高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)05冪函數(shù)(5種題型1個易錯考點(diǎn))專項練習(xí)(原卷版+解析)

考點(diǎn)05冪函數(shù)（5種題型1個易錯考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022天津冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小2020江蘇冪函數(shù)奇偶性根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值二二、命題規(guī)律與備考策略熟悉幾種常見冪函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像判斷單調(diào)性和奇偶性三三、2022真題搶先刷，考向提前知一、單選題1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是____.四四、考點(diǎn)清單一．冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．解析式：y＝xa＝定義域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1．如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；2．如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)．當(dāng)x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1．在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)．2．在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)．而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域．由于x大于0是對a的任意取值都有意義的．二．冪函數(shù)的圖象三．冪函數(shù)的性質(zhì)所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）．（1）當(dāng)a＞0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）（0，0）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內(nèi)，a＞1時，圖象開口向上；0＜a＜1時，圖象開口向右；d、函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．（2）當(dāng)a＜0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，當(dāng)x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸．（3）當(dāng)a＝0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、y＝x0是直線y＝1去掉一點(diǎn)（0，1），它的圖象不是直線．四．冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用1、冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．2、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比式子名稱axy指數(shù)函數(shù)：y＝ax底數(shù)指數(shù)冪值冪函數(shù)：y＝xa指數(shù)底數(shù)冪值3、五個常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x﹣1定義域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，+∞）時，增x∈（﹣∞，0]時，減增增x∈（0，+∞）時，減x∈（﹣∞，0）時，減公共點(diǎn)（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）4、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點(diǎn)（1，1）．（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4）當(dāng)a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．五．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)：1、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)a＞1時，y＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)當(dāng)0＜a＜1時，y＝logax在（0，+∞）上為減函數(shù)2、特殊點(diǎn)對數(shù)函數(shù)恒過點(diǎn)（1，0）五五、題型方法一．冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域（共17小題）1．（2023?黃浦區(qū)模擬）設(shè)m∈R，若冪函數(shù)y＝定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（）A．1 B．4 C．7 D．102．（2023?和平區(qū)校級一模）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則g（x）＝loga（x+m）+2（a＞0）的圖象過定點(diǎn)（）A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）3．（2023?東莞市校級模擬）已知函數(shù)y＝loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在冪函數(shù)y＝f（x）的圖象上，則lgf（2）+lgf（5）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．14．（2022?天津模擬）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，27）與點(diǎn)B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，則（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a5．（2022?湖南模擬）已知冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）＝2x﹣a，?x1∈[1，5]，?x2∈[1，5]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥﹣23 C．a(chǎn)≥31 D．a(chǎn)≥76．（2022?巴宜區(qū)校級二模）已知點(diǎn)（n，8）在冪函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm的圖象上，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．[0，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]7．（2022秋?