專(zhuān)題09期末必刷解答題專(zhuān)題訓(xùn)練的7種?？碱}型歸類(lèi)

專(zhuān)題08期末必刷解答題專(zhuān)題訓(xùn)練的7種?？碱}型歸類(lèi)期末必刷解答題專(zhuān)題訓(xùn)練的7種?？碱}型題型05：復(fù)數(shù)解答題題型06：立體幾何解答題期末必刷解答題專(zhuān)題訓(xùn)練的7種?？碱}型題型05：復(fù)數(shù)解答題題型06：立體幾何解答題題型03：解三角形解答題題型02：平面向量及其應(yīng)用解答題題型01：三角函數(shù)解答題題型04：三角恒等變式解答題題型07：新定義解答題三角函數(shù)解答題1．（2324高一下·廣東·期末）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后把曲線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖像．(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）借助三角函數(shù)平移變換與伸縮變換的性質(zhì)推導(dǎo)即可得；（2）由的范圍，可得的范圍，即可得函數(shù)的值域．【詳解】（1）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像，再將其縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，得到的圖像；（2）設(shè)，由，得，則，即在區(qū)間上的值域?yàn)椋?．（2324高一下·上?！て谀┮阎瘮?shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為．(1)求的解析式和周期．(2)當(dāng)時(shí)，求的值域．【答案】(1)，周期為(2)【分析】（1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出，由周期求出，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出的值，可得函數(shù)的解析式，即可求解；（2）當(dāng)時(shí)，得到，利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，可得最小正周期，所以.又由圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為，可得，且，即，可得，即，因?yàn)椋?，所以函?shù)的解析式為，且由最小正周期，可得的周期為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，可得，所以，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為；當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)取得最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?3．（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，若實(shí)數(shù)滿足，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)得到，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，求得，根據(jù)題意，得到為函數(shù)的最值，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：由函數(shù)，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：將函數(shù)的圖形向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，再將得到的函數(shù)圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，由實(shí)數(shù)滿足，則為函數(shù)的最值，不妨設(shè)，則，解得，則，當(dāng)或時(shí)，此時(shí).4．（2324高一上·湖北·期末）已知函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?(1)求函數(shù)的解析式；(2)令函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)(2).【分析】（1）由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域，列方程組求出的值，得函數(shù)解析式；（2）由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和余弦函數(shù)的性質(zhì)，求的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，由題意，解得故.（2）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞增且，所以有，得，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為.5．（2324高一上·湖北武漢·期末）如圖是函數(shù)（，，）圖象的一部分(1)求函數(shù)的解析式；(2)若關(guān)于x的方程在上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)圖中的最值和周期求出和，再利用特殊點(diǎn)求得，即可得解；（2）由題意，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在上有解，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求值域即可求解.【詳解】（1）由圖可得，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，因?yàn)椋瑒t，因?yàn)?，所以，解得，所?（2）由，可得，即，即，即，其中，因?yàn)?，則，令，則有，則關(guān)于t的方程在上有解，由可得，令，則，因?yàn)椋谏暇鶠闇p函數(shù)，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，且當(dāng)趨向于時(shí)，趨向于正無(wú)窮大，則，所以，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.6．（2324高一上·江蘇鹽城·期末）已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的任意兩點(diǎn)，，且當(dāng)時(shí)，的最小值為.(1)求的解析式；(2)將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位得到的圖象，若在區(qū)間上有最大值沒(méi)有最小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)可求得，根據(jù)當(dāng)時(shí)，的最小值為，可得，即可求得；（2）根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則得到解析式，再由的取值范圍，求出的范圍，最后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）因?yàn)?