2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)歸納與方法總結(jié) 第06練 函數(shù)的概念與表示（精練：基礎(chǔ)+重難點(diǎn)）（含解析）

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義及高頻考點(diǎn)歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第06練函數(shù)的概念與表示（精練）1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域.2.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.一、填空題1．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：12．（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)則；若當(dāng)時(shí)，，則的最大值是．【答案】/【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，當(dāng)時(shí)，由可得，所以，等價(jià)于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.3．（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)若存在最小值，則a的一個(gè)取值為；a的最大值為．【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，符合條件，不符合條件，時(shí)函數(shù)沒有最小值，故的最小值只能取的最小值，根據(jù)定義域討論可知或，

解得.【詳解】解：若時(shí)，，∴；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，故沒有最小值，不符合題目要求；若時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，∴或，解得，綜上可得；故答案為：0（答案不唯一），14．（2022·北京·高考真題）函數(shù)的定義域是．【答案】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零得到方程組，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得且，故函?shù)的定義域?yàn)椋还蚀鸢笧椋?．（2021·浙江·高考真題）已知，函數(shù)若，則.【答案】2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于的方程，解方程可得的值.【詳解】，故，故答案為：2.【A級

基礎(chǔ)鞏固練】06講A組2.0一、單選題1．（23-24高一下·山西臨汾·階段練習(xí)）的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)具體函數(shù)定義域的要求列不等式組求解.【詳解】要使函數(shù)有意義，必須滿足，解得，函數(shù)的定義域?yàn)?故選；B.2．（23-24高二下·河北承德·開學(xué)考試）下列函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】從函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則兩個(gè)方面是否都相同考查函數(shù)即得.【詳解】對于A項(xiàng)，，與的對應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)，的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，故兩函?shù)定義域不同，故與不是同一函數(shù)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，與的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，C項(xiàng)正確；對于項(xiàng)，，與的對應(yīng)法則不同，故不是同一函數(shù)，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:C.3．（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知，，則（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和值域的求法可分別確定集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：或，即；，，即，.故選：B.4．（23-24高一下·江西南昌·期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義列出不等式解得即可.【詳解】根據(jù)題意得，解得即.故選：D．5．（23-24高一下·廣東廣州·期中）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再借助單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且連續(xù)不斷，可知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.6．（23-24高二下·浙江寧波·期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由求解即可【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，則函數(shù)的定義域?yàn)楣蔬x：C7．（23-24高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）函數(shù)滿足，則函數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由可得，運(yùn)用解方程組法求解析式即可.【詳解】因?yàn)棰?，所以②，得，?故選：B.8．（2024·江蘇南通·二模）已知對于任意，都有，且，則（

