2024屆江西省九江市高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3江西省九江市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，解得或，所以，又，所以.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.3.若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減且恒大于0，則有，解得.故選：C4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我國上海華東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進(jìn)制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為3.故選：B5.在正方體中，為四邊形的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.平面平面 D.若平面平面，則平面〖答案〗B〖解析〗A選項：由正方體性質(zhì)易知，，所以四點共面，由圖知，平面，直線在平面內(nèi)，且不過點A，所以異面，A錯誤；B選項：因為平面，平面，所以，又為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，B正確；C選項：記平面平面，因為，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，記的中點分別為，由正方體性質(zhì)可知，，所以，所以，同理，，所以是平面和平面的夾角或其補(bǔ)角，又對稱性可知，等腰三角形，故為銳角，C錯誤；D選項：因為，所以與平面相交，D錯誤.故選：B6.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點為，P為C上一點，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點O的M，N兩點.若，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，有，即，由題意可得、，漸近線方程為，故，又，故，則，即，解得或，則或，由，故，，即，則.故選：B.8.已知一個圓臺內(nèi)接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓臺母線長為l，上、下底面半徑分別為和，則圓臺側(cè)面積為，上、下底面面積分別為和.由圓臺表面積為，得，所以圓臺高，設(shè)球半徑為，圓臺軸截面為等腰梯形，且，高為1.作于點，設(shè)，由，則球心在圓臺外部.則有，解得，所以球的體積為.故選：C.二、選擇題9.射擊作為一項綜合運(yùn)動項目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時保持冷靜和專注.第19屆亞運(yùn)會在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，并創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）如下：黃雨婷韓佳予王芝琳第4輪105.5106.2105.6第5輪106.5105.7105.3第6輪10510611051則下列說法正確的是A.三輪射擊9項成績極差為1.5B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出〖答案〗ABD〖解析〗三輪射擊9項成績極差為106.5-105=1.5，A正確；第四輪的總成績?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績?yōu)?17.5環(huán)，第六輪的總成績?yōu)?16.2環(huán)，B正確；王芝琳的射擊成績波動小，最穩(wěn)定，C錯誤；黃雨婷的平均成績約為105.67，韓佳予的平均成績?yōu)?06，王芝琳的平均成績約為105.33，D正確.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，動點在上，若定點滿足，則（）A.的準(zhǔn)線方程為 B.周長的最小值為C.直線的傾斜角為 D.四邊形不可能是平行四邊形〖答案〗BD〖解析〗拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，又點滿足，所以，即，解得或（舍去），所以拋物線，則準(zhǔn)線方程為，焦點為，故A錯誤；過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，所以周長的最小值為，故B正確；因為，所以直線的傾斜角為，故C錯誤；過點作的平行線，交拋物線于點，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域為，，，則下列命題正確的是（）A.為奇函數(shù) B.為上減函數(shù)C.若，則為定值 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗因為，，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，令，可得，所以，所以為奇函數(shù)，故A正確；因為、，所以不可能為上減函數(shù)，故B錯誤；令可得，所以，故C正確；令可得，因為，所以，所以，，，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計劃選派5名黨員教師前往5個鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動，每個鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有________種.〖答案〗96〖解析〗第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村A，則A地有種選派方法，第二步，其他4個鄉(xiāng)村有種選派方法，所以共有種選派方法.故〖答案〗為：96.13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知，，，且為圓內(nèi)接三角形，則的歐拉線方程為________.〖答案〗〖解析〗依題意，解得，所以圓，即，故圓心坐標(biāo)為，即的外心坐標(biāo)為，又的重心坐標(biāo)為，又點、均在直線上，所以的歐拉線方程為.