初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：面積的存在性問題解題策略

面積的存在性問題解題策略

專題攻略

面積的存在性問題常見的題型和解題策略有兩類：

第一類，先根據(jù)幾何法確定存在性，再列方程求解，后檢驗(yàn)方程的根.

第二類，先假設(shè)關(guān)系存在，再列方程，后根據(jù)方程的解驗(yàn)證假設(shè)是否正確.

例題解析

例?如圖1-1,矩形ABCD的頂點(diǎn)C在y軸右側(cè)沿拋物線

y=f-6x+10滑動，在滑動過程中8/戊軸，CD=1,48在

的下方.當(dāng)點(diǎn)。在y軸上時，落在x軸上.當(dāng)矩形48CZ)

在滑動過程中被x軸分成兩部分的面積比為1:4時，一求點(diǎn)C的

坐標(biāo).

圖1-1

【解析】先求出圓=5,再進(jìn)行兩次轉(zhuǎn)化，然后解方程.

把上下兩部分的面積比為1：4轉(zhuǎn)化為S上：S全=1：5或S上：S全=4：5.

把面積比轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為1或4.

如圖1-2,

例?如圖2-1,二次函數(shù)y=(x+相＞+上的圖象與x軸交于A、8兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)

為(1,—4),AM與y軸相交于點(diǎn)C,在拋物線上是否還存在點(diǎn)P,使得SAPMB=SABCM，如存在,

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【解析】△BCM是確定的，與三角形有公共邊根據(jù)“同底等高的三

角形面積相等”和“平行線間的距離處處相等”，過點(diǎn)C畫的平行線與拋物線的交點(diǎn)就

是點(diǎn)P.一目了然，點(diǎn)尸有2個.

由y=(x-l)2—4=(x+l)(x-3),得4(一1,0)，8(3,0).由A、M,得C(0,-2).

如圖2-2,設(shè)尸(x,f—2x—3),由尸C〃2M,得NCPE=/BMF.所以烏=".

PEMF

解方程0一1)一一4+2=±,得尤=2±?.所以尸(2+后,2+2君)或(2-&\2-26).

x2

例?如圖3-1,直線>=尤+1與拋物線y=—f+2x+3交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸是直線

A8上方拋物線上的一點(diǎn)，四邊形必。8是平行四邊形，當(dāng)四邊形必。8的面積最大時，求

點(diǎn)P的坐標(biāo).

【解析】的面積最大時，平行四邊形玄。8的面積也最大.

我們介紹三種割補(bǔ)的方法求的面積：如圖3-2,把分割為兩個共底PE的

三角形，高的和等于A、B兩點(diǎn)間的水平距離；如圖3-3,用四邊形B4CB的面積減去△ABC

的面積；如圖3-4,用直角梯形的面積減去兩個直角三角形的面積.

我們借用圖3-2介紹一個典型結(jié)論.已知4—1,0）、3（2,3）,設(shè)尸（無一，+2工+3）.

S^PAB=S^PAE~\~S^PBE=-^PE（AF+BD）—~（yp一%）（%5一%A）

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=-（-x2+%+2）X3=--（X--）2+—?

2228

當(dāng)尤=工時，△B48的面積最大.x=!的幾何意義是點(diǎn)E為AB的中。點(diǎn)，這是一個典型

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結(jié)論.同時我們可以看到，由于獨(dú)一冽是定值，因此當(dāng)PE最大時，△B42的面積最大.

例?如圖4-1,在平行四邊形ABC。中，AB=3,BC=5,ACLAB,△AC。沿AC方

向勻速平移得到△PMW,速度為每秒1個單位長度；同時點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿CB方向勻

速移動，速度為每秒1個單位長度；當(dāng)△PNM停止運(yùn)動時，點(diǎn)。也停止運(yùn)動，如圖4-2,

設(shè)移動時間為/秒（0<f<4）.是否存一在某一時刻f,使SA°MC：S四娜AB°P=1：4?若存在，

求出」的值；若不存在，請說明理由.

△A8C的一部分.

因此S^QMC:S四邊形A80P=1：4就轉(zhuǎn)化為S^QPC:SAABC=1?5,更進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為S^QPC

如圖4-3,解方程工義9（4—/）4=9,得片2.