）A．4 B．8 C．64 D．256【答案】D【分析】由題意有，得，求值即可.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，有，由，則有.故選：D9．（2024高一·全國·專題練習(xí)）已知的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【詳解】利用抽象函數(shù)定義域的解法即可得解.【分析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，即，則，所以，所以的定義域?yàn)?故選：C.10．（2024·江西南昌·二模）已知，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分別在條件下化簡不等式求其解可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，可得；當(dāng)時(shí)，不等式可化為，所以，且，所以，所以不等式的解集是，故選：B.11．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法令，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】令，則，由于，則，可得，所以.故選：B.二、多選題12．（2024高三·全國·專題練習(xí)）(多選)下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．f(x)＝elnx，g(x)＝xB．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1C．f(x)＝，g(x)＝sinxD．f(x)＝|x|，g(x)＝【答案】BD【解析】略13．（23-24高一上·河南南陽·期末）已知函數(shù)，若存在最小值，則實(shí)數(shù)a的可能取值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，求得的的值域，再由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，可得的值域，由題意列出不等式，求解即可得到所求范圍．【詳解】函數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍是；時(shí)，，，由題意存在最小值，，故選：CD．14．（23-24高一上·河北保定·期末）已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．的值域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為D．若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為【答案】AC【分析】由已知結(jié)合二次函數(shù)及分段函數(shù)的值域及單調(diào)性依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域不為，A正確，B錯(cuò)誤.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為，C正確.若在上單調(diào)遞減，則的取值范圍為D錯(cuò)誤.故選：AC三、填空題15．（23-24高二下·廣東汕頭·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮壳摇痉治觥扛鶕?jù)函數(shù)解析式，建立不等式求解即可.【詳解】要使函數(shù)有意義，則需且，解得且，所以函數(shù)定義域且.故答案為：且16．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(2)＝4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】(－∞，2]【詳解】因?yàn)閒(2)＝4，所以2∈[a，＋∞)17．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，則函數(shù)f(x－1)的定義域?yàn)椋敬鸢浮縖1，3]【詳解】∵f(x)的定義域?yàn)閇0，2]，∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，∴函數(shù)f(x－1)的定義域?yàn)閇1，3].18．（2024·湖北武漢·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】借助函數(shù)定義域的定義計(jì)算即可得.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，則有，令，解得.故答案為：.19．（2024高三·上?！ｎ}練習(xí)）若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)a的值為．【答案】2【分析】分離常數(shù)得出，根據(jù)，即可得出該函數(shù)值域?yàn)?，從而得出a的值．【詳解】由，∵，∴，又該函數(shù)的值域?yàn)椋啵蚀鸢笧椋?．20．（2024高一·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的范圍為.【答案】【分析】將條件轉(zhuǎn)化為不等式的任意性問題，然后取特殊值得到的取值范圍，再驗(yàn)證該范圍下的都符合條件.【詳解】由于函數(shù)的定義域是，故條件即為，這等價(jià)于對任意實(shí)數(shù)成立.若對任意實(shí)數(shù)成立，取知，即；若，則對任意實(shí)數(shù)都有，故對任意實(shí)數(shù)成立.綜上，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題21．（23-24高一上·廣東潮州·期中）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用函數(shù)對應(yīng)關(guān)系代入求解即可；（2）令，討論的范圍解方程求解得答案.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所?因?yàn)?，所?（2）依題意，令，若，則，解得，與矛盾，舍去；若，則，解得，故，解得，所以實(shí)數(shù)的值為；綜上所述：的值為.22．（23-24高一上·湖南衡陽·期末）已知二次函數(shù)滿足．(1)求的解析式．(2)求在上的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，則，利用換元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函數(shù)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案.【詳解】（1）令，則，，∴.（2）因?yàn)椋缘膱D象對稱軸為，在上遞減，在上遞增，∴，，即的值域?yàn)?23．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)滿足．(1)求的解析式；(2)求函數(shù)在上的值域．【答案】(1)(2)．【分析】（1）利用換元法進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）令，得，則，故的解析式為．（2）由題意得，函數(shù)的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，故在上的值域?yàn)椋?4．（23-24高一上·四川宜賓·期中）已知(1)求，的值；(2)求滿足的實(shí)數(shù)a的值；(3)求的定義域和值域．【答案】(1)，(2)(3)定義域?yàn)?，值域?yàn)椤痉治觥扛鶕?jù)自變量所屬范圍，求分段函數(shù)求函數(shù)值；根據(jù)函數(shù)值，求自變量值；確定分段函數(shù)的定義域值域.【詳解】（1），.（2）由或，解得.（3）

的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?5．（22-23高一上·吉林長春·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有定義，且滿足.(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，對均有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)換元法和配湊法可求函數(shù)解析式.(2)依題意，，設(shè)，則在區(qū)間內(nèi)恒成立，用一次函數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】（1），∴，又∵，∴.（2），對均有成立，在上單調(diào)遞增，，依題意有對均有成立，即在時(shí)恒成立，∴，解得，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【B級

能力提升練】一、單選題1．（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】分別求每個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，即可判斷是否為相同函數(shù)，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對于A中，函數(shù)的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B中，函數(shù)的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C中，函數(shù)的定義域?yàn)镽，與的定義域?yàn)?，所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù),故C錯(cuò)誤；對于D中，函數(shù)與的定義域均為R，可知兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相同的函數(shù),故D正確；故選：D.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)椋?/p>