金安區(qū)校級期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則下列關(guān)于f（x）說法正確的是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．定義域?yàn)閇0，+∞） D．在（0，+∞）單調(diào)遞減8．（2022?達(dá)州模擬）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，4），則f（3）的值是．9．（2022?青浦區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)過點(diǎn)（4，2），則函數(shù)的解析式是．10．（2023?長寧區(qū)二模）當(dāng)x∈[a，+∞）時，冪函數(shù)y＝x2的圖像總在的圖像上方，則a的取值范圍為．11．（2023?寶山區(qū)二模）若冪函數(shù)y＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為．12．（2022秋?龍圩區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝x﹣f（x），求函數(shù)g（x）在[2，4]的值域．13．（2022秋?郴州期末）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2）求函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1在區(qū)間[2，4]上的最小值h（a）．14．（2022秋?寶坻區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)g（x）＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求冪函數(shù)y＝g（x）的解析式及實(shí)數(shù)b的值；（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上的單調(diào)性，并用的數(shù)單調(diào)性定義證明．15．（2022秋?漢陽區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）為冪函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值，并寫出f（x）的解析式；（2）令，求g（x）的值域．16．（2022秋?阿勒泰地區(qū)期末）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，4）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0對任意x∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．17．（2022秋?沈陽期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m∈N*）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）試求m的值并寫出該冪函數(shù)的解析式；（2）試求滿足f（1+a）＞f（3﹣）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．二．冪函數(shù)的圖象（共5小題）18．（2023?黃浦區(qū)校級模擬）如圖所示是函數(shù)（m，n均為正整數(shù)且m，n互質(zhì)）的圖象，則（）A．m，n是奇數(shù)且 B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且 C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且 D．m，n是奇數(shù)，且19．（2023?河?xùn)|區(qū)一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y＝3x，y＝2x，中一個的是（）A．① B．② C．③ D．④20．（2022秋?青浦區(qū)校級月考）已知冪函數(shù)在（0，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)函數(shù)f（x）的解析式；（2）寫出函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)，并作出它的圖像．21．（2021秋?西固區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2（m∈R）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2）求函數(shù)g（x）＝﹣+4x﹣1在[0，2]上的最大值．22．（2021秋?東寶區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝（m2+m﹣1）xm是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）請畫出f（x）的大致圖象．三．冪函數(shù)的性質(zhì)（共13小題）23．（2023?河南模擬）已知冪函數(shù)的圖象過，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．x1f（x1）＞x2f（x2） B．x1f（x2）＜x2f（x1） C． D．24．（2023?秀英區(qū)校級三模）設(shè)，則a，b，c的大小順序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a25．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn的圖象過點(diǎn)（m，8）．設(shè)a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a26．（2023?大英縣校級模擬）在[﹣1，1]上是（）A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)27．（2022秋?遼寧期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減．（1）求f（x）的解析式；（2）若?x∈[1，2]，，求a的取值范圍．28．（2022秋?慶陽期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2?x2m﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求f（x）的值域；（2）若?x＞0，，求a的取值范圍．29．（2023?安康開學(xué)）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1為偶函數(shù)．（1）求冪函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣2a?x在[2，4]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．30．（2022秋?葫蘆島期末）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范圍．31．（2022秋?新化縣期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1為偶函數(shù)．（1）求冪函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)，根據(jù)定義證明g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．32．（2022秋?湘潭期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2）若?x＞0，，求a的取值范圍．