2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及答案

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試題及

答案

參考公式：一組數(shù)據(jù)不、&、…、七的平均數(shù)為嚏，則方差

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號(hào)涂黑）

1.下列方程是一元二次方程的是（）

A.2x+y=2B.2X3-X=0C.X+-=7D.

y

2x-x2=7

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用一元二次方程的定義分析得出答案.

【詳解】解：A.2x+y=2,是二元一次方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

B.2必_》=0,是一元三次方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

C.x+-=7,是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意.

y

D.2x-f=7,該一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的定義，正確把握定義含有一個(gè)未知數(shù)，并且含未

知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)為2,系數(shù)不為0的整式方程是解題關(guān)鍵.

2.已知。0的半徑為4,04=5,則點(diǎn)人在（）

A.?0內(nèi)B.。0上C.?0外D.無法確

定

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)。0的半徑r=4,且點(diǎn)A到圓心0的距離d=5知d〉r,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：的半徑r=4,且點(diǎn)A到圓心0的距離d=5,

d>r,

...點(diǎn)A在。。外，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為r,

點(diǎn)P到圓心的距離OP=d,則有：①點(diǎn)P在圓外=d>r；②點(diǎn)P在圓上=d=r；③點(diǎn)P在圓

內(nèi)Qd<r.

3.若a是從“-1、0、1、2”這四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則關(guān)于x的方程

(a—1)/+》-3=0為一元二次方程的概率是()

311

A.1B.—C.-D.一

423

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，二次項(xiàng)系數(shù)不為0,四個(gè)數(shù)中有一個(gè)1不能取，a是從

“-1、0、1、2”這四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，有四種等可能的結(jié)果，其中滿足條件的情況

有3種，然后利用概率公式計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)a=l時(shí)于x的方程(a-1)必+》—3=0不是一元二次方程，其它三個(gè)數(shù)都

是一元二次方程，

a是從“-1、0、1、2”這四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，有四種等可能的結(jié)果，其中滿足條件

的情況有3種，

3

關(guān)于X的方程-1)必+x-3=0為一元二次方程的概率是7，

故選擇B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義，列舉法求概率，掌握一元二次方程的定義，列舉

法求概率方法是解題關(guān)鍵.

4.一組樣本數(shù)據(jù)為1、2、3、3、6,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.平均數(shù)是3B.中位數(shù)是3C.方差是3D.眾數(shù)是

3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的定義逐一求解可得.

【詳解】A、平均數(shù)為I+.+；+3+6=3,故此選項(xiàng)不符合題意；

B、樣本數(shù)據(jù)為1、2、3、3、6,則中位數(shù)為3,故此選項(xiàng)不符合題意；

C、方差為;義[?！?>+(2—3)2+(3—3)2+(3—3)2+(6—3)2]=2.8,故此選項(xiàng)符合題

忌；

D、眾數(shù)為3,故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)、方差.平均數(shù)平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的平均程

度.中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個(gè)數(shù)（或最中

間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)）；方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量.

5.一種藥品經(jīng)過兩次降價(jià)，藥價(jià)從每盒60元下調(diào)至48.6元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為

x,根據(jù)題意所列方程正確的是（）

A.60/=48.6B.60（l-x）~=48.6C.60（l+x）~=48.6D.

60（1-2%）=48.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)等量關(guān)系：原價(jià)義（1-X）2=現(xiàn)價(jià)列方程即可.

【詳解】解:根據(jù)題意，得：60（l-x）2=48.6,

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解答的關(guān)鍵.

6.在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，NA、/B、/C的度數(shù)之比為2：4：7,則NB的度數(shù)為

（）

A.140°B.100°C.80°D.40°

【答案】C

【解析】

【分析】ZA+ZC=180°,NZ:N8:NC=2:4:7,NZ=40。，進(jìn)而求解￡）3的值.

