2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)（五十）

橢圓的定義'標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【原卷版】

1.與橢圓9/+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且滿足短半軸長(zhǎng)為2小的橢圓方程是（）

A-,+/B.吞+樂(lè)=1

2.”（10842）/十（108立）丁2=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是（）

A.0<a<bB.l<a<b

C.2<a<bD.l<b<a

3.如圖，尸是橢圓卷+?=1上的一點(diǎn)，尸是橢圓的左焦點(diǎn)且用=—用，衣|=2,

則I尸門=（）

C.3D.4

4.已知橢圓C：*+5=1的左、右焦點(diǎn)分別為E，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)AMF1F2

的面積最大時(shí)，內(nèi)切圓半徑為（）

A.3B.2

22

5.過(guò)橢圓C7x+%V=1（。>/>0）的右焦,點(diǎn)作x軸的垂線，交。于A,B兩點(diǎn),直線/過(guò)

。的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以A8為直徑的圓與/存在公共點(diǎn)，則。的離心率的取值范圍是（）

C.[o,坐]D.停1）

72

6.（多選）對(duì)于曲線C七十占=1，下面四個(gè)說(shuō)法正確的是（）

KKL

A.曲線C不可能是橢圓

B.是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件

C.“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3＜左＜4"的必要不充分條件

D.“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是5”的充要條件

7.（多選）如圖，兩個(gè)橢圓日+看=1,^|+f=l內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界斗、

記為曲線C,P是曲線C上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)說(shuō)法正確的為（）

A.尸至！J矽（一4,0）,尸2（4,0）,￡1（0,-4）,及（。,4）四點(diǎn)的距離之和為定*

值

B.曲線C關(guān)于直線＞=-y=一尤均對(duì)稱

C.曲線C所圍區(qū)域面積必小于36

D.曲線C總長(zhǎng)度不大于6兀

8.若橢圓2+￡=1的離心率為坐，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

22

9.設(shè)Fi，B分別為橢圓C：，+方匕=1（。＞1）的左、右焦點(diǎn)，P（1，D為C內(nèi)一點(diǎn)，Q

為C上任意一點(diǎn).現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：

①C的焦距為2；

②C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)可能為四；

③IQFzl的最大值為。+1；

④若IPQ+IQBI的最小值為3,則a=2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是.

?2

10.已知R,B是橢圓c：5+%=l（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn).

（1）若私為等邊三角形，求C的離心率；

（2）如果存在點(diǎn)P,使得PFI±PF2,且△BPB的面積等于16,求b的值和a的取值范

11.如圖是5號(hào)籃球在太陽(yáng)光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm,現(xiàn)太陽(yáng)光與地

面的夾角為60。，則此橢圓形影子的離心率為（）

11

A.B.

32

C.D.

12.明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖①所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖②

所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖③所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖①、②、

③中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為馬，嘉孚設(shè)圖①、②、③中橢圓的離心率分別

為61，62，63，貝4()

圖①圖②圖③

A.ei>e3>e2B.e2>es>e\

C.ei>62>03D.02>61>63

13.(多選)數(shù)學(xué)家稱寫」為黃金比，記為8,定義：若橢圓的短軸與長(zhǎng)軸之比為黃金

比O,則稱該橢圓為“黃金橢圓”，以橢圓中心為圓心，半焦距長(zhǎng)為半徑的圓稱為焦點(diǎn)圓.若

72

黃金橢圓，十方=1(〃>6>0)與它的焦點(diǎn)圓在第一象限的交點(diǎn)為Q，則下列結(jié)論正確的有

)

A.co2+(o=l

B.黃金橢圓的離心率e=。

C.設(shè)直線。。的傾斜角為仇則sin

D.交點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,sb)

22

14.已知橢圓3+本=1(46>0)，焦點(diǎn)尸1(一GO),F2(C,0)(C>0).若過(guò)網(wǎng)的直線和圓

%)2+丁=，相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)P,且軸，則該直線的斜率是

PF2±X

，橢圓的離心率是.

