數(shù)學(xué)中類比學(xué)習(xí)法案例及其需要注意的問題

數(shù)學(xué)中類比學(xué)習(xí)法案例及其需要注意的問題摘要：類比在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中有著極其重要的作用，巧用類比學(xué)習(xí)可以加深對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和記憶，不僅如此，類比還有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的作用，多用于猜想和發(fā)現(xiàn)新命題。但類比也應(yīng)該注意類比的對(duì)象、方向、技巧和范圍。文章從新課改下的高中數(shù)學(xué)出發(fā)，以人教版A版數(shù)學(xué)教材為依托，論述了類比學(xué)習(xí)法的幾個(gè)經(jīng)典案例和類比時(shí)需要注意的幾個(gè)問題。關(guān)鍵詞：類比；反思；猜想；案例數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)，有著極其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓?、科學(xué)性、系統(tǒng)性。數(shù)學(xué)知識(shí)呈現(xiàn)出一定的相似性，如果能在不同的知識(shí)間建立一個(gè)強(qiáng)大的網(wǎng)絡(luò)體系，用知識(shí)間的相似性掌握不同的知識(shí)，將對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有重要的作用，這期間的方法就是類比。巧用類比能夠幫助我們理解超越一般思維的知識(shí)，會(huì)對(duì)未知世界作出重要的預(yù)測(cè)。所謂的類比就是通過對(duì)兩個(gè)研究對(duì)象的比較，根據(jù)它們?cè)谀承┓矫妫▽傩?、關(guān)系、特征、形式等）的相同或相似之處，推斷它們?cè)谄渌矫娴南嗤蛳嗨浦幍囊环N推理方法；也可以將類比理解為根據(jù)兩個(gè)對(duì)象具有某些相同的屬性而推出當(dāng)其中一個(gè)對(duì)象具有一個(gè)性質(zhì)時(shí)，另一對(duì)象也具有同樣的或者相似的性質(zhì)的一種推理方法。用波利亞的話來說就是，“類比是某種類型的相似性，我們可以說它是一種要確定的和更概念性的相似?！薄景咐弧恐悬c(diǎn)坐標(biāo)公式1維時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式軸上有兩個(gè)點(diǎn)，則它們的中點(diǎn)是。如1和3在數(shù)軸上的中點(diǎn)是2，算法是。2維時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：、，則它們的中點(diǎn)的算法是，。3維時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式在空間直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：、，則它們的中點(diǎn)的算法是，，?！痉此肌恐悬c(diǎn)坐標(biāo)公式在3個(gè)維度中的形式都一樣，即中點(diǎn)的坐標(biāo)都是兩端點(diǎn)“坐標(biāo)值”的算術(shù)平均值?；诖?，可以類比猜想更高維度的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。【類比】維時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式在維坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：、，則它們的中點(diǎn)的算法是。A【案例二】中點(diǎn)公式的向量形式A2維時(shí)線段中點(diǎn)公式（平面向量的中點(diǎn)公式）如圖1，在中，是邊上的中點(diǎn)，則有DBC【證明】是的中點(diǎn)，，DBC圖1又，圖1AC.AC【類比】3維時(shí)線段中點(diǎn)公式（空間向量的中點(diǎn)公式）如圖2，在三棱錐中，點(diǎn)是面的重心，則有EBEBDF【證明】連接并延長(zhǎng)交于，DF是三角形的重心，圖2是的中點(diǎn)，由前可知，圖2又，，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)平面內(nèi)的一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)滿足：點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)在直線上，且直線與直線相互垂直。