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文檔簡介

2.1.1直線傾斜角與斜率明確學(xué)習(xí)目標(biāo)課標(biāo)要求1.了解直線的傾斜角和斜率的概念。2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程,會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率.重點難點1.了解直線的傾斜角和斜率的概念;2.了解斜率公式的推導(dǎo)過程,會應(yīng)用斜率公式求直線的斜率知曉結(jié)構(gòu)體系

1夯實必備知識知識點1直線的傾斜角1.傾斜角的定義:(1)當(dāng)直線l與x軸相交時,我們以x軸為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定它的傾斜角為0°.2.傾斜角的范圍:直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.傾斜角直線圖示3.理解(1)從運(yùn)動變化的觀點來看,當(dāng)直線l與x軸相交時,直線l的傾斜角是由x軸繞直線l與x軸的交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線l重合時所得到的最小正角.(2)傾斜角從“形”的方面直觀地體現(xiàn)了直線對x軸正向的傾斜程度.(3)直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求,其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,找準(zhǔn)傾斜角,有時要根據(jù)情況分類討論.知識點2直線的斜率1.斜率的定義把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,即k=tanα.2.斜率公式經(jīng)過兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=eq\f(y2-y1,x2-x1),當(dāng)x1=x2時,直線P1P2的斜率不存在.3.直線的方向向量與斜率的關(guān)系:(1)直線P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1),當(dāng)x1≠x2時,直線P1P2與x軸不垂直,其一個方向向量為eq\f(1,x2-x1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))=(1,k),其中k為直線P1P2的斜率.(2)當(dāng)x1=x2時,直線P1P2與x軸垂直,直線沒有斜率,其一個方向向量為(0,1).4.理解(1)當(dāng)x1=x2時,直線的斜率不存在,傾斜角為90°.(2)斜率公式中k的值與P1,P2兩點在該直線上的位置無關(guān).(3)斜率公式中兩縱坐標(biāo)和兩橫坐標(biāo)在公式中的順序可以同時調(diào)換.(4)若直線與x軸平行或重合,則k=0.(5)直線的方向向量與斜率的關(guān)系:若直線l的斜率為k,它的一個方向向量的坐標(biāo)為(x,y),則k=eq\f(y,x).5.求直線的斜率的兩種方法(1)利用定義:已知直線的傾斜角為α,且α≠90°,則k=tanα.(2)利用斜率公式:k=eq\f(y2-y1,x2-x1)(x1≠x2).知識點3傾斜角和斜率的應(yīng)用傾斜角與斜率的變化關(guān)系設(shè)直線的傾斜角為α,斜率為k.α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°k的范圍k=0k>0不存在k<0k的增減性隨α的增大而增大隨α的增大而增大傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度,二者相互聯(lián)系.(2)涉及直線與線段有交點問題常通過數(shù)形結(jié)合利用公式求解.2提升學(xué)科能力題型一直線的傾斜角例1.設(shè)直線l與x軸交于點A,其傾斜角為,直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得直線,有下列四個值:①;②;③;④.則直線的傾斜角為(

)A.①② B.②③ C.③④ D.①④【答案】B【分析】分和討論即可.【詳解】直線l繞點A順時針旋轉(zhuǎn)后得直線,當(dāng)時,直線的傾斜角為;當(dāng)時,直線的傾斜角為.綜上,直線的傾斜角為或.故選:B跟蹤訓(xùn)練11.如圖所示,直線與軸的夾角為,則的傾斜角為(

A. B. C. D.無法計算【答案】B【分析】由定義得出傾斜角即可.【詳解】根據(jù)傾斜角的定義知,的傾斜角為.故選:B.2.設(shè)直線l的斜率為,且,則直線的傾斜角的取值范圍為(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】分、兩種情況討論,求出對應(yīng)的的取值范圍,綜合可得結(jié)果.【詳解】由題意可知,,當(dāng)時,則為鈍角,且;當(dāng)時,此時,.綜上所述,直線的傾斜角的取值范圍為.故選:D.3.已知直線l的傾斜角為,直線∥l,直線,則直線與的傾斜角分別是.【答案】20°,110°【分析】根據(jù)平行直線與垂直直線的位置關(guān)系得到傾斜角的關(guān)系,即可求解【詳解】因為∥l,所以的傾斜角為.因為,所以的傾斜角為故答案為:;題型二直線的斜率例2.若直線經(jīng)過,兩點,則直線AB的傾斜角為(

