2023年高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)歸納

第一講函數(shù)，極限，持續(xù)性

1、集合的概念

一般地我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把某些元素構(gòu)成的總體叫集合（簡稱集）。集合具有確定性（給

定集合的元素必須是確定的）和互異性（給定集合中的元素是互不相似的）。例如“身材較高的人”不能

構(gòu)成集合，由于它的元素不是確定的。

⑴、全體非負(fù)整數(shù)構(gòu)成的集合叫做非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）。記作N

⑵、所有正整數(shù)構(gòu)成的集合叫做正整數(shù)集，記作N+。

⑶、全體整數(shù)構(gòu)成的集合叫做整數(shù)集，記作Z。

⑷、全體有理數(shù)構(gòu)成的集合叫做有理數(shù)集，記作Q。

⑸、全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合叫做實(shí)數(shù)集，記作R。

集合的表達(dá)措施

⑴、列舉法：把集合的元素一一列舉出來，并用“{}”括起來表達(dá)集合

⑵、描述法：用集合所有元素的共同特性來表達(dá)集合

集合間的基本關(guān)系

⑴、子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A、B,假如集合A中的任意一種元素都是集合B的元素，我們就

說A、B有包括關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記作AUB。

⑵、相等：怎樣集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此時(shí)集合A中的元素與集合B中

的元素完全同樣，因此集合A與集合B相等，記作A=B。

⑶、真子集：怎樣集合A是集合B的子集，但存在一種元素屬于B但不屬于A,我們稱集合A是集合

B的真子集，記作A=B。

⑷、空集：我們把不含任何元素時(shí)集合叫做空集。記作，并規(guī)定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之間的基本關(guān)系，可以得到下面的結(jié)論：

①、任何一種集合是它自身的子集。

②、對(duì)于集合A、B、C,假如A是B的子集，B是C的子集，則A是C的子集。

③、我們可以把相等的集合叫做“等集”，這樣的話子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本運(yùn)算

⑴、并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素構(gòu)成的集合稱為A與B時(shí)并集。記作A

UBo（在求并集時(shí)，它們的公共元素在并集中只能出現(xiàn)一次。）

即AUB={x|xeA,或x《B}。

⑵、交集：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素構(gòu)成的集合稱為A與B的交集。記作A

ABo

即AGB={x^<￡A,且x￡B}。

⑶、全集：一般地，假如一種集合具有我們所研究問題中所波及時(shí)所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集。

一般記作Uo

⑷、補(bǔ)集：對(duì)于一種集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素構(gòu)成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U

時(shí)補(bǔ)集。簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作CuA。

即CuA={x|x￡U,且x不屬于A}。

⑸、運(yùn)算公式：互換律：AUB=BUAAGB=BGA

結(jié)合律：(AUB)UOAU(BUC)

(AAB)AC=An(BAC)

分派律：(AUB)AC=(AAC)U(BAC)

(AAB)UC=(AUC)A(BUC)

對(duì)偶律：Cu(AUB)=CuAACuB

Cu(AAB)=CuAUCuB

集合中元素的個(gè)數(shù)

⑴、有限集：我們把具有有限個(gè)元素的集合叫做有限集，具有無限個(gè)元素時(shí)集合叫做無限集。

(2)、用card來表達(dá)有限集中元素的個(gè)數(shù)。例如A={a,b,c}，則card(A)=3。

⑶、一般地，對(duì)任意兩個(gè)集合A、B,有

card(A)+card(B)=card(AUB)+card(AAB)

2、常量與變量

⑴、變量的定義：我們在觀測某一現(xiàn)象的過程時(shí)，常常會(huì)碰到多種不一樣的量，其中有的量在過程中不起變

化，

我們把其稱之為常量；有的量在過程中是變化的，也就是可以取不一樣的數(shù)值，我們則把

其稱

之為變量。

⑵、變量的表達(dá)：假如變量的變化是持續(xù)的，則常用區(qū)間來表達(dá)其變化范圍。在數(shù)軸上來說，區(qū)間是指介于

某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。

區(qū)間的名葬區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的我示

[a,b]

閉區(qū)間aWxWb[a.b]

ab%

0b)

開區(qū)間a<x<b(a.b)___i___________「.

ab7

&b]

___1___________J?

*bx

半開區(qū)間aVxWb或aWxVb(a?b]或[a.b)

■b)

-4~——i~?