解析：設(shè)過(guò)分的直線與圓的切點(diǎn)為M,圓心A&,0),則|AM=c，砌=條，所以叱11

=埠，所以該直線的斜率2擺/企-=羋.因?yàn)镻F2，x軸，所以『出|=與，又下畫

，IVIV53a

2，

於

=2c,所以k=羋a__<22—c21~e2彳目—亞

2clac2e付e—5?

2^5亞

答案:

55

72

15.已知直線x—6y+小=0經(jīng)過(guò)橢圓C：，+方=1(。>6>0)的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若A,8為橢圓上除上下頂點(diǎn)之外的關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，已知直線y=3—尤上存

在一點(diǎn)P,使得三角形以B為正三角形，求AB所在直線的方程.

課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)(五十)

橢圓的定義'標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)【解析版】

1.與橢圓9(+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且滿足短半軸長(zhǎng)為24的橢圓方程是()

72

解析：B由9f+4/=36可得作+1=1,所以所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c?=9—4

22

=5,b=2小,次=25,所以所求橢圓方程為蕓+蕓=1.

2.“(108。2)，+(108立02=1表示焦點(diǎn)在>軸上的橢圓”的一個(gè)充分不必要條件是()

A.0<a<bB.l<a<b

C.2<a<bD.\<b<a

log?2>0,

解析:C若(10gq2)x2+(10g立)y2=l表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則需<logb2>0,即

Jog?2>logz,2,

a>l,

b>l,所以Kb,所以“(Ioga2)f+(log"2)y2=l表示焦點(diǎn)在〉軸上的橢圓”的一個(gè)

充分不必要條件是2<a<6,故選C.

3.如圖，尸是橢圓/，=1上的一點(diǎn)，尸是橢圓的左焦點(diǎn)且不3=—直，|函1=2,

則|PF|=()

A.2

C.3D.4

?2______

解析：A由§+勺=1可得a=3.因?yàn)閃=—不恐，所以點(diǎn)。是線段P尸的中點(diǎn)，設(shè)

橢圓的右焦點(diǎn)為尸，則。是"'的中點(diǎn)，所以|尸百|(zhì)=2|。0|=4,由橢圓的定義可知：|尸尸|

+|尸戶|=2a=6,所以|尸尸|=2,故選A.

4.已知橢圓C：卷+]=1的左、右焦點(diǎn)分別為E，點(diǎn)M在橢圓C上，當(dāng)△MFi私

的面積最大時(shí)，內(nèi)切圓半徑為（）

A.3B.2

C.D.j

92_______

解析：D因?yàn)闄E圓為=+，=1,所以〃=5,b=3,c=yla2—b2=4.當(dāng)?shù)拿?/p>

積最大時(shí)，點(diǎn)M為橢圓C短軸的頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M為橢圓。的上頂點(diǎn)，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，

△“尸1/2內(nèi)切圓半徑為「，貝尸1|=|四尸2|=〃=5,|FIF2|=2C=8,\0M\=b=3,SAMFIF?=

5.過(guò)橢圓C：方=1（。>/?>0）的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交。于A,B兩點(diǎn),直線/過(guò)

C的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn).若以AB為直徑的圓與/存在公共點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍是（）

解析：A由題設(shè)知，直線/：±+1=1,即/?x—cy+bc=O,以AB為直徑的圓的圓心

為（c,0）,根據(jù)題意，將x=c代入橢圓C的方程，得y=土半，即圓的半徑—=?.又圓與直線

/有公共點(diǎn)，所以7急

化簡(jiǎn)得2cWb,平方整理得〃》5乙所以,又0<e<l,

所以0<6<乎.故選A.