故〖答案〗為：14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是________，_______.〖答案〗12〖解析〗由題意知，，又，所以，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故面積的最大值為.因為，，所以，，所以，由余弦定理得，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線方程為（1）求a，b的值；（2）判斷的單調(diào)性.解：（1），由題意可得，，則，可得，，即，；（2），，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增.16.2023年10月10日，來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85，2號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時響應(yīng)號召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線（3號）生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引進(jìn)3號生產(chǎn)線后，1，2號生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.（1）現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；（2）現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時，需幾臺同型號的設(shè)備同時工作.現(xiàn)有兩種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺設(shè)備價格30000元，可先購進(jìn)2臺設(shè)備.若均為優(yōu)品，則2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺相同型號設(shè)備才能完成污水處理工作.方案二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺23000元.需要三臺同型號設(shè)備同時工作，才能完成污水處理工作.從購買費(fèi)用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個方案，并說明理由.解：（1）設(shè)“任取一件產(chǎn)品為優(yōu)品”，“產(chǎn)品為第號生產(chǎn)線生產(chǎn)”，由全概率公式得：則從所有產(chǎn)品中任取一件是良品的概率為：.（2）選擇方案一，理由如下：設(shè)從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為元，則可取：，，由（1）知：所以.設(shè)從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為元，則，因為，故選擇方案一比較合適.17.如圖，三棱錐中，平面，，，，點滿足，.（1）證明：平面平面；（2）點在上，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為平面，平面，所以，，又點滿足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面內(nèi)過點作，則平面，又平面，平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)，所以，，因為，所以，即，解得，所以為的中點，則，設(shè)平面的法向量為，又，，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓：和圓C：，C經(jīng)過E的焦點，點A，B為E的右頂點和上頂點，C上的點D滿足.（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與C相切于第一象限的點P，與E相交于M，N兩點，線段的中點為Q.當(dāng)最大時，求的方程.解：（1）依題意得，由，得，代入的方程中，得，①又經(jīng)過的焦點，得，即，②由①②解得所以的方程為.（2）解法一：依題意，設(shè)l的方程為，，則有，，由l與C相切，得，即，又，兩式相減得，有，，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得，中，，當(dāng)最大時，最大，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，得，即的最大值為，此時，，故l的方程為.解法二：依題意，設(shè)l的方程為，，聯(lián)立方程組，化簡得，由，得，，聯(lián)立方程組，化簡得，由，得，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，則，當(dāng)最大時，，故l的方程為.19.定義兩個維向量，的數(shù)量積，，記為的第k個分量（且）.如三維向量，其中的第2分量.若由維向量組成的集合A滿足以下三個條件：①集合中含有n個n維向量作為元素；②集合中每個元素的所有分量取0或1；③集合中任意兩個元素，，滿足（T為常數(shù)）且.則稱A為T的完美n維向量集.（1）求2的完美3維向量集；（2）判斷是否存在完美4維向量集，并說明理由；（3）若存在A為T的完美n維向量集，求證：A的所有元素的第k分量和.（1）解：由題意知，集合中含有3個元素（），且每個元素中含有三個分量，因為，所以每個元素中的三個分量中有兩個取1，一個取0.所以，，，又，所以2的完美3維向量集為.（2）解：依題意，完美4維向量集B含有4個元素（），且每個元素中含有四個分量，，（i）當(dāng)時，，與集合中元素的互異性矛盾，舍去；（ii）當(dāng)時，，不滿足條件③，舍去；（iii）當(dāng)時，，因為，故與至多有一個在B中，同理：與至多有一個在B中，與至多有一個在B中，故集合B中的元素個數(shù)小于4，不滿足條件①，舍去；（iv）當(dāng)時，，不滿足條件③，舍去；（v）當(dāng)時，，與集合中元素的互異性矛盾，舍去；綜上所述，不存在完美4維向量集.（3）證明：依題意，的完美維向量集含有個元素（），且每個元素中含有個分量，因為，所以每個元素中有個分量為1，其余分量為0，所以（*），由（2）知，，故，假設(shè)存在，使得，不妨設(shè).