，所以、，依題意可得得，又∵當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴，又，即，∴.（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變得到，再向左平移個(gè)單位得到，當(dāng)，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上有最大值沒(méi)有最小值，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.7．（2324高一上·福建三明·期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫(huà)函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：00200(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，不難看出值和周期特征，易得值，代入一組對(duì)應(yīng)值與，易求出，再整體處理，計(jì)算得到遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)三角伸縮平移變換并化簡(jiǎn)得到，將方程有根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題解決.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可得，，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以．由，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到，再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則如圖，當(dāng)時(shí)，方程恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)，的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故可得：．8．（2324高一上·山東德州·期末）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的最小值為．(1)求；(2)若，求a的值及此時(shí)的最大值．【答案】(1)(2)，的最大值是5【分析】（1）將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，經(jīng)配方得到對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)求得的范圍，結(jié)合二次函數(shù)圖象的單調(diào)性性質(zhì)分段討論得到的最小值為的解析式；（2）根據(jù)（1）中的分段函數(shù)滿足時(shí)的情況分別討論得到值，最后結(jié)合不含參數(shù)的解析式，結(jié)合的有界性即得.【詳解】（1）,因?yàn)椋寓佼?dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取最小值，的最小值為；②當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取最小值，的最小值為；③當(dāng)，即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，取最小值,的最小值為.故.（2）當(dāng)時(shí)，由解得：，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，由，解得：或（舍去），故；當(dāng)時(shí)，由解得：，不合題意，舍去.綜上可知：，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，得．所以若，則有，此時(shí)的最大值是5.9．（2324高一上·吉林延邊·期末）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）.某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為90米，最低點(diǎn)距離地面10米，摩天輪上均勻設(shè)置了36個(gè)座艙（如圖2）.開(kāi)啟后摩天輪按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，游客在座艙離地面最近時(shí)的位置進(jìn)入座艙，摩天輪轉(zhuǎn)完一周后在相同的位置離開(kāi)座艙.摩天輪轉(zhuǎn)一周需要30分鐘，當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開(kāi)始計(jì)時(shí).

(1)經(jīng)過(guò)分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；(2)若游客甲乘坐摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，游客距離地面的高度恰好為30米？【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用正弦型函數(shù)的一般式結(jié)合題意，求出，，，，從而得解；（2）根據(jù)（1）求出的表達(dá)式，將化簡(jiǎn)求得．【詳解】（1）因?yàn)椋ㄆ渲?，，，由題意知：，，故，，，又，，，故解析式為：，,；（2）令，則，即，因?yàn)?，則，所以或，解得或，故游客甲坐上摩天輪5分鐘時(shí)和25分鐘時(shí)，游客距離地面的高度恰好為30米.平面向量及其應(yīng)用解答題10．（2324高二上·陜西漢中·期末）已知空間向量．(1)若，求實(shí)數(shù)與的值；(2)若，且，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由共線向量定理得：，代入坐標(biāo)求解即可；（2）由于，則，求出的值即可得出.【詳解】（1）根據(jù)題意，故可設(shè)，則，解得．（2）因?yàn)椋?，所以，解得．得，所以?1．（2223高一下·遼寧葫蘆島·期末）已知非零向量，滿足，且.(1)求；(2)當(dāng)時(shí)，求和向量與的夾角的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用平方差公式計(jì)算即可；（2）利用展開(kāi)求解，然后利用求角.【詳解】（1）由已知得，即，解得；（2），所以，所以，又所以.12．（2324高一上·浙江寧波·期末）已知向量，，.(1)求的最大值，并求此時(shí)的值；(2)若，求的取值范圍.【答案】(1)最大值為，(2)【分析】（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求出模，表示為函數(shù)，求最值即可.