九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)滬科版第24章 圓 專項(xiàng)整合提升密碼

專訓(xùn)1圓中常見的計(jì)算題型

名師點(diǎn)金：與圓有關(guān)的計(jì)算主要涉及圓與其他幾何圖形結(jié)合，利用圓周角定

理求角度，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形并結(jié)合勾股定理，已知弦長、弦心距、

半徑三個(gè)量中的任意兩個(gè)量時(shí)，可求出第三個(gè)量，利用弧長、扇形面積公式計(jì)算

弧長、扇形面積等.

灌虎士有關(guān)角度的計(jì)算

1.如圖，是AABC的內(nèi)切圓，D,E,F為三個(gè)切點(diǎn).若NDEF=52。,

則NA的度數(shù)為（）

A.76°B.68°C.52°

（第2題）

2.如圖，有一圓經(jīng)過aABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且弦BC的中垂線與R相交于D

點(diǎn).若NB=74。，ZC=46°,則e）所對(duì)圓心角的度數(shù)為（）

A.23°B.28°C.30°D.37°

3.（中考?婁底）如圖，在。O中，AB,CD是直徑，BE是切線，B為切點(diǎn)，

連接AD,BC,BD.

（1）求證：△ABDgZMZDB；

（2）若NDBE=37。，求NADC的度數(shù).

半徑'弦長的計(jì)算

4.（中考?南京）如圖，在。。中，CD是直徑，弦ABLCD,垂足為E,連接

BC,若AB=26cm,ZBCD=22°30\則。O的半徑為

（第4題）

BD

（第5題）

5.如圖，AB為。O的直徑，延長AB至點(diǎn)D,使BD=OB,DC切。。于

點(diǎn)C,點(diǎn)B是0的中點(diǎn)，弦CF交AB于點(diǎn)E.若。O的半徑為2,則CF=.

6.如圖，在。。中，直徑AB與弦AC的夾角為30。，過點(diǎn)C作。O的切線

交AB的延長線于點(diǎn)D,OD=30cm.求直徑AB的長.

IBD

（第6題）

遮矍3面積的計(jì)算

7.（中考?麗水）如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O分別與

BC,AC交于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作。O的切線DF,交AC于點(diǎn)F.

⑴求證：DF±AC；

（2）若的半徑為4,ZCDF=22.5°,求陰影部分的面積.

BDC

（第7題）

專訓(xùn)2圓中常用的作輔助線的方法

名師點(diǎn)金：在解決有關(guān)圓的計(jì)算或證明題時(shí)，往往需要添加輔助線，根據(jù)題

目特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)妮o助線至關(guān)重要.圓中常用的輔助線作法有：作半徑，巧用同

圓的半徑相等；連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等；作直徑，巧用直徑

所對(duì)的圓周角是直角；證切線時(shí)“連半徑，證垂直”以及“作垂直，證半徑”等.

迸隆至作半徑，巧用同圓的半徑相等

1.如圖，兩正方形彼此相鄰，且大正方形ABCD的頂點(diǎn)A,D在半圓0上,

頂點(diǎn)B,C在半圓。的直徑上；小正方形BEFG的頂點(diǎn)F在半圓0上，E點(diǎn)在

半圓0的直徑上，點(diǎn)G在大正方形的邊AB上.若小正方形的邊長為4cm,求

該半圓的半徑.

方腺2連接圓上兩點(diǎn)，巧用同弧所對(duì)的圓周角相等

2.如圖，圓內(nèi)接三角形ABC的外角NACM的平分線與圓交于D點(diǎn),

DPXAC,垂足是P,DHXBM,垂足為H,求證：AP=BH.

■:分旗3作直徑，巧用直徑所對(duì)的圓周角是直角

3.如圖，的半徑為R,弦AB,CD互相垂直，連接AD,BC.

⑴求證：AD2+BC2=4R2；

(2)若弦AD,BC的長是方程x?—6x+5=0的兩個(gè)根(AD>BC),求。0的半

徑及點(diǎn)0到AD的距離.

(第3題)

方腺4證切線時(shí)輔助線作法的應(yīng)用

4.如圖，4ABC內(nèi)接于。O,CA=CB,CD//AB且與0A的延長線交于

點(diǎn)D.判斷CD與。0的位置關(guān)系，并說明理由.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782105】

（第4題）

：亥碳§遇弦加弦心距或半徑

5.如圖，在半徑為5的。。中，AB,CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P,

且AB=CD=8,則OP的長為（）

A.3B.4C.3^2D.4巾

（第5題）

（第6題）

6.（中考?貴港）如圖，AB是。O的弦，OHLAB于點(diǎn)H,點(diǎn)P是優(yōu)弧上一

點(diǎn)，若AB=24，OH=1,則NAPB=.

亥鑫&遇直徑巧作直徑所對(duì)的圓周角

7.如圖，在AABC中，AB=BC=2,以AB為直徑的。O分別交BC,AC

于點(diǎn)D,E,且點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).

（1）求證：AABC為等邊三角形.

（2）求DE的長.

