自動控制原理 課件 項目3 控制系統(tǒng)的時域分析法

項目三控制系統(tǒng)的時域分析法任務一典型響應及性能指標任務二一階和二階系統(tǒng)分析任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析任務四應用MATLAB進行時域分析任務一典型響應及性能指標任務一典型響應及性能指標對于一個控制系統(tǒng),穩(wěn)定性是系統(tǒng)正常工作的首要條件。在滿足穩(wěn)定性要求的前提下,系統(tǒng)還應具備較快的響應速度和較高的穩(wěn)態(tài)控制精度,即具備較好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。為了便于分析和設計,同時也為了便于對各種控制系統(tǒng)的性能進行比較,需要假定一些基本的輸入函數(shù)形式,稱為典型輸入信號。典型輸入信號一般應具備以下兩個條件。(1)具有一定的代表性,數(shù)學表達式簡單,便于數(shù)學分析和處理。(2)易于在實驗條件下獲得。一、典型輸入信號(一)單位階躍信號階躍信號是指瞬間突變,然后保持不變的信號,如圖其數(shù)學表達式為其拉氏變換為任務一典型響應及性能指標(二)單位加速度信號加速度信號也稱拋物線信號,是指由零值開始隨時間t以等加速度增長的信號,如圖其數(shù)學表達式為其拉氏變換為任務一典型響應及性能指標(三)單位斜坡信號斜坡信號是指由零值開始隨時間t線性增長的信號,如圖其數(shù)學表達式為其拉氏變換為任務一典型響應及性能指標(四)單位脈沖信號脈沖信號是一個持續(xù)時間很短的信號,如圖其數(shù)學表達式為當H=1時,記為δε(t)。若令ε→0,則稱其為單位理想脈沖函數(shù)。其拉氏變換為任務一典型響應及性能指標(五)正弦信號正弦信號是一種周期性變化的信號,如圖其一般表達式為其拉氏變換為任務一典型響應及性能指標在典型輸入信號的作用下,任何一個控制系統(tǒng)的時間響應都是由動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程兩部分組成的。(1)動態(tài)過程動態(tài)過程也稱瞬態(tài)過程,是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下,系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應過程。(2)穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)過程是指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下,當t趨于無窮時,系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。穩(wěn)定的系統(tǒng)才會有穩(wěn)態(tài)過程。二、階躍響應的性能指標(一)動態(tài)過程與穩(wěn)態(tài)過程任務一典型響應及性能指標任務一典型響應及性能指標控制系統(tǒng)的典型階躍響應曲線與動態(tài)性能指標,如圖(二)動態(tài)性能指標(1)上升時間tr:響應曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值所需的時間。上升時間越短,響應速度越快。(2)峰值時間tp:響應曲線達到第一個峰值所需要的時間。(3)調(diào)節(jié)時間ts:響應曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%或±2%范圍內(nèi)所需的最短時間。(4)超調(diào)量σ%:指輸出的最大值c(tp)超出穩(wěn)態(tài)值c(∞)的百分比,即任務一典型響應及性能指標(三)穩(wěn)態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)性能指標表征系統(tǒng)的輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度,可用穩(wěn)態(tài)誤差ess