點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)空間中的一點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)滿足：點(diǎn)和點(diǎn)的中點(diǎn)在平面內(nèi)，且直線與直線相互垂直。直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線平面內(nèi)的一條直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線滿足：如果∥，那么在的另一側(cè)，且∥，到的距離等于到的距離；如果，那么也過點(diǎn)，且與的夾角等于與的夾角。直線關(guān)于平面的對(duì)稱直線空間中的任意一條直線關(guān)于平面的對(duì)稱直線滿足：如果∥，那么在的另一側(cè)，且∥，與確定的平面垂直于平面，到的距離等于到的距離；如果，那么也過點(diǎn)，且與所確定的平面垂直于平面，與的夾角等于與的夾角；特別地，如果，那么關(guān)于平面的對(duì)稱直線依然是。平面關(guān)于平面的對(duì)稱平面空間中的任意一個(gè)平面關(guān)于平面的對(duì)稱平面滿足：如果∥，那么在的另一側(cè)，且∥，到的距離等于到的距離；如果，那么也過直線，且與的夾角等于與的夾角；特別地，如果，那么關(guān)于平面的對(duì)稱平面依然是。平面幾何圖形關(guān)于直線的對(duì)稱圖形平面幾何圖形關(guān)于直線的對(duì)稱圖形滿足：和全等，和在直線的兩側(cè)，且上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在上。10、空間幾何體關(guān)于平面的對(duì)稱幾何體空間幾何體關(guān)于平面的對(duì)稱幾何體滿足：和全等，和在平面的兩側(cè)，且上任意一點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)在上?！景咐濉糠匠膛c方程組思想函數(shù)求解析式問題例（1）已知，求。（2）已知，求?！痉此肌恳陨蟽蓚€(gè)求函數(shù)解析式的問題，都是只給了一個(gè)式子，式子中出現(xiàn)了兩個(gè)不同的函數(shù)值，其中兩個(gè)自變量要么互為倒數(shù)，要么互為相反數(shù)。此時(shí)，可以分別在題目所給式子中以和代換，就會(huì)分別再產(chǎn)生一個(gè)式子，將新得的式子和原式聯(lián)立成方程組，分別將和、和看成是方程組的兩個(gè)未知量，利用解方程組的辦法就可以將的解析式求出。向量求坐標(biāo)問題例（2013常州期末調(diào)研）已知向量，滿足，，則向量，的夾角的大小為。【解析】設(shè)，，則，，同理得：，解得：，，，故、的夾角為?！痉此肌客茝V的方程組思想方程和方程組的思想是一種很重要的思想，方程（組）中的未知數(shù)可以是一些字母，也可以是其他的一些未知量，如函數(shù)、向量等，如上面的例題還可以如下求解?！玖斫狻繉⒑涂闯墒莾蓚€(gè)未知量，聯(lián)立和的方程組得：，將第二式乘以2和第一式相加得，，，代入第二式得，于是，故、的夾角為。關(guān)于方程的復(fù)數(shù)根例（2012湖北高考題）方程的一個(gè)根是（）【反思】關(guān)于此方程根的求解可以直接用公式，利用解決，也可以通過配方，還可以設(shè)出復(fù)數(shù)形式的根后直接帶入求解，甚至可以直接代入答案進(jìn)行驗(yàn)證，總之，都是體現(xiàn)了方程的思想?！拘枰⒁獾膯栴}】雖然類比能給我們指明探究問題的方向和思路，甚至能引出一些新的成果，但類比也不是萬能的，類比失敗的例子比比皆是。運(yùn)用類比的時(shí)候必須要明確類比的對(duì)象、確定類比的方向、把握類比的技巧、注意類比的范圍等。一、明確類比的對(duì)象類比需要注意的首要問題是類比的對(duì)象，如一維和二維的類比，低維和高維的類比，中點(diǎn)和重心的類比，面積和體積的類比，平面和空間的類比等。