)A.30° B.45° C.60° D.120°【答案】B【分析】根據(jù)題意求直線的斜率,進(jìn)而可得傾斜角.【詳解】因為直線AB的斜率,設(shè)直線AB的傾斜角為,則,所以.故選:B.跟蹤訓(xùn)練21.若直線經(jīng)過兩點,則直線的斜率為【答案】【分析】根據(jù)已知條件,利用斜率公式即可求解.【詳解】直線經(jīng)過兩點,則直線的斜率為,故答案為:2.直線的傾斜角是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】由直線的方程得直線的斜率,得直線的傾斜角.【詳解】直線的斜率為,設(shè)傾斜角為,則,且,所以.故選:C.3.經(jīng)過下列兩點的直線的斜率是否存在?如果存在,求其斜率,并確定直線的傾斜角.(1),;(2),;(3),).【答案】(1)存在,斜率,傾斜角(2)存在,斜率,傾斜角(3)答案見解析【分析】(1)存在,計算斜率和傾斜角即可;(2)存在,計算斜率和傾斜角即可;(3)考慮和兩種情況,計算斜率和傾斜角即可;【詳解】(1)存在,直線AB的斜率,即,又,傾斜角.(2)存在,直線CD的斜率,即,又,傾斜角.(3)當(dāng)時,斜率不存在,則傾斜角;當(dāng)時,直線的斜率且傾斜角滿足,.題型三傾斜角與斜率的概念辨析例3.對于下列命題:①若是直線l的傾斜角,則;②若直線傾斜角為,則它斜率;③任一直線都有傾斜角,但不一定有斜率;④任一直線都有斜率,但不一定有傾斜角.其中正確命題的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】通過直線的傾斜角的范圍判斷①的正誤;直線的斜率的定義,判斷②的正誤;直線的斜率與傾斜角的關(guān)系判斷③和④的正誤.【詳解】對于①:若是直線的傾斜角,則;滿足直線傾斜角的定義,則①正確;對于②:直線傾斜角為且,它的斜率;傾斜角為時沒有斜率,所以②錯誤;對于③和④:可知直線都有傾斜角,但不一定有斜率;因為傾斜角為時沒有斜率,所以③正確;④錯誤;其中正確說法的個數(shù)為2.故選:B.跟蹤訓(xùn)練31.在下列四個命題中,正確的是(

).A.若直線的傾斜角為銳角,則其斜率一定大于0B.若一條直線的斜率為,則此直線的傾斜角為C.任意直線都有傾斜角,且當(dāng)時,斜率為D.直線的傾斜角越大,則其斜率越大【答案】AC【分析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系逐項判斷即可.【詳解】對于A,當(dāng)時,其斜率,所以A正確;對于B,若一條直線的斜率為,則此直線的傾斜角為,所以B錯誤;對于C,根據(jù)直線傾斜角的定義可得每一條直線都有確定的傾斜角,由斜率定義可得當(dāng)直線的傾斜角時,直線的斜率為,所以C正確;對于D,直線的傾斜角為銳角時斜率大于0,傾斜角為鈍角時斜率小于0,故D錯誤;故選:AC.2.有下列命題:其中錯誤的是(