33．（2022秋?威海期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm（其中m為實(shí)數(shù)）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．（1）若，求a2+a﹣2的值；（2）解關(guān)于x的不等式lgf（x）＞f（16）．34．（2022秋?潢川縣校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝x（m∈Z）是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．（1）求m的值，并求f（x）的解析式；（2）求y＝的[log2f（x）]2﹣log[2f（x）]，x∈[，2]最值的最值，并求出取得最值時x的取值．35．（2022秋?周村區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，且f（1）＜f（2）．（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；（2）求，的值域．四．冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用（共4小題）36．（2022?衡水模擬）若a＝20.4，b＝30.3，c＝40.2，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＝a＞b D．b＞a＝c37．（2022?貴州模擬）已知a＝（）25，b＝1.0250，c＝1.01100，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c38．（2021秋?靈丘縣校級期中）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m∈R）為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若f（2a+1）＝f（a），求實(shí)數(shù)a的值．39．（2020春?石家莊期末）已知函數(shù)f（x）＝（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝loga[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．六六、易錯分析易錯點(diǎn)1：冪函數(shù)中忽視定義域致錯已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍為________．七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共5小題）1．（2023?大英縣校級模擬）在[﹣1，1]上是（）A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)2．（2023?河南模擬）已知冪函數(shù)的圖象過，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．x1f（x1）＞x2f（x2） B．x1f（x2）＜x2f（x1） C． D．3．（2023?秀英區(qū)校級三模）設(shè)，則a，b，c的大小順序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a4．（2023?東莞市校級模擬）已知函數(shù)y＝loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在冪函數(shù)y＝f（x）的圖象上，則lgf（2）+lgf（5）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．15．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn的圖象過點(diǎn)（m，8）．設(shè)a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a二．填空題（共2小題）6．（2023?興慶區(qū)校級二模）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝．7．（2023?黃浦區(qū)二模）若函數(shù)y＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，16）與（3，m），則m的值為．八.八.刷易錯一．選擇題（共4小題）1．（2020?金安區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)f（x）＝mx1+n是定義在區(qū)間[﹣2，n]上的奇函數(shù)，設(shè)a＝f（sin），b＝f（cos），c＝f（tan），則（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜b＜c2．（2022秋?紅塔區(qū)校級期中）已知f（x）為冪函數(shù)，且f（8）＝，則f（4）＝（）A． B． C． D．3．（2022秋?懷寧縣校級期末）若函數(shù)f（x）＝（m+3）xa（m，a∈R）是冪函數(shù)，且其圖象過點(diǎn)（2，），則函數(shù)g（x）＝loga（x2+mx﹣3）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（3，+∞）4．（2020秋?大連期末）冪函數(shù)y＝x﹣1及直線y＝x，y＝1，x＝1將平面直角坐標(biāo)系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示），那么冪函數(shù)的圖象經(jīng)過的“卦限”是（）A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤二．填空題（共3小題）5．（2020?錫山區(qū)校級模擬）若冪函數(shù)y＝mxn（m，n∈R）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則m+n＝．6．（2020秋?長沙縣期末）已知（a2+a+2）x＞（a2+a+2）1﹣x，則x的取值范圍是．7．（2022秋?武陵區(qū)校級期末）若冪函數(shù)f（x）過點(diǎn)（4，2），則滿足不等式f（2﹣a）＞f（a﹣1）的實(shí)數(shù)a的取值范圍是．三．解答題（共1小題）8．（2021秋?和碩縣校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（，）．（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）用定義法證明f（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．考點(diǎn)05冪函數(shù)（5種題型1個易錯考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022天津冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小2020江蘇冪函數(shù)奇偶性根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值二二、命題規(guī)律與備考策略熟悉幾種常見冪函數(shù)的圖像，根據(jù)圖像判斷單調(diào)性和奇偶性三三、2022真題搶先刷，考向提前知一、單選題1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：C.二、填空題2．（2020·江蘇·統(tǒng)考高考真題）已知y=f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，，則f(-8)的值是____.