【詳解】解：由題意知NZ+NC=180°

???"Z8:NC=2:4:7

：.ZA:（180-ZA）=2:7

：.ZA=40°

,：ZA:ZB=2:4

：.ZB=80°

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形中對角互補(bǔ).解題的關(guān)鍵在于根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系

求解.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，^（0,-3）,8（2,-1）,C（2,3）.則AABC的外心坐標(biāo)為

()

A.(0,0)B.(-1,1)C.(-2,-1)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】由BC兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以得到直線BC〃y軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=l,

再由外心的定義可知AABC外心的縱坐標(biāo)為1,則設(shè)AABC的外心為P(a,T),利用兩點(diǎn)

距離公式和外心的性質(zhì)得到

=a2+(l+3)2=a2+16=PS2=(a-2)2+(l+l)2=tz2-4a+8,由此求解即可.

【詳解】解：點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3),

直線BC〃y軸，

直線BC的垂直平分線為直線y=l,

..?外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，

/.△ABC外心的縱坐標(biāo)為1,

設(shè)AABC的外心為P(a,1),

=a2+(l+3)2=a2+16=PS2=(a-2)2+(l+l)2=a2-4a+8,

,?a2+16=<2-4a+8,

解得a--2,

??.△ABC外心的坐標(biāo)為(-2,1),

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點(diǎn)距離公式，解題的關(guān)鍵在

于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn).

8.如圖，AB是。。的直徑，CD是。。的弦，且CD〃45,AB=12,CD=6,則圖中

陰影部分的面積為()

A.18%B.12%C.6〃D.3萬

【答案】C

【解析】

【分析】如圖，連接OC,0D,可知△COD是等邊三角形，〃=NCO0=6O°,r=6,

2

S陰影=S扇形3=黑及計(jì)算求解即可.

【詳解】解：如圖連接OC,0D

OC=OD=-AB=CD

2

/.△COD是等邊三角形

/.NCOD=60°

由題思知^/\ACD-S&COD,

_n7ir~_60x^-x62_

陰影=扇形c"=麗=360=

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的面積，等邊三角形等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于用扇形表示陰影面

積.

9.定義一種新運(yùn)算：a十b=2a+b,睬b=c^b，則方程（》+1蟀2=（3十x）—2的解

是（）

1.11。,

A.Xj=—,%=_2B.X1=-1,x2=—C.Xj=,X2-2.D.XJ=1

1

，X2=-2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)新定義列出關(guān)于x的方程，解方程即可.

【詳解】解：由題意得，方程（》+1怦2=（3十x）—2,化為2（x+iy=6+x—2,

整理得，2/+3x-2=0，

a=2,b=3,c=—2,

,-b±yJb2-4ac-3±5

??x=------------------=-------->

2a4

x

解得：i=~>x2=-2,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了公式法解一元二次方程，正確理解新運(yùn)算、掌握公式法解一元二次方

程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，在Rt^ABC中，/氐4。=90°,AB=AC=6,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中

點(diǎn).將4ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,射線BD與射線CE交于點(diǎn)P,在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中有

下列結(jié)論：①△AECg^ADB；②CP存在最大值為3+36；③BP存在最小值為3行-3；

④點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為后萬.其中，正確的（）

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)/氏4。=90。，48=ZC=6,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).得出

ZDAE=90°,AD=AE=-x6=3,可證NDAB=NEAC,再證ADAB0Z\EAC（SAS）,可判斷

2

①△AEC0Z\ADB正確；作以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓，當(dāng)CP為。A的切線時(shí)，CP最

大，根據(jù)△AECWZ\ADB,得出/DBA=NECA,可證/P=NBAC=90°,CP為。A的切線，證明

四邊形DAEP為正方形，得出PE=AE=3,在Rt^AEC中，CE=

yjAC2-AE2=yjAC2-AE2=762-32=3G，可判斷②CP存在最大值為3+3G正

確；ZiAEC0Z^ADB,得出BD=CE=3A/L在Rt^BPC中，BP最小=

J5c2_PC最大2=小亞)2—(3+3行『=3百—3可判斷③BP存在最小值為3a-3不

正確；取BC中點(diǎn)為0,連結(jié)AO,OP,AB=AC=6,ZBAC=90°,BP=C0=A0=

-5C=~^AB2+AC2=-x672=3V2,當(dāng)AE_LCP時(shí),CP與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑

222

4E31

的圓相切，此時(shí)sin/ACE=---,可求NACE=30°,根據(jù)圓周角定理得出

AC62

ZA0P=2ZACE=60°,當(dāng)ADLBP'時(shí)，BP'與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，止匕時(shí)

sinZABD=—=-=可得/ABD=30°根據(jù)圓周角定理得出/AOP'=2/ABD=60°,點(diǎn)

AB62

P在以點(diǎn)。為圓心，0A長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)軌跡為力或⑸，L力

=I2。"*3=也?？膳袛啖茳c(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的路徑長為亞兀正確即可.

