2019-2020學年新教材高中數(shù)學第5章統(tǒng)計與概率5.1.4用樣本估計總體課時17用樣本估計總體練習含解析新人教B版必修第二冊

PAGE1-課時17用樣本估計總體知識點一用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征1.某學習小組在一次數(shù)學測驗中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，則該小組成績的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是()A．85,85,85 B．87,85,86C．87,85,85 D．87,85,90答案C解析由平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的定義可知，平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1×100＋1×95＋2×90＋4×85＋1×80＋1×75,1＋1＋2＋4＋1＋1)＝87；因為得85分的有4人，所以眾數(shù)是85；把成績由大到小排列為100,95,90,90,85,85,85,85,80,75，故中位數(shù)是85.2．從某項綜合能力測試中抽取100人的成績，統(tǒng)計如下表，則這100人的成績的標準差為()分數(shù)54321人數(shù)2010303010A.eq\r(3)B.eq\f(2\r(10),5)C．3D.eq\f(8,5)答案B解析平均數(shù)為eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3.故s2＝eq\f(1,100)×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝eq\f(8,5).故s＝eq\r(\f(8,5))＝eq\f(2\r(10),5).3．為了鑒定某種節(jié)能燈泡的質(zhì)量，對其中100只節(jié)能燈泡的使用壽命進行測量，結(jié)果如下表：(單位：小時)壽命450550600650700只數(shù)2010301525則這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是________．答案597.5解析這些節(jié)能燈泡使用壽命的平均數(shù)是eq\f(450×20＋550×10＋600×30＋650×15＋700×25,100)＝597.5.4．高一(3)班有男同學27名，女同學21名．在一次語文測驗中，男同學得分的平均數(shù)是82，中位數(shù)是75，女同學得分的平均數(shù)是80，中位數(shù)是80.(1)求這次測驗全班成績的平均數(shù)(精確到0.01)；(2)估計全班成績不超過80分的同學至少有多少人；(3)分析男同學得分的平均數(shù)與中位數(shù)相差較大的主要原因．解(1)利用平均數(shù)計算公式，得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,48)×(82×27＋80×21)≈81.13.(2)因為男同學得分的中位數(shù)是75，所以至少有14名男生得分不超過75分．又因為女同學得分的中位數(shù)是80，所以至少有11名女生得分不超過80分．所以全班至少有25人得分不超過80分．(3)男同學得分的平均數(shù)與中位數(shù)相差較大，說明男同學中兩極分化現(xiàn)象嚴重，得分高的和得分低的相差較大．5．為了普及法律知識，達到“法在心中”的目的，某市法制辦組織了一次普法知識競賽，統(tǒng)計局調(diào)查隊從甲、乙兩單位中各隨機抽取了5名職工的成績，用莖葉圖表示如下：(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，分別求出樣本中甲、乙兩單位職工成績的平均數(shù)和方差，并判斷哪個單位職工對法律知識的掌握更為穩(wěn)定；(2)求被抽取的這10名職工成績的平均數(shù)和方差．(分層抽樣的平均數(shù)和方差公式：設(shè)樣本中不同層的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，…，eq\o(x,\s\up6(－))n，方差分別為seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)，…，seq\o\al(2,n)，相應(yīng)的權(quán)重分別為w1，w2，…，wn，則這個樣本的平均數(shù)和方差分別為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wieq\o(x,\s\up6(－))i，s2＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))wi[seq\o\al(2,i)＋(eq\o(x,\s\up6(－))i－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，其中eq\o(x,\s\up6(－))為樣本平均數(shù)．)解(1)甲單位5名職工成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(87＋88＋91＋91＋93,5)＝90，乙單位5名職工成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(85＋89＋91＋92＋93,5)＝90，甲單位5名職工成績的方差seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.8，乙單位5名職工成績的方差seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.∵seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲單位職工對法律知識的掌握更為穩(wěn)定．(2)∵甲單位職工的權(quán)重w甲＝eq\f(1,2)，乙單位職工的權(quán)重w乙＝eq\f(1,2)，eq\o(x,\s\up6(－))甲＝90分，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝90分，seq\o\al(2,甲)＝4.8，seq\o\al(2,乙)＝8，由分層抽樣求平均數(shù)和方差的公式可得，這10名職工成績的平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)×90＋eq\f(1,2)×90＝90，這10名職工成績的方差s2＝w甲[seq\o\al(2,甲)＋(eq\o(x,\s\up6(－))甲－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＋w乙[seq\o\al(2,乙)＋(eq\o(x,\s\up6(－))乙－eq\o(x,\s\up6(－)))2]＝eq\f(1,2)×[4.8＋(90－90)2]＋eq\f(1,2)×[8＋(90－90)2]＝6.4.知識點二用樣本的分布來估計總體的分布6.樣本的頻率分布與相應(yīng)的總體分布的關(guān)系是()A．