2024-2025學年高中數學第二章解析幾何初步階段性評估2習題含解析北師大版必修2

階段性評估(二)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．兩圓x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置關系是(B)A．內切 B．相交C．外切 D．外離解析：由已知可得兩圓的圓心與半徑分別為C1(0,0)，R1＝1，C2(2，－1)，R2＝3，則|C1C2|＝eq\r(5)∈(R2－R1，R2＋R1)＝(2,4)，所以兩圓相交，故應選B.2．經過A(－1,1)，B(2,2)，C(3，－1)三點的圓的標準方程是(D)A．(x＋1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝5C．(x－1)2＋y2＝4 D．(x－1)2＋y2＝5解析：由已知條件可得，線段AC的垂直平分線方程為y－0＝2(x－1)，即y＝2x－2，線段AB的垂直平分線方程為y－eq\f(3,2)＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即y＝－3x＋3，這兩條直線的交點坐標為M(1,0)，又由|MA|＝eq\r(5)，可得過三點A，B，C的圓的標準方程為(x－1)2＋y2＝5，故應選D.3．已知直線l經過點P(－4,2)，且被圓(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截得的弦長為8，則直線l的方程是(D)A．7x＋24y－20＝0B．4x＋3y＋25＝0C．4x＋3y＋25＝0或x＝－4D．7x＋24y－20＝0或x＝－4解析：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y－2＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＋2＝0.由圓的方程可知圓心為(－1，－2)，半徑r＝5，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|－k＋2＋4k＋2|,\r(k2＋1))))2＋42＝25，解得k＝－eq\f(7,24)，直線方程為7x＋24y－20＝0；當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－4，滿意截得的弦長為8.所以直線l的方程為7x＋24y－20＝0或x＝－4.4．若方程a2x2＋(a＋2)y2＋2ax＋a＝0表示圓，則a的值為(A)A．a＝－1 B．a＝2C．a＝－1或a＝2 D．a＝1或a＝－2解析：本題考查二元二次方程表示圓的條件．若方程表示圓，則二次項系數相等，故a2＝a＋2，解得a＝2或－1，當a＝－1時方程為x2＋y2－2x－1＝(x－1)2＋y2－2＝0，即(x－1)2＋y2＝2，方程表示圓；當a＝2時，4x2＋4y2＋4x＋2＝0?x2＋y2＋x＋eq\f(1,2)＝0，由于12＋02－4×eq\f(1,2)<0，故方程x2＋y2＋x＋eq\f(1,2)＝0不表示任何圖形，因此a＝－1.5．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為(D)A.eq\r(3) B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：本題考查直線與圓的位置關系的應用．由題意得直線方程為y＝eq\r(3)x，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|2|,2)＝1，故弦長|AB|＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3).6．已知Rt△ABC的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，則直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是(B)A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相交解析：本題考查直線與圓的位置關系．由直角三角形勾股定理得a2＋b2＝c2，所以圓心(0,0)到直線ax＋by＋c＝0的距離d＝eq\f(|c|,\r(a2＋b2))＝1＝r，所以直線與圓相切．7．點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，|PA|＝1，則點P的軌跡方程是(B)A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2C．y2＝2x D．y2＝－2x解析：因為|PA|＝1，所以點P和圓心的距離恒為eq\r(2).設P(x，y)，圓心(1,0)，由兩點間的距離公式，有(x－1)2＋y2＝2.8．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是(B)A．(x－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝1 B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－1)2＝1解析：解法1：由題意知圓心坐標為(x0,1)，∴解除A，C.選項B中圓心(2,1)到直線4x－3y＝0的距離d＝eq\f(|4×2－3|,\r(42＋32))＝1，即d＝r成立，故選B.解法2：由題意設圓心為(x0,1)，∵d＝r，∴eq\f(|4x0－3|,\r(42＋32))＝1?x0＝2或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)．故選B.9．垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是(A)A．