【答案】【分析】先求，再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.四四、考點(diǎn)清單一．冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域冪函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y＝xa叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．解析式：y＝xa＝定義域：當(dāng)a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：1．如果a為負(fù)數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域?yàn)榇笥?的所有實(shí)數(shù)；2．如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)椴坏扔?的所有實(shí)數(shù)．當(dāng)x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：1．在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實(shí)數(shù)．2．在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域?yàn)榉橇愕膶?shí)數(shù)．而只有a為正數(shù)，0才進(jìn)入函數(shù)的值域．由于x大于0是對a的任意取值都有意義的．二．冪函數(shù)的圖象三．冪函數(shù)的性質(zhì)所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖象都過點(diǎn)（1，1）．（1）當(dāng)a＞0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）（0，0）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；c、在第一象限內(nèi)，a＞1時，圖象開口向上；0＜a＜1時，圖象開口向右；d、函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)．（2）當(dāng)a＜0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、圖象都通過點(diǎn)（1，1）；b、在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象開口向上；c、在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右趨于原點(diǎn)時，圖象在y軸上方趨向于原點(diǎn)時，圖象在y軸右方無限逼近y軸，當(dāng)x趨于+∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸．（3）當(dāng)a＝0時，冪函數(shù)y＝xa有下列性質(zhì)：a、y＝x0是直線y＝1去掉一點(diǎn)（0，1），它的圖象不是直線．四．冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用1、冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)y＝xa（a∈R）叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．（1）指數(shù)是常數(shù)；（2）底數(shù)是自變量；（3）函數(shù)式前的系數(shù)都是1；（4）形式都是y＝xa，其中a是常數(shù)．2、冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對比式子名稱axy指數(shù)函數(shù)：y＝ax底數(shù)指數(shù)冪值冪函數(shù)：y＝xa指數(shù)底數(shù)冪值3、五個常用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y＝；（5）y＝x﹣1y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x﹣1定義域RRR[0，+∞）{x|x≠0}值域R[0，+∞）R[0，+∞）{y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增x∈[0，+∞）時，增x∈（﹣∞，0]時，減增增x∈（0，+∞）時，減x∈（﹣∞，0）時，減公共點(diǎn)（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）4、冪函數(shù)的性質(zhì)（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且函數(shù)圖象都通過點(diǎn)（1，1）．（2）如果a＞0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上為增函數(shù)．（3）如果a＜0，則冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)（1，1），并在（0，+∞）上為減函數(shù)．（4）當(dāng)a為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)a為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．五．對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)：1、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性當(dāng)a＞1時，y＝logax在（0，+∞）上為增函數(shù)當(dāng)0＜a＜1時，y＝logax在（0，+∞）上為減函數(shù)2、特殊點(diǎn)對數(shù)函數(shù)恒過點(diǎn)（1，0）五五、題型方法一．冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域（共17小題）1．（2023?黃浦區(qū)模擬）設(shè)m∈R，若冪函數(shù)y＝定義域?yàn)镽，且其圖像關(guān)于y軸成軸對稱，則m的值可以為（）A．1 B．4 C．7 D．10【分析】冪函數(shù)y＝（m∈R）的圖像關(guān)于y軸對稱說明指數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)，由此判斷可得m的值．【解答】解：由于冪函數(shù)y＝（m∈R）定義域?yàn)镽，且圖像關(guān)于y軸對稱，故冪函數(shù)是偶函數(shù)，且m2﹣2m+1＝（m﹣1）2為正的偶數(shù)，則m的值可以為7．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?和平區(qū)校級一模）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，則g（x）＝loga（x+m）+2（a＞0）的圖象過定點(diǎn)（）A．（﹣4，2） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（4，2）【分析】由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，先求出解析式，再令真數(shù)等于1，求得x、y的值，可得g（x）的圖象過定點(diǎn)．