對(duì)象不明的類比是盲目的，甚至是錯(cuò)誤的，如將三角形的面積和三棱錐的側(cè)面積類比就不大合適，公式也沒有可借鑒性和推廣性，但換作將三角形的面積和三棱錐的體積進(jìn)行類比，就大有意義。三角形的面積公式為：（是邊上的高），三棱錐的體積公式為：（是面積所對(duì)應(yīng)的高）。此處2維的三角形和3維的三棱錐進(jìn)行了類比，2維的邊長(zhǎng)和3維的面積進(jìn)行了類比，2維的面積和3維的體積進(jìn)行了類比，2維公式中的和3維公式中的進(jìn)行了類比，對(duì)象明確，類比正確。倘若類比對(duì)象有誤，那類比的結(jié)果也會(huì)有誤，如向量模的平方與向量自身的平方相等，但復(fù)數(shù)不然，即，，但，，所以不能將向量和復(fù)數(shù)進(jìn)行類比。二、確定類比的方向類比的對(duì)象明確之后，就要確定類比的方向，是縱向的類比還是橫向的類比，是計(jì)算的類比還是方法的類比。如2維中直角三角形的三條邊長(zhǎng)滿足勾股定理：（、是直角邊，是斜邊），類比2維中的直角三角形，3維中有類似的結(jié)論：在從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩相互垂直的三棱錐中，（分別是三個(gè)側(cè)面的直角三角形的面積，是斜三角形的面積）。此處類比對(duì)象明確之后，就是計(jì)算的類比，是2維中的平方類比3維中的立方呢還是類比3維中的平方呢，這需要通過特例的計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證，最后類比為一般情形時(shí)要做嚴(yán)格的證明。方法類比的例子也很多，比如復(fù)數(shù)除法運(yùn)算中的分母實(shí)數(shù)化，類比實(shí)數(shù)除法運(yùn)算中的分母有理化等。三、把握類比的技巧數(shù)學(xué)中的類比是講求技巧的，有的時(shí)候類比是手到擒來，順藤摸瓜，也就是我們通常所說的同理，但有的時(shí)候類比是不好把握的，需要找到一些關(guān)鍵點(diǎn)，這就需要我們具有敏銳的觀察能力和分析能力，也就是所謂的類比技巧。如在證明式子的時(shí)候，可類比求和的時(shí)候?qū)⑼?xiàng)裂項(xiàng)為進(jìn)而求和，此時(shí)可以考慮將待證式子左邊的通項(xiàng)進(jìn)行裂項(xiàng)，但由于分子是一個(gè)定值，于是對(duì)分子這個(gè)定值需要改寫，故，這樣類比之后原式是很容易得證的。四、注意類比的范圍恰當(dāng)運(yùn)用類比可以得到很多的結(jié)論，提出很多的猜想，但類比必須注意范圍，在新的對(duì)象中，類比的結(jié)果一定要做出范圍的限制或延伸，不注意范圍的類比是一種霧里花、水中月，明明有一點(diǎn)結(jié)果，但就是不能實(shí)際而廣泛的應(yīng)用。如將等差數(shù)列和等比數(shù)列類比時(shí)，等差數(shù)列有性質(zhì)“若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則、、成等差數(shù)列”，誤以為等比數(shù)列的前項(xiàng)和也有類似的性質(zhì)。事實(shí)上，、、未必成等比數(shù)列，例如，當(dāng)公比且為偶數(shù)時(shí)，、、不成等比數(shù)列；但當(dāng)或?yàn)槠鏀?shù)時(shí)，、、仍成等比數(shù)列，所以我們?cè)陬惐鹊臅r(shí)候有必要對(duì)公比或者項(xiàng)數(shù)做一限制。參考文獻(xiàn):[1]葉立軍.關(guān)于實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)問題及對(duì)策[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2004(2).[2]江文匯.關(guān)于高中數(shù)學(xué)必修模塊教學(xué)順序的建議[J].內(nèi)蒙古教育.2011(2).[3]張奠宙.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)論[M].南京：江蘇教育出版社，1994.[4]丁爾升.現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程論[M].南京：江蘇教育出版社，1997,270.[5]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].成都：四川教育出版社，2001．[6]教育部.普通高中