廣東省2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

2025屆高三年級(jí)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫(xiě)在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫(xiě)在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，則（）A.B.C.D.2.某公司購(gòu)入了400根鋼管擬切割打磨為其他產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)鋼管口徑后得以下頻數(shù)分布表：鋼管口徑11.012.514.016.518.520.521.022.0頻數(shù)26741004046523824則這批鋼管口徑的中位數(shù)為（）A.14.00cmB.15.25cmC.16.25cmD.16.50cm3.已知直線，直線，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件4.已知向量，若，則（）A.5B.3C.D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，將圓上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，則得到的新曲線的曲線方程為（）A.B.C.D.6.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，若點(diǎn)在邊上，且平分，則（）A.B.C.D.7.在電子游戲中，若甲，乙，丙通關(guān)的概率分別是，且三人通關(guān)與否相互獨(dú)立，則在甲，乙，丙中恰有兩人通關(guān)的條件下，甲通關(guān)的概率為（）A.B.C.D.8.當(dāng)時(shí)，方程在上根的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A.的實(shí)部為1B.的虛部為C.D.直線的傾斜角為10.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為上的動(dòng)點(diǎn)（與均不重合），且點(diǎn)位于第一象限，過(guò)點(diǎn)向軸作垂線，垂足記為點(diǎn)，點(diǎn)，則（）A.B.C.的最小值為D.面積的最小值為211.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（）A.若，則是上的單調(diào)遞增函數(shù)B.若，則是奇函數(shù)C.若，且，則D.若，則是奇函數(shù)或是偶函數(shù)三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則__________.13.函數(shù)，若的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，且，則__________.14.已知圓臺(tái)的上?下底半徑分別為和，若圓臺(tái)外接球的球心在圓臺(tái)外，則圓臺(tái)的高的取值范圍是__________；若，圓臺(tái)的高為，且，則圓臺(tái)外接球表面積的最大值為_(kāi)_________（第一空2分，第二空3分）四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）在中，已知內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且依次為等比數(shù)列的前3項(xiàng)，設(shè)其公比為，且.（1）若，求的前項(xiàng)和；（2）證明：當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度為的三條線段可以構(gòu)成三角形.16.（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，若存在極大值，且存在極小值，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.17.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，平面.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角.18.（本小題滿分17分）已知雙曲線的離心率為，焦距為.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)作直線分別交的左?右兩支于兩點(diǎn)，交的漸近線于，兩點(diǎn)，求的取值范圍.19.（本小題滿分17分）將4個(gè)面上分別寫(xiě)有數(shù)字的一個(gè)正四面體在桌面上連續(xù)獨(dú)立地拋次（為正整數(shù)），設(shè)為與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的次數(shù)，為拋正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率.（1）當(dāng)時(shí)，若正四面體的質(zhì)地是均勻的，求的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）若正四面體有瑕疵，即.①設(shè)是拋擲正四面體次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，求證：②求拋擲正四面體次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)偶數(shù)次的概率.2025屆高三年級(jí)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案及解析一?選擇題1.A【解析】將中的元素依次代入驗(yàn)證，只有滿足，所以.故選A.2.B【解析】因?yàn)闉檎麛?shù)，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為從小到大排列的第200個(gè)數(shù)據(jù)和第201個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，因?yàn)榍叭M的頻數(shù)之和為200，所以這批鋼管口徑的中位數(shù)為15.25.故選B.3.A【解析】因?yàn)榛颍允堑某浞植槐匾獥l件.故選A.4.C【解析】因?yàn)?，所以，所以，，所?故選C.5.D【解析】設(shè)為上任意一點(diǎn)，將點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)壓縮到原來(lái)的得到點(diǎn)，則，所以，因?yàn)?，所以，所以新的曲線方程為.故選D.6.C【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理，得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，由，得，所以.故選C.7.D【解析】設(shè)甲，乙，丙通關(guān)分別為事件，三人中恰有兩人通關(guān)為事件，.故選D.8.B【解析】，設(shè)函數(shù)，現(xiàn)討論方程根的個(gè)數(shù)，在時(shí)單調(diào)遞增，故問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為根的問(wèn)題，令單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，方程只有一根，所以方程在上根的個(gè)數(shù)為1.故選B.二?多選題9.AB【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以A?B正確；，所以C錯(cuò)誤；對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以直線的傾斜角為，所以D錯(cuò)誤.故選AB.10.ABD【解析】A選項(xiàng)，由題意知，故，所以，故A正確；B選項(xiàng)，由題意知軸，所以，所以，又，即，故B正確；C選項(xiàng)，由拋物線的性質(zhì)知，，因此當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，此時(shí)，即，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立得，故，，因此，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，當(dāng)時(shí)，的面積取最小值2，故D正確.故選ABD.11.BC【解析】A.若，則，但不是上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；B.若，當(dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以，即；?dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以，即；?dāng)時(shí)，令，因?yàn)?，所以，綜上，，所以是奇函數(shù)，所以B正確；C.若，且，則，所以C正確；D.若，滿足，但函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選BC.三?填空題12.【解析】，所以.故答案為.13.【解析】因?yàn)榈囊粋€(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為，所以周期，所以，因?yàn)?，所以或，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以.故答案為.14.【解析】圓臺(tái)外接球的球心必在圓臺(tái)的軸線上，因?yàn)樵趫A臺(tái)外，設(shè)到下底面的距離為，則，所以，所以，所以圓臺(tái)的外接球表面積為，因?yàn)樵跁r(shí)單調(diào)遞減，且，所以.故答案為.（第一空2分，第二空3分）四?解答題15.解：（1）因?yàn)椋?，因?yàn)榉謩e為的三邊，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?又，所以.（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樗?，所以長(zhǎng)度為的三條線段可以構(gòu)成三角形.16.解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，因?yàn)榇嬖跇O大值，且存在極小值，所以必須有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以，所以或.（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因?yàn)闊o(wú)解，所以.17.證明：（1）如圖，取的中點(diǎn)為，連結(jié)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，在三角形中，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）由平面得兩兩垂直，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得，，，因?yàn)?，所以，又，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)樗?，又平面平面，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，所以平面的法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，則，令，則，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為，所以平面與平面的夾角為.18.解：（1）因?yàn)榈碾x心率為，焦距為，所以，解得，.所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意可設(shè)直線的斜率存在，設(shè)為，直線的方程為的漸近線方程為，不妨設(shè)分別在左?右位置，聯(lián)立得，聯(lián)立得，所以，聯(lián)立得，設(shè)，則，由即所以，所以，又，所以的取值范圍為.19.解：（1）因?yàn)檎拿骟w的質(zhì)地是均勻的，為拋擲正四面體一次與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)的概率，所以，進(jìn)一步得，，所以，，所以的數(shù)學(xué)期望和方差分別為和.（2）①因?yàn)槭菕佌拿骟w次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，所以是拋正四面體次中與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)奇數(shù)次的概率，當(dāng)時(shí)，當(dāng)在前次拋擲試驗(yàn)中正四面體與桌面接觸的數(shù)字為偶數(shù)出現(xiàn)