)A.若直線的斜率存在,則必有傾斜角與之對應(yīng);B.若直線的傾斜角存在,則必有斜率與之對應(yīng);C.坐標(biāo)平面上所有的直線都有傾斜角;D.坐標(biāo)平面上所有的直線都有斜率.【答案】BD【解析】任何一條直線都有傾斜角,但不是任何一條直線都有斜率,即可得到答案【詳解】任何一條直線都有傾斜角,但不是任何一條直線都有斜率當(dāng)傾斜角為時,斜率不存在故選:BD【點睛】本題考查的是直線的傾斜角和斜率,較簡單.3.下列四個命題中,錯誤的有()A.若直線的傾斜角為,則B.直線的傾斜角的取值范圍為C.若一條直線的傾斜角為,則此直線的斜率為D.若一條直線的斜率為,則此直線的傾斜角為【答案】ACD【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的定義判斷即可.【詳解】解:因為直線的傾斜角的取值范圍是,即,所以,當(dāng)時直線的斜率,故A、C均錯誤;B正確;對于D:若直線的斜率,此時直線的傾斜角為,故D錯誤;故選:ACD題型四斜率與傾斜角的變化關(guān)系例4.圖中的直線的斜率分別為,則(

A. B.C. D.【答案】D【分析】根據(jù)圖像得到直線,,的傾斜角滿足,由傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線,,的傾斜角分別為,,,由圖像可得,由傾斜角與斜率的關(guān)系可得,.故選:D.跟蹤訓(xùn)練41.如圖,直線的斜率分別為,則(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】直接由斜率的定義判斷大小即可.【詳解】由斜率的定義知,.故選:D.2.已知兩條直線,的斜率分別為,,傾斜角分別為.若,則下列關(guān)系正確的是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系,結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】依題意得,,,,而在和上單調(diào)遞增,且在上,,在上,所以,即.故選:D3.如圖,已知直線的斜率分別為,則()A. B.C. D.【答案】D【分析】由題圖,利用直線的斜率和傾斜角的關(guān)系求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角分別為,由題圖知,直線的傾斜角為鈍角,.又直線的傾斜角均為銳角,且,,.故選:D.題型五已知斜率求傾斜角范圍例5.若直線斜率的絕對值等于,則直線的傾斜角為(

)A. B.C. D.或【答案】D【分析】考慮和兩種情況,計算得到答案.【詳解】當(dāng)斜率時,傾斜角為;當(dāng)斜率時,傾斜角為;故選:D.跟蹤訓(xùn)練51.若,則直線的傾斜角的取值范圍為(

)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)給定條件,結(jié)合余弦函數(shù)的值域求出直線斜率的范圍,再利用斜率的定義求解作答.【詳解】直線的斜率,顯然此直線傾斜角,因此或,解得或,所以直線的傾斜角的取值范圍為.故選:C2.已知直線的方程為,,則直線的傾斜角范圍是.【答案】【分析】確定,得到,解得答案.【詳解】,則,設(shè)直線的傾斜角為,故,當(dāng)時,直線的傾斜角;當(dāng)時,直線的傾斜角;綜上所述:直線的傾斜角故答案為:3.若直線的斜率的變化范圍是,則它的傾斜角的變化范圍是()A.B.C.D.或【答案】D【分析】作出正切函數(shù)在的圖象,根據(jù)斜率的范圍結(jié)合圖象確定出的范圍.【詳解】作出正切函數(shù)在的圖象如下圖,

如圖所示,當(dāng),即,解得或,即或,故選:D.題型六已知斜率求參數(shù)例6.直線經(jīng)過點,且傾斜角為,則實數(shù)為.【答案】【分析】利用傾斜角和斜率的關(guān)系、斜率公式計算即可得解.【詳解】解:由題意,直線的斜率為,∵為直線上的點,∴由斜率公式得,解得:.故答案為:.跟蹤訓(xùn)練61.過兩點、的直線的傾斜角為,則的值為(

)A.或 B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)斜率公式計算可得.【詳解】因為過兩點、的直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:D2.若過點,的直線的斜率等于1,則m的值為.【答案】1【分析】利用直線的斜率公式求解.【詳解】由已知可得,過點,的直線的斜率,解得,故答案為:.3.若點在過點,的直線上,則.【答案】【分析】根據(jù)題意,結(jié)合直線的斜率公式,列出方程,即可求解.【詳解】由點在過點和的直線上,可得,即,解得.故答案為:.題型七斜率公式的應(yīng)用例7.(多選)如果,,三點在同一條直線上,則(