A

---------C

（第7題）

::亥誨二遇切線巧作過切點(diǎn)的半徑

8.如圖，。0是^aABC的外接圓，NABC=90。，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA

切。。于點(diǎn)A,且PA=PB.

（1）求證：PB是。。的切線；

（2）已知PA=/,ZACB=60°,求。。的半徑.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782106】

（第8題）

:;亥碳旦巧添輔助線計(jì)算陰影部分的面積

9.（中考咱貢）如圖，點(diǎn)B,C,D都在。。上，過點(diǎn)C作AC〃BD交OB

的延長線于點(diǎn)A,連接CD,且NCDB=NOBD=30。，DB=6小cm.

（1）求證：AC是。0的切線；

（2）求由弦CD,BD與貢:所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留力.【導(dǎo)學(xué)號(hào):

31782107]

（第9題）

專訓(xùn)3圓的實(shí)際應(yīng)用

名師點(diǎn)金：與圓有關(guān)的知識(shí)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，從實(shí)際生活中抽

象出數(shù)學(xué)問題，并運(yùn)用圓的相關(guān)知識(shí)解決這些問題，可以達(dá)到學(xué)以致用的目的.

0煤噴度L利用垂徑定理解決臺(tái)風(fēng)問題

1.如圖，臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)P,并沿東北方向PQ移動(dòng)，已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度

為30km/h,受影響區(qū)域的半徑為200km,B市位于點(diǎn)P北偏東75。的方向上，

距離P點(diǎn)320km處.

（1）試說明臺(tái)風(fēng)是否會(huì)影響B(tài)市；

（2）若B市受臺(tái)風(fēng)的影響，求臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間.

網(wǎng)根留度2利用圓周角知識(shí)解決足球射門問題（轉(zhuǎn)化思想）

2.如圖，在“世界杯”足球比賽中，隊(duì)員甲帶球向?qū)Ψ角蜷TPQ進(jìn)攻，當(dāng)

他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴隊(duì)員乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)，現(xiàn)有兩種射門方式：一是

由隊(duì)員甲直接射門；二是隊(duì)員甲將球迅速傳給隊(duì)員乙，由隊(duì)員乙射門.

從射門角度考慮，你認(rèn)為選擇哪種射門方式較好？為什么？

（第2題）

;明娓通鹿至利用直線與圓的位置關(guān)系解決范圍問題

3.已知A,B兩地相距1版.要在A,B兩地之間修建一條筆直的水渠（即圖

中的線段AB）,經(jīng)測(cè)量在A地的北偏東60。方向，B地的北偏西45。方向的C處

有一個(gè)以C為圓心，350機(jī)為半徑的圓形公園，則修建的這條水渠會(huì)不會(huì)穿過公

園？為什么？

北

東

C

（第3題）

涌養(yǎng)通度土利用圓錐側(cè)面展開圖解決材料最省問題

4.如圖，某工廠要選一塊矩形鐵皮加工成一個(gè)底面半徑為20cm,高為4072

c機(jī)的圓錐形漏斗，要求只能有一條接縫(接縫忽略不計(jì))，請(qǐng)問：選長、寬分別為

多少厘米的矩形鐵皮，才能使所用材料最省？

(第4題)

專訓(xùn)4與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)問題

名師點(diǎn)金：對(duì)于與圓有關(guān)的運(yùn)動(dòng)情形下的幾何問題，在探究求值問題時(shí)，通

常應(yīng)對(duì)運(yùn)動(dòng)過程中所有可能出現(xiàn)的不同情形進(jìn)行分析，如果符合某些條件的點(diǎn)、

線等幾何圖形不唯一，要注意分類討論，在探究確定結(jié)論成立情況下的已知條件

時(shí)，可以把確定結(jié)論當(dāng)作已知用.

遜魔通度;利用圓探究運(yùn)動(dòng)中形成的特殊幾何圖形問題

1.如圖，AB是半圓O的直徑，BC是弦，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿AB向點(diǎn)B

以lcm/s的速度移動(dòng)，若AB長為10c加點(diǎn)O到BC的距離為4cM

(1)求弦BC的長；

(2)經(jīng)過幾秒ABPC是等腰三角形？(PB不能為底邊)

C

AOB

(第1題)

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為圓心，2為半徑畫。O,P

是。。上一動(dòng)點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作。。的切線與x軸相交于點(diǎn)A,

與y軸相交于點(diǎn)B.

(1)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB的長度也在發(fā)生變化，請(qǐng)寫出線段AB長度的最

小值，并說明理由；

(2)在。。上是否存在一點(diǎn)Q,使得以Q,O,A,P為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（第2題）

涌彝通廢2：利用圓探究運(yùn)動(dòng)中的特殊位置關(guān)系問題

3.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃:BC,ZABC=90°,AB=12cm,AD

=8cm,BC=22cm,AB為。。的直徑，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以

1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，P,

Q分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā).當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止

運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與。0相切？

（第3題）

潮彝通鹿壬利用圓探究運(yùn)動(dòng)中的面積問題

4.如圖，在。。中，AB為。。的直徑，AC是弦，0C=4,ZOAC=60°.