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，尚有無限區(qū)間

[a,+8)：表達(dá)不不不小于a的I實(shí)數(shù)的J全體，也可記為：aWxV+8；

(-8,b)：表達(dá)不不小于b代J實(shí)數(shù)的I全體，也可記為：-8<xVb；

(-8,+OO).表達(dá)全體實(shí)數(shù)，也可記為：-8<XV+8

注：其中—8和+8,分別讀作〃負(fù)無窮大〃和〃正無窮大〃，它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。

⑶、鄰域：設(shè)a與6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且8>0.滿足不等式|X-a|<8的實(shí)數(shù)x時(shí)全體稱為點(diǎn)a的8鄰域,

點(diǎn)

a稱為此鄰域的中心，6稱為此鄰域的半徑。

3、函數(shù)

⑴、函數(shù)的定義：假如當(dāng)變量X在其變化范圍內(nèi)任意取定一種數(shù)值時(shí)，量y按照一定的法則f總有確

定時(shí)數(shù)值與它對(duì)應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)。變量x的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。通

常X叫做自變量，y叫做函數(shù)值(或因變量)，變量y的變化范圍叫做這個(gè)函數(shù)的值

域。

注：為了表明y是x的函數(shù)，我們用記號(hào)廠f(x)、尸F(xiàn)(x)等等來表達(dá)。這里的字母〃仔、〃F〃表達(dá)y與x

之

間的對(duì)應(yīng)法則即函數(shù)關(guān)系,它們是可以任意采用不一樣的字母來表達(dá)的。假如自變量在定義域內(nèi)任取一

種確

定時(shí)值時(shí)，函數(shù)只有一種確定時(shí)值和它對(duì)應(yīng)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫做多值函數(shù)。這里我們只

討論單值函數(shù)。

(2)、函數(shù)相等

由函數(shù)的定義可知，一種函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域。由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)

關(guān)系決定的，因此，假如兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，我們就稱兩個(gè)函數(shù)相等。

3、函數(shù)的簡樸性態(tài)

⑴、函數(shù)的有界性：假如對(duì)屬于某一區(qū)間I時(shí)所有x值總有|f(x)|WM成立，其中M是一種與x無關(guān)

時(shí)常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無界。

注：一種函數(shù)，假如在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)。

函數(shù)的有界性，單調(diào)性應(yīng)與有關(guān)點(diǎn)集/聯(lián)絡(luò)起來，離開了點(diǎn)集這些概念是沒有任何意義時(shí)。

⑵、函數(shù)的單調(diào)性：假如函數(shù)在定義域區(qū)間(a,b)內(nèi)伴隨x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)Xl

及X2,當(dāng)x〈X2時(shí)，有/(石)〈/(%2)，則稱函數(shù)/(九)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增長

的。

假如函數(shù)/（X）在定義域區(qū)間（a,b）內(nèi)伴隨x增大而減小，即：對(duì)于（a,b）內(nèi)任意兩點(diǎn)

X1

及X2,當(dāng)X〈X2時(shí)，有/（%1）〉/（%2），則稱函數(shù)/（九）在區(qū)間（a,b）內(nèi)是單調(diào)減小

嘰

⑶、函數(shù)的奇偶性

假如函數(shù)/（X）對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足了（一%）=/（X）,則/（%）叫做偶函數(shù)；假如函數(shù)對(duì)于

定義域內(nèi)的任意x都滿足了（一九）=一/（幻，則/（九）叫做奇函數(shù)。

注：偶函數(shù)的圖形有關(guān)y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱。

奇偶函數(shù)的定義域必有關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱。

⑷、函數(shù)的周期性

設(shè)/（九）的定義域?yàn)?。若存在T〉0,對(duì)任意的九￡/,都使得/（%+T）=/（%）（%+7￡/）,則稱

函數(shù)/（X）為周期函數(shù)，稱T為其周期。

注：我們說的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。

周期函數(shù)的定義域必是無限的點(diǎn)集，但也不能說是全體實(shí)數(shù)，如丁=1皿九的定義域?yàn)椋?8,+oo）o

且％WkJI±JI/2（k=0,1,2....）

A.奇函數(shù)+奇函數(shù)二奇函數(shù)B.偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)C.奇函數(shù)?偶函數(shù)二奇函數(shù)

D.奇函數(shù)?奇函數(shù)二偶函數(shù)E偶函數(shù)?偶函數(shù)二偶函數(shù)

若了（九）認(rèn)為T最小正周期，則f（G）X）認(rèn)為—（口〉0）最小正周期

CO

4、反函數(shù)

⑴、反函數(shù)的定義：若由函數(shù)_y=/(x)得到x=°(y),則稱x=°(_y)是y=/(x)的反函數(shù)，

>=/(x)為直接函數(shù),反函數(shù)也可記為>=/T(X)

注：尸"(X-x)]=x

(2)、反函數(shù)的存在定理：若在(a,b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)镽,則它的反函數(shù)必然在R

上確定，且嚴(yán)格增(減).

例題：y二%2,其定義域?yàn)?-8,+8),值域?yàn)閇0,+8).對(duì)于y取定的非負(fù)值，可求得％=士拒.若我

們不加條件，由y時(shí)值就不能唯一確定x時(shí)值，也就是在區(qū)間(-8,+8)上，函數(shù)不是嚴(yán)格增(減)，故其沒有

反

函數(shù)。假如我們加上條件，規(guī)定x20,則對(duì)y20、x=就是y=*2在規(guī)定x20時(shí)的反函數(shù)。即是：函數(shù)在

此規(guī)定下嚴(yán)格增(減).