（2）利用坐標(biāo)運(yùn)算得到乘積，轉(zhuǎn)化為函數(shù)合理求值即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，（2），設(shè)，易知是第一象限角，故原式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，易知是第一象限角，故，，當(dāng)時(shí)，，，故，即，13．（2122高三上·遼寧鐵嶺·期末）已知向量，函數(shù)．(1)求圖象的對(duì)稱(chēng)中心；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值，并求出相應(yīng)的值．【答案】(1)，(2)最大值為1，此時(shí)；最小值為，此時(shí)【分析】（1）根據(jù)條件得到，再利用性質(zhì)即可求出結(jié)果；（2）由（1）及圖像與性質(zhì)知，時(shí)，，即可求出結(jié)果.【詳解】（1），令，得，，所以對(duì)稱(chēng)中心為，．（2）當(dāng)時(shí)，，所以，得到，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以，最大值為1，此時(shí)，最小值為，此時(shí).14．（2122高一上·遼寧錦州·期末）平面直角坐標(biāo)系中，，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)令，若向量，求實(shí)數(shù)的值；(2)若點(diǎn)，求的最小值．【答案】(1)或(2)5【分析】（1）利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，求實(shí)數(shù)的值；（2）利用向量模的坐標(biāo)運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性，求的最小值．【詳解】（1），所以，由得，解得：或.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，即的最小值為5．15．（2223高一下·全國(guó)·期末）如圖，在中，已知P為線段上的一點(diǎn)，，，且與的夾角為60°．

(1)若，求；(2)若，且，求實(shí)數(shù)k的值；(3)若，且，求的值．【答案】(1)(2)k不存在(3)【分析】（1）利用，結(jié)合向量模長(zhǎng)公式即可求出，則結(jié)論可求；（2）根據(jù)兩向量垂直的充要條件列出k的方程求解；（3）由可求出x，y的值，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律則問(wèn)題可解．【詳解】（1）由已知，，且與的夾角為60°，可得因?yàn)?，故；又，所以可得；?）因?yàn)椋?，所以化?jiǎn)得，顯然不成立，故k不存在；（3）因?yàn)?，故，所以?所以的值為.16．（2223高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知向量，（），函數(shù)，其最小正周期為．(1)求的表達(dá)式；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域．【答案】(1)(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為：；的值域?yàn)?【分析】（1）首先根據(jù)數(shù)量積公式，結(jié)合三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)周期公式，求；（2）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)的解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）∵向量，且函數(shù)，∴，，又因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以，所以，所以，；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象，所以，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，解得的單調(diào)遞增區(qū)間為：．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域?yàn)?17．（2122高一下·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，三點(diǎn)滿足．(1)求值；(2)已知，且，若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則得到，即可得解；（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量模的坐標(biāo)表示得到解析式，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，再分、兩種情況討論，根據(jù)函數(shù)的最小值求出參數(shù)的值.【詳解】（1）由題意知三點(diǎn)滿足，可得，所以，即，即，則，所以.（2）∵，，，∴，，∴，，∴，即，∵，∴，①當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得或，又，∴.②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得，又，∴，∴綜上所述，或.解三角形解答題18．（2324高二下·青海海西·期末）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為為銳角，且．(1)求角的大??；(2)若的面積為，，求的值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)正弦定理可得，即可求解；（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由，有．又由，可得，因?yàn)闉殇J角，所以；（2）由題意得，，得，由余弦定理得，可得．19．（2324高二上·湖南長(zhǎng)沙·期末）已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且．(1)求的值；(2)若，且的面積為，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為求解；（2）由三角形的面積可得，由余弦定理，可得，從而可得答案.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，∴可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，其中，故．∴，即，因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以，由余弦定理可得即，所以，所?20．（2324高三上·浙江杭州·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，，角C為銳角，已知的面積為.(1)求c；(2)若為上的中線，求的余弦值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由三角形的面積公式和余弦定理求解即可；（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，對(duì)其兩邊同時(shí)平方可求出，再由余弦定理求解即可.【詳解】（1）由的面積為可得：，因?yàn)椋?，解得：得，由角為銳角得，故，解得.（2）因?yàn)闉樯系闹芯€，所以，所以，，解得：.

