云南省普洱市2023-2024學年高一年級下冊期末統(tǒng)測數(shù)學試卷（解析版）

普洱市2023—2024學年下學期高一年級期末統(tǒng)測試卷

數(shù)學試題

試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.

注意事項：

1.考查范圍：必修第一冊、必修第二冊.

2.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上.

3.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用檬皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，請將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合知={。，1，2}4={-2,。,1},則()

A.McN={0}B.MuN=M

C.{0}口McND.〃DNC{0,1}

【答案】c

【解析】

【分析】先求出交集及并集再分別判斷各個選項即可.

【詳解】McN={0,l},MuN={-2,0,1,2},A、B錯誤；

{0}口McN,C正確;

MDNR{0,1}不正確，D錯誤.

故選：C.

2若實數(shù)加，〃滿足"?—2i=l+ni,則加一〃=()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復數(shù)相等的充要條件求出用，九的值，即可得解.

【詳解】因為實數(shù)加，“滿足加一2i=l+〃i,

【詳解】因為a=(l,2)]=(一1,3),所以"6=(2,—1),

/a-(a-b)lx2+2x(-l)

所以cos(a,a—b)=-------=i,,—，'，=0.

'/|?||?-Z?|rV1+2Xy/2+(-l)

故選：A

6.在MBC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b,c.若a+ccosA=b+ccos5,則ABC為

()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理角化邊，然后因式分解可得.

【詳解】由余弦定理可得：a+cx」+/—礦=6+“-+02一”，

2bc2ac

即2a2b+ab2+ac2-a3=lab1+crb+c2b-b3，

整理得：(a-b)(az+b2-c2)=0,

得a=b或/+〃=02,所以ABC為等腰或直角三角形.

故選：D

7.如圖，圓錐的母線長為4,點M為母線的中點，從點〃處拉一條繩子，繞圓錐的側面轉一周達到

B點、,這條繩子的長度最短值為26，則此圓錐的表面積為()

A.4萬B.57rC.6兀D.87r

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)圓錐側面展開圖是一個扇形，且線段M3=26計算底面圓半徑即可求解.

【詳解】設底面圓半徑為小

24丫TTY

由母線長/=4,可知側面展開圖扇形的圓心角為。=——=一，

I2

將圓錐側面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側面轉到點2,最短距離為反必

如圖，

在中，MB=2區(qū)AM=2,AB=4,

所以=上加2,

7T

所以NMA5=—,

2

rrrrr

故a=L=上,解得廠=1，

22

所以圓錐的表面積為S=Ttrl+7rr2=5兀，

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：首先圓錐的側面展開圖為扇形，其圓心角為其次從點M拉一繩子圍繞

圓錐側面轉到點8,繩子的最短距離即為展開圖中線段MB的長，解三角即可求解底面圓半徑小利用圓

錐表面積公式求解.

8.已知定義在R上的函數(shù)/（可滿足"2—且當々〉占21時，恒有了（：）：；（.）＜0,

則不等式/（X—1）＞/（2%+1）的解集為（）

A.(-2,0)B.々|C.(-℃,-2)I*

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)“2-%）=/（%）得出對稱軸，再根據(jù)單調性結合對稱性列出不等式求解.

【詳解】由/（2—%）=/（%）得，”力的圖象關于直線x=l對稱，

令g（x）=/（x+l），則g（x）是偶函數(shù)，又當時，恒有.（：）：；（石）<0，

故〃力在［1,+8）上單調遞減，所以g⑴在［0,+“）上單調遞減，

則/（x-l）>/（2x+l）=>g（x-2）>g（2x）^>|x-2|<|2%|,

即得（x—2）2（4X2,3X2+4X-4）0,（3X-2）（X+2）>0

2

解得％<—2或x〉一.

3

故選：C.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列四個命題中，假命題有（）

A.對立事件一定是互斥事件

B.若A,3為兩個事件，則P（AB）=P（A）+P（B）

C.若事件A,3,C彼此互斥，則尸（A）+尸（5）+尸（C）=l

D.若事件4,5滿足尸（4）+。（3）=1,則是對立事件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的關系可判斷A；根據(jù)事件的和事件的概率可判斷B；舉反例可判斷C,

D,

【詳解】對于A,因為對立事件一定是互斥事件，A正確；

對B,當且僅當A與8互斥時才有P（A_B）=P（A）+P（B）,

對于任意兩個事件A3,滿足P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）,B不正確；

對C,若事件彼此互斥，不妨取A,5c分別表示擲骰子試驗中的事件“擲出1點”，“擲出2

點”，“擲出3點”，

則尸（ABC）=1,所以C不正確；

對于D,例如，袋中有大小相同的紅、黃、黑、藍4個球，

從袋中任摸一個球，設事件A=｛摸到紅球或黃球｝,事件8=｛摸到黃球或黑球），

滿足P（A）=g,P（A）+P（B）=1,

但事件A與8不互斥，也不對立，D錯誤，

故選：BCD.