（1）求NAOC的度數(shù)；

（2）如圖，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在。。上按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)SAMAO=

SACAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：317821081

（第4題）

專訓(xùn)5圓與學(xué)科內(nèi)的綜合應(yīng)用

名師點(diǎn)金：圓的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是歷年中考命題的熱點(diǎn)，在

中考中常常與三角函數(shù)、相似、二次函數(shù)等結(jié)合，作為壓軸題出現(xiàn).

:陵圖工圓與三角函數(shù)的綜合

1.(中考?遂寧)如圖，AB為。。的直徑，直線CD切。。于點(diǎn)D,AM±CD

于點(diǎn)M,BNLCD于點(diǎn)N.

(1)求證：ZADC=ZABD；

(2)求證：AD2=AMAB；

1Q3

(3)若AM=5，sinZABD=^,求線段BN的長.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782109】

0啰N圓與相似的綜合

2.如圖，R/^ABC內(nèi)接于。O,NACB=90。，點(diǎn)P在弧AB上移動(dòng)，P,C

分別位于AB的異側(cè)(P不與A,B重合)，APCD也為直角三角形，ZPCD=90°,

且用APCD的斜邊PD經(jīng)過點(diǎn)B,BA,PC相交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)BA平分NPBC時(shí)，求罌的值；

(2)已知AC=1,BC=2,求APCD面積的最大值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782110】

(第2題)

遨用受圓與二次函數(shù)的綜合

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA與x軸相交于C(—2,0),D(—8,0)

兩點(diǎn)，與y軸相切于點(diǎn)B(0,4).

(1)求經(jīng)過B,C,D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E,證明：直線CE與。A相切.

(3)在x軸下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)F,使△BDF面積最大，最大值

是多少？并求出點(diǎn)F的坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31782111】

（第3題）

專訓(xùn)6：全章熱門考點(diǎn)整合應(yīng)用

名師點(diǎn)金：圓的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，也是歷年中考命題的熱點(diǎn).本

章題型廣泛，主要考查旋轉(zhuǎn)、圓的概念和基本性質(zhì)、圓周角定理及其推論、直線

與圓的位置關(guān)系、切線的性質(zhì)和判定、正多邊形與圓的計(jì)算和證明等，通常以這

些知識(shí)為載體，與函數(shù)、方程等知識(shí)綜合考查.全章熱門考點(diǎn)可概括為：三個(gè)概

念、三個(gè)定理、三個(gè)關(guān)系、兩個(gè)圓與三角形、三個(gè)公式、三個(gè)技巧、兩種思想.

三個(gè)概念

概念1：旋轉(zhuǎn)

1.如圖，將一個(gè)鈍角三角形ABC（其中NABC=120。）繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)得△AiBCi,使得點(diǎn)C落在AB的延長線上的點(diǎn)Ci處，連接AAi.

（1）求出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；

（2）求證：ZAiAC=ZCi.

概念2：中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）

概念3：圓的相關(guān)概念

3.下列說法正確的是（）

A.直徑是弦，弦也是直徑

B.半圓是弧，弧是半圓

C.無論過圓內(nèi)哪一點(diǎn)，只能作一條直徑

D.在同圓或等圓中，直徑的長度是半徑的2倍

常理Z三個(gè)定理

定理1:垂徑定理

4.(中考?北京)如圖，AB是。0的直徑，過點(diǎn)B作。0的切線BM,弦

CD〃:BM,交AB于點(diǎn)F,且a=正，連接AC,AD,延長AD交BM于點(diǎn)E.

(1)求證：4ACD是等邊三角形；

(2)連接0E,若DE=2,求0E的長.

(第4題)

定理2：圓心角、弦、弧間的關(guān)系定理

5.如圖，AB是。0的直徑，點(diǎn)C在。。上，ZAOC=40°,D是阮的中點(diǎn),

求NACD的度數(shù).

(第5題)

定理3：圓周角定理

6.如圖，已知AB是。0的弦，0B=2,ZB=30°,C是弦AB上任意一

點(diǎn)(不與點(diǎn)A,B重合)，連接CO并延長CO交。。于點(diǎn)D,連接AD.

(1)弦長AB等于(結(jié)果保留根號(hào)).

(2)當(dāng)ND=20。時(shí)，求NBOD的度數(shù).

(3)當(dāng)AC的長度為多少時(shí)，以點(diǎn)A,C,D為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)B,C,0

為頂點(diǎn)的三角形相似？

D

'o

(第6題)

LtA3三個(gè)關(guān)系

關(guān)系1：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

7.如圖，有兩條公路OM,ON相交成30。角，沿公路OM方向離兩條公路

的交叉處O點(diǎn)80機(jī)的A處有一所希望小學(xué)，當(dāng)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)，距拖

拉機(jī)50機(jī)范圍內(nèi)會(huì)受到噪音影響，已知有兩臺(tái)相距30m的拖拉機(jī)正沿ON方向

行駛，它們的速度均為5m/s,則這兩臺(tái)拖拉機(jī)沿ON方向行駛時(shí)給小學(xué)帶來噪

音影響的時(shí)間是多少？

(第7題)

關(guān)系2：直線與圓的位置關(guān)系

8.如圖，已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),OA的半徑為2.過A作直

線1平行于x軸，交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)P在直線1上運(yùn)動(dòng).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在。A上時(shí)，請(qǐng)你直接寫出它的坐標(biāo)；

(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為12,試判斷直線OP與OA的位置關(guān)系，并說明理由.

y

Ox

(第8題)

關(guān)系3：正多邊形和圓的位置關(guān)系

9.如圖，已知。O的內(nèi)接正十邊形ABCD…，AD分別交OB,OC于M,

N.求證：

(1)MN〃BC；

(2)MN+BC=OB.