樣本的頻率分布與相應(yīng)的總體分布是同樣的分布B．樣本的頻率分布與相應(yīng)的總體分布是互不相關(guān)的兩種分布C．樣本的頻率分布將隨著樣本容量的增大更加接近相應(yīng)的總體分布D．樣本的頻率分布的樣本容量增大到某一定值時就變成了相應(yīng)的總體分布答案C解析樣本容量越大，樣本的頻率分布越接近相應(yīng)的總體分布．7．某工廠對一批產(chǎn)品進行了抽樣檢測．如圖是根據(jù)抽樣檢測后的產(chǎn)品凈重(單位：克)數(shù)據(jù)繪制的頻率分布直方圖，其中產(chǎn)品凈重的范圍是[96,106]，樣本數(shù)據(jù)分組為[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，則樣本中凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是()A．90 B．75C．60 D．45答案A解析產(chǎn)品凈重小于100克的頻率為(0.050＋0.100)×2＝0.300，已知樣本中產(chǎn)品凈重小于100克的個數(shù)是36，設(shè)樣本容量為n，則eq\f(36,n)＝0.300，所以n＝120，凈重大于或等于98克并且小于104克的產(chǎn)品的個數(shù)是120×0.75＝90.8．某校100名學生的數(shù)學測試成績的頻率分布直方圖如圖所示，分數(shù)不低于a即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為20，則a的估計值是()A．130 B．140C．133 D．137答案C解析由已知可以判斷a∈(130,140)，所以[(140－a)×0.015＋0.01×10]×100＝20，解得a≈133.故選C.9．為了調(diào)查甲、乙兩個交通站的車流量，隨機選取了14天，統(tǒng)計每天上午8：00～12：00間各自的車流量(單位：百輛)，得如圖所示的莖葉圖，試求：(1)甲、乙兩個交通站的車流量的極差分別是多少？(2)甲交通站的車流量在[10,40]間的頻率是多少？(3)甲、乙兩個交通站哪個站更繁忙？并說明理由．解(1)甲交通站的車流量的極差為73－8＝65，乙交通站的車流量的極差為71－5＝66.(2)甲交通站的車流量在[10,40]間的頻率為eq\f(4,14)＝eq\f(2,7).(3)甲交通站的車流量集中在莖葉圖的下方，而乙交通站的車流量集中在莖葉圖的上方，從數(shù)據(jù)的分布情況來看，甲交通站更繁忙．10．為了了解高一學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如下圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組頻數(shù)為12.(1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上(含110次)為達標，試估計該學校全體高一學生的達標率是多少？(3)在這次測試中，學生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由．解(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又頻率＝eq\f(頻數(shù),樣本容量)，所以樣本容量＝eq\f(第二小組頻數(shù),第二小組頻率)＝eq\f(12,0.08)＝150，即第二小組的頻率為0.08，樣本容量是150.(2)由圖可估計該學校高一學生的達標率約等于次數(shù)落在[110,150]內(nèi)的頻率，又eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%，即次數(shù)落在[110,150]內(nèi)的頻率為88%，所以估計該學校全體高一學生的達標率是88%.(3)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為eq\f(2,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝6，eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝12，eq\f(17,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝51，eq\f(15,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝45，eq\f(9,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝27，eq\f(3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×150＝9，即各小組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114.所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi).易錯點誤將頻率分布直方圖的縱坐標當作頻率11.中小學生的視力狀況受到社會的關(guān)注．某市有關(guān)部門從全市6萬名高一學生中隨機抽取400名學生，對他們的視力狀況進行一次調(diào)查統(tǒng)計，將所得到的有關(guān)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，從左至右五個小組的頻率之比為5∶7∶12∶10∶6，則該市6萬名高一學生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學生約有多少人？易錯分析本題易將該頻率分布直方圖中的縱坐標(頻率與組距的比)看成頻率，出現(xiàn)如下錯誤：由圖可知，第五小組的頻率為0.5，所以第一小組的頻率為0.5×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12).所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學生約有60000×eq\f(5,12)＝25000(人)．正解由圖可知，第五小組的頻率為0.5×0.3＝0.15，所以第一小組的頻率為0.15×eq\f(5,6)＝0.125.所以該市6萬名高一學生中視力在[3.95,4.25)范圍內(nèi)的學生約有60000×0.125＝7500(人)．一、選擇題1．下列說法錯誤的是()A．一個樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)不可能是同一個數(shù)B．統(tǒng)計中，我們可以用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù)C．樣本平均數(shù)既不可能大于也不可能小于這個樣本中的所有數(shù)據(jù)D．眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢答案A解析用樣本估計總體情況時，在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)可能是同一個數(shù)，例如：數(shù)據(jù)10,11,11,11,11,11,12的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是11.2．