【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴m2﹣2m﹣2＝1且m＜0，∴m＝﹣1，∴f（x）＝x﹣1＝，則g（x）＝loga（x﹣1）+2（a＞0））+2，令x﹣1＝1，求得x＝2，y＝2，可得g（x）的圖象過定點(diǎn)（2，2），故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?東莞市校級模擬）已知函數(shù)y＝loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在冪函數(shù)y＝f（x）的圖象上，則lgf（2）+lgf（5）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)恒過點(diǎn)（1，0）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入冪函數(shù)y＝f（x）中求出函數(shù)解析式，再計算lgf（2）+lgf（5）的值．【解答】解：函數(shù)y＝loga（x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此時y＝loga1+4＝4；所以函數(shù)y的圖象恒過定點(diǎn)P（2，4），又點(diǎn)P在冪函數(shù)y＝f（x）＝xα的圖象上，所以2α＝4，解得α＝2；所以f（x）＝x2，所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（2022?天津模擬）已知冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，27）與點(diǎn)B（t，64），a＝log0.1t，b＝0.2t，c＝t0.1，則（）A．c＜a＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，把點(diǎn)（3，27）代入函數(shù)的解析式求得α的值，即可得到函數(shù)的解析式，求出t的值，從而比較a，b，c的大?。窘獯稹拷猓涸O(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα，把點(diǎn)P（3，27）代入函數(shù)的解析式可得，3α＝27，解得α＝3，∴這個函數(shù)的解析式是f（x）＝x3，∴t3＝64，解得t＝4，∴a＝log0.14＜0，0＜b＝0.24＜1，c＝40.1＞1，故a＜b＜c，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了求冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是中檔題．5．（2022?湖南模擬）已知冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）＝2x﹣a，?x1∈[1，5]，?x2∈[1，5]，使得f（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥﹣23 C．a(chǎn)≥31 D．a(chǎn)≥7【分析】先利用冪函數(shù)的定義和單調(diào)性，求出m的值，得到函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出f（x1），g（x2）的最小值，求出a的取值范圍即可．【解答】解：∵冪函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝0，∴f（x）＝x2，當(dāng)x1∈[1，5]時，f（x1）∈[1，25]，則f（x1）min＝1，又當(dāng)x2∈[1，5]時，g（x2）∈[2﹣a，32﹣a]，g（x2）min＝2﹣a，由題意得：1≥2﹣a，解得：a≥1，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，以及冪函數(shù)的單調(diào)性，是中檔題．6．（2022?巴宜區(qū)校級二模）已知點(diǎn)（n，8）在冪函數(shù)f（x）＝（m﹣2）xm的圖象上，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢．[0，1] B．[﹣2，0] C．[﹣1，2] D．[﹣2，1]【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m，n的值，求出函數(shù)g（x）的定義域，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域即可．【解答】解：∵f（x）是冪函數(shù)，∴m﹣2＝1，解得：m＝3，∴f（x）＝x3，代入（n，8）得：n3＝8，解得：n＝2，∴g（x）＝﹣2，由，解得：2≤x≤3，故函數(shù)g（x）的定義域是[2，3]，函數(shù)g（x）在[2，3]遞減，由g（2）＝1，g（3）＝﹣2，得函數(shù)g（x）的值域是[﹣2，1]，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的定義域，值域問題，考查冪函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．7．（2022秋?金安區(qū)校級期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則下列關(guān)于f（x）說法正確的是（）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．定義域?yàn)閇0，+∞） D．在（0，+∞）單調(diào)遞減【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，得到m＝2，從而求出定義域和單調(diào)性，并得到既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．【解答】解：為冪函數(shù)，故m﹣1＝1，解得m＝2，所以，定義域?yàn)閇0，+∞），不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，AB錯誤，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，D錯誤．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022?達(dá)州模擬）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，4），則f（3）的值是9．【分析】根據(jù)冪函數(shù)的一般解析式y(tǒng)＝xa，因?yàn)槠溥^點(diǎn)（2，4），求出冪函數(shù)的解析式，從而求出f（3）．【解答】解：∵冪函數(shù)的一般解析式y(tǒng)＝xa，∵冪函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)（2，4），∴4＝2a，解得a＝2，∴y＝x2，∴f（3）＝32＝9，故答案為9．【點(diǎn)評】此題主要考查函數(shù)的值，以及冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．9．（2022?青浦區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)過點(diǎn)（4，2），則函數(shù)的解析式是f（x）＝．【分析】設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα（α為常數(shù)），把點(diǎn)（4，2）代入求出α的值，即可得到函數(shù)的解析式．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)的解析式為f（x）＝xα（α為常數(shù)），∵過點(diǎn)（4，2），∴4α＝2，∴，∴f（x）＝，故答案為：f（x）＝．