10.如圖，在三棱錐尸-ABC中，24，平面48。,48,3。,P4=48,。為尸5的中點，則下列結論正確

的是（）

A.BC_Z平面

B.AD1.PC

C.ADL平面PBC

D.平面ADC

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)上4!_平面ABC,得到再結合ABIBC,利用線面垂直的判定定理判斷A；

由上4=AB,。為PB的中點，得到ADLPB,再結合6cl平面7^45判斷C；根據(jù)ADL平面

PBC即可判斷B；由BCLPB,得到與CD不平行，PB與CD不垂直，即可判斷D.

【詳解】上4,平面ABC,5Cu平面ABC

：.PA±BC,又ABJ^BC,AB,B4u平面且ABPA=A

.,.BC_L平面7^45,故A正確

由5C1平面P4B,ADu平面7^48

得BOLD

又E4=AB,。是PB的中點，

:.AD±PB

又PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

.?.A。！,平面尸BC,PCu平面PBC

AD±PC,故B,C正確

由平面P4B,P5u平面上鉆

得6CC5

因為BC與CD不平行

因此依與CD不垂直

從而PB不與平面ADC垂直，故D錯誤

故選：ABC.

11.已知定義在R上的函數(shù)〃尤)與g(x)滿足/(%)=g(x+i)+i,且y(i—x)+g(x+i)=i,若

/(X+1)為偶函數(shù)，則()

A./(4)=/(-2)B.g[[=°

C.g(l-x)=g(l+x)D.〃尤)的圖象關于原點對稱

【答案】ABC

【解析】

【分析】由了(％+1)為偶函數(shù)，故/(力的圖象關于x=l對稱，即可判斷A；由條件可得

g(2—x)+g(x+l)=0①，令x=1■可判斷B；由題意可得g(—x+2)+g(—x+l)=0②，聯(lián)立①②可

得g(l—x)=g(l+x),可判斷C；由1=1為g(x)圖象的一條對稱軸，可得/(九)的對稱軸，可判斷

D.

【詳解】因為/(X+1)為偶函數(shù)，得〃—x+l)=/(尤+1),故"力的圖象關于X=1對稱，

故/(4)=/(一2),故A正確;

由/(x)=g(x+l)+l得,/(l-x)=g(2-x)+l,代入/(l-x)+g(x+l)=l中,

得g(2—x)+g(x+l)=0①，令》=；，得g["||=0，故B正確；

因為/(x+1)為偶函數(shù)，故/(x+l)=/(l_x),

故由/(l—x)+g(x+l)=l得，/(l+x)+g(%+l)=l,

則g(x+2)+l+g(x+l)=l,故g(-x+2)+g(—x+l)=0②，

聯(lián)立①②，可得g(l—x)=g(l+%),故％=1為g⑴圖象一條對稱軸，故C正確；

而〃x)=g(x+l)+l，故"力的圖象關于y軸對稱，故D錯誤，

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

_2

18

12.計算+7T'+lOg2-1-lOg4=------

4

【答案】一

9

【解析】

【分析】直接利用指數(shù)對數(shù)的運算性質計算即可.

23*2

3lgl30

[詳解]+7T+lOg2|-lOg4y=+7T+lOg2|-lOg2|

/Zf+l+kjMmJ+l—I).

UJ134j99

4

故答案為：一.

9

13.已知球。的表面積為16兀，球心。到球內一點P的距離為1,則過點P的截面的面積的最小值為

【答案】3兀

【解析】

【分析】先求出球。的半徑火=2,數(shù)形結合得到當點P為截面圓的圓心時，過點P的截面的面積最

小，利用勾股定理求出最小截面圓的半徑，求出答案.

【詳解】設球。的半徑為R,則4兀7?2=16兀，解得/?=2,當點P為截面圓的圓心時，

即截面時，過點P的截面的面積最小，

設此時截面的半徑為r,則廠=_]2=有,

所以過點尸的截面的面積最小值為71?(6J=371.

故答案為：3兀

14.對定義在非空集合/上的函數(shù)“X),以及函數(shù)g(x)=^+b(人力GR),俄國數(shù)學家切比雪夫將函

數(shù)y=|/(X)-g(x)|,xe/的最大值稱為函數(shù)/(%)與g(x)的“偏差”.若y(x)=x2,%e[-l,l],

g(x)=%+1,則函數(shù)/(尤)與g(x)的“偏差”為.

【答案】-##1.25

4

【解析】

【分析】根據(jù)題意，直接y=|〃x)-g(x)|,尤e/,再由二次函數(shù)的最值求解.