（第9題）

渚點(diǎn)?兩個(gè)圓與三角形

圓與三角形1：三角形的外接圓

10.（中考?哈爾濱）如圖，。。是△ABC的外接圓，弦BD交AC于點(diǎn)E,連

接CD,且AE=DE,BC=CE.

（1）求NACB的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)。作OFLAC于點(diǎn)F,延長FO交BE于點(diǎn)G,DE=3,EG=2,求

AB的長.

（第10題）

圓與三角形2：三角形的內(nèi)切圓

11.如圖，若AABC的三邊長分別為AB=9,BC=5,CA=6,ZkABC的

內(nèi)切圓。。切AB,

BC,AC于點(diǎn)D,E,F,則AF的長為（）

A.5B.3

C.4.5D.4

三個(gè)公式

公式1：弧長公式

12.如圖，已知正六邊形ABCDEF是邊長為2cm的螺母，點(diǎn)P是FA延長

線上的點(diǎn)，在A,P之間拉一條長為12c相的無伸縮性細(xì)線，一端固定在點(diǎn)A,

握住另一端點(diǎn)P拉直細(xì)線，把它全部緊緊纏繞在螺母上（纏繞時(shí)螺母不動(dòng)），則點(diǎn)

P運(yùn)動(dòng)的路徑長為（）

A.1371cmB.14TTcm

C.15TTcmD.16"cm

公式2：扇形面積公式

13.設(shè)計(jì)一個(gè)商標(biāo)圖案，如圖，在矩形ABCD中，若AB=2BC,且AB=8

皿以點(diǎn)A為圓心,AD長為半徑作半圓，則商標(biāo)圖案（陰影部分）的面積等于（）

A.（4TT+8）cm2B.（4^+16）cm2

C.（3TT+8）cm2D.（3TT+16）cm2

公式3：圓錐的側(cè)面積和全面積公式

14.在手工課上，王紅制成了一頂圓錐形紙帽，已知紙帽底面圓的半徑為

10cm,母線長為50c/n,則制作一頂這樣的紙帽所需紙板的面積至少為（）

A.250兀cm?B.500TTcm2

C.750TTcm2D.1OOOTTcm2

15.已知圓錐底面圓的半徑為2,母線長是4,則它的全面積為（）

A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀

選總金：三個(gè)技巧

技巧1：作中心對(duì)稱圖形探究線段之間的關(guān)系

16.（探究題）如圖，在四邊形ABCD中，AB〃DC,E為BC邊的中點(diǎn)，ZBAE

=ZEAF,AF與DC的延長線相交于點(diǎn)F.

（1）作出4ABE關(guān)于點(diǎn)E成中心對(duì)稱的圖形；

（2）探究線段AB與AF,CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

A

D

B

（第16題）

技巧2：作同弧所對(duì)的圓周角（特別的：直徑所對(duì)的圓周角）

17.如圖，直線PQ與。0相交于點(diǎn)A,B,BC是。0的直徑，BD平分NCBQ

交。。于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DELPQ,垂足為E.連接AD,已知BC=10,BE=2,

求s沅ZBAD的值.

（第17題）

技巧3：作半徑（特別的：垂直于弦的半徑、過切點(diǎn)的半徑）

18.如圖，。。的半徑為4,B是。0外一點(diǎn)，連接0B,且0B=6.過點(diǎn)B

作。0的切線BD,切點(diǎn)為D,延長B0交。。于點(diǎn)A,過點(diǎn)A作切線BD的垂

線，垂足為C.

（1）求證：AD平分NBAC.

（2）求AC的長.

a

（第18題）

者青7兩種思想

思想1：分類討論思想

19.已知在半徑為1的。0中，弦AC=y[2,弦AB=V§,則NCAB=

思想2：方程思想

20.如圖，在陽ZXABC中，ZABC=90°,切BC于點(diǎn)B,切AC于點(diǎn)

D,交AB于點(diǎn)E.若BC=BE,AE=2,求AD的長.

(第20題)

答案

專訓(xùn)1

1.A

2.B點(diǎn)撥：?.?有一圓經(jīng)過AABC的三個(gè)頂點(diǎn)，且弦BC的中垂線與R相

交于D點(diǎn)，矗所對(duì)的圓心角的度數(shù)=2NC=2X46o=92。，ABt所對(duì)的圓心

角的度數(shù)=2/8=2*74。=148。=屆所對(duì)的圓心角的度數(shù)十余所對(duì)的圓心角

的度數(shù)=@＞所對(duì)的圓心角的度數(shù)+B0)所對(duì)的圓心角的度數(shù)=@＞所對(duì)的圓心

角的度數(shù)十@所對(duì)的圓心角的度數(shù)十@＞所對(duì)的圓心角的度數(shù)，所對(duì)的圓

心角的度數(shù)=；(148。-92。)=28。.故選B

3.(1)證明：VAB,CD是直徑，.*.ZADB=ZCBD=90°.

