吉林省洮南一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題文

PAGEPAGE14吉林省洮南一中2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次月考試題文（滿分：150分，時(shí)間：120分鐘）留意事項(xiàng):1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡和答題紙的相應(yīng)位置上.2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無(wú)效.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題紙上，寫在本試卷上無(wú)效.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.）1．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα,y＝－2＋tsinα))(t為參數(shù)，0≤a＜π)必過(guò)點(diǎn)()A．(1，－2)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－1)2.氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是70%”，下列說(shuō)法正確的是（）A．本市明天將有70%的地區(qū)降雨 B．本市明天將有70%的時(shí)間降雨C．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不帶雨具確定要淋雨3.下面運(yùn)用類比推理正確的是（）A．“若，則”類推出“若，則”B．“若”類推出“”C．“若”類推出“”D．“”類推出“”4.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與的位置關(guān)系是（）A．關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱 B．關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C．重合 D．關(guān)于直線對(duì)稱5.復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限 D．第四象限6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1500石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A．180石 B．12500石 C．160石 D．120石7.已知為虛數(shù)單位，則等于（）A． B．1 C． D．8.方程(θ為參數(shù)，ab≠0)表示的曲線是()A．圓B．橢圓C．雙曲線 D．雙曲線的一部分9.有下列四個(gè)命題：①在回來(lái)分析中，殘差的平方和越小，模型的擬合效果越好；②在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適；③若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為1，則，，…的平均數(shù)為2；④對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，越小，推斷“與有關(guān)系”的把握越大．其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．410.已知m，n∈R，m2+n2=100，則mn的最大值是（）A．25 B．50 C．20 D．11.在半徑為a的圓上有A,B兩點(diǎn)，且AB=a，在該圓上任取一點(diǎn)P，則使△PAB為銳角三角形的概率為（）A． B． C． D．12.P(x，y)是曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosα,y＝sinα))(α為參數(shù))上隨意一點(diǎn)，則(x－5)2＋(y＋4)2的最大值為()A．36B．6C．26第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13．若，，則、的大小關(guān)系是．14.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿意，則__________．15.已知x＞1，視察下列不等式：…按此規(guī)律，第n個(gè)不等式為．16.將曲線依據(jù)伸縮變換后得到的曲線方程為_(kāi)____________.三、解答題：（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17．(本小題滿分10分)已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù).（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求復(fù)數(shù).自律性一般自律性強(qiáng)合計(jì)成果優(yōu)秀40成果一般20合計(jì)5010018．(本小題滿分12分)學(xué)生學(xué)習(xí)的自律性很重要.某學(xué)校對(duì)自律性與學(xué)生成果是否有關(guān)進(jìn)行了調(diào)研，從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，通過(guò)調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：（1）補(bǔ)全列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)；（2）推斷是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成果有關(guān).0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式及數(shù)據(jù)：.19．(本小題滿分12分)已知一元二次方程，（1）若a是從區(qū)間任取的一個(gè)整數(shù)，b是從區(qū)間任取的一個(gè)整數(shù)，求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率.（2）若a是從區(qū)間任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是從區(qū)間任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求上述方程有實(shí)數(shù)根的概率.20．