故.21．（2324高二上·遼寧朝陽(yáng)·期末）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，且.(1)求角C；(2)若，的面積為，求的周長(zhǎng).【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用向量平行的坐標(biāo)公式，結(jié)合正余弦定理，結(jié)合的范圍，即可求得結(jié)果；（2）由三角形面積公式求得，且，進(jìn)而求得，由余弦定理求得，再求周長(zhǎng)即可.【詳解】（1）由向量平行的坐標(biāo)公式，得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，又，故.（2）由三角形面積公式，得，故，所以為等腰三角形，所以.將代入（1）中所求，則，解得（舍去）或，所以的周長(zhǎng)為.22．（2324高一上·浙江紹興·期末）在中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，，，若.(1)證明：；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用正弦定理，以及余弦定理將條件變形整理可得結(jié)論；（2）由已知變形可得，然后利用換元法求的取值范圍.【詳解】（1）解法1：，即證.解法2：要證，只要證，即證只要證，因?yàn)椋猿闪?，故；?），設(shè).23．（2324高三上·湖北襄陽(yáng)·期末）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足(1)求角；(2)若，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理進(jìn)行角化邊得到的關(guān)系，再利用余弦定理求得角；（2）利用平面向量的數(shù)量積得，再利用求得，從而可得的周長(zhǎng).【詳解】（1）利用正弦定理進(jìn)行角化邊，得，整理得，由余弦定理可得，又，所以.（2）因?yàn)椋?，?由得，即.所以的周長(zhǎng)為.24．（2324高三上·寧夏石嘴山·期末）在中，、、分別是角A、B、C的對(duì)邊，，.(1)求；(2)記的面積為S，若，求的周長(zhǎng)l．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用正弦定理對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出，從而得解；（2）運(yùn)用面積公式和余弦定理對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化得出角，由正弦定理可得角，進(jìn)而得出周長(zhǎng).【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理得，，即，故，所?（2）由面積公式可得，，由余弦定理可得，，即，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，由勾股定理可得，，故，所以的周長(zhǎng).25．（2324高三上·山東青島·期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求的值；(2)若，且的周長(zhǎng)為，求邊上的高.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知結(jié)合切化弦可得，利用正余弦定理邊化角，可得，即可求得答案；（2）由題意可得，結(jié)合（1）即可求出，利用余弦定理求出，進(jìn)而求得，結(jié)合邊上的高為，即可求得答案【詳解】（1）由，可得，所以，又由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，所以.（2）由，且的周長(zhǎng)為，可得，又由（1）可知，，即，所以，聯(lián)立方程組，解得，所以，則，所以邊上的高為.26．（2324高三上·山東聊城·期末）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知.(1)求角的大??；(2)設(shè)，，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，求出；（2）利用向量數(shù)量積公式計(jì)算出，結(jié)合余弦定理得到，求出周長(zhǎng).【詳解】（1）由及正弦定理，得，即，所以，因?yàn)?，所?（2）∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴的周長(zhǎng)為.三角恒等變式解答題27．（2324高一上·福建莆田·期末）已知，，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系，結(jié)合兩角差的正弦公式求解；（2）由二倍角公式，結(jié)合兩角和的余弦公式求解．【詳解】（1）因?yàn)椋?，則，，又因?yàn)?，，所以，，所以，因?yàn)椋?；?）由（1）知，，，故，，所以．28．（2324高一上·浙江杭州·期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，整體代入法求單調(diào)遞增區(qū)間；（2）由，代入函數(shù)解析式解出和，由兩角和的正弦公式求解的值.【詳解】（1），令，解得，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得，所以，又因?yàn)?，所以，所?29．（2324高一上·江蘇無(wú)錫·期末）（1）若，求；（2）已知，且為銳角，求的大小.【答案】（1）（2）【分析】（1）由題意知，，結(jié)合兩角差的正切公式計(jì)算即可求解；（2）利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求出，根據(jù)二倍角公式求出，由兩角和余弦公式計(jì)算可得，結(jié)合角的范圍即可求解.【詳解】（1）∵，∴；.（2）因?yàn)椋覟殇J角，所以，因?yàn)椋覟殇J角，所以，那么，，所以－，因?yàn)?，所以．所以，?30．（2324高一上·安徽宿州·期末）（1）已知，求的值.（2）已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，，，求的值．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）化簡(jiǎn)已知式，求得的值，將利用弦的齊次式化弦為切代入即得；（2）由條件分別求出的值，再代入兩角和的余弦公式計(jì)算即得.【詳解】（1）由可得：；（2）角的終邊過(guò)點(diǎn)，則．由，可知：則.31．