）A．(－∞，3] B．(1，＋∞)C．(1，3] D．[3，＋∞)【答案】C【詳解】解析：依題意log(x－1)＋1≥0，即log(x－1)≥－1，∴解得1<x≤3．故選C．3．（2024·吉林·模擬預(yù)測）已知若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．4 C．1或4 D．2【答案】B【分析】分和，求解，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，解得：（舍去）；當(dāng)時(shí)，，則，解得：.故選：B.4．（23-24高一上·北京通州·期末）下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義域、值域一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】易知，且，，故其定義域與值域均為.顯然A選項(xiàng)定義域與值域均為，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，且恒成立，即其定義域與值域均為，故B錯(cuò)誤；，即其定義域?yàn)?，值域?yàn)?，故C錯(cuò)誤；，且，故其定義域與值域均為，即D正確.故選：D5．（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)定義域的概念及復(fù)合函數(shù)定義域的求解方法運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以要使函?shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.6．（23-24高一下·江西·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)g(x)每一段均需單調(diào)增，且每相鄰兩段函數(shù)，右段函數(shù)的左端點(diǎn)函數(shù)值不小于左段函數(shù)右端點(diǎn)函數(shù)值，列出不等式組求解即可.【詳解】由題：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，解得：,故選：C.7．（23-24高一上·北京·期中）若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)在上的值域，由已知可得函數(shù)在上的值域包含，再列出不等式求解即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上的值域?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)在R上的值域?yàn)椋瑒t函數(shù)在上的值域包含，顯然，否則當(dāng)時(shí)，，不符合題意，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，其值域?yàn)?，因此，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D8．（23-24高一上·河南商丘·期中）已知，則函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換元法求得的解析式，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)，則，，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.9．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，函數(shù)是上的減函數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組，解之即可直接得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以．又因?yàn)楹瘮?shù)5）圖像的對稱軸是直線，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又函數(shù)是上的減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍是．故選:B．10．（23-24高二上·廣東廣州·期末）函數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】設(shè)，根據(jù)輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】由，解得，故的定義域?yàn)?設(shè)，則，其中，，∵，則，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，即函數(shù)的最大值是.故選：B.11．（2024·四川綿陽·三模）已知函數(shù)，存在使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分a≤0和a＞0兩種情況討論即可得到答案．【詳解】，當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，，f(x)如圖：f(x)≥0恒成立，不滿足題意；當(dāng)a＞0時(shí)，，f(x)如圖：當(dāng)時(shí)，．故選：D．二、多選題12．（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）下列函數(shù)中，最小值是4的有（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】A選項(xiàng)，舉出反例；B選項(xiàng)，利用基本不等式求出最小值；C選項(xiàng)，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D選項(xiàng)，求出定義域，平方后求出，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值，B正確；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，易知，且其定義域?yàn)椋?，即?dāng)或時(shí),取最小值，的最小值為，D正確故選：BD13．（23-24高一上·廣東廣州·期末）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，使，則下列函數(shù)中符合條件的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)特值以及基本不等式判斷即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，，故A選項(xiàng)符合題意；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)，即時(shí)等號成立，故B選項(xiàng)不符合題意；對于C選項(xiàng)，，故C選項(xiàng)符合題意；對于D選項(xiàng)，由題意得，故D選項(xiàng)不符合題意.故選：AC.14．（23-24高一下·福建·期中）已知函數(shù)，則以下說法正確的是（

