2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章變化率與導(dǎo)數(shù)測評含解析北師大版選修1-1

PAGEPAGE6第三章測評(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知函數(shù)f(x)=2x2-1的圖像上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1+Δx,1+Δy),則等于()A.4 B.4ΔxC.4+2Δx D.4+2(Δx)2答案C解析=4+2Δx.2.若f'(x0)=-3,則=()A.-3 B.-12 C.-9 D.-6答案B解析法一(注意導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用的解法):因?yàn)閒'(x0)==-3,所以===+3=f'(x0)+3f'(x0)=4f'(x0)=-12,故選B.法二(注意導(dǎo)數(shù)定義中各變量的聯(lián)系的解法):因?yàn)閒'(x0)==-3,所以=4=4f'(x0)=-12,故選B.3.數(shù)列{cn}為等比數(shù)列,其中c1=2,c8=4,f(x)=x(x-c1)(x-c2)…(x-c8),f'(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(0)=()A.0 B.26 C.29 D.212答案D解析∵c1=2,c8=4,∴c1c2…c8=84=212,f'(x)=(x-c1)(x-c2)…(x-c8)+x[(x-c1)(x-c2)…(x-c8)]',則f'(0)=c1c2…c8=212.4.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x),且滿意f(x)=2xf'(1)+lnx,則f'(1)=()A.-e B.-1 C.1 D.e答案B解析∵f(x)=2xf'(1)+lnx,∴f'(x)=[2xf'(1)]'+(lnx)'=2f'(1)+,∴f'(1)=2f'(1)+1,即f'(1)=-1.5.函數(shù)f(x)=excosx的圖像在點(diǎn)(3,f(3))處的切線的傾斜角為()A. B.0 C.鈍角 D.銳角答案C解析∵f'(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx)=excos,∴f'(3)=e3cos,又∵cos<0,∴f'(3)<0,∴切線的傾斜角為鈍角.6.曲線y=在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為()A.2x+y-1=0 B.2x-y-3=0C.2x-y+1=0 D.2x+y-3=0答案A解析因?yàn)閥'=,所以切線斜率k==-2,于是切線方程為y+1=-2(x-1),即2x+y-1=0.7.若函數(shù)f(x)滿意f(x)=x3-f'(1)·x2-x,則f'(1)的值為()A.0 B.2 C.1 D.-1答案A解析f'(x)=x2-2f'(1)x-1,所以f'(1)=1-2f'(1)-1,則f'(1)=0.8.函數(shù)y=lnx在x=e2處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為()A.e2 B.e2 C.2e2 D.e2答案B解析y'=,∴在x=e2處的切線斜率為k=,∴切線方程為y-2=(x-e2).令x=0,得y=1.令y=0,得x=-e2,∴所求三角形的面積為×1×e2=e2.9.已知函數(shù)f(x)=x-x2,若該函數(shù)圖像在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的傾斜角是圖像在點(diǎn)的切線的傾斜角的兩倍,則x0的值等于()A.3 B.-3 C.0 D.答案A解析f'(x)=x,所以圖像在點(diǎn)的切線的斜率k=,因此傾斜角為60°,從而圖像在點(diǎn)(x0,y0)處的切線的傾斜角應(yīng)為120°,斜率為-,于是x0=-,解得x0=3.10.函數(shù)y=(3x2+x+1)(2x+3)的導(dǎo)數(shù)是()A.(6x+1)(2x+3) B.2(6x+1)C.2(3x2+x+1) D.18x2+22x+5答案D解析∵y=(3x2+x+1)(2x+3)=6x3+11x2+5x+3,∴y'=18x2+22x+5.11.函數(shù)f(x)=x3+4x+5的圖像在x=1處的切線與圓x2+y2=50的位置關(guān)系為()A.相切B.相交但不過圓心C.過圓心D.相離答案B解析∵f(x)=x3+4x+5,∴f'(x)=3x2+4,∴f'(1)=7.當(dāng)x=1時(shí),f(1)=10,∴切線方程為y-10=7(x-1),即7x-y+3=0,∴圓心到切線的距離為d=,∴切線與圓相交但不過圓心.12.已知f'(x0)=,f(3)=2,f'(3)=-2,則的值是()A.4 B.6C.8 D.不存在答案C解析==-3=-3f'(3)+=-3f'(3)+2=8.二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為.

答案y=x+1解析設(shè)y=f(x),則f'(x)=2x-,所以f'(1)=2-1=1.所以曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為y-2=1×(x-1),即y=x+1.14.已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-lnx的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為.