（2324高一上·安徽安慶·期末）已知，且．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合輔助角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意可知，，展開(kāi)整理可得，即，解得（舍去）.因?yàn)椋裕?）．32．（2324高一上·云南昭通·期末）已知函數(shù)，.(1)討論在上的單調(diào)性；(2)若，，求的值.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【分析】（1）首先利用兩角和與差公式以及二倍角公式化簡(jiǎn)得，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和與差的余弦公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）∵，∴，∴，又，，∴，，∴，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）∵，∴.又，∴，∴，∴.33．（2324高一上·山東臨沂·期末）已知(1)若角是第三象限角，且，求的值；(2)若為銳角，且，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，求出，利用平方關(guān)系求出，代入；（2）利用誘導(dǎo)公式、弦化切、兩角差的正弦展開(kāi)式化簡(jiǎn)可得，求出可得答案.【詳解】（1）因?yàn)槭堑谌笙藿?，且，所以，則，所以；（2）方法一：，，又是銳角，所以，則.方法二：，，又是銳角，所以，則.34．（2324高一上·江蘇南通·期末）已知，，，.(1)求；(2)求.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出角的正弦值和余弦值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，再利用兩角差的正弦公式可求得的值.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，，由可得，所以，.（2）解：因?yàn)?，，則，所以，，所以，，因此，.復(fù)數(shù)解答題35．（2223高一下·天津·期末）已知復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)（是的共軛復(fù)數(shù)）.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，求；(3)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可求得的值；（2）利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得的值；（3）利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：因?yàn)?，則，所以，為純虛數(shù)，所以，，解得.（2）解：，因此，.（3）解：因?yàn)?，則，因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.36．（2021高二上·陜西延安·期末）已知復(fù)數(shù)（，是虛數(shù)單位）.(1)若是純虛數(shù)，求m的值；(2)設(shè)是的共軛復(fù)數(shù)，若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，再結(jié)合復(fù)數(shù)的類(lèi)型列方程組求解即可；（2）先求出，再結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限列方程組求解即可.【詳解】（1），若是純虛數(shù)，則，得.（2）由，得，∴，則，解得.37．（2223高一下·陜西安康·期末）（1）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程（）的一個(gè)根，求的值；（2）已知復(fù)數(shù)，求.【答案】（1）12；（2）.【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解，（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，，，而.（2），，.38．（2223高一下·河南南陽(yáng)·期末）已知復(fù)數(shù)，，．(1)若為實(shí)數(shù)，求的值；(2)設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由復(fù)數(shù)的運(yùn)算將化簡(jiǎn)，然后由為實(shí)數(shù)列出方程，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由列出方程即可得到，再由同角的平方關(guān)系，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，且為?shí)數(shù)，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，則.（2）由題意可得，，，因?yàn)?，所以，即，化?jiǎn)可得，所以，又因?yàn)椋瑒t，所以.39．（2223高一下·河南新鄉(xiāng)·期末）已知復(fù)數(shù)的虛部為，且為純虛數(shù)．(1)求；(2)若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）設(shè)，，根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)實(shí)部為且虛部不為得到方程（不等式）組，解得即可；（2）根據(jù)虛根成對(duì)原理可得也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得.【詳解】（1）設(shè)，，則，又為純虛數(shù)，所以，解得，所以.（2）因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得.立體幾何解答題40．（1718高一下·北京西城·期末）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)與線面平行判定定理推導(dǎo)即可得；（2）借助線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理推導(dǎo)即可得；（3）借助點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，即有，結(jié)合體積公式計(jì)算即可得.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由底面是正方形，故為中點(diǎn)，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故，又平面，平面，故平面；（2）由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，故，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，又、平面，，故平面，又平面，故，又、平面，，故平面；（3）由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)到平面距離相等，故.41．