AB=CD,

在7??AABD和7??ACDB中，1

[BD=DB,

，山△ABD會(huì)放△CDB(HL).

(2)解：:BE是切線，.\ABXBE..*.ZABE=90°,

VZDBE=37°,/.ZABD=53°.

OD=OA,/.ZODA=NBAD=90。一53。=37。，

即NADC的度數(shù)為37°.

4.2cm點(diǎn)撥：連接OB,VZBCD=22°30,,/.ZBOD=2ZBCD=

45°.VAB±CD,BE=AE=|AB=|X2^2=y[2(cm),△BOE為等腰直角三角

形，AOB=V2BE=2cm,故答案為2cm.

5.2-73

6.解:連接OC.；NA=30°,.,.ZCOD=60°.

,..DC切。O于C,NOCD=90。.；.ZD=30°.

VOD=30cm,/.OC=^OD=15cm.

AAB=2OC=30cm.

(第7題)

7.⑴證明：如圖，連接OD,

VOB=OD,.*.ZABC=ZODB.

VAB=AC,.*.ZABC=ZACB.

...ZODB=ZACB.AOD〃AC.

：DF是。O的切線，/.DF±OD.

.*.DF±AC.

(2)解：如圖，連接OE,

VDF±AC,ZCDF=22.5°,

/.ZABC=ZACB=67.5°,

.*.ZBAC=45°,

VOA=OE,.*.ZAOE=90°,

的半徑為4,?..S扇形AOE=4兀，SAAOE=8.

??S陰影=「S扇形AOE—SAAOE=4TT—8.

專訓(xùn)2

（第1題）

1.解:連接OA,OF,如圖.設(shè)OA=OF=rc機(jī)，AB=acm.

在放△OAB中，?=|j]2+a2,

在R〃\OEF中,？=42+|^4+|]2,

22

.**+a2=16+16+4a+：,解得ai=8,a2=-4（舍去）.

，d=⑨+*=80，，ri=4小，n=—4?。ㄉ崛ィ?，即該半圓的半徑為4小

點(diǎn)撥：在有關(guān)圓的計(jì)算題中，求角度或邊長時(shí)，常連接半徑構(gòu)造等腰三角形

或直角三角形，利用特殊三角形的性質(zhì)來解決問題.

2.證明：連接AD,BD.VZDAC,NDBC是比所對(duì)的圓周角.

.\ZDAC=ZDBC.

：CD平分NACM,DP±AC,DH±CM,.,.DP=DH.

(NDAP=NDBH,

在AADP和△BDH中，5ZDPA=ZDHB=90°,

IDP=DH,

.,.△ADP^ABDH,.\AP=BH.

點(diǎn)撥：本題通過作輔助線構(gòu)造圓周角，然后利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”

得到NDAC=NDBC,為證兩三角形全等創(chuàng)造了條件.

3.(1)證明：過點(diǎn)D作。O的直徑DE,連接AE,EC,AC.

：DE是。O的直徑，AZECD=ZEAD=90°.

XVCD±AB,/.EC^AB,

/.ZBAC=ZACE.

.*.BC=AE..\BC=AE.

在凡AAED中，AD2+AE2=DE2,

.\AD2+BC2=4R2.

(2)解：過點(diǎn)。作OFLAD于點(diǎn)F.

?.?弦AD,BC的長是方程X2-6X+5=0的兩個(gè)根(AD>BC),

/.AD=5,BC=1.

由(1)知，AD2+BC2=4R2,.,.52+l2=4R2,:.R=等.

VZEAD=90°,OF，AD,.*.OF/7EA.

又為DE的中點(diǎn)，.,.OF=3AE=；BC=；,即點(diǎn)O到AD的距離為去

點(diǎn)撥：本題作出直徑DE,利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角”構(gòu)造了兩個(gè)直

角三角形，給解題帶來了方便.

4.解：CD與。O相切，理由如下：如圖，作直徑CE,連接AE.

（第4題）

：CE是直徑，/.ZEAC=90°.

/.ZE+ZACE=90°.

VCA=CB,/.ZB=ZCAB.

VAB/7CD,

.\ZACD=ZCAB.

VZB=ZE,.*.ZACD=ZE,

.,.ZACE+ZACD=90°,即OC±DC.XOC為。O的半徑，/.CD與。O

相切.

5.C6.60°

(第7題)

7.(1)證明：連接AD,,.'AB是。。的直徑，

??./人口8=90。.：點(diǎn)口是8?的中點(diǎn)，...AD是線段BC的垂直平分線,

.\AB=AC.

VAB=BC,.\AB=BC=AC,

?'.△ABC為等邊三角形.

(2)解：連接BE.

：AB是直徑，.*.ZAEB=90°,.\BE±AC,

..?△ABC是等邊三角形，，AE=EC,即E為AC的中點(diǎn).