(本小題滿分12分)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；(2)直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα,y＝tsinα))(t為參數(shù))，l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝eq\r(10)，求l的斜率．21.(本小題滿分12分)已知，.（1）求證：；（2）若，求的最小值.22.(本小題滿分12分)已知曲線（t為參數(shù)且），直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若P為曲線C上一點(diǎn)，求P到直線l距離的最小值．參考答案1.A[直線表示過(guò)點(diǎn)(1,－2)的直線．]2.C【分析】依據(jù)概率的意義,可推斷各選項(xiàng).【詳解】氣象臺(tái)預(yù)報(bào)“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區(qū)面積和降水時(shí)間無(wú)關(guān),所以A,B錯(cuò)誤.降水概率是事務(wù)發(fā)生的可能,不是確定會(huì)發(fā)生的事情,所以D錯(cuò)誤.而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大,所以C正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的概念和意義,屬于基礎(chǔ)題.3.C【分析】利用特別值推斷AD；利用乘法與除法的運(yùn)算法則推斷BC.【詳解】對(duì)于：“若，則”類推出“若，則”是錯(cuò)誤的，因?yàn)?乘任何數(shù)都等于0，對(duì)于：“若”類推出“”，類推的結(jié)果不符合乘法的運(yùn)算性質(zhì)，故錯(cuò)誤，對(duì)于：將乘法類推除法，即由“”類推出“”是正確的；對(duì)于：“”類推出“”是錯(cuò)誤的，如錯(cuò)誤，故選：C．4.A【分析】結(jié)合坐標(biāo)系確定兩點(diǎn)位置關(guān)系.【詳解】在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與如圖，則點(diǎn)與的位置關(guān)系是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)中點(diǎn)的位置關(guān)系，考查基本分析推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.5.D【分析】由共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以z的共軛復(fù)數(shù)為，所以z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因此z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：D.6.A【分析】依據(jù)數(shù)得250粒內(nèi)夾谷30粒，可得比例，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查總體和樣本以及頻率等數(shù)學(xué)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力，比較基礎(chǔ)．7.A【分析】利用虛數(shù)單位的冪的周期性即可得解.【詳解】，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查虛數(shù)單位的冪的運(yùn)算，一般地，.8.D【解析】【分析】先消參得到xy＝ab，又因?yàn)閥∈[－|b|，|b|]，所以曲線是雙曲線的一部分.【詳解】由xcosθ＝a，所以cosθ＝，代入y＝bcosθ，得xy＝ab，又由y＝bcosθ，知y∈[－|b|，|b|]，所以曲線應(yīng)為雙曲線的一部分．故答案為D【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查參數(shù)方程和一般方程的互化，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問(wèn)的駕馭水平和分析推理計(jì)算實(shí)力.(2)參數(shù)方程消參常用的方法有三種:加減消參、代入消參、恒等式消參法.(3)把曲線的參數(shù)方程化為一般方程時(shí)，要留意變量的范圍的等價(jià)性.本題假如不考慮y的范圍，簡(jiǎn)單錯(cuò)選C.9.C【分析】依據(jù)殘差的意義，可判定①②真命題；依據(jù)數(shù)據(jù)的平均的計(jì)算公式，可得③真命題；依據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)中觀測(cè)值的意義，可判定④為假命題.【詳解】依據(jù)殘差的意義知，殘差的平方和越小，模型的擬合效果越好，所以①為真命題；由殘差的意義知，殘差點(diǎn)比較勻稱地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適，所以②真命題；若數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為1，則，，…的平均數(shù)為也擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，即平均數(shù)為2，所以③是真命題；對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，應(yīng)當(dāng)是越大，推斷“與有關(guān)系”的把握越大，所以④是假命題．故選C．10.B【分析】利用不等式m2+n2≥2mn，可求得結(jié)果.【詳解】由m2+n2≥2mn，得mn≤=50，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=±時(shí)等號(hào)成立.所以mn的最大值是.