72

6.（多選）對(duì)于曲線C：占+占=1，下面四個(gè)說(shuō)法正確的是（）

T-/v/v1

A.曲線C不可能是橢圓

B.是“曲線C是橢圓”的充分不必要條件

C.“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是“3＜左＜4"的必要不充分條件

D.“曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1＜N2.5”的充要條件

解析：CD對(duì)于A,當(dāng)1＜左＜4且上W2.5時(shí)，曲線C是橢圓，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B,

當(dāng)k=2.5時(shí)，4—1,此時(shí)曲線C是圓，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C,若曲線C是焦點(diǎn)在y

"4T＞0,

軸上的橢圓，則卜T＞0,解得2.5＜k＜4,所以“曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”是

k~l＞4~k,

“3＜N4”的必要不充分條件，所以C正確；對(duì)于D,若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則

＜4一Q0,解得1＜左＜2.5,所以D正確.

A-k＞k-l,

7.(多選)如圖，兩個(gè)橢圓/著=1,^|+f=l內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界4、

記為曲線C,P是曲線C上的任意一點(diǎn)，下列四個(gè)說(shuō)法正確的為()

A.P到B(—4,0),凡(4,0),￡i(0,-4),E2(0,4)四點(diǎn)的距離之和為定*

值

B.曲線C關(guān)于直線＞=無(wú)，＞=—尤均對(duì)稱

C.曲線C所圍區(qū)域面積必小于36

D.曲線C總長(zhǎng)度不大于6兀

72

解析：BC易知R(—4,0),尸2(4,0)分別為橢圓會(huì)十/=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，昂(0,-4),￡2(0,4)

分別為橢圓總+]=1的兩個(gè)焦點(diǎn).若點(diǎn)尸僅在橢圓導(dǎo)+]=1上，則P到Fi(—4,0),F2(4,0)

兩點(diǎn)的距離之和為定值，到Ei(0,-4),&(0,4)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故A錯(cuò)誤；兩個(gè)

橢圓關(guān)于直線y=x,y=-x均對(duì)稱，則曲線。關(guān)于直線y=x,y=-x均對(duì)稱，故B正確；

曲線。所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36,故C正確；曲線。所圍區(qū)

域在半徑為3的圓外部，所以曲線的總長(zhǎng)度大于圓的周長(zhǎng)6兀，故D錯(cuò)誤.故選B、C.

8.若橢圓5+^=1的離心率為晉，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.

解析：由橢圓三十￥=1的離心率為半，當(dāng)機(jī)＞2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在x軸上方=半

17T乙乙a乙、Im

解得加=4,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,當(dāng)0〈根＜2時(shí)，橢圓焦點(diǎn)在y軸上，5=坐=有口，

得根=1,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2ML

答案：4或2、”

72

9.設(shè)尸1，尸2分別為橢圓c：的左、右焦點(diǎn)，P(l,l)為C內(nèi)一點(diǎn)，Q

為C上任意一點(diǎn).現(xiàn)有四個(gè)結(jié)論：

①C的焦距為2；

②C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)可能為四；

③IQF2I的最大值為。+1；

④若IPQI+IQBI的最小值為3,則a=2.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是.

解析：對(duì)于①：因?yàn)?="2—(a2—1)=1,所以橢圓c的焦距為2c=2,故①正確；對(duì)

t11

1--

于②：若橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為也，則/=會(huì)所以橢圓C的方程為3-A53

---

222

2

從而點(diǎn)p在c的外部，這與尸在c內(nèi)矛盾，所以②不正確；對(duì)于③：Ec=l,。為。上

任意一點(diǎn)，由橢圓的幾何性質(zhì)可知，|0/2|的最大值為a+c=a+\,故③正確；對(duì)于④：由

橢圓定義可知，\PQ\+\QFi\=\PQ\-|2F2|+2a,因?yàn)閨|PQ—|。尸2歸|尸分|=1,所以|尸。|一

IQFRB—1,所以|PQ-|QF2|+2a、2a—l=3,此時(shí)。=2,故④正確.

答案：①③④

72

10.已知B，B是橢圓C：方=l(a>b>o)的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上的點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn).