在某次測量中得到的A樣本數(shù)據(jù)如下：2,4,4,6,6,6,8,8,8,9.若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得數(shù)據(jù)，則A，B兩樣本的下列數(shù)字特征相同的是()A．眾數(shù) B．平均數(shù)C．中位數(shù) D．標準差答案D解析根據(jù)題意，B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)每個都加2后所得，則平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都增加2，根據(jù)標準差公式可知，標準差不變．故選D.3．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取30名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為eq\o(x,\s\up6(－))，則()A．me＝m0＝eq\o(x,\s\up6(－)) B．me＝m0＜eq\o(x,\s\up6(－))C．me＜m0＜eq\o(x,\s\up6(－)) D．m0＜me＜eq\o(x,\s\up6(－))答案D解析由題目所給的統(tǒng)計圖可知，30個數(shù)據(jù)按大小順序排列好后，中間兩個數(shù)為5,6，故中位數(shù)為me＝eq\f(5＋6,2)＝5.5.又眾數(shù)為m0＝5，平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2,30)＝eq\f(179,30)≈5.97，∴m0＜me＜eq\o(x,\s\up6(－)).4．從甲、乙兩種玉米苗中各抽6株，分別測得它們的株高如圖所示(單位：cm)．根據(jù)數(shù)據(jù)估計()A．甲種玉米比乙種玉米不僅長得高而且長得整齊B．乙種玉米比甲種玉米不僅長得高而且長得整齊C．甲種玉米比乙種玉米長得高但長勢沒有乙整齊D．乙種玉米比甲種玉米長得高但長勢沒有甲整齊答案D解析由題中的莖葉圖可知，甲種玉米的株高主要集中在20～30cm段，乙種玉米的株高主要集中在30～40cm，則甲種玉米的平均株高小于乙種玉米的平均株高，但乙種玉米的株高較分散．故選D.5．為了解某校學生的視力情況，隨機抽查了該校的100名學生，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．由于不慎將部分數(shù)據(jù)丟失，但知道前4組的頻數(shù)和為40，后6組的頻數(shù)和為87.設(shè)最大頻率為a，視力在4.5到5.2之間的學生人數(shù)為b，則a，b的值分別為()A．0.27,0.96 B．0.27,96C．27,0.96 D．27,96答案B解析由頻率分布直方圖知組距為0.1，由前4組的頻數(shù)和為40，后6組的頻數(shù)和為87，知第4組的頻數(shù)為40＋87－100＝27，即視力在4.6到4.7之間的頻數(shù)最大，為27，故最大頻率a＝0.27.視力在4.5到5.2之間的頻率為1－0.01－0.03＝0.96，故視力在4.5到5.2之間的學生人數(shù)b＝0.96×100＝96.二、填空題6．樣本a1，a2，a3，…，a10的平均數(shù)為12，樣本b1，b2，…，b8的平均數(shù)為5，則樣本a1，b1，a2，b2，…，a8，b8，a9，a10的平均數(shù)為________．答案eq\f(80,9)解析由題知eq\o(a,\s\up6(－))＝12，eq\o(b,\s\up6(－))＝5，則新樣本的平均數(shù)為eq\f(12×10＋5×8,10＋8)＝eq\f(80,9).7．若樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為8，則數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的標準差為________．答案16解析已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的標準差為s＝8，則s2＝64，數(shù)據(jù)2x1－1,2x2－1，…，2x10－1的方差為22s2＝22×64，所以其標準差為eq\r(22×64)＝16.8．對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調(diào)查，統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25,30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)年齡組[25,30)對應(yīng)小矩形的高度為________；(2)據(jù)此估計該市“四城同創(chuàng)”活動中志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的人數(shù)為________．答案(1)0.04(2)440解析(1)設(shè)年齡組[25,30)對應(yīng)小矩形的高度為h，則5×(0.01＋h＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，解得h＝0.04.(2)由(1)得志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的頻率為5×(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年齡在[25,35)內(nèi)的人數(shù)約為0.55×800＝440.三、解答題9．為了了解甲、乙兩個工廠生產(chǎn)的輪胎的寬度是否達標，從兩廠各隨機選取了10個輪胎，將每個輪胎的寬度(單位：mm)記錄下來并繪制出如下的折線圖：(1)分別計算甲、乙兩廠提供的10個輪胎寬度的平均數(shù)；(2)若輪胎的寬度在[194,196]內(nèi)，則稱這個輪胎是標準輪胎．試比較甲、乙兩廠分別提供的10個輪胎中所有標準輪胎寬度的方差的大小，根據(jù)兩廠的標準輪胎寬度的平均水平及其波動情況，判斷這兩個工廠哪個的輪胎相對更好．解(1)甲廠10個輪胎寬度的平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)×(195＋194＋196＋193＋194＋197＋196＋195＋193＋197)＝195，乙廠10個輪胎寬度的平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(195＋196＋193＋192＋195＋194＋195＋192＋195＋193)＝194.(2)甲廠10個輪胎中寬度在[194,196]內(nèi)的數(shù)據(jù)為195,194,196,194,196,195，平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))1＝eq\f(1,6)×(195＋194＋196＋194＋196＋195)＝195，方差：seq\o\al(2,1)＝eq\f(1,6)×[(195－195)2＋(194－19