⑶、反函數(shù)的性質(zhì)：在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是有關(guān)直線y=x對(duì)稱的。

例題：函數(shù),=2工與函數(shù)y=k)g2X互為反函數(shù)，則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是有關(guān)直線

y=x對(duì)稱的。如右圖所示:

5、復(fù)合函數(shù)

復(fù)合函數(shù)的定義：若y是U的函數(shù)：y=/(?),而U又是X的函數(shù)：M=°(x),且°(x)的函數(shù)

值的所有或部分在/(")的定義域內(nèi)，那么，y通過U的聯(lián)絡(luò)也是X的函數(shù)，我們稱后一

個(gè)

函數(shù)是由函數(shù)y=/(〃)及〃=0(%)復(fù)合而成的函數(shù)，簡稱復(fù)合函數(shù)，記作

y=/[0(")],其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。

例題：函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一種函數(shù)的由于對(duì)于的定義域(-8,+8)中的任何X值所對(duì)應(yīng)的U值(都大

于或等于2),使y=arcsin〃都沒有定義。

6、初等函數(shù)

⑴、基本初等函數(shù)：我們最常用時(shí)有五種基本初等函數(shù)，分別是：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、塞函數(shù)、三

角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下:

函

數(shù)

函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)

名

稱

卜乙二/

指/

數(shù)1a):不論x為何值,y總為正數(shù)；

y=a”（?〉O,awl）

函/a>\b):當(dāng)x=0時(shí),y=l.

數(shù)■

0J

1a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過

對(duì)

(1,0)點(diǎn)

數(shù)\\y=logaA

=logax（a〉0,awl）b):當(dāng)a>l時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為

函O4'J

負(fù)；在區(qū)間(一,+8)的值為正；在定義

數(shù)/'7=log”

域內(nèi)單調(diào)增.

令aTi/n

1廣x

a):當(dāng)1n為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函

塞

數(shù)；

函>=為任意實(shí)數(shù)

b)：當(dāng)叫n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù)；

數(shù)

c)：當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-?>,0)無意

這里只畫Si出部分函數(shù)圖形的一

義.

部分。

?1卜a)：正弦函數(shù)是以2?為周期的周期

y=smx(正弦函數(shù))__1y3

角1K1函數(shù)

函b)：正弦函數(shù)是奇函數(shù)且卜11H41

這里只寫出了正弦函數(shù)___

數(shù)-1

反

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我

y=arcsmx(反正弦函數(shù))

角們此函數(shù)值限制在［-a/2,n/2］上，

雷這里只寫出了反正弦函數(shù)并稱其為反正弦函數(shù)的士值.

數(shù)

⑵、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)與常數(shù)通過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一

個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).

注：初等函數(shù)必須能用一種式子表達(dá)，不能用一種式子表達(dá)的函數(shù)不能稱為初等函數(shù)，故分段函數(shù)一般不能

叫初等函數(shù)

7、數(shù)列日勺極限

⑴、數(shù)列的極限：設(shè)｛x〃｝為一數(shù)列，假如存在常熟a,對(duì)于任意給定時(shí)正數(shù)e（不管其多么?。偞嬖谡?/p>

整數(shù)N,使得當(dāng)〃〉N時(shí)，不等式,〃一《〈￡都成立，那么就稱常數(shù)a是數(shù)列｛%｝的極限，或者稱數(shù)列收斂

于a,記為lim%。或xa（nfoo）

n—>co

注：此定義中的正數(shù)&只有任意給定，不等式才能體現(xiàn)出與a無限靠近的意思。且定義中的正整數(shù)N與任

給定的正數(shù)e是有關(guān)的，它是伴隨e的給定而選定的。在運(yùn)用數(shù)列極限定義證明某個(gè)數(shù)列與否存在極限

時(shí)，重要的是對(duì)于任意給定的正數(shù)￡,只要可以指出定義中所說的這種正整數(shù)N確實(shí)存在，但沒有必

要去求最小的N。假如懂得,“一《不不小于某個(gè)量（這個(gè)量是n的一種函數(shù)），那么當(dāng)這

個(gè)量不不小于￡時(shí)，當(dāng)然也成立若令這個(gè)量不不小于￡來定出N比較以便的話，就可以采

用這種措施。

⑵、數(shù)列的有界性：對(duì)于數(shù)列，若存在著正數(shù)M,使得一切都滿足不等式||WM,則稱數(shù)