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圖4-3

例?如圖5-1,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1）,直線y=2x-4與拋物線

y=；%2相交于點(diǎn)8,與y軸交于點(diǎn)。.將△A3。沿直線8。折疊后，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處(如

圖5-2),問在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得SAPCO=3SAMB?如果存在，請求出所有滿足條

件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

一圖1圖2

【解析】由4。，1)，8(4,4),D(0,-4),可得AB=A￡>=5,這里隱含了四邊形A￡>CB

是菱形.因此△■?(?￡)與是等底三角形，而且兩底CD//AB.

如果SAPCD=3SAPAB，那么點(diǎn)P到直線CD的距離等于它到直線AB距離的3倍.

如果過點(diǎn)P與CD平行的直線與y軸交于點(diǎn)Q,那么點(diǎn)Q到直線CD的距離等于它到直

線AB距離的3倍.

所以?！?=3。4.點(diǎn)。的位置有兩個，在D4的延長線上或4。上.

如圖53過點(diǎn)。(0，/畫C。的平行線，得21±普，&士|叵，或

如圖5-4,過點(diǎn)2(0,--)畫CD的平行線，得p(l±Yl,Z±±5),或(三立,05).

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例?如圖6-1,拋物線>經(jīng)過點(diǎn)及6,幾)，與x軸正半軸交于點(diǎn)A,若點(diǎn)尸

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為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，以/、0、A、E為頂點(diǎn)的四邊形的.面積記作S,則

S取何值時，相應(yīng)的點(diǎn)P有且只有3個?

【解析】如圖6-2,當(dāng)點(diǎn)P在直線AE上方的拋物線上，過點(diǎn)P作AE的平行線，當(dāng)這

條直線與拋物線相切時，△麗的面積最大.這時我們可以在直線0E的上方畫一條與0E

平行的直線，這條直線與拋物線有2個交點(diǎn)P和P",滿足SAPAE=SAP，OE=SAP，，OE.

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設(shè)過點(diǎn)P與直線AE平行的直線為y=x+根，聯(lián)立y=—消去y,一整理，

得f—iex+gm：。.由A=0,解得〃2=8.

因此方程f—16x+64=o的根為陽=尤2=8.所以尸(8,2).

如圖6-3,作軸于“，可以求得S=S西娜OAPE=9+5+2=16.

分別為(0,6)、(-4,0).若將“使△2￡>￡的面積為整數(shù)”的點(diǎn)P記作“好點(diǎn)”，請寫出所有

“好點(diǎn)”的個數(shù).

圖7-1

【解析】第一步，求的面積S關(guān)于點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)x的函數(shù)關(guān)系式；第二步，分

析S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

如圖7-2,SAPDE=SAPOD~\~SAPOE—SADOE=--^-(x+6)2+13.

因此S是x的二次函數(shù)，對稱軸為直線x=—6,S的最大值為13.

如圖7-3,當(dāng)一8WxW0時，4WSW13.所以面積的值為整數(shù)的個數(shù)為10.

當(dāng)5=12時，對應(yīng)的x有兩個解一8,-4,都在一8WxW0范圍內(nèi).

所以“使△2￡>￡的面積為整數(shù)”的“好點(diǎn)”尸共有11個.

例?如圖8-1,在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（。，3）（其中a>4）,射線

與反比例函數(shù)》=一的圖象交于點(diǎn)P,點(diǎn)、B、C分

X,

別在函數(shù),="的圖象上，且A2//X軸，AC//y軸.試

X

說明24處的值是否隨a的變化而變化？一3>*

SAACP

圖8-1

【解析】如圖8-2,我們在“大環(huán)境”中認(rèn)識這個問題,關(guān)系清清楚楚.

由于所以所以、。至［

Si=S2,SM6O=S3CO.8JP\

E---------

A0的距離相等.于是△A3P與△AC尸就是同底等高Q/、

的三角形，它們的面積比為1.

OF

圖8-2

例?如圖9-1,已知扇形AOB的半徑為2,圓心角/AO8=90°,點(diǎn)C是弧AB上的

,CD_LOA于。，CE1.0B于E,求四邊形。Z：

住

ODA

圖9-1

【解析】如圖9-2,圖9-3,設(shè)矩形ODCE的對角線交于點(diǎn)F,那么0尸=1為定值.

作OHLDE于H,那么OHWOF.因?yàn)镈E=2為定值，因此當(dāng)OH與。尸相等時（如

圖9-4),△OOE的面積最大,最大值為1.所以矩形ODCE的面積的最大值為2.

例?如圖10-1,在△ABC中，ZC=90°,AC=6,8C=8,設(shè)直線/與斜邊AB交于

點(diǎn)、E,與直角邊交于點(diǎn)足