答案1解析∵f(x)=ax-lnx,∴f'(x)=a-,f'(1)=a-1,f(1)=a,則切線l方程為y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,則l在y軸上的截距為1.15.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f'(0)的值為.

答案3解析∵f'(x)=(2x+3)ex,∴f'(0)=3.16.若曲線f(x)=x-2在點(diǎn)(a,a-2)(a>0)處的切線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3,則loa=.

答案2解析求導(dǎo)得f'(x)=-2x-3,所以在點(diǎn)(a,a-2)處的切線方程為y-a-2=-2a-3(x-a).令x=0,得y=3a-2;令y=0,得x=.所以切線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=×3a-2×a=3,解得a=,∴l(xiāng)oa=2.三、解答題(本大題共6小題,需寫出演算過程與文字說明,共70分)17.(本小題滿分10分)設(shè)t≠0,點(diǎn)P(t,0)是函數(shù)f(x)=x3+ax與g(x)=bx2+c的圖像的一個(gè)公共點(diǎn),兩函數(shù)的圖像在點(diǎn)P處有相同的切線.試用t表示a,b,c.解因?yàn)楹瘮?shù)f(x),g(x)的圖像都過點(diǎn)(t,0),所以f(t)=0,即t3+at=0.因?yàn)閠≠0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab.又因?yàn)閒(x),g(x)在點(diǎn)(t,0)處有相同的切線,所以f'(t)=g'(t).而f'(x)=3x2+a,g'(x)=2bx,所以3t2+a=2bt.將a=-t2代入上式得b=t.因此c=ab=-t3.故a=-t2,b=t,c=-t3.18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=xm+ax的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)=2x+1,求數(shù)列(n∈N+)的前n項(xiàng)和Sn.解∵f'(x)=mxm-1+a=2x+1,∴m=2,a=1,∴f(x)=x2+x,∴,∴Sn=1-+…+=1-.19.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+5的圖像在x=1處的切線方程為y=-12x,求f(x)的解析式.解f'(x)=12x2+2ax+b,∵y=f(x)在x=1處的切線方程為y=-12x,∴f'(1)=-12,f(1)=-12,∴解得a=-3,b=-18,∴f(x)=4x3-3x2-18x+5.20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+cx+d(a,c,d∈R)滿意f(0)=0,f'(1)=0,且f'(x)≥0在R上恒成立.(1)求a,c,d的值.(2)若h(x)=x2-bx+,解不等式f'(x)+h(x)<0.解(1)f'(x)=ax2-x+c,∵f(0)=0,f'(1)=0,∴從而f'(x)=ax2-x+-a.∵f'(x)≥0在R上恒成立,∴∴解得a=,c=,d=0.(2)由(1)知,f'(x)=x2-x+,∵h(yuǎn)(x)=x2-bx+,∴不等式f'(x)+h(x)<0化為x2-x+x2-bx+<0,即x2-x+<0,∴(x-b)<0,①若b>,則所求不等式的解集為;②若b=,則所求不等式的解集為?;③若b<,則所求不等式的解集為.綜上所述,當(dāng)b>時(shí),所求不等式的解集為;當(dāng)b=時(shí),所求不等式的解集為?;當(dāng)b<時(shí),所求不等式的解集為.21.(本小題滿分12分)函數(shù)f(x)=-a,x∈(0,+∞),a>0.設(shè)0<x1<,曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x1,f(x1))處的切線為l.(1)求l的方程.(2)設(shè)l與x軸交點(diǎn)是(x2,0),求證:①0<x2≤;②若x1<,則x1<x2≤.(1)解∵f(x)=-a,x∈(0,+∞),∴f'(x)=-.∵切線l過點(diǎn)M(x1,f(x1)),其中0<x1<,∴切線l的方程為y=-(x-x1)+-a,即y=--a.(2)證明①∵(x2,0)是l與x軸的交點(diǎn),∴--a=0,∴x2=x1(2-ax1).∵0<x1<,∴2>2-ax1>0,∴0<x1(2-ax1)=a-a,當(dāng)且僅當(dāng)x1=時(shí)取等號,∴0<x2≤.②∵0<x1<,∴1<2-ax1<2.由①知x2≤,且x2=x1(2-ax1),∴x1<x2≤.22.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)求證:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.解(1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3.當(dāng)x=2時(shí),y=.又f'(x)=a+,于是解得a=1,b=3,故f(x)=x-.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn).∵f'(x0