列是有界的，若正數(shù)M不存在，則可說數(shù)列是無界的。

⑶、收斂數(shù)列的幾種重要性質(zhì)：

A.極限的唯一性：假如數(shù)列｛%｝收斂，那么它的極限唯一。（根據(jù)極限的定義用反證法證

明）

B.有界性：假如數(shù)歹收當(dāng)｝收斂，那么它一定有界。

注：數(shù)列收斂是數(shù)列有界的充足非必要條件。即數(shù)列收斂，一定有界，但數(shù)列有界不一定收斂。

例：數(shù)列1,T,LT,…，（T）,…是有界的J,但它是發(fā)散的I。

C.保號(hào)性：假如limx”=。且4〉0（或a〈0）那么存在正整數(shù)N〉0,當(dāng)“〉N時(shí)，均有x“〉0

（或

x“〈0）

推論：假如數(shù)列｛x〃｝從某項(xiàng)起有當(dāng)NO（或x.W0）,且limxa=a,那么。之0（或

"n—>00

<2<0）

注：雖然從某項(xiàng)起有招〉0（或/〈0）,且lim%“=a,那么a不一定一定為q〉0,也有也許

n—>℃

4=0。

D.收斂數(shù)列與子數(shù)列的關(guān)系：假如數(shù)列｛%｝收斂于a,那么它時(shí)任一子數(shù)列也收斂，且極限是a。

假如數(shù)列｛Xn｝有倆個(gè)子數(shù)列收斂于不一樣的極限，那么數(shù)列｛九〃｝是

發(fā)

散。

（4）.數(shù)列存在的充足必要條件：lim%〃=aolim%2〃=1nx2n+i=a

fisn—>00n—>oo

o其任一子數(shù)列的極限都為a

8、函數(shù)日勺極限

前面我們學(xué)習(xí)了數(shù)列的極限，已經(jīng)懂得數(shù)列可看作一類特殊的函數(shù)，即自變量取〃一8內(nèi)的正整數(shù)，

若自變量不再限于正整數(shù)的次序，而是持續(xù)變化的，就成了函數(shù)。下面我們來學(xué)習(xí)函數(shù)的極限.

函數(shù)的極值有兩種狀況：a）：自變量無限增大；b）：自變量無限靠近某一定點(diǎn)x。下面我們結(jié)合著數(shù)列的

極限來學(xué)習(xí)一下函數(shù)極限的概念！

⑴、函數(shù)的極限（分兩種狀況）

a）:自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限

定義：設(shè)函數(shù)/(X)當(dāng)W不小于某一正數(shù)時(shí)有定義，若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定時(shí)正數(shù)e(不管其多么

小)，總存在著正數(shù)X,使得當(dāng)x滿足不等式國〉X時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/(x)都滿足不等式

|/(x)—旬〈￡,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)x-8時(shí)的極限，記作lim/0)=4或/(%)->A

1100

(當(dāng)X-00)

Xf+G0(xf—co)時(shí)/(x)的極限定義只需要將以上定義中的W〉X改為?x(或x〈一X)即

可。

下面我們用表格把函數(shù)的極限與數(shù)列的極限對(duì)比一下:

存在函數(shù)y二,")與常數(shù)A.任給一正數(shù)

存在數(shù)列.”與常數(shù)A,任給一正數(shù)e>0,

e>0,總可找到一正數(shù)X,對(duì)于適合kA"的

總可找到一正整數(shù)N,對(duì)于n>N的所有"”都滿足

一切x,都滿足火函數(shù)

-H<e則稱數(shù)列0”,當(dāng)x-8時(shí)收斂于A記：

y=/(X)當(dāng)x-8時(shí)的極限為A,記：

lim%=力

lim/(x)=A

-9。

卜

'、^-----

0A—A

6x*"

b):自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限

定義：設(shè)函數(shù)/(X)在點(diǎn)天的某一去心鄰域內(nèi)有定義，若存在常數(shù)A,對(duì)于任意給定時(shí)正數(shù)e(不管其多

么小)，總存在著正數(shù)5,使得當(dāng)x滿足不等式O〈|x—%J〈S時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值/(x)都滿足不等式

忱。0—小〈￡,那么常數(shù)A就叫做函數(shù)/(x)當(dāng)x-/時(shí)的極限，記作Hm/(x)=A或/(%)fA

(當(dāng)％f%o)

注：在定義中只規(guī)定在去心鄰域內(nèi)不等式成立，不規(guī)定在％點(diǎn)此不等式成立，意味著XfXo時(shí)/(X)認(rèn)為

A極限與/(%)在/點(diǎn)與否有定義雖然有定義函數(shù)值等于什么無關(guān)。

自己參照數(shù)列極限引生函數(shù)的左右極限概念。

注：Xf不時(shí)函數(shù)極限存在的充要條件：

limf(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A

X—%-X―XX。

有些時(shí)候，我們要用此極限的定義來證明函數(shù)的極限為A,其證明措施是怎樣的呢？

a):先任取e>0；

b):寫出不等式|/(X)—聞〈￡；

c):解不等式能否得出去心鄰域0〈,一天|〈3,若能；

d):則對(duì)于任給的e>0，總能找出6,當(dāng)0〈忖一%|〈3時(shí)，|/(幻一小〈￡成立，因此吧/(X)=A

⑵、函數(shù)的極限的性質(zhì)

參照數(shù)列極限的重要性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性

⑶、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

假如極限lim/(x)存在，｛%｝為函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任一收斂于升的數(shù)列，且滿足：Xnx0,那么

X-^XQ

對(duì)應(yīng)的函數(shù)值數(shù)列｛/(X)｝必收斂，且lim/(%?)=lim/(x)。

n—>x0X—>XQ

9、無窮小與無窮大

無窮大量：設(shè)有函數(shù)y=/(x),在x=x(，的去心鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于任意給定時(shí)正數(shù)N(一種任意大

