(shù)的單調(diào)性判定了3的單調(diào)性,進而判定選項D正確.
【詳解】
對于A:/(x)=-co牘是偶函數(shù),
即選項A錯誤;
對于B:f(x)=sinx是奇函數(shù),但/■(-2兀)=/(-兀)=0,
所以/■(x)=sinx在區(qū)間(十,0)上不單調(diào)遞增,
即選項B錯誤;
對于C:〃x)=tanx是奇函數(shù),
但〃x)=tanx的定義域為(-g+標,今+配),keZ,
即選項C錯誤;
對于D:因為VxeR,-xeR,
有f(f)=(f)3_(-x)T=-(x3-%-1)=-f(x),
即/(x)是奇函數(shù);
因為%=/在區(qū)間(r°,。)上單調(diào)遞增,
%=-/=匚在區(qū)間(―,。)上單調(diào)遞增,
X
所以“力=三一—在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增,
即選項D正確.
故選:D.
變式1-4.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()
A.y=|x|,xeRB.y=(g),,XGR
C.y=x,xeRD.y=-x3,xeR
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)基本函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進行判斷即可求解.
【詳解】
對于A:y=|x|是偶函數(shù),故選項A錯誤;
對于B:y=是非奇非偶函數(shù),故選項B錯誤;
對于c:y=x是奇函數(shù),且在定義域(f,y)上為增函數(shù),
故選項C錯誤;
對于D:y=-x3是奇函數(shù),且在定義域(-<?,+<?)上為減函數(shù),
故選項D正確.
故選:D.
題型戰(zhàn)法二函數(shù)(包含復(fù)合函數(shù))的單調(diào)區(qū)間
典例2.函數(shù)/(x)=/-2x+4的單調(diào)區(qū)間為()
A.在R上單調(diào)遞增B.在R上單調(diào)遞減
C.在(-?』)單調(diào)遞增,在(1,+對單調(diào)遞減D.在(9,1)單調(diào)遞減,在(1,+與單調(diào)遞增
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的對稱軸,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
/(x)=--2x+4的對稱軸為x=l,開口向上,
所以f(x)=Y一2x+4在在(-口,1)單調(diào)遞減,在(1,y)單調(diào)遞增,
故選:D
變式2-1.函數(shù)〃尤)=’的單調(diào)遞減區(qū)間是()
A.(-oo,0),(0,+oo)B.(0,+8)C.(一8,0)(0,+8)D.(一℃,0)
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得解;
【詳解】
解:因為,(X)=’定義域為(-8,0).Q+00),函數(shù)在(—0,0)和(0,+00)上單調(diào)遞減,
X
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(0,+OO).
故選:A
變式2-2.函數(shù)/(x)=-|x-2|的單調(diào)遞減區(qū)間為()
A.(-co,2]B.[2,+oo)
C.[0,2]D.[0,+oo)
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根據(jù)函數(shù)的解析式可得函數(shù)>=1尤-2]的單調(diào)區(qū)間,即可得到答案;
【詳解】
,,\x-2,x>2
???5-2|二2-
函數(shù)y=|無-2|的單調(diào)遞減區(qū)間是(—oo,2],增區(qū)間為[2,+oo),
f(X)=-1X-21的單調(diào)遞減區(qū)間是[2,+8),
故選:B.
變式2-3.函數(shù)y=+2X_3的單調(diào)增區(qū)間是()
A.[-1,+co)B.[l,+oo)C.(-00,-1]D.(-co,-3]
【答案】B
【解析】
先求得函數(shù)y的定義域為(-s,-3][i,4w),再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的
判定方法,即可求解.
【詳解】
令f+2x-3N0,解得x<-3或xNl,即函數(shù)y的定義域為(ro,-3],
又由函數(shù)/(x)=f+2x-3表示開口向上,且對稱軸的方程為x=T的拋物線,
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,可得函數(shù)y=F小的單調(diào)增區(qū)間是[1,+8).
故選:B.
變式2-4.函數(shù)〃x)=log|(-*+x+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為()
3
A.卜2』B.CD.