（1516高二上·江西贛州·期末）如圖，四棱錐中，底面ABCD為正方形，面ABCD，，E，F(xiàn)分別是PC，AD的中點(diǎn)．(1)證明：平面PFB；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【分析】（1）取PB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，通過(guò)證明四邊形是平行四邊形，得，進(jìn)而可以得到平面PFB；（2）三棱錐的體積即為三棱錐的體積，計(jì)算可得.【詳解】（1）取PB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，如圖，E，G分別是PC，PB的中點(diǎn)，底面ABCD為正方形，且，又且，且，四邊形是平行四邊形，則，又平面PFB，平面PFB，平面PFB.（2）因?yàn)椋制矫鍭BCD，所以是三棱錐的高，因?yàn)椋現(xiàn)是AD的中點(diǎn),則,所以,即三棱錐的體積是.42．（2324高一下·廣東·期末）如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)64【分析】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，可得，由線面平行的判定可得答案（2）由余弦定理得可得，由勾股定理可得，又平面得，可得平面可得答案；（3）在中過(guò)點(diǎn)作，垂足為，可得平面，利用相等可得答案.【詳解】（1）設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則在中，則DE是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面．（2）在中，由，，，由余弦定理，得，則，即，為直角三角形，．又平面，平面，，又，平面，平面，平面，．（3）在中過(guò)點(diǎn)作，垂足為，平面平面，且平面平面，平面易知，，，．43．（1920高三上·北京昌平·期末）如圖，在五面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面平面，.(1)求證：平面；(2)求證：平面⊥平面；(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面?說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意可得，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理可得，由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理與性質(zhì)可得，再次利用線面垂直的判定定理可得平面，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（3）取的中點(diǎn)，連接.由（1）可得，由（2）可得平面，即可證明.【詳解】（1）在五面體中，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?又平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，所以，所以，?因?yàn)樗倪呅问钦叫危?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平?因?yàn)槠矫妫?因?yàn)槠矫?所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面⊥平?（3）在線段上存在點(diǎn)，使得平面.證明如下：取的中點(diǎn)，連接.由（1）知，平面ABFE，又平面，平面∩平面，所以.因?yàn)?，所?所以四邊形是平行四邊形．所以.由（2）知，平面，所以平面.44．（2324高三上·四川成都·期末）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面面，，，為的中點(diǎn).(1)求證：面面；(2)若的大小為，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)側(cè)面面，得到面，再利用面面垂直的判定定理證明；（2）取AB的中點(diǎn)O，連接PO，易知為等邊三角形，從而，然后根據(jù)E為PD的中點(diǎn)求解.【詳解】（1）證明：側(cè)面面，，面面=AB，面，又平面PBC，面面；（2）如圖所示：取AB的中點(diǎn)O，連接PO，因?yàn)?，的大小為，所以為等邊三角形，則，因?yàn)閭?cè)面面，側(cè)面面，所以平面，，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以.45．（2223高二下·新疆喀什·期末）如圖，在四棱錐中，平面，，.(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)C到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得答案；（2）利用線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得，再由可得答案.【詳解】（1）平面平面，平面，平面；（2），平面平面，平面，平面，平面，則，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由，得，即，點(diǎn)到平面的距離為.46．（2324高三上·四川成都·期末）如圖，四棱錐中，，，，平面平面.(1)證明：；(2)若，M是的中點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）利用直角梯形的性質(zhì)計(jì)算證得，再利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)推理即得.（2）取的中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)結(jié)合等體積法求出體積.【詳解】（1）在四棱錐中，，，，四邊形是直角梯形，，，，于是，即，而平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，所以.（2）取的中點(diǎn)，連接，由，得，，由平面平面，平面平面，平面，得平面，由M是的中點(diǎn)，得點(diǎn)到平面的距離，又，顯然，所以三棱錐的體積.47．（2223高二下·天津紅橋·期末）如圖，六棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正六邊形，平面，.(1)求證：直線平面；(2)求證：直線平面；(3)求直線與平面所的成角.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）通過(guò)證明結(jié)合線面平行判定定理可證；（2）由勾股定理證得，再結(jié)合可證；（3）先說(shuō)明即為直線與平面所的成角，再求得正切值可解.