故函數(shù)/(x)與g(力的“偏差”為|.

故答案為：一

4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

/、-V1-2sin40°cos40°_

15.⑴求-三一=-----的值；

Vl-sin250°+cos140°

(2)已知tan8=2,求sin2夕+sinecos。的值.

【答案】(1)-1；(2)1

【解析】

【分析】(1)利用平方關系和誘導公式求解；

(2)利用三角函數(shù)的齊次式求解.

【詳解】.(1)依題意一1一2-40cos40一cos40-sin4°一cos4°-0n4°一口

Vl-sin250+cosl40cos50-sin50sin40-cos40

sin26,+sin6(cos6,tan2。+tan。6

(2)依題意,sin29+sindcos9=

sin26>+cos26(tan26>+l5

16.己知_ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,其中，a=8,tanA=272.

(1)求ABC的外接圓半徑；

(2)求一ABC周長的最大值.

【答案】⑴3行

(2)8+873

【解析】

【分析】（1）由tanA=2&，利用商數(shù)關系和平方關系化簡求得sinA，再利用正弦定理求解;

8

（2）先利用余弦定理得到〃92=（b+c）92-耳兒，再利用基本不等式求解.

【小問1詳解】

tanA=^A=2"

cosA

解：依題意，＜sin?A+cos2A=1,

八4兀

0<A<—,

2

名刀夕日?42^/21

解得sinA=----,cosA=—,

33

故一ABC的外接圓半徑氏=J==3應

3

【小問2詳解】

28

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2~—bc=(b+c)2~~^c?

因為6cW3,則—4“也立，

433

則642（6+cl_2S;of=隹；c）2,故b+c〈8G，

當且僅當b=c=4小時等號成立，

故JRC周長的最大值為8+8君.

17.智能手機的出現(xiàn)，改變了我們的生活，同時也占用了我們大量的學習時間.某市教育機構從500名手機

使用者中隨機抽取100名，得到每天使用手機時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖（如圖所示），其分組

是：[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100].

頻率/組距

0.015

0.0125

0.01

0.0025

020406080100使用時間/分鐘

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這500名手機使用者中使用時間的中位數(shù)是多少分鐘？(精確到整數(shù))

(2)估計手機使用者平均每天使用手機多少分鐘？(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代

表)

(3)在抽取的100名手機使用者中在(20,40］和(40,60］中按比例分別抽取2人和3人組成研究小組，然

后再從研究小組中選出2名組長.求這2名組長分別選自(20,40］和(40,60］的概率是多少？

【答案】(1)57分鐘.(2)58分鐘；⑶|

【解析】

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)將頻率二等分可直接求得結果；(2)每組數(shù)據(jù)中間值與對應小矩形的面積乘積的

總和即為平均數(shù)；(3)采用列舉法分別列出所有基本事件和符合題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式

求得結果.

【詳解】(1)設中位數(shù)為x,則0.0023x20+0.01x20+0.015><(x—40)=0.5

170

解得：*=—?57(分鐘)

3

，這500名手機使用者中使用時間的中位數(shù)是57分鐘

(2)平均每天使用手機時間為：0.05x10+0.2x30+0.3x50+0.2x70+0.25x90=58(分鐘)

即手機使用者平均每天使用手機時間為58分鐘

(3)設在(20,40］內抽取的兩人分別為在(40,60］內抽取的三人分別為蒼以2,

則從五人中選出兩人共有以下10種情況：

(a,b),(a,x),(a,y),(a,z),(￡>,x),{b,y),e,z),(x,y),(x,z),(y,z)

兩名組長分別選自(20,40］和(40,60］的共有以下6種情況：(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)

Aq

所求概率P=m,

【點睛】本題考查根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)和中位數(shù)、古典概型概率問題的求解；關鍵是能夠明

確平均數(shù)和中位數(shù)的估算原理，從而計算得到結果；解決古典概型的常用方法為列舉法，屬于?？碱}型.

18.已知在正三棱柱A3C-4與￡中，點。為AA的中點，點石在cq的延長線上，且

(1)證明：AG〃平面3DE；

(2)求二面角6—DE—C的正切值.

【答案】(1)證明見解析

⑵男

2

【解析】

【分析】(1)由線段比例關系得到四邊形AOEC］為平行四邊形，所以DE//AG，進而證明出線面平行；

(2)作出輔助線，證明出線面垂直，得到線線垂直，找到N5DG就是二面角6-DE-C的平面角，再

由線段之間的關系得到二面角的正切值.

【小問1詳解】

證明：因qE=gcE,所以GE=；CG，

又。為A&的中點，所以==gcq,所以GE=A。，又GEHAD,

所以四邊形A