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)真數(shù)大于零,可得函數(shù)的定義域;結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則,可確定函
數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【詳解】
由一%2+%+6>0得,xG(—2,3)
所以函數(shù)〃力=垣/*+工+6)的定義域為(-2,3)
3
令/=_/+》+6,則y=i°gJ是單調(diào)遞減函數(shù)
3
又t—+小,在,2,'上單調(diào)遞增,在(用上單調(diào)遞減
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)〃外=1。昌(-1+》+6)的單調(diào)遞減區(qū)間為12,£|.
故選:A.
【點睛】
本題考查的知識點是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的定義域,對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于中
檔題.
題型戰(zhàn)法三根據(jù)奇偶性求解析式
典例3.設(shè)/'(x)為奇函數(shù),且當xNO時,f(x)=x2+x,則當x<0時,/(%)=()
A.x?+xB.—尤?+x
C.x~—xD.一尤,一尤
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),利用即可求出結(jié)果.
【詳解】
設(shè)x<0,則-x>0,所以%)=%2一%,
又/'(X)為奇函數(shù),所以“司=_/(-可=_卜2_彳)=_彳2+彳,
所以當x<0時,f{x)=-xL+x.
故選:B.
變式3-1.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x>0時,〃x)=x+2,則當x<0時,
“X)=()
A.—x—2B.—x+2
C.—D.x+2
【答案】B
【解析】
【分析】
當尤<0時可得-X>0,整體代入已知解析式結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得.
【詳解】
解:當x<0時可得-x>0,
「當x>0時,/(x)=x+2,
f(-x)=—x+2,
又函數(shù)為定義在R上的偶函數(shù),
,當x<0時/(x)=-x+2,
故選:B.
變式3-2.已知函數(shù)/(x)為R上的奇函數(shù),且當xNO時,/(了)=2工+X-1,則當了<0時,
〃無)=()
A.2一工一元一1B.2-x+x+l
C.D.-2-1+%+1
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】
當x<0時,貝因為/(x)是奇函數(shù),
所以/(x)=-/(-x)=-2-x+x+l.
故選:D
變式3-3.函數(shù)於)為尺上奇函數(shù),且/(x)=&+l(x>0),則當x<0時,加)=()
A.一五+1B.C.+1D.y/^x-l
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】
當x<0時,-x>0,
因為函數(shù)人為為R上奇函數(shù),
所以/(x)=—/(―x)=—(A/—x+1)=-V—x—1,
故選:B
變式3-4.設(shè)〃x)為奇函數(shù),且當x?0時,/(x)=er-l,則當x<0時,/(x)=()
A.e,-lB.e-x+lC.-ex-1D.~ex+1
【答案】D
【解析】
【分析】
首先設(shè)x<0,得至lJ-x>0,再代入/(x)=eT-l,利用函數(shù)的奇偶性求解即可.
【詳解】
設(shè)尤<0,則-x>0,因為函數(shù)為奇函數(shù),且當x?0時,/(x)=e^-l,
/(—x)="-l=—即:f(x)=-ex+l.
故選:D
題型戰(zhàn)法四根據(jù)單調(diào)性與奇偶性解不等式
典例4.已知奇函數(shù)是定義在區(qū)間(-2,2)上的增函數(shù),且/⑺+/■⑵+1)>0,則
實數(shù)f的取值范圍是()
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、定義域化簡不等式/'⑺+/(2"1)>0,從而求得r的取
值范圍.
【詳解】
依題意奇函數(shù)〃x)是定義在區(qū)間(-2,2)上的增函數(shù),
〃r)+〃2t+l)>0J⑵+1)>—/(r)=〃T),
2t+1>—t
cc11
\-2<t<2n——<t<—,
32
—2<21+1<2
故選:B
變式4-1.定義在R上的偶函數(shù)在區(qū)間[0,+功上單調(diào)遞增,若〃l)<〃lnx),則
x的取值范圍是()
A.(e,+co)B.C.(^x>,-e)u(e,-K?)D.0,-u(e,+co)
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)偶函數(shù)及單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
由題意,網(wǎng)|>1,則X>e或尤
故選:D.