【詳解】（1）證明：∵正六邊形，∴，，∴，∴，∵平面，平面，∴直線平面.（2）在中，，易得，在中，，，∴,∴，因?yàn)槠矫?，平面，故，?平面，故直線平面.（3）∵平面，∴即為直線與平面所的成角，在中，，，∴，∴，即為直線與平面所的成角為.48．（2324高三上·陜西漢中·期末）如圖，在直三棱柱中，，，，，分別為，的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先根據(jù)勾股定理證得，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)定理證得；再根據(jù)線面垂直的判定定理證得平面；最后根據(jù)面面垂直的判定定理即可證得平面平面.（2）根據(jù)三棱錐等體積及錐體體積公式可求解.【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴.∵在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，∴，又因?yàn)?，平面，平面，∴平面，又平面ACE，∴平面平面．（2）由（1）知，平面，∴AC為三棱錐的高，且.由直三棱柱的性質(zhì)可得：四邊形為矩形.因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，，，則，∴．49．（2324高二上·四川樂(lè)山·期末）已知四棱錐中，⊥平面，底面是平行四邊形，且，，，，E為中點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)B到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)G，連結(jié)，先證明四邊形為平行四邊形，再利用直線平面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，利用勾股定理分別證明和，即分別求得和，進(jìn)而利用等體積法即由可得點(diǎn)B到平面的距離.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)G，連結(jié)．∵E，G分別是的中點(diǎn)，∴且．∵F是中點(diǎn)，，∴且．∴為平行四邊形．∴．又∵平面，平面，∴平面．（2）∵E是中點(diǎn)，平面∴點(diǎn)E到平面的距離為．∵，，，∴，且,即．∴．∵為平行四邊形，∴．∵，∴，即．∴．∵，∴．∴點(diǎn)B到平面的距離．新定義解答題50．（2324高一上·福建寧德·期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類(lèi)似地我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類(lèi)似的性質(zhì).(1)類(lèi)比正弦函數(shù)的二倍角公式，請(qǐng)寫(xiě)出雙曲正弦函數(shù)的一個(gè)正確的結(jié)論:_____________.（只寫(xiě)出即可，不要求證明）；(2)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，試比較與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用雙曲正、余弦函數(shù)的定義，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算即可得解.（2）根據(jù)給定條件，列出不等式，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)并求出最值即得.（3）作差，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及正余弦函數(shù)的性質(zhì)推理判斷即可.【詳解】（1）.（2）依題意，，不等式，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，令，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又，于是，，因此，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，從而，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3），.依題意，，，當(dāng)時(shí)，，，即，于是，而，因此，當(dāng)時(shí)，，則，，即，而，因此，于是，，所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，①若，總有成立，則；②若，總有成立，則；③若，使得成立，則；④若，使得成立，則.51．（2023·上海金山·一模）網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物行業(yè)日益發(fā)達(dá)，各銷(xiāo)售平臺(tái)通常會(huì)配備送貨上門(mén)服務(wù)．小金正在配送客戶購(gòu)買(mǎi)的電冰箱，并獲得了客戶所在小區(qū)門(mén)戶以及建筑轉(zhuǎn)角處的平面設(shè)計(jì)示意圖．(1)為避免冰箱內(nèi)部制冷液逆流，要求運(yùn)送過(guò)程中發(fā)生傾斜時(shí)，外包裝的底面與地面的傾斜角不能超過(guò)，且底面至少有兩個(gè)頂點(diǎn)與地面接觸．外包裝看作長(zhǎng)方體，如圖1所示，記長(zhǎng)方體的縱截面為矩形，，，而客戶家門(mén)高度為米，其他過(guò)道高度足夠．若以?xún)A斜角的方式進(jìn)客戶家門(mén)，小金能否將冰箱運(yùn)送入客戶家中？計(jì)算并說(shuō)明理由．(2)由于客戶選擇以舊換新服務(wù)，小金需要將客戶長(zhǎng)方體形狀的舊冰箱進(jìn)行回收．為了省力，小金選擇將冰箱水平推運(yùn)(冰箱背面水平放置于帶滾輪的平板車(chē)上，平板車(chē)長(zhǎng)寬均小于冰箱背面）．推運(yùn)過(guò)程中遇到一處直角過(guò)道，如圖2所示，過(guò)道寬為米．記此冰箱水平截面為矩形，．設(shè)，當(dāng)冰箱被卡住時(shí)(即點(diǎn)、分別在射線、上，點(diǎn)在線段上），嘗試用表示冰箱高度的長(zhǎng)，并求出的最小值，最后請(qǐng)幫助小金得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊冰箱，其高度的最大值是多少？（結(jié)果精確到）【答案】(1)冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中，理由見(jiàn)解析；(2)最小值為米，此情況下能推運(yùn)冰箱高度的最大值為米.【分析】（1）過(guò)A，D作水平線，作，由可得；（2）延長(zhǎng)與直角走廊的邊相交于、，由表示出，設(shè)進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）過(guò)A，D作水平線，作如圖，當(dāng)傾斜角時(shí)，冰箱傾斜后實(shí)際高度（即冰箱最高點(diǎn)到地面的距離），