x＋y－eq\r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋eq\r(2)＝0解析：由題意知直線方程可設為x＋y－c＝0(c>0)，則圓心到直線的距離等于半徑1，即eq\f(|0＋0－c|,\r(12＋12))＝1，c＝eq\r(2)，故所求方程為x＋y－eq\r(2)＝0.10．若直線l1：y＝x，l2：y＝x＋2與圓C：x2＋y2－2mx－2ny＝0的四個交點把圓C分成的四條弧長相等，則m＝(A)A．0或－1 B．0或1C．1或－1 D．0或1或－1解析：由題意知，四條弧長相等，故圓心到直線的距離d＝eq\f(\r(2),2)r.圓心為(m，n)，半徑為eq\r(m2＋n2)，兩平行線的距離為eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2)r，解得r＝1＝eq\r(m2＋n2)，m2＋n2＝1.依題意d＝eq\f(|m－n|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，兩邊平方得2mn＝0.當m＝0時，n＝±1，當n＝0時，m＝±1，但圓心(1,0)，(0，－1)不在這兩平行線間，不符合題意，故m＝0或－1.11．臺風中心從A地以每小時20km的速度向東北方向移動，離臺風中心30km內的地區(qū)為危急地區(qū)，城市B在A地正東40km外，B城市處于危急地區(qū)內的時間為(B)A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h解析：如圖建立直角坐標系，過點B作BC⊥AF，交AF于點C.以點B為圓心，30為半徑的圓交AF于點E，F，連接BE，BF.在Rt△OBC中，|BC|＝40×eq\f(\r(2),2)＝20eq\r(2)，|BE|＝30，∴|EC|＝eq\r(302－20\r(2)2)＝10，∴|EF|＝20.∴B城市處于危急地區(qū)的時間為eq\f(20,20)＝1(h)．12．已知圓C：x2＋y2＝3，從點A(－2,0)視察點B(2，a)，要使視線不被圓C攔住，則a的取值范圍是(D)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)\r(3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)\r(3)，＋∞))B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－2eq\r(3))∪(2eq\r(3)，＋∞)D．(－∞，－4eq\r(3))∪(4eq\r(3)，＋∞)解析：設過點A(－2,0)與圓C：x2＋y2＝3相切的直線為y＝k(x＋2)，則eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\r(3)，∴切線方程為y＝±eq\r(3)(x＋2)．由A點向圓C引2條切線，只要點B在切線之外，那么就不會被圓C遮擋．在y＝±eq\r(3)(x＋2)中，取x＝2，得y＝±4eq\r(3).從A點視察B點，要使視線不被圓C攔住，需a>4eq\r(3)，或a<－4eq\r(3).∴a的取值范圍是(－∞，－4eq\r(3))∪(4eq\r(3)，＋∞)．故選D.第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填寫在題中橫線上)13．經過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑為2的圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4.解析：圓心是(－2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4.14．經過點A(3,1)，且被圓x2＋y2＝16所截得的弦長最短的直線方程為3x＋y－10＝0.解析：設圓心為O，當弦與OA垂直時弦最短．15．與直線3x－4y＋5＝0平行且與圓x2＋y2＝4相切的直線的方程是3x－4y±10＝0.解析：設與直線3x－4y＋5＝0平行的直線方程為3x－4y＋a＝0，由圓x2＋y2＝4的圓心(0,0)到3x－4y＋a＝0的距離等于圓的半徑可得d＝eq\f(|a|,5)＝2，解得a＝±10，由此可得圓的切線方程為3x－4y±10＝0.16．已知點(x0，y0)是直線x＋y＝2k－1與圓x2＋y2＝k2＋2k－3的公共點，則x0y0的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11－6\r(2),4)，\f(11＋6\r(2),4))).解析：∵點(x0，y0)是直線x＋y＝2k－1與圓x2＋y2＝k2＋2k－3的公共點，∴圓心(0,0)到直線x＋y＝2k－1的距離d＝eq\f(|1－2k|,\r(2))≤eq\r(k2＋2k－3)，解得eq\f(4－\r(2),2)≤k≤eq\f(4＋\r(2),2).又∵圓x2＋y2＝k2＋2k－3，∴k2＋2k－3>0，解得k<－3或k>1，∴k的取值范圍為eq\f(4－\r(2),2)≤k≤eq\f(4＋\r(2),2).∵點(x0，y0)是直線x＋y＝2k－1與圓x2＋y2＝k2＋2k－3的公共點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋y0＝2k－1，,x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＝k2＋2k－3，))得2x0y0＝3k2－6k＋4.當eq\f(4－\r(2),2)≤k≤eq\f(4＋\r(2),2)時，2x0y0＝3k2－6k＋4是關于k的增函數，代入可得x0y0的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11－6\r(2),4)，\f(11＋6\r(2),4))).三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知直線l與圓C相交于點P(1,0)和點Q(0,1)．(1)求圓心所在的直線方程；(2)若圓C的半徑為1，求圓C的方程．