（i）當(dāng)時，如下圖，由條件③知，或（），此時，與（*）矛盾，不合題意.（ii）當(dāng)時，如下圖，記（），不妨設(shè)，，，下面研究，，，，的前個分量中所有含1的個數(shù).一方面，考慮，，，，中任意兩個向量數(shù)量積為1，故，，，（）中至多有1個1，故，，，，的前個分量中，所有含1的個數(shù)至多有個1（**）.另一方面，考慮（），故，，，，的前個分量中，含有個1，與（**）矛盾，不合題意.故對任意且，，由（*）可得.江西省九江市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，即，解得或，所以，又，所以.故選：A2.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D.3.若函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞減，由函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減且恒大于0，則有，解得.故選：C4.第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME-InternationalCongreasofMathematicsEducation）在我國上海華東師范大學(xué)舉行.如圖是本次大會的會標(biāo)，會標(biāo)中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦——3、7、4、4，這是中國古代八進(jìn)制計數(shù)符號，換算成現(xiàn)代十進(jìn)制是，正是會議計劃召開的年份，那么八進(jìn)制換算成十進(jìn)制數(shù)，則換算后這個數(shù)的末位數(shù)字是（）A.1 B.3 C.5 D.7〖答案〗B〖解析〗由進(jìn)位制的換算方法可知，八進(jìn)制換算成十進(jìn)制得：，因為是10的倍數(shù)，所以，換算后這個數(shù)的末位數(shù)字即為的末尾數(shù)字，由可得，末尾數(shù)字為3.故選：B5.在正方體中，為四邊形的中心，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.平面平面 D.若平面平面，則平面〖答案〗B〖解析〗A選項：由正方體性質(zhì)易知，，所以四點共面，由圖知，平面，直線在平面內(nèi)，且不過點A，所以異面，A錯誤；B選項：因為平面，平面，所以，又為正方形，所以，因為，平面，所以平面，又平面，所以，B正確；C選項：記平面平面，因為，平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以，記的中點分別為，由正方體性質(zhì)可知，，所以，所以，同理，，所以是平面和平面的夾角或其補(bǔ)角，又對稱性可知，等腰三角形，故為銳角，C錯誤；D選項：因為，所以與平面相交，D錯誤.故選：B6.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，，所以，解得，所以，又，所以，所以.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的右焦點為，P為C上一點，以為直徑的圓與C的兩條漸近線相交于異于點O的M，N兩點.若，則C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，有，即，由題意可得、，漸近線方程為，故，又，故，則，即，解得或，則或，由，故，，即，則.故選：B.8.已知一個圓臺內(nèi)接于球（圓臺的上、下底面的圓周均在球面上）.若該圓臺的上、下底面半徑分別為1和2，且其表面積為，則球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)圓臺母線長為l，上、下底面半徑分別為和，則圓臺側(cè)面積為，上、下底面面積分別為和.由圓臺表面積為，得，所以圓臺高，設(shè)球半徑為，圓臺軸截面為等腰梯形，且，高為1.作于點，設(shè)，由，則球心在圓臺外部.則有，解得，所以球的體積為.故選：C.二、選擇題9.射擊作為一項綜合運(yùn)動項目，不僅需要選手們技術(shù)上的過硬，更需要他們在臨場發(fā)揮時保持冷靜和專注.第19屆亞運(yùn)會在我國杭州舉行，女子10米氣步槍團(tuán)體決賽中，中國隊以1896.6環(huán)的成績獲得金牌，并創(chuàng)造新的亞洲紀(jì)錄.決賽中，中國選手黃雨婷、韓佳予和王芝琳在最后三輪比賽中依次射擊，成績（環(huán)）如下：黃雨婷韓佳予王芝琳第4輪105.5106.2105.6第5輪106.5105.7105.3第6輪10510611051則下列說法正確的是A.三輪射擊9項成績極差為1.5B.三輪射擊成績最好的一輪是第五輪C.從三輪射擊成績來看，黃雨婷射擊成績最穩(wěn)定D.從三輪各人平均成績來看，韓佳予表現(xiàn)更突出〖答案〗ABD〖解析〗三輪射擊9項成績極差為106.5-105=1.5，A正確；第四輪的總成績?yōu)?17.3環(huán)，第五輪的總成績?yōu)?17.5環(huán)，第六輪的總成績?yōu)?16.2環(huán)，B正確；王芝琳的射擊成績波動小，最穩(wěn)定，C錯誤；黃雨婷的平均成績約為105.67，韓佳予的平均成績?yōu)?06，王芝琳的平均成績約為105.33，D正確.故選：ABD.10.已知拋物線的焦點為，為坐標(biāo)原點，動點在上，若定點滿足，則（）A.的準(zhǔn)線方程為 B.周長的最小值為C.直線的傾斜角為 D.四邊形不可能是平行四邊形〖答案〗BD〖解析〗拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，又點滿足，所以，即，解得或（舍去），所以拋物線，則準(zhǔn)線方程為，焦點為，故A錯誤；過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線的定義可知，所以當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號，所以周長的最小值為，故B正確；因為，所以直線的傾斜角為，故C錯誤；過點作的平行線，交拋物線于點，即，解得，即，則，所以四邊形不是平行四邊形，故D正確.故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域為，，，則下列命題正確的是（）A.為奇函數(shù) B.為上減函數(shù)C.