變式42若函數(shù)是定義在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù),且"2)=1,則使得
〃x)+l<0成立的x的取值范圍為()
A.(2,+oo)B.(—2,+co)C.D.2)
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合單調(diào)性進行求解即可.
【詳解】
因為函數(shù)“X)是奇函數(shù),所以〃-2)=-/(2)=-1,
由〃x)+l<0可得"x)<T,BP/(x)</(-2),
又因為函數(shù)〃x)是定義在R上單調(diào)遞增函數(shù),
所以x<-2.
故選:D
變式4-3.已知函數(shù)“X)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+動上單調(diào)遞減,3)=0,
則不等式獷(x)>0的解集為()
A.(,,―3)5。,3)B.(f-3)U(3,+w)C.(-3,0)_(0,3)D.(-3,0)u(3,+?)
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)〃x)的單調(diào)性、奇偶性畫出“力的大致圖象,由此確定正確選項.
【詳解】
依題意函數(shù)”尤)是定義在R上的偶函數(shù),且在(。,+")上單調(diào)遞減,在0)上遞增,
/(3)=/(-3)=0.
畫出〃尤)的大致圖象如下圖所示,
由圖可知,不等式獷(司>0的解集為(-8,-3)。(0,3).
故選:A
變式4-4.已知定義在R上的函數(shù)y=〃x)是偶函數(shù),且在?+s)上單調(diào)遞減,則不
等式7(x-l)>/(x)的解集為()
A.(2,+co)B.(-<?,0)|(2,+oo)c.D.1(2,+=°)
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函數(shù)為偶函數(shù)可得,3在(-8,0]上單調(diào)遞增,從而可得|x-l|<|x|,解不等式即
可求解.
【詳解】
因為/(X)為偶函數(shù),且在[。,+8)上單調(diào)遞減,所以/(X)在(-8,0]上單調(diào)遞增.
由/'(x-l)〉“尤),得—解得尤>:,
即不等式7(xT)>/(x)的解集為1,+j.
故選:C
題型戰(zhàn)法五根據(jù)單調(diào)性與奇偶性比大小
典例5.定義在R上的偶函數(shù)/(尤)滿足:對任意的%,馬€[。,”)(芯力馬),有
則()
x{-x2
A./(3)</(-2)</(1)B.2)<〃3)
C./(-2)</(1)</(3)D./(3)</(1)</(-2)
【答案】A
【解析】
【分析】
先判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的奇偶性得解.
【詳解】
解:因為對任意的玉e[0,+co)(^+解,有"*)”")<0,
玉一元2
所以函數(shù)/(X)在區(qū)間[0,+8)上單調(diào)遞減,
所以〃3)<〃2)<〃1),又因為函數(shù)小)是偶函數(shù),
所以/⑶<〃一2)<〃1).
故選:A
變式5-1.設(shè)偶函數(shù)外力的定義域為R,當xe[0,g)時,〃尤)是減函數(shù),則/(-2),
,(兀),3)的大小關(guān)系是().
A./(7r)>/(-3)>/(-2)B./(^)>/(-2)>/(-3)
C./(7T)</(-3)</(-2)D./(7t)</(-2)</(-3)
【答案】C
【解析】
【分析】
依據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性即可對/(-2),/(7T),/'(-3)進行大小比較.
【詳解】
函數(shù)〃x)為偶函數(shù),則數(shù)-2)="2),/(-3)=/(3)
當xe[0,+oo)時,“X)是減函數(shù),又2<3<兀,
則/(2)>/(3)>f(兀),則/(-2)>/(-3)>/(兀)
故選:C
變式52已知偶函數(shù)”力在[0,+e)上單調(diào)遞減,則”1)和〃-⑼的大小關(guān)系為
()
A./(1)>/(-10)B.,⑴<〃-10)
C./(1)=/(-10)D.了⑴和〃-10)關(guān)系不定
【答案】A
【解析】
【分析】
結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性確定正確選項.