：D是BC的中點(diǎn)，故DE為AABC的中位線.

/.DE=；AB=；X2=1.

8.(1)證明:連接OB,VOA=OB,.\ZOAB=ZOBA.

VPA=PB,.\ZPAB=ZPBA.

，ZOAB+ZPAB=ZOBA+ZPBA,即ZPAO=ZPBO.

又：PA是。O的切線，ZPAO=90°.

.".ZPBO=90°..\OB±PB.

又：OB是。O的半徑，...PB是。。的切線.

(2)解:連接OP,

：PA=PB,.?.點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.

VOA=OB,??.點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上.

AOP為線段AB的垂直平分線，

XVBCXAB,APO^BC.

...ZAOP=ZACB=60°.I.ZOPA=30°.

在陽ZXAPO中，AO2+PA2=PO2,即AO2+3=(2AO)2.

又。.飛?！怠?，

.,.AO=1..*.OO的半徑為1.

9.(1)證明：如圖，連接CO,交DB于點(diǎn)E,.,.ZO=2ZCDB=60°.

又,.?NOBE=30。，.?.NBEO=180°-60°-30°=90°.

：AC〃BD,.*.ZACO=ZBEO=90°,BPOCXAC.

又：點(diǎn)C在。。上，...AC是。。的切線.

(2)解：VOEXDB,，EB=；DB=34cm.

在陽AEOB中，VZOBE=30°,/.OE=|oB.

：EB=3小cm,I.由勾股定理可求得OB=6c〃z.

又?.?ND=NDBO,DE=BE,ZCED=ZOEB,

.?.△CDE2△OBE,.,.SACDE=SAOBE,

.6022

??S陰影=S扇形OCB=360乃'6=6TT(CHZ)?

專訓(xùn)I3

1.解：（1）如圖，過B作BHLPQ于H,在R/^BHP中，由條件易知：BP

=320km,ZBPQ=30°..*.BH=|BP=160km<200km.：.臺(tái)風(fēng)會(huì)影響B(tài)市.

（2）如圖，以B為圓心，200初z為半徑作圓，交PQ于Pi,P2兩點(diǎn)，連接BPi,

由垂徑定理知PIP2=2PIH.

在7??ABHPi中,BPi=200km,BH=160km,

PiH=12002—1602=120（M.

.,.PiP2=2PiH=240h7L

240

.?.臺(tái)風(fēng)影響B(tài)市的時(shí)間為弓6=8（右）.

點(diǎn)撥：本題在圖形中畫出圓，可以非常直觀地構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，然后利用垂徑

定理解決生活中的實(shí)際問題.

2.解：選擇射門方式二較好，理由如下：設(shè)AQ與圓的交點(diǎn)為C,連接PC,

如圖所示.

：NPCQ是APAC的外角，...NPCQANA.又：NPCQ=NB,

NB>NA....在B點(diǎn)射門比在A點(diǎn)射門好???.選擇射門方式二較好.

點(diǎn)撥：本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,將射門角度大小的問題，建模轉(zhuǎn)化到圓中，根據(jù)

圓周角的相關(guān)知識(shí)來解決實(shí)際問題.

3.解：修建的這條水渠不會(huì)穿過公園.

理由：過點(diǎn)C作CDLAB,垂足為D.

VZCBA=45°,.,.NBCD=45°,CD=BD.

設(shè)CD=xkm,則BD=xkm.

易知NCAB=30°,AC=2xkm,AD(2x)2—x2=/xkm.

.,.4x+x=],解得x="21

A/3—1

即CD=JL^-km^0.366km=366m>350m,

也就是說，以點(diǎn)C為圓心，350機(jī)為半徑的圓與AB相離.

即修建的這條水渠不會(huì)穿過公園.

4.解：：圓錐形漏斗的底面半徑為20cm,高為4Mcm,

：.圓錐的母線長為弋2。2+（40吸）2=60（劭）.

設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為n。，則有啜黑=2兀X20,解得n=120.

ioU

方案一：如圖①，扇形的半徑為60cro,矩形的寬為60cm,易求得矩形的

長為6O\/3cm.

此時(shí)矩形的面積為60X6麗=360（＞V3（cm2）.

方案二：如圖②，扇形與矩形的兩邊相切，有一邊重合，易求得矩形的寬為

60cm,長為30+60=90（即），此時(shí)矩形的面積為90X60=5400（5?）.

60附＞5400,I.方案二所用材料最省，即選長為90劭，寬為60cm的

矩形鐵皮，才能使所用材料最省.

（第4題）

專訓(xùn)I4

1.解：（1）作ODLBC于D.

由垂徑定理知，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，即BD=3BC,,.?OB=3AB=5cm，OD

=4cm,由勾股定理得，BD=^/OB2-OD2=3cm,ABC=2BD=6cm.

（2）設(shè)經(jīng)過ts,ABPC是等腰三角形.

①當(dāng)PC為底邊時(shí)，有BP=BC,即10—1=6,解得t=4；

②當(dāng)BC為底邊時(shí)，有PC=PB,此時(shí)P點(diǎn)與。點(diǎn)重合，t=5.

經(jīng)過4s或5sABPC是等腰三角形.