的數(shù))，總可找到正數(shù)6,當(dāng)0〈,一工|〈3時(shí)，|/(刈〉雙成立，則稱函數(shù)當(dāng)xf不時(shí)為無窮大量。

記為：lim/(x)=CO(表達(dá)為無窮大量，實(shí)際它是沒有極限的)

%—工0

同樣我們可以給出當(dāng)x-8時(shí)，無窮大的定義：設(shè)有函數(shù)y=/（x）,當(dāng)x充足大時(shí)有定義，對(duì)于任意

給定時(shí)正數(shù)N（一種任意大的數(shù)），總可以找到正數(shù)M,當(dāng)時(shí)，|/（X）|〉N成立，則稱函數(shù)當(dāng)X-8時(shí)

是無窮大量，記為：lim/（%）=00

Xf8

無窮小量：以0為極限的變量叫無窮小量。（定義參照無窮大）

注意：無窮大量與無窮小量都是一種變化不定的量，不是常量，只有0可作為無窮小量的唯一常量。無窮大

量與無窮小量的區(qū)別是：前者無界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.

無窮小的運(yùn)算性質(zhì)

A.有限個(gè)無窮小時(shí)和也是無窮小

B.有限個(gè)無窮小時(shí)乘積也是無窮小

C.有界函數(shù)與無窮小的I乘積是無窮小

D.常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小

極限與無窮小時(shí)關(guān)系：/（x）/（%）=A+a,其中口是在與A時(shí)自變量的同一變化

趨勢下的無窮小量。

無窮小時(shí)比較：通過前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)懂得，兩個(gè)無窮小量的和、差及乘積仍舊是無窮小.那么兩個(gè)無窮

小量的商會(huì)是怎樣的呢？好！接下來我們就來處理這個(gè)問題，這就是我們要學(xué)的兩個(gè)無窮小量的比較。

定義：設(shè)a,B都是時(shí)時(shí)無窮小量，且B在x。的去心鄰域內(nèi)不為零，

（X

a）:假如lim==0,則稱。是用的高階無窮小或旦是a的低階無窮小，記作&=。（，）；

Xf工0p

a

b）：假如lim二=cwO,則稱。和4是同階無窮小；

Z與P

a

C)：假如lim—=1,則稱。和夕是等價(jià)無窮小，記作：asp(。與夕等價(jià))；

%一殉°

a

d)：假如lim—；7=c0,k)0,則稱a是有關(guān)￡的I左階無窮小

%一與。

注：a.無窮小比較中的。和［3必須是在自變量相似變化趨勢下的無窮小量.

b.無窮小時(shí)比較只是定性的，即只有階時(shí)高下之別，沒有數(shù)量上的關(guān)系

C.不是任何無窮小量都能比較其階的高下

sinx1oc

如：當(dāng)1—8時(shí)，a=——,/=一■都是無窮小量，但lim—=limsinx不存在，不能比較其階的

XX%-00BXf00

高下

等價(jià)無窮小時(shí)性質(zhì)

夕s"且Jim&存在，則.lim2=lim2

aaa

注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無窮小來替代，因此我們可以運(yùn)用這

個(gè)性質(zhì)來簡化求極限問題，不過做無窮小變換時(shí)必須分子或分母整體替代，不能分子或分母分項(xiàng)替代。

B.夕與戊是等價(jià)無窮小時(shí)充足必要條件為：J3=a+o(a)

c.常用時(shí)等價(jià)無窮小有：當(dāng)1-0時(shí)

119

(1+J3x)alogq(l+x)s----x1-cosx^—xex-1^x

'Ina2

sin%stanxsarcsinxs%sln(l+%)sarctanxax-1^xlna{a}0且aw1}

無窮大與無窮小時(shí)關(guān)系

在自變量的同一變化過程中，假如了(九)是無窮大，則」一為無窮下；假如了(九)是無窮小且

1

則:一為無窮大。

于(X)

10、函數(shù)極限日勺運(yùn)算法則

⑴、函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知Xf%0(或%—00)時(shí)，/(%)fAg(%)fB

則lim(/(x)±g(x))=A±B

%母0

lim(=f(x)-g(x)^A-B

x—>x0

r/U)_A

推論：假如存在，而c為常數(shù)，則lim[c/(%)]=clim/Cx)

假如存在，而〃為正整數(shù)，則lim[/(1)]〃=[lim/(%)]〃

注：數(shù)列極限也有同樣的運(yùn)算性質(zhì)。

復(fù)合函數(shù)的極限的運(yùn)算法則

設(shè)函數(shù)y=是由函數(shù)〃=g(x)與函數(shù)y=/(〃)復(fù)合而成，/[g(%)]在點(diǎn)/的某去心領(lǐng)域內(nèi)有

定義，若limg(x)=%,limf(u)=A,且存在不〉0,當(dāng)％￡0(%0,品)時(shí)，有g(shù)(x)w〃o，貝I

%—>為0"f〃0

limf[g(x)]=lim/(?)=A

x—>x0w—?w0

⑵極限存在準(zhǔn)則

準(zhǔn)則一：假如數(shù)列｛%｝，｛%｝，｛z〃｝滿足下列條件

A.從某項(xiàng)起，即存在當(dāng)〃〉小時(shí)，有/

B.limyn=a,limzn=a

00H-?00

那么數(shù)列｛x?｝的極限存在，且lim=a

n-?oo

注：此準(zhǔn)則也就是夾逼準(zhǔn)則.