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用不等式m2+n2≥2mn求解是關(guān)鍵.11.D【分析】設(shè)圓心為O，連接AO，BO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，D，依據(jù)圓的性質(zhì)，得到點(diǎn)P在點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的劣弧上時(shí)，為銳角三角形，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)圓心為O，連接AO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)C，連接BO并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)D，連接BC，AD，CD，因?yàn)锳C，BD為直徑，所以，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C或點(diǎn)D處時(shí)，為直角三角形，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的劣弧上時(shí)，為銳角三角形，故使為銳角三角形的概率為.故答案為：.12.A[設(shè)P(2＋cosα，sinα)，代入得：(2＋cosα－5)2＋(sinα＋4)2＝25＋sin2α＋cos2α－6cosα＋8sinα＝26＋10sin(α－φ)．∴最大值為36.]13.【分析】干脆利用作差法，即可得出結(jié)論。【詳解】因?yàn)樗怨侍睢军c(diǎn)睛】本題考查作差法比較大小，作差法比較大小四步曲：作差-化簡(jiǎn)-比較-得出結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題。14.【分析】利用復(fù)數(shù)除法求得.【詳解】.=15.【分析】從每個(gè)不等式左邊單項(xiàng)式的指數(shù)和分式分母的特征，右邊整數(shù)的特征進(jìn)行歸納推理即可.【詳解】…按此規(guī)律，第n個(gè)不等式為：，故答案為：16.【分析】利用已知條件可得，代入原方程即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，可得：，代入曲線，得，即將曲線依據(jù)伸縮變換后得到的曲線方程為：.故答案為：.17.（1）m＝0；（2）1＋i.【分析】(1)依據(jù)純虛數(shù)的定義列出等式,解出即可.(2)將z1＝－i代入(3＋z1)z＝4＋2i化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】（1）依據(jù)純虛數(shù)的概念，需實(shí)部為0，虛部不為0.解得m＝0.（2）當(dāng)m＝0時(shí)，z1＝－i.由(3＋z1)z＝4＋2i，即(3－i)z＝4＋2i，得z＝＝＝1＋i.【點(diǎn)睛】本題考查純虛數(shù)的定義與復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.牢記復(fù)數(shù)的分類與復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律是解本題的基礎(chǔ).18.（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析；（2）有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成果有關(guān).【分析】（1）由總?cè)藬?shù)為100可補(bǔ)全表中的數(shù)據(jù)（2）算出即可【詳解】（1）因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為100，可填寫列聯(lián)表如下：自律性一般自律性強(qiáng)合計(jì)成果優(yōu)秀103040成果一般402060合計(jì)5050100（2）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得，所以有的把握認(rèn)為學(xué)生的自律性與學(xué)生成果有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查的是獨(dú)立性檢驗(yàn),計(jì)算實(shí)力是解答本題的關(guān)鍵.19.（1）；（2）.【分析】（1）本題是一個(gè)古典概型，可知基本領(lǐng)件共12個(gè)，方程當(dāng)時(shí)有實(shí)根的充要條件為，滿意條件的事務(wù)中包含個(gè)基本領(lǐng)件，由古典概型公式得到事務(wù)發(fā)生的概率．（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋畼?gòu)成事務(wù)的區(qū)域?yàn)椋罁?jù)幾何概型公式得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)事務(wù)為“方程有實(shí)數(shù)根”．當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根的充要條件為，即；（1）基本領(lǐng)件共12個(gè)：．其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，其次個(gè)數(shù)表示的取值．事務(wù)中包含個(gè)基本領(lǐng)件，事務(wù)發(fā)生的概率為．（2）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，面積為，構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域?yàn)?，面積為，故所求的概率為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在利用幾何概型的概率公式求其概率時(shí)，幾何“測(cè)度”可以是長(zhǎng)度、面積、體積、角度等，其中對(duì)于幾何度量為長(zhǎng)度，面積、體積時(shí)的等可能性主要體現(xiàn)在點(diǎn)落在區(qū)域Ω上任置都是等可能的，而對(duì)于角度而言，則是過(guò)角的頂點(diǎn)的一條射線落在Ω的區(qū)域（事實(shí)也是角）任一位置是等可能的．20.(1)ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)eq\f(\r(15),3)或－eq\f(\r(15),3).解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)．設(shè)A，B所對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq\r((ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2)＝eq\r(144cos2α－44).由|AB|＝eq\r(10)得cos2α＝eq\f(3,8)，tanα＝±eq\f(\r(15),3).所以l的斜率為eq\f(\r(15),3)或－eq\f