）A．若，則是R上的減函數(shù)B．若，則有最小值C．若，則的值域?yàn)镈．若，則存在，使得【答案】BC【分析】把選項(xiàng)中的值分別代入函數(shù)，利用此分段函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，若，，在和上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，若，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則有最小值1,故B正確；對于C，若，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則的值域?yàn)?，故C正確；對于D，若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以不存在，使得，故D錯(cuò)誤.故選：BC三、填空題15．（23-24高一下·安徽安慶·開學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椤敬鸢浮俊痉治觥坑傻娜≈捣秶蟪龅娜≈捣秶倭?，求出的范圍即?【詳解】當(dāng)時(shí)，所以，所以，即，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：16．（23-24高一上·江蘇徐州·期中）已知函數(shù)對任意實(shí)數(shù)都有，則.【答案】【分析】由可列出方程組：，從而求解.【詳解】由題意得：對任意實(shí)數(shù)都有，所以：，解得：.故答案為：.17．（23-24高一上·山東·期中）已知，則當(dāng)時(shí)，的最小值為．【答案】1【分析】先利用換元法得到，進(jìn)而得到，再利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)?，令，則，所以，所以.所以當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故答案為：118．（2024·上海松江·二模）已知，函數(shù)，若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】或【分析】令，，，，分類討論的取值范圍，判斷，的單調(diào)性，結(jié)合存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案．【詳解】由題意，令，，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖谧钚≈担市?，解得，結(jié)合，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在上的值域?yàn)?，因?yàn)榇嬖谧钚≈?，故需，即，解得，這與矛盾；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且在上的值域?yàn)?，，此時(shí)存在最小值2；則實(shí)數(shù)的取值范圍為或．故答案為：或．四、解答題19．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函數(shù)的值域：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）（3）根據(jù)題意結(jié)合基本不等式求值域；（2）換元令，結(jié)合二次函數(shù)求值域.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以函數(shù)的值域?yàn)?（2）令，則，可得，當(dāng)時(shí)，等號成立，所以函數(shù)的值域?yàn)?（3）因?yàn)?，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?20．（23-24高一上·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知函數(shù)滿足，函數(shù)滿足．(1)求函數(shù)和的解析式；(2)求函數(shù)的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用換元法求出的解析式，利用解方程組法求出的解析式；（2）利用換元法求函數(shù)的值域.【詳解】（1）令，即，所以，即，因?yàn)棰?，②，由①②解得?（2）因?yàn)?，令，所以，因?yàn)椋?，所以該函?shù)的值域?yàn)?21．（23-24高一上·河北·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的解為.(1)求；(2)證明：也是方程的解，并求的解集.【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】（1）根據(jù)題意列式求解即可；（2）根據(jù)，代入證明即可，展開解方程即可.【詳解】（1）因?yàn)榈慕鉃椋瑒t，解得.（2）由（1）可知：，且，則，即也是方程的解，對于，即，整理得：，解得，所以的解集為.【C級

拓廣探索練】一、單選題1．（23-24高三下·湖北·階段練習(xí)）以表示數(shù)集中的最小值，已知不全為的實(shí)數(shù)，，二元函數(shù)，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【分析】首先求出，再分、兩種情況討論，即可求出的最大值.【詳解】因?yàn)椋謱?shí)數(shù)，不全為，且，所以；當(dāng)時(shí)；當(dāng)，時(shí)；當(dāng)時(shí)，①若，即，則，所以，②若，即，所以，③若，即，則，所以，當(dāng)時(shí)，所以，綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，則，所以，綜上可得，故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是分、兩種情況討論得到當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí).2．（23-24高一下·湖南·階段練習(xí)）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考慮時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍，此時(shí)不成立，舍去，再考慮，結(jié)合基本不等式求出函數(shù)值域，A錯(cuò)誤；考慮，求出與時(shí)的函數(shù)值取值范圍，進(jìn)而得到不等式，求出答案.【詳解】①若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，則，又不成立，所以此時(shí)不成立，排除選項(xiàng)D；②若當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則函數(shù)的值域，滿足；排除選項(xiàng)A；③若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，又函數(shù)的值域滿足，則解得.綜上所述：.故選：C.3．（23-24高一上·浙江·期末）已函數(shù)，若對于定義域內(nèi)任意一個(gè)自變量都有，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】由已知對的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的取值范圍求出函數(shù)的定義域，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行求解即可.【詳解】若，則恒成立，故符合題意；若.①當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，所以恒成立，所以：符合題意；②當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以恒成立，所以：符合題意；③當(dāng)即時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)榍覄t取，則，令，當(dāng)時(shí)，，可以取得負(fù)值，故不符合題意.若，則函數(shù)定義域?yàn)榍遥?，則.當(dāng)且時(shí)，，可以取得負(fù)值，故不符合題意；綜上，，即的最大值為.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對的取值進(jìn)行分類討論，分別判斷是否恒成立.二、多選題4．（23-24高一上·江蘇泰州·期末）已知函數(shù)，若的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】分別求出值域，根據(jù)值域的并集為建立不等式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，其值域?yàn)?，由題意的值域?yàn)?，所以，所以，記，且，在一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)圖象，如圖：

因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，要使，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，實(shí)數(shù)的值可以是，.故選：BD5．（23-24高一上·貴州畢節(jié)·期末）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如．設(shè)（且），則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．若，則C．函數(shù)的值域?yàn)镈．