180

【詳解】解：???/8ZC=90。，4B=NC=6,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn).

.?.ZDAE=90°，AD=AE=-x6=3,

2

.*.ZDAB+ZBAE=90o,ZBAE+ZEAC=90°,

.\ZDAB=ZEAC,

在ADAB和AEAC中，

AD=AE

<NDAB=ZEAC,

AB=AC

/.△DAB^AEAC(SAS),

故①△AECgZkADB正確；

作以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓，當(dāng)CP為。A的切線時(shí)，CP最大,

VAAEC^AADB,

ZDBA=ZECA,

ZPBA+ZP=ZECP+ZBAC,

.?.ZP=ZBAC=90°,

：CP為。A的切線，

/.AE±CP,

/.ZDPE=ZPEA=ZDAE=90°,

，四邊形DAEP為矩形，

VAD=AE,

四邊形DAEP為正方形，

/.PE=AE=3,

在RtAAEC中,CE=sjAC2-AE2=ylAC2-AE2=A/62-32=3G，

***CP最大=PE+EC=3+36>

故②CP存在最大值為3+3百正確；

VAAEC^AADB,

；.BD=CE=3?，

在RtABPC中，BP最小=J5c2_%最大2=6⑹②—(3+3國=3百-3，

BP最短=BD-PD=36-3,

故③BP存在最小值為372-3不正確；

取BC中點(diǎn)為0,連結(jié)AO,0P,

VAB=AC=6,ZBAC=90°,

BP=C0=A0=—BC=—\lAB2+AC2=—x6A/2=3A/2,

222

當(dāng)AE_LCP時(shí),CP與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時(shí)sin/ACE=d￡=之=!，

AC62

.-.ZACE=30o,

.-.ZA0P=2ZACE=60°,

當(dāng)ADLBP'時(shí)，BP'與以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑的圓相切，此時(shí)sin/ABD=四=之=一

AB62

ZABD=30°,

AZAOP,=2/ABD=60°,

???點(diǎn)P在以點(diǎn)0為圓心，OA長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)軌跡為屬或越,

.T,_T/—~~60TTX3A/2rr

??Lpa=L尸％二----------------------=72乃.

180

故④點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長為應(yīng)乃正確；

正確的是①②④.

故選B.

Df

P。J"X/!\義pt

：!7?二2sx

R\；c

【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，線段中點(diǎn)定義，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的切線，正

方形判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，弧長公式，本題難度大，利用輔助線最長準(zhǔn)

確圖形是解題關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共30分.不需寫出解答過程，只需把答案直接

填寫在答題卡上相應(yīng)的位置）

11.請寫出一個(gè)一元二次方程，使得它的一個(gè)根為0,另一個(gè)根不為0：.

【答案】x2-x=0（答案不唯一）

【解析】

【分析】一元二次方程可表示為x（x+a）=0，的形式，任取a70的值代入求解即

可.

【詳解】解：由題意知，一元二次方程可表示為x（x+a）=0,awO的形式

當(dāng)。=一1時(shí)，一元二次方程為必-%=0

故答案為：x2-x=0（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程.解題的關(guān)鍵在于正確的寫出方程的因式分解的形式.

12.用配方法將方程/+4x=0化成(x+%y=〃的形式：.

【答案】(X+2)2=4

【解析】

【分析】配方法表示方程即可.

【詳解】解：X2+4X=0

/+4%+4=4

(x+2)2=4

故答案為：(X+2)2=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法.解題的關(guān)鍵在于識(shí)別方程的形式并正確的表

示.