【詳解】
依題意,偶函數(shù)“X)在[0,+功上單調(diào)遞減,/(-10)=/(10),
所以
故選:A
變式5-3.定義域為R的函數(shù)f3滿足:對任意的看,%eR,有?-而).(/a)-f式))>0,
則有()
A./(-2)</(1)</(3)B./(1)</(-2)</(3)
C./(3)</(-2)</(1)D./(3)</(1)</(-2)
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函數(shù)的單調(diào)性,判斷選項即可.
【詳解】
定義域在R上的函數(shù)"X)滿足:對任意的4,x『R,有).(/(t)-/(弓))>。,
可得函數(shù)"X)是定義域在R上的增函數(shù),
所以/(-2)</(1)</(3).
故選:A.
變式54已知函數(shù)””在區(qū)間[0,+句上是增函數(shù),則/⑵,/⑺,/⑶的大小關(guān)系是
()
A./(^)>/(2)>/(3)B./(3)>/(^)>/(2)
C./(2)>/(3)>/(^)D./(^)>/(3)>/(2)
【答案】D
【解析】
【分析】
結(jié)合f(x)的單調(diào)性比較出三者的大小關(guān)系.
【詳解】
因為在區(qū)間0+8)上是增函數(shù),并且萬>3>2,所以在%)>〃3)>/(2),
所以D選項的正確的.
故選:D
題型戰(zhàn)法六根據(jù)單調(diào)性求參數(shù)
典例6.已知〃x)=f+2x+3在(-9間)為單調(diào)函數(shù),則。的取值范圍為()
A.(f,T)B.(f,T]C.(-9.-1)D.(-9,-1]
【答案】D
【解析】
【分析】
求出=%2+2x+3的單調(diào)性,從而得到—9<aW-1.
【詳解】
=f+2x+3在(《,-!)上單調(diào)遞減,在(T+s)上單調(diào)遞增,故要想在(-9,。)為單
調(diào)函數(shù),需滿足-9<aV-1,
故選:D
變式6-1.已知二次函數(shù)y=/_2以+1在區(qū)間(2,3)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)”的取值范
圍是()
A.(-oo,2]u[3,+<x>)B.[2,3]
C.(f-3]3-2收)D.[-3,-2]
【答案】A
【解析】
【分析】
結(jié)合圖像討論對稱軸位置可得.
【詳解】
由題知,當-或-^并,即aW2或晨3時,滿足題意.
故選:A
變式6-2.已知函數(shù)/'(x)=x2-2ax+6在區(qū)間(-8,1]是減函數(shù),則實數(shù)。的取值范
圍是()
A.[1,+co)B.(-00,1]C.[-1,+oo)D.(-00,-1]
【答案】A
【解析】
【分析】
由對稱軸與1比大小,確定實數(shù)。的取值范圍.
【詳解】
/(x)=x2-2ax+b對稱軸為%=。,開口向上,要想在區(qū)間(-Q0,1]是減函數(shù),所以
ae[l,+co).
故選:A
變式63若函數(shù)一3蛆+18(〃zeR)在(0,3)上不單調(diào),則機的取值范圍為
()
A.0<m<2B.Q<m<2C.m<0D.m>2
【答案】B
【解析】
【分析】
要想在(0,3)上不單調(diào),則對稱軸在(0,3)內(nèi)
【詳解】
〃x)=x2-3團+18(機eR)的對稱軸為x=”,則要想在(0,3)上不單調(diào),則與?0,3),
解得:me(0,2)
故選:B
變式64已知函數(shù)/(引=],_1*]<1,滿足對任意的實數(shù)x尸%,都有
成立,則實數(shù)a的取值范圍為()
xi-x2
A.(1,3)B.[1,3)C.(1,3]D.[1,3]
【答案】C
【解析】
【分析】
[a—l>0
根據(jù)題意可知函數(shù)為增函數(shù),然后列出式子I計算即可.
a-l<3-1
【詳解】
由題可知:任意的實數(shù)玉片馬,都有〃尤|)一〃%)>0成立
西-x
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