若，則為定值 D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗因為，，令，可得，則，令，可得，則，令，可得，令，可得，所以，所以為奇函數(shù)，故A正確；因為、，所以不可能為上減函數(shù)，故B錯誤；令可得，所以，故C正確；令可得，因為，所以，所以，，，所以，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.為助力鄉(xiāng)村振興，九江市教科所計劃選派5名黨員教師前往5個鄉(xiāng)村開展“五育”支教進(jìn)鄉(xiāng)村黨建活動，每個鄉(xiāng)村有且只有1人，則甲不派往鄉(xiāng)村A的選派方法有________種.〖答案〗96〖解析〗第一步，由于甲不派往鄉(xiāng)村A，則A地有種選派方法，第二步，其他4個鄉(xiāng)村有種選派方法，所以共有種選派方法.故〖答案〗為：96.13.歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線，這條線稱之為三角形的歐拉線.已知，，，且為圓內(nèi)接三角形，則的歐拉線方程為________.〖答案〗〖解析〗依題意，解得，所以圓，即，故圓心坐標(biāo)為，即的外心坐標(biāo)為，又的重心坐標(biāo)為，又點、均在直線上，所以的歐拉線方程為.故〖答案〗為：14.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是________，_______.〖答案〗12〖解析〗由題意知，，又，所以，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故面積的最大值為.因為，，所以，，所以，由余弦定理得，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題15.已知函數(shù)在處的切線方程為（1）求a，b的值；（2）判斷的單調(diào)性.解：（1），由題意可得，，則，可得，，即，；（2），，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故在上單調(diào)遞增.16.2023年10月10日，來到九江市考察調(diào)研，特別關(guān)注生態(tài)優(yōu)先，綠色發(fā)展.某生產(chǎn)小型污水處理設(shè)備企業(yè)甲，原有兩條生產(chǎn)線，其中1號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.85，2號生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.8.為了進(jìn)一步擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，同時響應(yīng)號召，助力長江生態(tài)恢復(fù)，該企業(yè)引進(jìn)了一條更先進(jìn)、更環(huán)保的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線（3號）生產(chǎn)的產(chǎn)品優(yōu)品率為0.95.所有生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品除了優(yōu)品，其余均為良品.引進(jìn)3號生產(chǎn)線后，1，2號生產(chǎn)線各承擔(dān)20%的生產(chǎn)任務(wù)，3號生產(chǎn)線承擔(dān)60%的生產(chǎn)任務(wù)，三條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品都均勻放在一起，且無區(qū)分標(biāo)志.（1）現(xiàn)產(chǎn)品質(zhì)檢員，從所有產(chǎn)品中任取一件進(jìn)行檢測，求取出的產(chǎn)品是良品的概率；（2）現(xiàn)某企業(yè)需購進(jìn)小型污水處理設(shè)備進(jìn)行污水處理，處理污水時，需幾臺同型號的設(shè)備同時工作.現(xiàn)有兩種方案選擇：方案一，從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺設(shè)備價格30000元，可先購進(jìn)2臺設(shè)備.若均為優(yōu)品，則2臺就可以完成污水處理工作；若其中有良品，則需再購進(jìn)1臺相同型號設(shè)備才能完成污水處理工作.方案二，從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備，每臺23000元.需要三臺同型號設(shè)備同時工作，才能完成污水處理工作.從購買費(fèi)用期望角度判斷應(yīng)選擇哪個方案，并說明理由.解：（1）設(shè)“任取一件產(chǎn)品為優(yōu)品”，“產(chǎn)品為第號生產(chǎn)線生產(chǎn)”，由全概率公式得：則從所有產(chǎn)品中任取一件是良品的概率為：.（2）選擇方案一，理由如下：設(shè)從甲企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為元，則可?。?，，由（1）知：所以.設(shè)從乙企業(yè)購進(jìn)設(shè)備的費(fèi)用為元，則，因為，故選擇方案一比較合適.17.如圖，三棱錐中，平面，，，，點滿足，.（1）證明：平面平面；（2）點在上，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：因為平面，平面，所以，，又點滿足，，所以，在中，在中，，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：由（1）可知平面，平面，所以平面平面，在平面內(nèi)過點作，則平面，又平面，平面，所以，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，設(shè)，所以，，因為，所以，即，解得，所以為的中點，則，設(shè)平面的法向量為，又，，則，取，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知橢圓：和圓C：，C經(jīng)過E的焦點，點A，B為E的右頂點和上頂點，C上的點D滿足.（1）求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與C相切于第一象限的點P，與E相交于M，N兩點，線段的中點為Q.當(dāng)最大時，求的方程.解：（1）依題意得，由，得，代入的方程中，得，①又經(jīng)過的焦點，得，即，②由①②解得所以的