13.轉(zhuǎn)盤中6個(gè)扇形的面積相等，任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)，指針落在扇形中

的數(shù)為3的倍數(shù)的概率是.

【答案】:

3

【解析】

【分析】直接利用概率公式計(jì)算可得答案.

【詳解】在這6個(gè)數(shù)字中，為3的倍數(shù)的有3和6,共2個(gè)，

任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)，指針落在扇形中的數(shù)為3的倍數(shù)的概率是2:=—1

63

故答案為：一.

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P(A)=事件A可

能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)個(gè)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).

14.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=5cm,BC=12cm,以BC邊所在的直線為軸，將

△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到的圓錐側(cè)面積是.

B

【答案】65萬cm?

【解析】

【詳解】解：根據(jù)題意得：

VZC=90°,AC=5cm,BC=12cm,

???母線長1=13,半徑r為5,

1,

...圓錐的側(cè)面積是S=—x2^-x5xl3=65^cm.

2

故答案為：65^cm2

15.某電視臺(tái)要招聘1名記者，某應(yīng)聘者參加了3項(xiàng)素質(zhì)測試，成績?nèi)缦?

測試項(xiàng)目采訪寫作計(jì)算機(jī)操作創(chuàng)意設(shè)計(jì)

測試成績（分）828580

如果將采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作和創(chuàng)意設(shè)計(jì)的成績按5：2：3計(jì)算，則該應(yīng)聘者的素質(zhì)測試

平均成績是分.

【答案】82

【解析】

【分析】根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式采訪寫作的成績X權(quán)重+計(jì)算機(jī)操作的成績X權(quán)重+創(chuàng)意設(shè)計(jì)

的成績義權(quán)重計(jì)算即可.

【詳解】解：該應(yīng)聘者的素質(zhì)測試平均成績是

523

—x82+—x85+—x80=41+17+24=82.

101010

故答案為82.

【點(diǎn)睛】本題考查加權(quán)平均數(shù)，掌握加權(quán)平均數(shù)公式是解題關(guān)鍵.

16.一個(gè)直角三角形的斜邊長cm,兩條直角邊長的和是6cm,則這個(gè)直角三角形外接

圓的半徑為cm,直角三角形的面積是cm2.

【答案】①.石②.4

【解析】

【分析】設(shè)一直角邊長為X,另一直角邊長為（6-X）根據(jù)勾股定理/+（6-X）2=（26『

,解一元二次方程求出七=2,%=4,根據(jù)這個(gè)直角三角形的斜邊長為外接圓的直徑，

可求外接圓的半徑為6cm,利用三角形面積公式求gx2x4=4cm2即可.

【詳解】解：設(shè)一直角邊長為x,另一直角邊長為（6-x）,

..?三角形是直角三角形，

,根據(jù)勾股定理-+（6-x）2=（26I

整理得：x2-6x+8=0，

解得X1=2,x2=4,

這個(gè)直角三角形的斜邊長為外接圓的直徑，

外接圓的半徑為石cm,

三角形面積為一x2x4=4cm2.

2

故答案為石；4.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的外接圓，直角所對弦性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程，三

角形面積，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵.

17.古代數(shù)學(xué)家曾經(jīng)研究過一元二次方程的幾何解法.以方程/+3%=20為例，三國時(shí)

期的數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載的方法是：構(gòu)造如圖所示的大正方形

ABCD,它由四個(gè)全等的矩形加中間小正方形組成，根據(jù)面積關(guān)系可求得AB的長，從而解得

X.根據(jù)此法，圖中正方形ABCD的面積為，方程f+3x=20可化為.

【答案】①.89②.（2x+3）2=89

【解析】

【分析】先求正方形四邊邊長，用完全平方公式展開兩條邊長之積，再利用已知條件得出

所求正方形面積.第二問則把第一問的最前面和最后面聯(lián)系起來即可得解.