(1)若△POB為等邊三角形，求C的離心率；

(2)如果存在點(diǎn)P,使得尸品，尸尸2,且的面積等于16,求。的值和。的取值范

圍.

解：(1)連接尸人(圖略).由△尸。尸2為等邊三角形可知在尸2中，ZFIPF2=90°,|PF2|

=c,IPFi尸小c,于是2a=|PFi|+|PB|=(5+l)c,故C的離心率為e=\=M5—1.

(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在當(dāng)且僅當(dāng)

品2c=16,最+去=1，

即c|y|=16,①

222

x+y=cf②

1+^=1-③

2

由②③及Q2=》2+C2得y=^.

162

又由①知y2="p-,故b=4.

〃2

由②③及〃2=/+廿得一=7（，一〃），

所以寸力尻，從而〃2=。2+02》2。2=32,故

當(dāng)8=4,限時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.

所以。=4,“的取值范圍為［4、「，+°°）.

11.如圖是5號(hào)籃球在太陽(yáng)光照射下的影子，已知籃球的直徑為22cm,現(xiàn)太陽(yáng)光與地

面的夾角為60°,則此橢圓形影子的離心率為（）

A.|

C.半D.雪

解析：B由圖可得，橢圓的短軸長(zhǎng)26=22=>6=11,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=

故選B.

12.明朝的一個(gè)葡萄紋橢圓盤如圖①所示，清朝的一個(gè)青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖②

所示，北宋的一個(gè)汝窯橢圓盤如圖③所示，這三個(gè)橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖①、②、

③中橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值分別為*翁y，設(shè)圖①、②、③中橢圓的離心率分別

為e\,02，63，貝U()

圖①圖②圖③

A.61>03>62B.￡2>63>61

C.61>62>03D.改>61>63

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比值越大，離心率越大.因?yàn)槎谷?.44,布7L24,—^1.43,

則號(hào)招，所以白>￡3>62.故選A.

13.(多選)數(shù)學(xué)家稱七一為黃金比，記為s,定義：若橢圓的短軸與長(zhǎng)軸之比為黃金

比。，則稱該橢圓為“黃金橢圓”，以橢圓中心為圓心，半焦距長(zhǎng)為半徑的圓稱為焦點(diǎn)圓.若

72

黃金橢圓5+方=l(a>b>0)與它的焦點(diǎn)圓在第一象限的交點(diǎn)為Q，則下列結(jié)論正確的有

A.a>2+co—l

B.黃金橢圓的離心率e=。

C.設(shè)直線。。的傾斜角為仇貝UsinO=。

D.交點(diǎn)。的坐標(biāo)為(6,

解析：AC方程/十?！?=0的根為。=匚料1,故A正確；由題意可知，5=嚀」

=G,則1—(第=[1—故B錯(cuò)誤；易知Q*_LQF2,且/。/1尸2=孝,

貝NQF2|=2csin亨，|0/1|=2℃0或，所以|。尸1|+|。尸2|=2《8/+853=24,即sin^+cos^=

a1k、LT、―小,12^5+1口rJ5+1V^-1

1=孤，兩邊平萬(wàn)，可付sin8+1=「=小_]=2，即sin<9=?-1=2=如

故C正確；由C知，sin9=co,所以tan9W①，即D錯(cuò)誤.故選A、C.

?2

14.已知橢圓，+京=l(a>6>0),焦點(diǎn)B(—c,0)，F(xiàn)2(C,0)(C>0).若過(guò)外的直線和圓

1―；，2+產(chǎn)=，相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)P,且PF2±X軸，則該直線的斜率是

，橢圓的離心率是.

解析：設(shè)過(guò)后的直線與圓的切點(diǎn)為圓心A(；c,0),則|AM=c,|g=|c,所以|MB|

=埠，所以該直線的斜率2翳=%=羋.因?yàn)槭?3軸，所以小=與，又IEBI

LIVIA/5Da

2。