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題．10．（2023?長寧區(qū)二模）當(dāng)x∈[a，+∞）時，冪函數(shù)y＝x2的圖像總在的圖像上方，則a的取值范圍為（1，+∞）．【分析】根據(jù)題意，解不等式得出x＞1，從而得出當(dāng)x∈（1，+∞）時，冪函數(shù)y＝x2的圖像總在的圖像上方，然后即可求出a的取值范圍．【解答】解：由得，x3＞x＞0，解得x＞1，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，冪函數(shù)y＝x2的圖像總在的圖像上方，此時x∈[a，+∞），∴a＞1，∴a的取值范圍為：（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)f（x）在g（x）的圖象上方時，滿足f（x）＞g（x），考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．11．（2023?寶山區(qū)二模）若冪函數(shù)y＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為y＝x3．【分析】由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得α的值，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵冪函數(shù)y＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)，∴＝3，∴α＝3，則此冪函數(shù)的表達(dá)式為y＝x3．故答案為：y＝x3．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．（2022秋?龍圩區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝x﹣f（x），求函數(shù)g（x）在[2，4]的值域．【分析】（1）由f（3）＝3a＝，能求出函數(shù)f（x）；（2）求出＞0，g（x）是增函數(shù)，由此能求出函數(shù)g（x）在[2，4]的值域．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，），∴f（3）＝3a＝，解得函數(shù)f（x）＝x﹣1；（2）函數(shù)g（x）＝x﹣f（x）＝x﹣x﹣1＝x﹣，＞0，∴g（x）是增函數(shù)，∴函數(shù)g（x）在[2，4]的值域?yàn)閇g（2），g（4）]＝[，]．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的定義、性質(zhì)、單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．13．（2022秋?郴州期末）已知f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2）求函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1在區(qū)間[2，4]上的最小值h（a）．【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是冪函數(shù)知m2﹣2m﹣7＝1，求解后根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可求m；（2）化簡g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1＝x2﹣（2a﹣1）x+1，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與[2，4]的關(guān)系分三類討論，可求出函數(shù)的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝（m2﹣2m﹣7）xm﹣2是冪函數(shù)，則m2﹣2m﹣7＝1，解得m＝4或m＝﹣2；又f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故m﹣2＞0，故m的值為4；（2）函數(shù)g（x）＝f（x）﹣（2a﹣1）x+1＝x2﹣（2a﹣1）x+1，對稱軸為x＝，當(dāng)，即時，g（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞增，最小值為h（a）＝g（2）＝7﹣4a；當(dāng)，即時，g（x）在區(qū)間[2，4]上先減后增，最小值為；當(dāng)，時，g（x）在區(qū)間[2，4]上單調(diào)遞減，最小值為h（a）＝g（4）＝21﹣8a．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義與性質(zhì)，二次函數(shù)分類討論求最小值，屬于中檔題．14．（2022秋?寶坻區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)g（x）＝xa的圖像經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求冪函數(shù)y＝g（x）的解析式及實(shí)數(shù)b的值；（2）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上的單調(diào)性，并用的數(shù)單調(diào)性定義證明．【分析】（1）把點(diǎn)代入冪函數(shù)的解析式，可得α的值以及函數(shù)的解析式，再利用奇函數(shù)的定義求出b．（2）判斷函數(shù)f（x）為增函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)g（x）＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)（2，），∴2α＝，∴α＝，故g（x）＝．∵函數(shù)＝為R上的奇函數(shù)，∴f（0）＝＝0，∴b＝0，經(jīng)檢驗(yàn)知，當(dāng)b＝0時，函數(shù)f（x）＝為R上的奇函數(shù)，∴b＝0．則g（x）＝；b＝0．（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調(diào)遞增，證明：在（﹣1，1）上任取x1，x2，且x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝由﹣1＜x1＜x2＜1，得x2﹣x1＞0，x1x2﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上單調(diào)遞增．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的定義，屬于中檔題．15．（2022秋?漢陽區(qū)校級期末）已知函數(shù)f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm﹣1（m∈R）為冪函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值，并寫出f（x）的解析式；（2）令，求g（x）的值域．【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得m2﹣2m﹣2＝1，再結(jié)合f（x）的單調(diào)性，可求出m的值，進(jìn)而得到f（x）的解析式．（2）分x∈[﹣，0]和x∈[0，1]兩段，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求出f（x）的值域即可．【解答】解：（1）由題意可知m2﹣2m﹣2＝1，解得m＝﹣1或3，又∵f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴m﹣1＞0，即m＞1，∴m＝3，f（x）＝x2．