【詳解】①正方形邊長為x+x+3=2x+3

故面積為(2x+3)2=4x2+12x+9=4(x2+3x)+9

因?yàn)閤2+3x=20

所以4(x2+3x)+9=80+9=89

故答案為89；

②由①結(jié)合最前面和最后面可得：(2x+3)2=89

故答案為(2x+3)2=89.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用、結(jié)論的遷移，掌握這些是本題關(guān)鍵.

18.將點(diǎn)幺(-3,3)繞x軸上的點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)/，，當(dāng)點(diǎn)⑷恰好落在以坐標(biāo)

原點(diǎn)。為圓心，2為半徑的圓上時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為.

【答案】卜3+血,0)或卜3-力,0)##卜3-血,0)或卜3+力,0)

【解析】

【分析】設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(。,0),過點(diǎn)A作幺MJ_x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作/軸交

于點(diǎn)N,由全等三角形求出點(diǎn)H坐標(biāo)，由點(diǎn)4在2為半徑的圓上，根據(jù)勾股定理即可求出

點(diǎn)G的坐標(biāo).

【詳解】設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(。,0),過點(diǎn)A作軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)H作/%軸交

于點(diǎn)N,

如圖所示：

：幺(-3,3),

AM=3,GM=3+a,

:點(diǎn)、A繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到點(diǎn)A',

：.AG=A'G,ZAGA'=90°,

：.ZAGM+ZNGA'=90°,

軸，軸，

AAMG=ZGNA'=90°，

：.ZAGM+ZMAG=90°,

：.AMAG=ZNGA',

在A/MG與AGAW中，

ZAMG=ZGNA'

<ZMAG=ZNGA',

AG=GA'

：.&AMG泮GNA'(AAS),

GN=AM=3,A'M=GM=3+a,

ON=3+a>

A'(3+a,3+a),

在R^ONA'中,由勾股定理得：(3+a)2+(3+a)2=22,

解得：a=-3+V2或a=-3-V2>

AM(-3+V2,0)^M(-3-72,0).

故答案為：(-3+72,0),(-3-72,0).

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，掌握相關(guān)知識(shí)之

間的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共10小題，共90分請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟)

19.解方程：

(1)(x-l)2-4=0；

(2)x2+x-3=0.

【答案】(1)西=3,x2=-1

—1+y/13—1—V13

(“石=---2---，X2=--------

【解析】

【分析】(1)利用直接開平方法求解即可；

(2)利用公式法求解即可.

【小問1詳解】

解：V(X-1)2=4,

x-l=2或x-l=-2,

解得x「3,x2=-l；

【小問2詳解】

解：%2+x—3=0>

a=l,b=1,。=—3,

A=b2-4ac=l+12=13，

-1±V13

x=----------，

2

-1+V13-1-V13

x,=----------，x,=-----------，

1222

【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方

法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡便的方

法是解題的關(guān)鍵.

20.已知：關(guān)于x的一元二次方程Y-（機(jī)+2卜+4（機(jī)-2）=0.

（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值及方程的根.

【答案】（1）見解析（2）m=6,而=々=4

【解析】

【分析】（1）進(jìn)行判別式的值得到A=（機(jī)-6）2,利用平方非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得A20,然后

根據(jù)判別式的意義可判斷方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得A=（機(jī)-6『=0,先求出冽的值，再代入一元二次

方程中求解即可.

【小問1詳解】

由題意得：A=[-（掰+2斤-4xlx4（m-2）,

=機(jī)2-12/71+36，

=（機(jī)-6）~三0,

...方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

【小問2詳解】

?.?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=（m-6）"=0，

m=6,

此時(shí)方程為一81+16=0,

??.（x-4）2=0,

xl=x2=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的個(gè)數(shù)與根的判別式之間的關(guān)

系是解題的關(guān)鍵.

21.小明每天騎自行車.上學(xué)，都要通過安裝有紅、綠燈的4個(gè)十字路口.假設(shè)每個(gè)路口

紅燈和綠燈亮的時(shí)間相同.