)A. B. C. D.【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件,利用斜率坐標(biāo)公式列式求解作答.【詳解】依題意,三點所在直線不垂直于x軸,因此直線的斜率相等,于是,整理得,所以或.故選:AC跟蹤訓(xùn)練71.若三點,,共線,則.【答案】【分析】由三點共線可得其中任意兩點的直線斜率相等,列出方程解之即得.【詳解】由題意,直線的斜率為,直線的斜率為:,因三點共線,故,即,解得:.故答案為:.2.已知三點共線,則實數(shù)的值為.【答案】4【分析】根據(jù)確定直線斜率存在,再根據(jù)三點共線可得斜率相等,即可得實數(shù)的值.【詳解】因為的橫坐標(biāo)不相同,故三點共線可得,則,解得.故答案為:.3.若三點,,(其中)共線,則.【答案】【分析】依題意可得,利用斜率公式得到方程,解得即可.【詳解】由于,,三點共線且、,顯然、的斜率存在,則,所以,所以,所以.故答案為:題型八直線與線段的相交例8.經(jīng)過點作直線l,且直線l與連接點,的線段總有公共點,則直線l的傾斜角α的取值范圍是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】畫出坐標(biāo)系,連接,結(jié)合斜率變化可知,,聯(lián)立斜率與傾斜角關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,,因為直線l與連接點,的線段總有公共點,所以,即,所以.故選:A.

跟蹤訓(xùn)練81.一束光射向軸,與軸相交于點,經(jīng)軸反射,與以連接、兩點的線段總有公共點,這束光所在直線的斜率取值范圍為.【答案】【分析】利用直線斜率公式、直線及其對稱直線的關(guān)系分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解:

由斜率公式,射線的斜率為,射線的斜率為,如上圖,由題意,一束光射向軸,經(jīng)軸反射,與線段始終相交,則射線即與關(guān)于對稱,射線即與關(guān)于對稱,∴,,∴這束光所在直線的斜率取值范圍為.故答案為:.2.如圖,已知點、、,點是線段上任意一點,求直線的斜率的取值范圍.

【答案】【分析】利用點的坐標(biāo)并結(jié)合圖形可知,分別計算出和之間的斜率即可.【詳解】根據(jù)題意可知,兩點之間的斜率為,兩點之間的斜率為,又點是線段上任意一點,由傾斜角與斜率之間的關(guān)系可知,即直線的斜率的取值范圍為.3.已知點、、,過點C的直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率k的取值范圍是()A. B.C. D.以上都不對【答案】C【分析】過點C的直線l與線段AB有公共點,利用數(shù)形結(jié)合,得到直線l的斜率或,進(jìn)而求解即可【詳解】如圖,過點C的直線l與線段AB有公共點,則直線l的斜率或,而,于是直線l的斜率或,所以直線l斜率k的取值范圍是,故選:C題型九直線方向向量與斜率的關(guān)系例9.若向量是直線的一個方向向量,則直線的傾斜角為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)給定的方向向量求出直線的斜率,再求出傾斜角即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為,若向量是直線的一個方向向量,則直線的斜率為,因為,所以.故選:A.跟蹤訓(xùn)練91.直線的一個方向向量是.【答案】(與其共線的非零向量均可)【分析】根據(jù)直線的一般式求出斜率,從而得到方向向量.【詳解】依題意,的斜率為,故該直線的一個方向向量為.故答案為:(與其共線的非零向量均可)2.已知直線l過點且一個方向向量為,則l在y軸上的截距為(