準(zhǔn)則二：單調(diào)有界的函數(shù)必有極限.

注：有極限的函數(shù)不一定單調(diào)有界

兩個(gè)準(zhǔn)則都可以推廣到函數(shù)的極限，但要注意使用的條件。

⑶、兩個(gè)重要的極限

sinx-1

lim—-=1lim(l+x)%=e或+—尸=e

x—>0%x—>0%—>8%

注：我們要記住這兩個(gè)重要的極限，在此后的解題中會(huì)常常用到它們。

2

例題：求lim(l——)x

X—>00X

%

解答：令，=——，則1=—2/，由于x-oo=/foo

2

211

則lim(l——Y=lim(l+-r2r=皿(1+-)12=]

%—8%S｛981

注：解此類型時(shí)題時(shí)，一定要注意代換后的變量的趨勢，像Xf00時(shí)，若用/代換貝!Uf0。

X

(4).有關(guān)極限的幾種重要結(jié)論

00q〉i

A.

—00Uq(i

B.lim'-{[a=1HO)

n—>oo

c.limVn=1

8

oo---n)m

1

I。%"+H-------FCln

D.lim—=m(其中4wO,4wO)

Mm加.???+篇

^°°bQx+3)%

0…〃〈加

11、函數(shù)日勺一重要性質(zhì)----持續(xù)性

在自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，植物的生長等都是持續(xù)地變化著的.這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的

反應(yīng)，就是函數(shù)的持續(xù)性

在定義函數(shù)的持續(xù)性之前我們先來學(xué)習(xí)一種概念一一增量

設(shè)變量X從它的一種初值再變到終值元2，終值與初值的差％2一%就叫做變量X的增量，記為：Ax

即：

八%二九2一七增量Ax可正可負(fù).

我們再來看一種例子：函數(shù)》=/(%)在點(diǎn)與的鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量X在領(lǐng)域內(nèi)從與變到％o+A%

時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)地從/(%)變到了(%+Ax),其對(duì)應(yīng)的增量為：Ay=/(%0+Ax)-/(x0)

這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如下圖：

目前我們可對(duì)持續(xù)性的概念這樣描述：假如當(dāng)Ax趨向于零時(shí)，函數(shù)y對(duì)應(yīng)的增量Ay也趨向于零，即：

limAy=0,那么就稱函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)與處持續(xù)。

Ar—0

函數(shù)持續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)1o的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，假如有l(wèi)im/(%)=/(與)稱函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)

%0處持續(xù)，且稱與為函數(shù)時(shí)的持續(xù)點(diǎn).

下面我們結(jié)合著函數(shù)左、右極限的概念再來學(xué)習(xí)一下函數(shù)左、右持續(xù)的概念：設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]

內(nèi)有定義，假如左極限lim/(%)存在且等于/(/?),即：lim/(%)=/(/?),那么我們就稱函數(shù)

x->b-0x->b-0

/(x)在點(diǎn)6左持續(xù).設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間[a,b)內(nèi)有定義，假如右極限lim/(x)存在且等于/(a),即:

x-?a+O

lim/(x)=/(a),那末我們就稱函數(shù)在點(diǎn)a右持續(xù)?

%—>a+0

一種函數(shù)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每點(diǎn)持續(xù),則為在(a,b)持續(xù)，若又在a點(diǎn)右持續(xù)，b點(diǎn)左持續(xù)，則在閉區(qū)間

[a,

b]持續(xù)，假如在整個(gè)定義域內(nèi)持續(xù)，則稱為持續(xù)函數(shù)。

注：一種函數(shù)若在定義域內(nèi)某一點(diǎn)左、右都持續(xù)，則稱函數(shù)在此點(diǎn)持續(xù)，否則在此點(diǎn)不持續(xù).

注：持續(xù)函數(shù)圖形是一條持續(xù)而不間斷的曲線。

通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)懂得函數(shù)的持續(xù)性了，同步我們可以想到若函數(shù)在某一點(diǎn)要是不持續(xù)會(huì)出現(xiàn)

什么情形呢？接著我們就來學(xué)習(xí)這個(gè)問題：函數(shù)時(shí)間斷點(diǎn)

函數(shù)時(shí)間斷點(diǎn)

定義：我們把不滿足函數(shù)持續(xù)性時(shí)點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).