解：(1)∵PQ中點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，且kPQ＝－1，∴圓心所在的直線方程為y－eq\f(1,2)＝x－eq\f(1,2)，即x－y＝0.(2)設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝1，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋b2＝1，,a2＋b－12＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))∴圓C的方程為x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.18．(12分)已知圓C：x2＋y2－8y＋12＝0，直線l：ax＋y＋2a(1)當a為何值時，直線l與圓C相切；(2)當直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(2)時，求直線l的方程．解：將圓C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得標準方程為x2＋(y－4)2＝4，則此圓的圓心為(0,4)，半徑為2.(1)若直線l與圓C相切，則有eq\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))＝2.解得a＝－eq\f(3,4).(2)過圓心C作CD⊥AB交AB于點D，則依據題意和圓的性質，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|CD|＝\f(|4＋2a|,\r(a2＋1))，,|CD|2＋|DA|2＝22，,|DA|＝\f(1,2)|AB|＝\r(2)，))解得a＝－7或a＝－1.故所求直線方程為7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.19．(12分)已知一圓經過點A(3,1)，B(－1,3)，且它的圓心在直線3x－y－2＝0上．(1)求此圓的方程；(2)若點D為所求圓上隨意一點，且點C(3,0)，求線段CD的中點M的軌跡方程．解：(1)方法一：由已知可設圓心N(a,3a－2)．又由已知得|NA|＝|NB|，即eq\r(a－32＋3a－2－12)＝eq\r(a＋12＋3a－2－32)，解得a＝2.于是圓N的圓心為N(2,4)，半徑r＝eq\r(a－32＋3a－2－12)＝eq\r(10).∴圓N的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10.方法二：∵A(3,1)，B(－1,3)，∴kAB＝eq\f(3－1,－1－3)＝－eq\f(1,2)，線段AB的中點坐標為(1,2)，∴線段AB的垂直平分線的斜率為2，方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＝0，,3x－y－2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))∴圓心N(2,4)，半徑r＝|NA|＝eq\r(2－32＋4－12)＝eq\r(10).故所求圓N的方程為(x－2)2＋(y－4)2＝10.(2)設M(x，y)，D(x1，y1)，則由C(3,0)及M為線段CD的中點得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋3,2)，,y＝\f(y1＋0,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－3，,y1＝2y.))又∵點D在圓N：(x－2)2＋(y－4)2＝10上，∴(2x－3－2)2＋(2y－4)2＝10，化簡得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋(y－2)2＝eq\f(5,2).故所求的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,2)))2＋(y－2)2＝eq\f(5,2).20．(12分)裝修房間時，打算在如圖1所示的過道頂部設計如圖2所示的圓弧造型．(1)請你建立適當的平面直角坐標系，求出圓弧所在圓的方程；(2)現有一個長方體形的冰箱，其長、寬、高分別為100cm,80cm,180cm，用坐標法推斷該冰箱能否直立通過此過道？解：(1)如圖，以AD所在直線為x軸，以AD的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，則點F(60,160)．設圓的方程為x2＋[y－(200－r)]2＝r2(r>0)，∵點F在圓上，∴602＋[160－(200－r)]2＝r2(r>0)，解得r＝65，故圓的方程為x2＋(y－135)2＝4225.(2)當y＝180時，x2＋(180－135)2＝652，解得x2＝2200>402，故冰箱可以直立通過此過道．21．(12分)已知定圓C：x2＋(y－3)2＝4，定直線m：x＋3y＋6＝0，過A(－1,0)的一條動直線l與直線m相交于N，與圓C相交于P，Q兩點，(1)當l與m垂直時，求出N點的坐標，并證明l過圓心C；(2)當|PQ|＝2eq\r(3)時，求直線l的方程．解：(1)直線l的方程為y＝3(x＋1)．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＋6＝0，,y＝3x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,2)，,y＝－\f(3,2)，))所以Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,2))).證明：將圓心C(0,3)代入方程易知l過圓心C.(2)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－1符合題意．當直線l與x軸不垂