（1）小明從家到學(xué)校，求通過前2個(gè)十字路口時(shí)都是綠燈的概率.（請用“畫樹狀圖”或

“列表”或“列舉”等方法給出分析過程）

（2）小明從家到學(xué)校，通過這4個(gè)十字路口時(shí)至少有2個(gè)綠燈的概率為.（請直

接寫出答案）

【答案】（1）』，見解析

4

【解析】

【小問1詳解】

列表如下

第一個(gè)十字路口'第二個(gè)紅燈綠燈

紅燈紅紅紅綠

綠燈綠紅綠綠

?.?共有4種等可能情形，滿足條件的有1種.

通過前2個(gè)十字路口時(shí)都是綠燈的概率!.

4

【小問2詳解】

畫樹狀圖如圖，A表示紅燈，B表示綠燈,

八八八八八八八八

4ABABABABABABABAB

??,共有16種等可能情形，滿足條件的有11種.

，小明從家到學(xué)校，通過這4個(gè)十字路口時(shí)至少有2個(gè)綠燈的概率為一

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，掌握列表法或畫樹狀圖法是解題的關(guān)

22.如圖，正三角形ABC內(nèi)接于。。，的半徑為r,求這個(gè)正三角形的周長和面積.

【答案】周長為3省「.面積為逆r

4

【解析】

【分析】連接OB,0A,延長A0交BC于D,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD_LBC,BD=CD=1

BC,Z0BD=30°,求出OD,根據(jù)勾股定理求出BD,即可求出BC,BC的三倍即為周長，根

據(jù)三角形的面積公式即可求出面積.

【詳解】解：連接OB,0A,延長A0交BC于D,如圖所示：

:正4ABC外接圓是。0,

.\ADXBC,BD=CD=1BC,Z0BD=|ZABC=^-X60°=30°,

.\0D=10B=1r,

由勾股定理得：BD=yj0B2-0D-=—r，

2

即三角形邊長為BC=2BD=6r,AD=A0+0D=r+1r=-r,

則AABC的周長=3BC=3X6r=3Br；

△ABC的面積=：BCXAD=JX吞"?=￡1/2.

乙乙/A

.?.正三角形ABC周長為；正三角形ABC面積為32/.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角

形的面積等知識(shí)點(diǎn)；關(guān)鍵是能正確作輔助線后求出BD的長.

23.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2022年2月在中國北京和張家口舉行.為迎接本次

冬奧會(huì)，某校組織初一年級學(xué)生開展“迎冬奧”知識(shí)競賽活動(dòng)（滿分為50分）.從競賽成

績中隨機(jī)抽取了20名男生和20名女生的成績（單位：分）進(jìn)行整理、描述和分析（成績

用x表示，共分成四個(gè)等級：A：47<xW50,B：44<xW47,C：41<xW44,D：

xW41）,下面是這40名學(xué)生

成績的信息：

20名男生的成績:50,46,50,50,46,49,39,46,49,46,46,43,49,47,40,

48,44,43,45,44.

20名女生中成績?yōu)锽等級的數(shù)據(jù)是：45,46,46,47,47,46,46.

所抽取學(xué)生的競賽成績統(tǒng)計(jì)表

性別平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

男464646

女46.5b48

所抽取的20名女生的競賽成績扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）a=,b=.

（2）該校初一年級共有400名男生參與此次競賽，估計(jì)其中等級為A的男生約有多少人?

【答案】（1）10,47

（2）140人

【解析】

【分析】(1)先求出B組占女生的百分比，然后用『A的百分比一B組的百分比-D組的百分

比《的百分比，將B在數(shù)據(jù)從大到小排序，取出最高的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為女生的中位數(shù)即

可；

(2)將20名男生成績從高到低排序，找出A組：47<xW50有7人，求出所占男生百

分比義400即可.

【小問1詳解】

解：：20名女生中成績?yōu)锽等級的數(shù)據(jù)是：45,46,46,47,47,46,46.

.?.74-20X100%=35%,

.,.a%=l-0,45-0.35-0.10=0.10=10%,

A組有：20X45%=9人，B組有7人，9+7=16>11,

把B組數(shù)據(jù)從大到小排序?yàn)椋?7,47,46,46,46,46,45.