來描述。穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)的期望值與實際穩(wěn)態(tài)值之間的差值。其定義為:當t→∞時,系統(tǒng)輸入量r(t)與反饋量b(t)之間的差值,即穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號或抑制擾動的能力,ess越小,說明系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度越高。任務二一階和二階系統(tǒng)分析任務二一階和二階系統(tǒng)分析一、一階系統(tǒng)分析(一)一階系統(tǒng)的數(shù)學模型及其響應凡以一階微分方程作為數(shù)學模型的控制系統(tǒng),稱為一階系統(tǒng)。在實際工程控制中,一階系統(tǒng)常用來近似表征某些高階系統(tǒng)的特性。1.一階系統(tǒng)的數(shù)學模型一階系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖所示。一階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標準形式為2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的響應稱為單位階躍響應。設輸入信號r(t)=1(t),其拉氏變換為此式作用于一階系統(tǒng)時,輸出量的拉氏變換為可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應為由此可知,一階系統(tǒng)的單位階躍響應是一條初始值為零,按指數(shù)規(guī)律上升到1的曲線，如右圖。任務二一階和二階系統(tǒng)分析3.一階系統(tǒng)的單位斜坡響應系統(tǒng)在單位斜坡信號作用下的輸出響應為單位斜坡響應。設輸入信號為r(t)=t,其拉氏變換為此式作用于一階系統(tǒng)時,輸出量的拉氏變換為可得一階系統(tǒng)的單位斜坡響應為一階系統(tǒng)的單位斜坡響應曲線如右圖。任務二一階和二階系統(tǒng)分析任務二一階和二階系統(tǒng)分析對于一階系統(tǒng)來講,單位階躍響應主要取決于時間常數(shù)T,因此可以用T來衡量系統(tǒng)輸出量的值。一階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標為(二)一階系統(tǒng)的性能指標在單位階躍信號的作用下,一階系統(tǒng)輸出的最終穩(wěn)態(tài)值c(∞)=1,而輸入期望值為1,因此穩(wěn)態(tài)誤差ess=0?！纠恳浑A系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如下圖所示。其中K為放大系數(shù),H為反饋系數(shù)。(1)設K=100,H=0.5,試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間ts(按±5%誤差);(2)設K=100,如果要求ts=0.1s,則可求反饋系數(shù)H。任務二一階和二階系統(tǒng)分析解：(1)由動態(tài)結構圖可知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為(2)當K=100時,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為因此T=0.02,調(diào)節(jié)時間ts=3T=0.06s(按±5%誤差)。由于ts=3T=0.03/H=0.1s,故反饋系數(shù)H=0.3。任務二一階和二階系統(tǒng)分析任務二一階和二階系統(tǒng)分析二、二階系統(tǒng)分析(一)二階系統(tǒng)的數(shù)學模型及其單位階躍響應以二階微分方程作為數(shù)學模型的控制系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。在工程實踐中,很多高階系統(tǒng)的特性在一定條件下也可以用二階系統(tǒng)的特性來表征。1.二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如右圖所示。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為任務二一階和二階系統(tǒng)分析2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應二階系統(tǒng)在單位階躍信號r(t

)=1(t

)作用下,輸出的拉氏變換為對于二階系統(tǒng)來講,其特征方程為解之得系統(tǒng)的特征根(閉環(huán)極點)為(1)ξ<0(負阻尼)(2)ξ=0(無阻尼)(3)0<ξ<1(欠阻尼)(4)ξ=1(臨界阻尼)(5)ξ>1(過阻尼)(二)二階系統(tǒng)的性能指標下面主要針對欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)過程進行分析,其單位階躍響應曲線參見書中圖3-6。若欠阻尼二階系統(tǒng)一對共軛復根之間的關系如圖由圖可得任務二一階和二階系統(tǒng)分析則欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應可寫為1.上升時間tr2.峰值時間tp3.超調(diào)量σ%4.調(diào)節(jié)時間ts當輸入為單位斜坡信號時,即R(s)=1/s2,得5.穩(wěn)態(tài)誤差ess當輸入為單位階躍信號時,即R(s)=1s,得任務二一階和二階系統(tǒng)分析【例】已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)分別求當參數(shù)K=4、K=2時,系統(tǒng)的單位階躍響應和性能指標σ%和ts。解：(1)當K=4時,閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)?？傻媒庵忙豱=2,ξ=0.75<1,系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。超調(diào)量為調(diào)節(jié)時間為任務二一階和二階系統(tǒng)分析(2)當K=2時,閉環(huán)傳遞函數(shù)為Φ(s)?？傻忙豱=2,ξ=1.06>1,系統(tǒng)為過阻尼狀態(tài)。單位階躍響應:超調(diào)量為調(diào)節(jié)時間為系統(tǒng)的時域響應曲線如右圖。任務二一階和二階系統(tǒng)分析任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析設一線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài),若它瞬間受到某一擾動作用而偏離了原來的平衡狀態(tài),當此擾動撤消后,系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài),則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?；诜€(wěn)定性研究的問題是去除擾動作用后系統(tǒng)的運動情況,它與系統(tǒng)的輸入信號無關,只取決于系統(tǒng)本身的特征,因而可用系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)來描述。由于單位脈沖函數(shù)的拉氏反變換等于1,所以系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)就是系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的拉氏反變換。一、系統(tǒng)穩(wěn)定性分析(一)穩(wěn)定的數(shù)學條件及定義系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為:系統(tǒng)所有特征根的實部小于零,即其特征方程的根都在s平面的左半平面。任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析勞斯穩(wěn)定判據(jù)是指,根據(jù)閉環(huán)特征方程式的各項系數(shù),按一定的規(guī)則排列成所謂的勞斯表,然后根據(jù)表中第一列系數(shù)正、負符號的變化情況來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(二)勞斯穩(wěn)定判據(jù)設系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為根據(jù)特征方程的各項系數(shù)排列成的勞斯表如右表。任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析上表中勞斯穩(wěn)定判據(jù)為：若特征方程的各項系數(shù)都大于零(必要條件),且勞斯表中第一列元素均為正值,則所有的特征根均位于s左半平面,相應的系統(tǒng)是穩(wěn)定的;否則,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,且第一列元素符號改變的次數(shù)等于該特征方程的正實部根的個數(shù)?！纠吭O系統(tǒng)的特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0,試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：該系統(tǒng)勞斯表如表所示。任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析由于勞斯表中第一列元素的符號改變了兩次,說明系統(tǒng)有兩個正實部根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析【例】設系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為要使系統(tǒng)穩(wěn)定,試確定放大倍數(shù)K的取值范圍。解：系統(tǒng)的特征方程為s3+14s2+40s+40K=0,其勞斯表如右表所示。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是則系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是：0<K<14任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析如果無論怎樣調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù),也無法使其穩(wěn)定,則稱這類系統(tǒng)為結構性不穩(wěn)定系統(tǒng)，如圖所示。(三)結構不穩(wěn)定問題其閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為根據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù),由于特征方程中s一次項的系數(shù)為零,故無論K取何值,該方程總是有根不在s左半平面,即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。解決這個問題的辦法一般有兩種。1.改變積分環(huán)節(jié)的性質2.加入比例微分環(huán)節(jié)任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析在工程上系統(tǒng)誤差一般定義為期望值與實際值的差值,即e(t