2.解：（1）線段AB長度的最小值為4.

理由如下：連接OP.

：AB切。。于P,.*.OP±AB.

取AB的中點(diǎn)C,貝l]AB=2OC,

當(dāng)OC=OP時(shí)，OC最短，即AB最短，止匕時(shí)AB=4.

（2）存在.假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)Q.

如圖①，設(shè)四邊形APOQ為平行四邊形，

VZAPO=90°,I.四邊形APOQ為矩形.XVOP=OQ,

四邊形APOQ為正方形，

...OQ=QA....ZQOA=45°,

在放AQQA中，根據(jù)OQ=2,NAOQ=45。，

得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（啦，一啦）.

如圖②，設(shè)四邊形APQO為平行四邊形，連接OP,

VOQ/7PA,ZAPO=90°,/.ZPOQ=90°.

又：OP=OQ,.*.ZPQO=45°,

VPQ//OA,，PQ，y軸.

設(shè)PQ交y軸于點(diǎn)H,

在陽△OHQ中，根據(jù)OQ=2,ZHQO=45°,

得Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（一啦，啦）.

???符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（色，一表）或（一也，也）.

(第3題)

3.解:如圖，設(shè)PQ與。。相切于點(diǎn)H,過點(diǎn)P作PELBC,垂足為E.

?.?在四邊形ABCD中,AD〃BC,ZABC=90°,

，PE=AB.由題意可知：AP=BE=tcm,CQ=2tcm,

.*.BQ=BC-CQ=(22-2t)cm,EQ=BQ—BE=22—2t—1=(22—3t)cm.

VAB為。O的直徑，ZABC=ZDAB=90°,

AAD,BC為。O的切線..，.AP=PH,HQ=BQ.

.*.PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=(22-t)cm.

在7??APEQ中,PE2+EQ2=PQ2,

.?.122+(22—3t>=(22—t)2,即

t2—llt+18=0,解得ti=2,t2=9.

VP在AD邊運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為零=￥=8(S),

而t=9>8,...t=9(舍去).

...當(dāng)t=2s時(shí)，PQ與。O相切.

4.解：(1):?在△ACO中,ZOAC=60°,OC=OA,

AACO是等邊三角形.

.,.ZAOC=60°,

（第4題）

（2）如圖，①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)Mi,連接AMi,OMi.

易得S^MIAO=SACAO，ZAOMI=60°,

e47r4

??AMj=]goX60

*,?當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到Mi時(shí),SAMAO=SACAO>

4

此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為尹.

②過點(diǎn)Mi作MIM2〃AB交。。于點(diǎn)M2,連接AM2,0M2,易得SZ!\M2A0

=SACAO,

/.ZOM1M2=ZAOM1=60°.

O

又???0MI=0M2,.*.ZMIOM2=60°,AZAOM2=120.

.47r8

??AlXi?=[QCX120=不加

loUJ

Q

???當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M2時(shí)，SAMAO=SACAO，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為鏟.

③過點(diǎn)C作CM3〃AB交。0于點(diǎn)M3,連接AM3,0M3,易得SZXMBAO

O

=SACAO，ZAOM3=120.

47r16

..AM2M3X240=-pr.

loU3

：.當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，SAMAO=SACAO.此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M經(jīng)過的弧長為生.

④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，SAMAO=SACAO，

47r20

此時(shí)動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過的弧長為

M7l^oUX300=~Jpr.

綜上所述，當(dāng)SAMAO=SACAO時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過的弧長為尖或鼠或號(hào)?；蚱r

專訓(xùn)5

(第1題)

L(1)證明：如圖，連接OD,

,直線CD切。O于點(diǎn)D,.*.ZCDO=90o.VAB為。O的直徑，/.ZADB

=90°,/.Zl+Z2=Z2+Z3=90°,AZl=Z3.VOB=OD,.\Z3=Z4,

.*.ZADC=ZABD.

(2)證明：VAMXCD,ZAMD=ZADB=90°.VZ1=Z4,

AAAMAD

△

..ADM^AABD,AUAr>,

.\AD2=AMAB.

33IS

(3)解："."sinZABD=^,.,.sinZ1=^.VAM=^-,AD=6,AB=10,

BD=^/AB2-AD2=8.VBN±CD,.，.ZBND=90°,AZDBN+ZBDN=Z1

324

+ZBDN=90°,.*.ZDBN=Z1,：.sinNDBN=§,ADN=y,.*.BN=

yjBD2—DN2=^.

2.解：(1)連接PA,：BA平分NPBC,AZPBA=ZCBA=ZACP.

：ZACP+ZPCB=ZBCD+ZPCB=90°,ZACP=ZBCD.ZBCD=

ZCBA=ZPBA./.AB〃CD.

AZPBA=ZD.AZBCD=ZD,.*.BC=BD.

又,.?NPCD=90。，易證得PB=BC=BD.

又：AB〃CD,APE=EC.

ABE^APCD的中位線.

.BE1

?*CD=2-

(2)VZPCD=ZACB=90°,

ZCAB=ZCPD,/.AABC^APDC.