故冰箱能夠按要求運(yùn)送入客戶家中．（2）延長(zhǎng)與直角走廊的邊相交于、，則，，，又，則，．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則，再令，則，易知，在上單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，故當(dāng)，即，時(shí)，取得最小值.由實(shí)際意義需向下取，此情況下能順利通過(guò)過(guò)道的冰箱高度的最大值為米．52．（2223高一下·北京海淀·期末）設(shè)，對(duì)定義在上的函數(shù)，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意恒成立，則稱(chēng)函數(shù)滿足性質(zhì)．(1)判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)？①，②，③．(2)若函數(shù)具有性質(zhì)，其中，求證：函數(shù)具有性質(zhì)；(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)．若，求的值．【答案】(1)①具有性質(zhì)；②不具有性質(zhì)；③具有性質(zhì)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用性質(zhì)的定義判斷；（2）利用性質(zhì)的定義證明；（3）根據(jù)函數(shù)具有性質(zhì)，得到，從而有，分別令，，再結(jié)合是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，得到，然后令，得到，從而得到，然后利用求解.【詳解】（1）①因?yàn)椋跃哂行再|(zhì)；②因?yàn)?，所以不具有性質(zhì)；③，所以具有性質(zhì)．（2）因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得對(duì)任意恒成立．因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì)，則存在常數(shù)，使得，對(duì)任意恒成立，故，即也對(duì)任意恒成立，因此對(duì)任意恒成立．又因?yàn)樗院瘮?shù)具有性質(zhì)．（3）由已知存在滿足，即，令，則①，令，則②，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，①+②，整理得，令，則，即，又因?yàn)?，所以，所?3．（2223高一下·北京東城·期末）對(duì)于三維向量，定義“變換”：，其中，．記，．(1)若，求及；(2)證明：對(duì)于任意，經(jīng)過(guò)若干次變換后，必存在，使；(3)已知，將再經(jīng)過(guò)次變換后，最小，求的最小值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)505【分析】（1）根據(jù)定義找出，，從而得到，；（2）利用反證法，假設(shè)對(duì)，然后導(dǎo)出矛盾，命題得證；（3）先求出，再通過(guò)變換，找到最小的時(shí)的情況.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所?（2）設(shè)，假設(shè)對(duì)，則均不為0．所以．即．因?yàn)?，所以．所以．與矛盾，故假設(shè)不正確．綜上，對(duì)于任意，經(jīng)過(guò)若干次變換后，必存在，使．（3）設(shè)，因?yàn)?，所以有或．?dāng)時(shí)，可得三式相加得．又，可得．當(dāng)時(shí)，也可得，于是．設(shè)的三個(gè)分量為這三個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，的三個(gè)分量為這三個(gè)數(shù)，所以．當(dāng)時(shí)，的三個(gè)分量為，則的三個(gè)分量為的三個(gè)分量為，所以．所以，由，可得．因?yàn)?，所以任意的三個(gè)分量始終為偶數(shù)，且都有一個(gè)分量等于2．所以的三個(gè)分量只能是三個(gè)數(shù)，的三個(gè)分量只能是三個(gè)數(shù)．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的最小值為505．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：新定義問(wèn)題，常見(jiàn)于選擇（填空）的壓軸小題中，少數(shù)會(huì)出現(xiàn)在解答題中，主要考查利用相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)解決概念創(chuàng)新問(wèn)題的能力，對(duì)新定義的理解以及轉(zhuǎn)化，較靈活，屬于綜合題.54．（2324高一下·四川內(nèi)江·期中）若定義在A上的函數(shù)和定義在B上的函數(shù)，對(duì)任意的，存在，使得（t為常數(shù)），則稱(chēng)與具有關(guān)系．已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)，，判斷與是否具有關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)若函數(shù)，，且與具有關(guān)系，求a的最大值；(3)若函數(shù)，，且與具有關(guān)系，求m的取值范圍．【答案】(1)與是否具有關(guān)系，理由見(jiàn)解析(2)5(3)或【分析】（1）先求出，在的值域?yàn)?，從而得到?duì)任意的，存在，使得，得到結(jié)論；（2）求出，結(jié)合，得到，得到不等式，求出的取值范圍，求出最大值；（3）由題意得到的值域，其中，換元后得到，由對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行分類(lèi)討論，得到的值域，從而得到不等式，求出答案.【詳解】（1）與是否具有關(guān)系，理由如下：時(shí)，，故，，又在的值域?yàn)椋捎?，即是的真子集，故?duì)任意的，存在，使得，與是否具有關(guān)系.（2）時(shí)，，由題意得，任意的，存在，使得，又，，故，即，解得，故的最大值為5；（3）由題意得對(duì)任意的，存在，使得，又，故的值域，令，，令，則，設(shè)，若對(duì)稱(chēng)軸，即時(shí)，，則，解得，與求交集，結(jié)果為，若，即時(shí)，，則，解得，與取交集，結(jié)果為，若，即時(shí)，，則，解得或，與取交集，結(jié)果為，若，即時(shí)，，則，解得或，與取交集，結(jié)果為，綜上，或【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)新定義問(wèn)題的方法和技巧：（1）可通過(guò)舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡(jiǎn)單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語(yǔ)言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說(shuō)明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)