它包括三種情形：

a)：/(X)在為無定義；

b)：在九一時(shí)無極限；

c)：在犬―與時(shí)有極限但不等于/(%);

下面我們通過例題來學(xué)習(xí)一下間斷點(diǎn)的類型：

7171

例1：正切函數(shù)丁=tanx在1=萬■處沒有定義，因此點(diǎn)x=萬是函數(shù)y=tan九時(shí)間斷點(diǎn)，因

TC

limtanx=oo,我們就稱%=—為函數(shù)丁=tan尤的無窮間斷點(diǎn)；

X—>—2

2

例2：函數(shù)y=sinL在點(diǎn)犬=0處沒有定義；故當(dāng)1-0時(shí)，函數(shù)值在-1與+1之間變動(dòng)無限多次，我

x

們就稱點(diǎn)x=0叫做函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn);

x-1,x(0

例3：函數(shù)/(%)={0,x=0當(dāng)x—>0時(shí)，左極限lim/(%)=-1,右極限lim/(%)=1,從

尤0—%—>0+

x+1,x〉0

這我們可以看出函數(shù)左、右極限雖然都存在，但不相等，故函數(shù)在點(diǎn)x=0是不存在極限。我們還可以發(fā)現(xiàn)

在點(diǎn)x=0時(shí)，函數(shù)值產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象，為此我們把這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn)；我們把上述三種間斷點(diǎn)用幾

何圖形表達(dá)出來如下：

2

%-1

例4：函數(shù)y=-----在點(diǎn)x=l沒有定義，因此函數(shù)在點(diǎn)x=l為不持續(xù)。但這里

x-1

lim-----=lim(x+l)=2,假如補(bǔ)充定義：令x=l時(shí)>=2,則所給函數(shù)在x=l成為持續(xù)。因此

1X—1%—>1

%=1稱為該函數(shù)時(shí)可去間斷點(diǎn)。

間斷點(diǎn)的分類

我們一般把間斷點(diǎn)提成兩類：假如%是函數(shù)/(%)時(shí)間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把與稱為

函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)中，左、右極限相

等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)，無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)。

持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的持續(xù)性

持續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

a)：持續(xù)函數(shù)的和，差，積，商(分母的函數(shù)值不等于0)是持續(xù)時(shí)

b)：復(fù)合函數(shù)的持續(xù)性：若函數(shù)〃=0(x)在玉)點(diǎn)持續(xù)，函數(shù)y=/(〃)在況0=0(%o)點(diǎn)持續(xù)，則復(fù)合函

數(shù)＞=/［夕(％)］在/點(diǎn)持續(xù)；

C)：反函數(shù)的持續(xù)性：若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間/上單調(diào)且持續(xù)，那么其反函數(shù)y=/T(x)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間

上體現(xiàn)相似的單調(diào)性且持續(xù)；

初等函數(shù)的持續(xù)性

通過前面我們所學(xué)的概念和性質(zhì)，我們可得出如下結(jié)論：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是持續(xù)的(基本

初等函數(shù)包括幕函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù))；一切初等函數(shù)(基本初等函數(shù)通過有

限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合后所構(gòu)成的函數(shù)類)在其定義區(qū)間內(nèi)也都是持續(xù)的.

注：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)不一定持續(xù)，如/(x)=Vcosx-1的定義域?yàn)閤=2k兀*=0,±1,±2,---),

它在定義域內(nèi)時(shí)任一點(diǎn)都不持續(xù)。初等函數(shù)只有其定義域構(gòu)成區(qū)間，則其在定義區(qū)間內(nèi)持續(xù)。

閉區(qū)間上持續(xù)函數(shù)歐I性質(zhì)

A.定理1(最值定理)：若函數(shù)/(x)在［a,。］上持續(xù)，則它在上必有最大值和最小值。

B.定理2(零點(diǎn)定理)：若函數(shù)/(x)在［a,"上持續(xù)，且/(a)與/S)異號(hào)，那么在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少

有一點(diǎn)使/(J)=0

c.定理3(介值定理)：若函數(shù)/(x)在［a,"上持續(xù)，且在這區(qū)間的端點(diǎn)取不一樣的函數(shù)值/(a)=A,

/(Z?)=B,那么，對(duì)于A與8之間的任意一種數(shù)C,在開區(qū)間(a,。)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得/(J)=C

閉區(qū)間上的持續(xù)函數(shù)則是在其持續(xù)區(qū)間的左端點(diǎn)右持續(xù)，右端點(diǎn)左持續(xù).對(duì)于閉區(qū)間上的持續(xù)函數(shù)有幾

條重要的性質(zhì)，下面我們來學(xué)習(xí)一下：

推論：在閉區(qū)間持續(xù)的函數(shù)必獲得介于最大值M與最小值加之間的任何值。

第二講導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)日勺概念

導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=/(%)在點(diǎn)/的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在/處有增量Ax(點(diǎn)

%+Ax仍在該鄰域內(nèi))時(shí)，對(duì)應(yīng)地函數(shù)獲得增量Ay=/(玉)+△%)—/(%o),若Ay與Ax之比當(dāng)

Axf0時(shí)極限存在，則稱函數(shù)》=/(%)在點(diǎn)與處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限值為函數(shù)》=/(%)在點(diǎn)與處