)

=

r(t

)-c(t

)通常情況下,系統(tǒng)的輸入量和輸出量分別是不同的物理量,控制系統(tǒng)的典型結構圖,如圖所示。二、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析(一)誤差與穩(wěn)態(tài)誤差任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析當考慮給定信號R(s)作用時,設擾動信號D(s)=0。(二)給定信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算由上圖可得誤差函數(shù)的拉氏變換為根據(jù)終值定理得任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析1.階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)和Ⅰ型系統(tǒng)的階躍響應曲線,如圖所示。階躍輸入信號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為其中任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析2.斜坡輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)的斜坡響應曲線如圖所示。斜坡輸入信號輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為其中任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析當考慮擾動信號D(s)作用時,設R(s)=0,系統(tǒng)結構圖如下圖。(三)擾動信號作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計算擾動信號引起的誤差用ed(t)來表示,其拉氏變換為根據(jù)終值定理，系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析【例】設系統(tǒng)結構圖如下圖所示,又設r(t

)=2t,d(t

)=0.5·1(t

),求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析該系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng),K=20。因此,當R(s)=2/s2時,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為當D(s)=0.5/s時,系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析只有一個反饋回路,存在穩(wěn)態(tài)誤差的調(diào)速系統(tǒng)稱為單閉環(huán)有靜差調(diào)速系統(tǒng),其原理圖如圖所示。該系統(tǒng)由轉速調(diào)節(jié)器、晶閘管整流器、直流電動機和測速發(fā)電機組成。三、單閉環(huán)有靜差調(diào)速系統(tǒng)示例對應的動態(tài)結構圖如下圖所示。任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)結構圖,可知前向通道傳遞函數(shù)為任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析開環(huán)傳遞函數(shù)為根據(jù)系統(tǒng)的動態(tài)結構圖,可知反饋通道傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析設系統(tǒng)的參數(shù)為Ta=0.03s,Tm=0.02s,Ks=40,Ra=0.5Ω,Ce=0.132V/rpm,

Ksf=0.07,Ts=0.00167s。將參數(shù)代入閉環(huán)傳遞函數(shù)表達式,可得(1)動態(tài)性能分析對照二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)表達式,有調(diào)節(jié)時間為任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析系統(tǒng)的動態(tài)結構圖可簡化,簡化后系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖所示。(2)穩(wěn)態(tài)性能分析在給定信號作用時,設IL(s)=0，穩(wěn)態(tài)誤差為將各參數(shù)值代入,得取Kp=0.11,則essr=0.3。任務三系統(tǒng)穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差分析在擾動信號IL(s)作用時,根據(jù)擾動作用下的誤差傳遞函數(shù),可以求得穩(wěn)態(tài)誤差為將各參數(shù)代入上式,其中取Kp=0.11可得系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為任務四應用MATLAB進行時域分析如果給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=num/den,則其時域響應可以由以下函數(shù)得到：單位階躍響應：step(num,den)或y=step(num,den,t)單位脈沖響應：impulse(num,den)或y=impulse(num,den,t)一般輸入響應：y=lsim(num,den,u,t)一、系統(tǒng)輸出響應【例】系統(tǒng)結構圖如圖所示,試用MATLAB畫出系統(tǒng)單位階躍響應曲線。任務四應用MATLAB處理控制系統(tǒng)數(shù)學模型解：鍵入如下程序代碼sys1=tf([100],[10]);sys2=tf([0.1],[1]);sys=feedback(sys1,sys2);step(sys)單位階躍響應曲線如右