PCAC111、

??而不??2

CU=Cyr>=ZSAPCDZ=OPC-CDZ=^PC-2PC=PC.

當(dāng)PC最大時(shí)，APCD的面積最大，

即PC為。O的直徑時(shí)，4PCD的面積最大.

當(dāng)PC=AB=yAC2+BC2=4寸,4PCD面積的最大值為(小)2=5.

3.(1)M：設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c,

[4=c,

把B(0,4),C(-2,0),D(-8,0)的坐標(biāo)分別代入得｛0=4a-2b+c,解

lo=64a—8b+c,

1

a-4-

得5

b=2)

lc=4.

經(jīng)過B,C,D三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=*+|x+4.

1519

(2)證明：?.,y=ax2+呼+4=a(x+5)2—a，

；.E(-5,—

設(shè)直線CE的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n,

3

0=-2m+n,m=不

直線CE與y軸交于點(diǎn)G,貝獷9解得q

,?=—5m+n,3

n=],

33

直線CE的函數(shù)表達(dá)式為丫=1+1

333.?.G(0,J.

在丫=嚴(yán)+]中，令x=0,則y=],

如圖①，連接AB,AC,AG,

35

則BG=OB-OG=4-2=2-

CG=^OC2+OG2=A/22+

.*.BG=CG.

fAB=AC,

在4ABG與4ACG中，5BG=CG,

IAG=AG,

...AABG^AACG.AZACG=ZABG.

?..(DA與y軸相切于點(diǎn)B(0,4),

/.ZABG=90°.ZACG=ZABG=90°.

?點(diǎn)C在。A上，I.直線CE與。A相切.

\y\I\y

43

4

no

濟(jì)

第

②3題

(3)解：存在點(diǎn)F,使△BDF面積最大.

設(shè)++|t+4),如圖②，連接BD,BF,DF,

過F作FN〃y軸交BD于點(diǎn)N,

4=d,

設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為丫=1^+5貝*

0=—8k+d,

f1

k=T,

解得2

d=4.

直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=1x+4.

點(diǎn)N的坐標(biāo)為卜，/+4；

.,.FN=^t+4—(jt2+|t+4^=—^t2—2t.

222

SADBF=SADNF+SABNF=|OD-FN=1X8X^t—2t^=—t—8t=~(t+4)

+16.

.,.當(dāng)t=—4時(shí),SABDF最大,最大值是16.

當(dāng)t=14時(shí),^t2+^t+4=—2,F(—4,-2).

專訓(xùn)I6

1.(1)1?：由題意可知NABC+NCBCi=180。,ZABC=120°,

I.ZCBCi=60°,即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為60°.

(2)證明：由⑴知NCBCi=60。，

AAAiBCi是由AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到的，

，AB=AiB,ZABAi=ZCBCi=60°,ZC=ZCi，

??.△ABAi是等邊三角形.

AZAiAB=60°.

.,.ZAiAB=ZCBCi,AAAi/ZBC.

ZAiAC=ZC.AZAiAC=ZCi.

2.A點(diǎn)撥：A既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形；3是中心對(duì)稱圖形，

不是軸對(duì)稱圖形；C、。是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形.故選A

3.D

4.(1)證明：；AB是。O的直徑，BM是。O的切線，.?.AB，BE「；CD〃BE,

CD±AB.AD=AC.DA=DC,DA=AC=CD./.AD=AC=CD.AACD

是等邊三角形.

(第4題)

(2)解：如圖，過。作ONLAD于N.，AN=DN.由(1)知4ACD是等邊三角

形，ZDAC=60°,>/AD=AC,CD±AB,，NDAB=30。，.".BE=|AE,ON

1/31s

=]AO.易得ANA=T-AO.設(shè)。O的半徑為r,??.ON=1r,AN=DN=予，AEN

=2+咨，AE=2+/r,...BE=3AE=*；+2在放ZiNEO與心△BEO中，OE?

=ON2+NE2=OB2+BE2,即砥+Q+割2=1+產(chǎn)片「^3(=-

Ar=2r

平舍去)，/.OE2=(1)2+1^2+^rj=28,：.OE=2市.

5.解：VZAOC=40°,AZBOC=180°-40°=140°,ZACO=1x(180°

—40。)=70。.連接OD.：D是崗的中點(diǎn)，/.ZCOD=|ZBOC=70°.AZOCD=

180°-70°,,

——2——=55°.ZACD=ZACO+ZOCD=70°+55°=125°.

6.思路導(dǎo)引：(1)如圖，過點(diǎn)O作OELAB于點(diǎn)E,根據(jù)NB=30。，OB=2

可得BE=小，由垂徑定理知AB=2/.(2)如圖，連接OA,利用半徑相等，可

得NBAD=ZBAO+ZDAO=ZB+ZD=30°+20°=50。.再利用圓周角定理可

得ZBOD=2ZBAD=100°.(3)由ZBCD是ZXADC的外角，可知

NBCDWNCAD,NBCDWND,只有NBCD=NACD,即NBCD=NACD=

90。.由NB=30。，得NBOD=120。.由圓周角定理知NCAD=gNBOD=60。.可得

△DAC^ABOC,AC=|AB=V3.

解：(1)2小