5.5.1　第3課時(shí)　兩角和與差的正切公式

第3課時(shí)兩角和與差的正切公式第五章

5.5.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切

公式.2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值.3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標(biāo)同學(xué)們，上節(jié)課我們實(shí)現(xiàn)了兩角和與差的正弦、余弦的展開與合并，今天我們將繼續(xù)“變臉”，共同探究?jī)山呛团c差的正切是否也能實(shí)現(xiàn)“變臉”.導(dǎo)語隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練一、兩角和與差的正切公式二、給值求值(角)三、兩角和與差的正切公式的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引一、兩角和與差的正切公式問題1請(qǐng)同學(xué)們寫出兩角和與差的正弦公式、余弦公式.提示cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.問題2同角三角函數(shù)中的商數(shù)關(guān)系是什么？問題3你能用兩角和與差的正弦、余弦公式來表示兩角和與差的正切公式嗎？用－β來代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β).知識(shí)梳理1.兩角和的正切公式2.兩角差的正切公式√例1

(1)tan255°等于解析tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°√反思感悟

利用公式T(α±β)化簡(jiǎn)求值的兩點(diǎn)說明(1)分析式子結(jié)構(gòu)，正確選用公式形式：T(α±β)是三角函數(shù)公式中應(yīng)用靈活程度較高的公式之一，因此在應(yīng)用時(shí)先從所化簡(jiǎn)(求值)式子的結(jié)構(gòu)出發(fā)，確定是正用、逆用還是變形用，并注意整體代換.(2)化簡(jiǎn)求值中要注意“特殊值”的代換和應(yīng)用：跟蹤訓(xùn)練1

化簡(jiǎn)求值：二、給值求值(角)問題4根據(jù)兩角和與差的正切公式的特點(diǎn)以及上述練習(xí)，你能寫出幾種公式的變形形式嗎？提示T(α＋β)的變形：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)；T(α－β)的變形：tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)；√延伸探究

若本例條件不變，求tan(α＋β)的值.反思感悟(1)關(guān)于求值問題，利用角的代換，將所求角轉(zhuǎn)化為已知角的和與差，再根據(jù)公式求解.(2)關(guān)于求角問題，先確定該角的某個(gè)三角函數(shù)值，再根據(jù)角的取值范圍確定該角的大小.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小.∵α，β為銳角，三、兩角和與差的正切公式的綜合應(yīng)用例3設(shè)tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的根，則tan(α＋β)的值為A.－3 B.－1 C.1 D.3√解析由題意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，反思感悟

當(dāng)化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)“tanα±tanβ”與“tanα·tanβ”的形式時(shí)，要把它們看成兩個(gè)整體，這兩個(gè)整體一是與兩角和與差的正切公式有關(guān)，通過公式能相互轉(zhuǎn)換，二是這兩個(gè)整體還與根與系數(shù)的關(guān)系相似，在應(yīng)用時(shí)要注意隱含的條件，能縮小角的范圍.√√解析∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2(A＋B)＝C，1.知識(shí)清單：(1)兩角和與差的正切公式的推導(dǎo).(2)公式的正用、逆用、變形用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū)：公式中加減符號(hào)易記錯(cuò).課堂小結(jié)隨堂演練√123412342.tanα＝2，tanβ＝3，則tan(α＋β)等于A.1 B.5 C.－1 D.－5√√123412341課時(shí)對(duì)點(diǎn)練A.tan66° B.tan24° C.tan42° D.tan21°基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√√12345678910111213141516√1234567891011121314151612345678910111213141516∴tanα＋tanβ＝tanα·tanβ－1，∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－(tanα＋tanβ)＋tanα·tanβ＝1－(tanα·tanβ－1)＋tanα·tanβ＝2.123456789101112131415√164.若tan28°·tan32°＝m，則tan28°＋tan32°等于解析∵28°＋32°＝60°，12345678910111213141516√12345678910111213141516√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161解析原式＝tan10°tan20°＋tan60°(tan20°＋tan10°)8.化簡(jiǎn)：tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°的值為____.＝tan10°tan20°＋1－tan20°tan10°＝1.123456789101112131415169.化簡(jiǎn)：(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°).解(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋(tan1°＋tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°·tan44°)＋tan1°·tan44°＝2，同理可得(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)＝(1＋tan4°)(1＋tan41°)＝…＝2，故(1＋tan1°)(1＋tan2°)(1＋tan3°)…(1＋tan44°)(1＋tan45°)＝223.12345678910111213141516(1)求tanα的值；1234567891011121314151612345678910111213141516綜合運(yùn)用√1234567891011121314151611.若tanα，tanβ是方程x2－2x－4＝0的兩根，則tan(α＋β)等于解析∵tanα，tanβ是方程x2－2x－4＝0的兩根，∴tanα＋tanβ＝2，tanαtanβ＝－4，12345678910111213141516√解析tanβ＝tan[(α＋β)－α]13.角A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則△ABC是A.鈍角三角形

B.銳角三角形C.直角三角形

D.無法確定√12345678910111213141516∴C為鈍角，即△ABC為鈍角三角形.1234567891011121314151612345678910111213141516拓廣探究1234567891011121314151615.第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的.如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如果小正方形的面積為a2，大正方形的面積為25a2，√解析由題意可知小正方形的邊長為a，大正方形的邊長為5a，12345678910111213141