第10個(gè)數(shù)據(jù)為47,第11個(gè)數(shù)據(jù)為47,

47+47

中位數(shù)b=------=47,

2

故答案為10；47；

【小問2詳解】

解：將20名男生的成績從高到低排序：50,50,50,49,49,49,48,47,46,46,

46,46,46,45,44,44,43,43,40,39.

其中A：47<xW50,有7人，

占男生7?20X100%=35%,

該校初一年級共有400名男生參與此次競賽，估計(jì)其中等級為A的男生約有400X35%=140

人，

答：該校初一年級男生競賽成績等級為A的約有140人.

【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)表與扇形統(tǒng)計(jì)圖獲取信息與處理，中位數(shù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖的部分?jǐn)?shù)

據(jù)，用樣本的百分比含量估計(jì)總體中的數(shù)量，掌握統(tǒng)計(jì)表與扇形統(tǒng)計(jì)圖獲取信息與處理，

中位數(shù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖的部分?jǐn)?shù)據(jù)，用樣本的百分比含量估計(jì)總體中的數(shù)量是解題關(guān)鍵.

24.如圖，AB是。。的直徑，AN、AC是。。的弦，P為AB延長線上一點(diǎn)，AN、PC的延長

線相交于點(diǎn)M,且NA/J.PW,NPCB=/PAC.

(1)試判斷直線PC與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若45=10,/尸=30°,求MN的長.

【答案】(1)直線PC與。0相切，證明見解析

(2)MN=-

2

【解析】

【分析】(1)如圖，連接oc,NPAC=NACO=NPCB,ZACB=90°,

ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+ZACO=ZACB=90°,OC1PC,0c是半

徑，進(jìn)而可說明直線PC與。0相切.

(2)如圖，連接ON,ZCOP=60°=ZMAP,OA=ON,△幺ON為等邊三角形；可知

4MAP

ZN的值，AAPMSAOPC,——=——求得4W的值，初\O4404N求解即可.

OCOP,一

【小問1詳解】

解：直線PC與。0相切.

如圖，連接0C,則。4=。。

?；APCB=APAC

：.ZPCB=ZACO

：.ZOCP=ZOCB+ZPCB=ZOCB+ZACO=ZACB

VAB為。0的直徑

：.ZACB=90°

ZOCP=90°

即OC1PC

，直線PC與。0相切.

【小問2詳解】

解：如圖，連接ON

2

?1,ZP=30°,ZOCP=90°,ZAMP=90°,

AZCOP=60°=ZMAP,OP=2OC=10,AP=15

,：ZP=ZP,ZAMP=ZOCP=90°

AAPMSAOPC

.AM_AP

',~OC~'OP

…15

AM=——

2

,：OA=ON,ZMAP=60°

...△NON為等邊三角形

AN=OA=ON=5

：.MN=AM-AN=-.

2

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，30。的直角三角形，三角形

相似等知識(shí)點(diǎn).解題的關(guān)鍵在于靈活綜合運(yùn)用知識(shí).

25.如圖，已知銳角4ABC中，AC=BC.

(1)請?jiān)趫D中用無刻度的直尺和圓規(guī)作AABC的內(nèi)切圓。。.(不寫作法，保留作圖痕

跡)

c

(2)在(1)的條件下，若NC=3,25=4,則4ABC內(nèi)切圓的半徑為.

⑵拽

5

【解析】

【分析】(1)內(nèi)切圓的圓心是角平分線的交點(diǎn)；作的角平分線ZN,作NC的角平分

線C”交48于點(diǎn)D,兩條角平分線的交點(diǎn)即為內(nèi)切圓。。的圓心，0。為內(nèi)切圓半徑，

畫圓即可.

(2)過圓心。向4C作垂線，交點(diǎn)為G,由角平分線的性質(zhì)可知，

0D=0G,ZCGO=90°,在RtAACD中CD=JAC?-AD2=’3?—2?=&，設(shè)內(nèi)

切圓的半徑為r，則0C=后一外，在RfZ\0CG中0c2=CG2+OG2,解出廠的值即

可.