)A. B.1 C. D.5【答案】A【分析】設(shè)l在y軸上的截距為,根據(jù)斜率公式列式求解即可.【詳解】因為直線l一個方向向量為,可知直線l的斜率,設(shè)l在y軸上的截距為,即直線l過點,則,解得.故選:A.3.已知點,直線:,(1)若是直線l的一個方向向量,求a的值;(2)若直線l與線段有交點,求a的范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)直線的方向向量的定義可求(2)判斷出直線l過定點,分別求出,即可求出l的斜率a的取值范圍【詳解】(1)因為是直線l的一個方向向量,所以(2)過定點,如圖因為,要使直線l與線段有交點,則a的范圍為題型十斜率的幾何意義例10.已知函數(shù).則的大小關(guān)系為(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象,結(jié)合圖形,利用兩點表示直線斜率公式即可求解.【詳解】將函數(shù)圖象向左平移1個單位長度可得函數(shù)的圖象,如圖,

由圖可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,點分別與原點的連線的斜率隨著x的增大而減小,即,所以.故選:C跟蹤訓(xùn)練101.點在函數(shù)的圖象上,當(dāng),則可能等于(

)A.1 B. C. D.0【答案】BC【分析】根據(jù)目標(biāo)式的幾何意義為在部分圖象上的動點與點所成直線的斜率,即可求范圍.【詳解】由表示與點所成直線的斜率,又是在部分圖象上的動點,圖象如下:如上圖,,則,只有B、C滿足.故選:BC2.已知曲線,則的取值范圍是.【答案】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象,表示曲線上的點與連線的斜率,求出臨界點處的斜率,即可求出的取值范圍.【詳解】函數(shù),則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,函數(shù)圖象如下所示:當(dāng)時,即,當(dāng)時,則,表示曲線上的點與連線的斜率,令,又,,由圖可得或,即的取值范圍為.故答案為:3.已知實數(shù)x、y滿足方程,當(dāng)時,則的取值范圍是.【答案】【分析】將的范圍轉(zhuǎn)化為線段上的點與構(gòu)成的直線的斜率的范圍,然后求斜率即可.【詳解】方程,令,則,令,則,設(shè)點,,所以可以表示線段上的點與構(gòu)成的直線的斜率,,,所以的取值范圍為.故答案為:.3質(zhì)量檢測評價一、單選題1.直線的傾斜角是(

)A.0 B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)傾斜角的定義判斷.【詳解】直線與軸垂直,所以傾斜角為.故選:D.2.直線的一個方向向量為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用直線方向向量的定義和直線斜率與方向向量的關(guān)系直接求解即可.【詳解】由得,,所以直線的一個方向向量為,而,所以也是直線的一個方向向量.故選:B.3.若,,三點共線,則實數(shù)m的值為(

)A. B.2 C. D.3【答案】D【分析】先判定斜率存在,再由三點共線可得,任意兩個點組成直線斜率相等即可得結(jié)果【詳解】因為,直線斜率存在,,,三點共線,則,即,解得.故選:D4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有三條直線,其對應(yīng)的斜率分別為,則下面選項中正確的是(

)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)三條直線的傾斜角,直接判斷斜率的大小關(guān)系【詳解】由題圖可知,,,,且,所以,,,故選:A.5.已知直線的傾斜角比直線的傾斜角大,則的斜率為(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)直線方程求出直線斜率為,由此確定直線傾斜角,結(jié)合已知條件求得直線傾斜角為,由此即可求得直線的斜率.【詳解】由得的傾斜角為,所以的傾斜角為,即的斜率為.故選:A6.已知點,,若直線過點且與線段相交,則直線的斜率的取值范圍是(

)A.或 B.或C.或 D.【答案】D【分析】根據(jù)兩點間斜率公式計算即可.【詳解】直線的斜率為,直線的斜率為,結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選:D二、多選題7.下列說法中正確的是(

)A.若直線的傾斜角越大,則直線的斜率就越大B.若直線的傾斜角為,則直線的斜率為C.若,,則直線的傾斜角為D.若直線過點,且它的傾斜角為,則這條直線必過點【答案】CD【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系,點斜式及斜截式判斷各項正誤即可.【詳解】A:傾斜角為銳角,斜率為正;傾斜角為鈍角時,斜率為負(fù),錯;B:直線的傾斜角為時,直線的斜率不存在,錯;C:由題設(shè),知兩點橫坐標(biāo)相

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