1.4數(shù)學(xué)歸納法課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

*1.4數(shù)學(xué)歸納法第1章數(shù)列湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理;2.能夠用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)目錄索引

基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點(diǎn)數(shù)學(xué)歸納法在證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時,可采用下面兩個步驟:(1)證明

(n0∈N+)時命題成立;

(2)假設(shè)

時命題成立,證明當(dāng)

時命題也成立.

只要完成這兩個步驟,就可以知道:對任何從n0開始的正整數(shù)n,命題成立.滿足命題的最小的正整數(shù)的值

這種證明方法叫作

.

n=n0n=k(k∈N+,k≥n0)n=k+1數(shù)學(xué)歸納法

名師點(diǎn)睛1.數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法.一般地,與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除、數(shù)列的通項公式及前n項和等問題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.但并不是所有與正整數(shù)有關(guān)的問題都能用數(shù)學(xué)歸納法解決.2.步驟(2)是數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵.假設(shè)“當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立”起著已知的作用,證明“當(dāng)n=k+1時命題也成立”的過程中,必須用到假設(shè),再根據(jù)有關(guān)的定理、定義、公式、性質(zhì)等推證出當(dāng)n=k+1時命題也成立.而不能直接將n=k+1代入假設(shè),此時n=k+1時命題成立也是假設(shè),命題并沒有得證.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法.(

)(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時,假設(shè)可以不用.(

)(3)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時,由n=k到n=k+1,項數(shù)都增加了一項.(

)×××2.第一個值n0是命題成立的第一個正整數(shù),n0的值都是1嗎?3.與正整數(shù)n無關(guān)的數(shù)學(xué)命題能否應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法?提示n0只是滿足命題的最小的正整數(shù),但不一定是1.提示不能.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式這表明,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,對于任何n∈N+,等式都成立.規(guī)律方法

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的方法

[提醒]用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的易錯之處:(1)正確分析由n=k(k∈N+,k≥n0)到n=k+1時式子項數(shù)的變化是應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法成功證明問題的保障;(2)在證明“當(dāng)n=k+1時命題也成立”中一定要利用假設(shè),這是數(shù)學(xué)歸納法證明的核心環(huán)節(jié),否則這樣的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法證明.變式訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明:1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2,其中n∈N+.證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=1×4=4,右邊=1×22=4,左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,那么,當(dāng)n=k+1時,1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2.這表明,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,等式對任何正整數(shù)n都成立.探究點(diǎn)二歸納—猜想—證明S1,S2,S3,S4,猜想Sn的表達(dá)式,并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.分析

根據(jù)遞推關(guān)系式,依次求出n=1,2,3,4時的Sn與項數(shù)n的關(guān)系,歸納、猜想Sn與項數(shù)n的關(guān)系后利用數(shù)學(xué)歸納法證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明:這表明,當(dāng)n=k+1時,猜想也成立.由(1)和(2)可以斷定,對任意正整數(shù)n,猜想均成立.規(guī)律方法

“歸納—猜想—證明”的一般步驟

變式訓(xùn)練2(1)求出a2,a3并猜想an的通項公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟:(1)證明n=n0(n0∈N+)時命題成立;(2)假設(shè)n=k(k∈N+,k≥n0)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.2.方法歸納:利用兩個步驟證明等式,歸納—猜想—證明.3.常見誤區(qū):驗證n=n0時不能準(zhǔn)確找到n0,在證明步驟(2)時沒有利用假設(shè).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)A級必備知識基礎(chǔ)練123456789101112131.用數(shù)學(xué)歸納法證明3n≥n3(n≥3,n∈N+),第一步驗證(

)A.n=1 B.n=2

C.n=3

D.n=4C解析

由題知,n的最小值為3,所以第一步驗證n=3時不等式是否成立.12345678910111213這表明,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,不等式對任何正整數(shù)n都成立.則上述證法(

)A.過程全部正確 B.n=1的驗證不正確C.n=k的假設(shè)不正確 D.從n=k到n=k+1的遞推不正確D123456789101112133.（多選題）一個關(guān)于自然數(shù)n的命題,如果證得當(dāng)n=1時命題成立,并在假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1且k∈N+)時命題成立的基礎(chǔ)上,證明了當(dāng)n=k+2時命題成立,那么綜合上述,對于(

)A.一切正整數(shù)命題成立B.一切正奇數(shù)命題成立C.一切正偶數(shù)命題成立D.以上都不對BC123456789101112134.已知f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),則(

)A.f(k+1)-f(k)=2k+2B.f(k+1)-f(k)=3k+3C.f(k+1)-f(k)=4k+2D.f(k+1)-f(k)=4k+3B解析

由f(k)=k+(k+1)+(k+2)+…+2k(k∈N+),可知f(k+1)-f(k)=(k+1)+(k+2)+(k+3)+…+(2k-1)+2k+(2k+1)+2(k+1)-[k+(k+1)+(k+2)+…+2k]=3(k+1).故選B.12345678910111213D.以上結(jié)論都不正確

C123456789101112136.用數(shù)學(xué)歸納法證明下列各式:(1)12-22+32-42+…+(-1)n-1n2=(-1)n-1·(n∈N+);(2)12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).證明(1)①當(dāng)n=1時,左邊=12=1,12345678910111213這表明,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.根據(jù)①和②可以斷定,對于任何n∈N+,等式都成立.(2)①當(dāng)n=1時,左邊=12-22=-3,右邊=-3,等式成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1),那么,當(dāng)n=k+1時,12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=-k(2k+1)-(4k+3)=-(2k2+5k+3)=-(k+1)[2(k+1)+1].這表明,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由①和②可以斷定,等式對任何n∈N+都成立.12345678910111213B級關(guān)鍵能力提升練C123456789101112138.在數(shù)列{an}中,已知a1=1,當(dāng)n≥2時,an-an-1=2n-1,依次計算a2,a3,a4后,猜想an的表達(dá)式是(

)A.an=3n-2 B.an=n2C.an=3n-1

D.an=4n-3B解析

計算出a1=1,a2=4,a3=9,a4=16.可猜想an的表達(dá)式是an=n2,故選B.12345678910111213D1234567891011121310.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意的自然數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,通過計算S1,S2,S3,猜想Sn=

.

12345678910111213證明(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊=2.左邊<右邊,不等式成立.這表明,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.由(1)和(2)可以斷定,不等式對任意n∈N+都成立.1234567891011121312.數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N+).(1)計算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項公式an;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.1234567891011121312345678910111213C級學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練13.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N+),其中λ>0.(1)求a2,a3,a4,并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.(1)解

由a1=2,an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n,可得a2=λ2+22,a3=2λ3+23,a4=3λ4+24,猜想an=(n-1)λn+2n.12345678910111213(2)證明①當(dāng)n=1時,a1=(1-1)λ+2=2,猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k時,猜想成立,即ak=(k-1)λk