【小問1詳解】

解：如圖：以48為圓心，大于長為半徑畫弧，交點(diǎn)為連接C”交4B于點(diǎn)。

2

；以A為圓心畫弧，交AC、AB于點(diǎn)、E、F,以￡、尸為圓心，大于,￡廠為半徑畫弧，

2

交點(diǎn)為N,連接/N,ZN與C”的交點(diǎn)即為A4BC的內(nèi)切圓的圓心0,0。即為半

徑，畫圓.

【小問2詳解】

解：如圖，過圓心。向NC作垂線，交點(diǎn)為G；

由角平分線的性質(zhì)可知：OD=OG,ZCGO=90°

?：AC=BC

△NC3為等腰三角形

CD1AB,AD=-AB,ZADC=90°

2

在RtAACD中CD7AC?-AD?='3?—2?=出

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為廠，則OC=6—r

在RtAOCG中:OC2=CG2+OG2

：.(V5-r)2=(3-2)2+r2

解得：r=—

5

內(nèi)切圓的半徑為拽.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的畫法，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形等知

識(shí).解題的關(guān)鍵在于熟練掌握角平分線的作法.

26.某讀書興趣小組計(jì)劃去書店購買一批定價(jià)為50元/本的書籍，書店表示有兩種優(yōu)惠方

案方案一：若購買數(shù)量不超過10本，每本按定價(jià)出售；若超過10本，每增加1本，所有

書籍的售價(jià)可比定價(jià)降2元，但售價(jià)不低于35元/本.方案二：前5本按定價(jià)出售，超過

5本以上的部分可以打折.

(1)該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式支付了600元，請你求出購買書籍的數(shù)量；

(2)如果該興趣小組用方案二的優(yōu)惠方式購買(1)中的數(shù)量，請問書店折扣至少低于幾

折才能使得實(shí)付金額少于600元？

【答案】(1)該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本

(2)書店折扣至少低于7折才能使得實(shí)付金額少于600元

【解析】

【分析】（1）設(shè)讀書興趣小組購買書籍X本，列出等量關(guān)系式［50-2（x-10）］x=600,

求解即可；

（2）設(shè)書店折扣至少低于了折才能使得實(shí)付金額少于600元，列出不等式為

250+10x50x^<600,解出4即可.

10

【小問1詳解】

設(shè)讀書興趣小組購買書籍x本，

根據(jù)題意，當(dāng)購買數(shù)量不超過10本時(shí)每本按50元出售，

,/600>500,

興趣小組購買書籍?dāng)?shù)量超過10本，

/.［50-2（x-10）］x=600,

解得西=20,x2=15,

v50-2（x-10）^35,

,35

??xK—，

2

??x=15,

答：該興趣小組按照方案一的優(yōu)惠方式購買書籍15本；

【小問2詳解】

設(shè)書店折扣為y折才能使得實(shí)付金額少于600元，

由題意得，250+10x50x上<600,

10

y<7,

答：書店折扣至少低于7折才能使得實(shí)付金額少于600元.

【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根據(jù)題意找出關(guān)系式是解題的

關(guān)鍵.

27.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知幺（0,3）,點(diǎn)B在x軸正半軸上，且乙48。=30。

,C為線段0B上一點(diǎn)，作射線AC交AAOB的外接圓于點(diǎn)D,連接OD,NCOD=NOAD.

(1)求NA4D的度數(shù)；

(2)在射線AD上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與AAOB的外接圓相切？若存在，請求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)NBAD=30°

(2)存在，P(2A/3,-3)

【解析】

【分析】(1)利用圓周角定理得出=ND45,再根據(jù)NCOD=NCM。，得出

NDAB=ZOAD,最后利用直角三角形的性質(zhì)得出結(jié)果；

(2)先得出4BCP為等邊三角形，過點(diǎn)P作PHLOB交0B于點(diǎn)H,再利用解直角三角形得

出PH,BH即可得解.

【小問1詳解】

NDOB=NDAB,ZCOD=NOAD

：.NDAB=NOAD,

?1,ZAOB=90°,ZABO=30°,

ZOAB=60°.

ABAD=30°.

【小問2詳解】

VZA0B=90°,

/.AB為AAOB的外接圓的直徑，

假設(shè)在射線AD上存在點(diǎn)