的導(dǎo)數(shù)。記為：/(x0),即：

八%)=如包='/、。+斕一/心)還可記為：y|『，’門或也工J

心f。Ax―一。Ax°dx°dx0

注：因變量增量與自變量增量之比包是因變量y在以與和％+Ax為端點(diǎn)的區(qū)間上的平均變化率。而

Ax

導(dǎo)數(shù)/'(/)則是因變量y在點(diǎn)與處的變化率，它反應(yīng)了因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度。

函數(shù)/(X)在點(diǎn)與處存在導(dǎo)數(shù)簡稱函數(shù)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，否則不可導(dǎo)。若函數(shù)/(X)在區(qū)間(4/)內(nèi)每一

點(diǎn)都可導(dǎo)，就稱函數(shù)/(X)在區(qū)間(。力)內(nèi)可導(dǎo)。這時(shí)函數(shù)丁=/(X)對(duì)于區(qū)間(。力)內(nèi)的每一種確定的X

值，都對(duì)應(yīng)著一種確定的導(dǎo)數(shù)，這就構(gòu)成一種新的函數(shù)，我們就稱這個(gè)函數(shù)為本來函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函

數(shù)。記作

'￡八dy?df{x}

dxdx

左、右導(dǎo)數(shù)：前面我們有了左、右極限的概念，導(dǎo)數(shù)是差商的極限，因此我們可以給出左、右導(dǎo)數(shù)的概

念。若極限lim上存在，我們就稱它為函數(shù)y=/(x)在x=x()處的左導(dǎo)數(shù)。若極限lim”存在，

但0-X-a+M

我們就稱它為函數(shù)y=/(x)在x=/處的右導(dǎo)數(shù)。

注：假如函數(shù)/(x)在開區(qū)間(a,力內(nèi)可導(dǎo)。且￡(。)及￡(6)都存在，就說了(%)在閉區(qū)間［a,川上

可導(dǎo)。

注：函數(shù)y=/(x)在無。處的左右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)y=/(x)在/處時(shí)可導(dǎo)的充足必要條件。

-%2,%eO

注：函數(shù)在玉)點(diǎn)可導(dǎo)，不能保證函數(shù)在％點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，如/(%)={*在x=0處可導(dǎo)且

0,xeC“Q

/'(0)=0,但xwO時(shí)它不可導(dǎo)。

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=于(x)在點(diǎn)/處的導(dǎo)數(shù)/1(%0)在幾何上表達(dá)曲線y=/(%)在點(diǎn)

M(%,/(%))處的切線的斜率，即/'(%)=tantz,其中a是切線的傾角。

注：函數(shù)y=/(x)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，即導(dǎo)數(shù)不存在，不代表在該點(diǎn)沒有切線，也許在該點(diǎn)有垂

直于1軸的切線

注：曲線》=/(%)在點(diǎn)加(玉)，%)處的切線方程為：y-y0=/(x0)(x-x0)

1.、

法線方程為：._%=一,,/

/(%)

函數(shù)可導(dǎo)性與持續(xù)性的關(guān)系：假如函數(shù)》=/(%)在點(diǎn)次處可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)必持續(xù)，不過一種函數(shù)在

某點(diǎn)持續(xù)卻不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。

例：函數(shù)y=/(x)=F在區(qū)間(-8,+oo)內(nèi)持續(xù)，但在犬=0處不可導(dǎo)。

函數(shù)的和、差、積、商求導(dǎo)法則

假如函數(shù)〃=〃(%)及v=y(x)都在點(diǎn)工具有導(dǎo)數(shù)。那么它們的和、差、積、商(除分母為零時(shí)點(diǎn)外)都在

點(diǎn)x具有導(dǎo)數(shù)。且

(1).[〃(1)±v(x)]二〃(%)±U(九)；

(2).[〃(%?(%)]=U(x)v(x)+W(X)V(x)；

產(chǎn)(叫_"(x)v(x)-"(x)v'(x)(y(牛0

(3).v(x)V2(x)

注：函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)，不能保證它們各自可導(dǎo)。

0,xeQ1,xeQ

例：/(%)={,g(x)={:時(shí)，/(x)+g(x)=1,/(x)-g(x)=0,f[g(x)]=0

1”C“Q0,xeC?e

都可導(dǎo)，但/(x)及g(x)在任一點(diǎn)都不可導(dǎo)。

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

在學(xué)習(xí)此法則之前我們先來看一種例子！

例：求(sin2?x)

解：由于(sinX)'=cos%,故(sin2x)'=cos2x

這個(gè)解答是錯(cuò)誤的，對(duì)時(shí)的解答應(yīng)當(dāng)如下：

(sin2x)=(2sinxcosx)=2[(sinx)cosx+sinx(cosx)]=2cos2%

發(fā)生錯(cuò)誤的原因是(sin2x)’是對(duì)自變量x求導(dǎo)，而不是對(duì)2x求導(dǎo)。

下面我們給出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則

假如〃=g(x)在點(diǎn)1處可導(dǎo)，而y=/(")在點(diǎn)〃=g(%)可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=/[g(%