（2）g（x）＝﹣＝|x|﹣，x∈[﹣，1]，①當(dāng)x∈[﹣，0]時，g（x）＝﹣x﹣在[﹣，0]上單調(diào)遞減，∴g（0）≤g（x）≤g（﹣），即﹣1≤g（x）≤，②當(dāng)x∈[0，1]時，g（x）＝x﹣，設(shè)u＝，u∈[1，]，則x＝，∴y＝x﹣＝﹣u＝﹣u﹣＝∈[﹣1，1﹣]，此時g（x）∈[﹣1，1﹣]，綜上所求，g（x）的值域?yàn)閇﹣1，]．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，考查了求函數(shù)的值域，屬于中檔題．16．（2022秋?阿勒泰地區(qū)期末）已知冪函數(shù)f（x）的圖象過點(diǎn)（2，4）．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，若g（x）＞0對任意x∈[﹣1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）由題意利用待定系數(shù)法求得冪函數(shù)f（x）的解析式．（2）由題意利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得g（x）的最小值，再根據(jù)此最小值大于零，求得a的范圍．【解答】解：（1）冪函數(shù)f（x）＝xa的圖象過點(diǎn)（2，4），∴f（2）＝2α＝4，∴α＝2，∴f（x）＝x2．（2）函數(shù)g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1＝2（x﹣2）2+a﹣9，∴g（x）＝2f（x）﹣8x+a﹣1，它的對稱軸為x＝2，∴g（x）在[﹣1，1]上為減函數(shù)，∴x∈[﹣1，1]時，，∴a＞7，∴a的取值范圍為（7，+∞）．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17．（2022秋?沈陽期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m∈N*）的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）試求m的值并寫出該冪函數(shù)的解析式；（2）試求滿足f（1+a）＞f（3﹣）的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出m的值，從而求出函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴＝，即m2+m＝2，解得：m＝1或m＝﹣2，∵m∈N*，故m＝1，故f（x）＝，x∈[0，+∞）；（2）∵f（x）在[0，+∞）遞增，由f（1+a）＞f（3﹣），得，解得：1＜a≤9，故a的范圍是（1，9]．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道基礎(chǔ)題．二．冪函數(shù)的圖象（共5小題）18．（2023?黃浦區(qū)校級模擬）如圖所示是函數(shù)（m，n均為正整數(shù)且m，n互質(zhì)）的圖象，則（）A．m，n是奇數(shù)且 B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且 C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且 D．m，n是奇數(shù)，且【分析】由冪函數(shù)性質(zhì)及0＜x＜1時兩圖象的位置關(guān)系可知；由圖象可知為偶函數(shù)，進(jìn)而確定m，n的特征．【解答】解：由冪函數(shù)性質(zhì)可知：與y＝x恒過點(diǎn)（1，1），即在第一象限的交點(diǎn)為（1，1），當(dāng)0＜x＜1時，，則，又圖象關(guān)于y軸對稱，∴為偶函數(shù)，∴，又m，n互質(zhì)，∴m為偶數(shù)，n為奇數(shù)．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?河?xùn)|區(qū)一模）如圖中，①②③④中不屬于函數(shù)y＝3x，y＝2x，中一個的是（）A．① B．② C．③ D．④【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象的特征即可得答案．【解答】解：由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：①是的部分圖象；③是y＝2x的部分圖象；④是y＝3x的部分圖象；所以只有②不是指數(shù)函數(shù)的圖象．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要冪函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題．20．（2022秋?青浦區(qū)校級月考）已知冪函數(shù)在（0，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)函數(shù)f（x）的解析式；（2）寫出函數(shù)f（x）的基本性質(zhì)，并作出它的圖像．【分析】（1）由題意，利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，求得k的值，可得結(jié)論．（2）由題意，根據(jù)函數(shù)的解析式，畫出它的圖像．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)在（0，+∞）上是嚴(yán)格增函數(shù)，∴，求得k＝1，故f（x）＝＝．（2）函數(shù)f（x）＝的定義域?yàn)閇0，+∞），值域?yàn)閇0，+∞），非奇非偶函數(shù)，不是周期函數(shù)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，如圖：【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．21．（2021秋?西固區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2（m∈R）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2）求函數(shù)g（x）＝﹣+4x﹣1在[0，2]上的最大值．【分析】（1）直接利用冪函數(shù)的定義建立方程組，求函數(shù)冪函數(shù)的關(guān)系式；（2）利用（1）的函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，求出函數(shù)的最大值．【解答】解：（1）冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2（m∈R）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．故：，解得：m＝0．故：f（x）＝x3；（2）由于f（x）＝x3．所以：函數(shù)g（x）＝﹣+4x﹣1，＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，函數(shù)為開口方向向下的拋物線，對稱軸為x＝2．所以g（x）在[0，2]上的最大值為g（2）＝3．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：冪函數(shù)的定義的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．22．（2021秋?東寶區(qū)校級期中）已知函數(shù)f（x）＝（m2+m﹣1）xm是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；（Ⅱ）請畫出f（x）的大致圖象．【分析】（Ⅰ）由冪函數(shù)的定義可知m2+m﹣1＝1，再結(jié)合單調(diào)性即可求出m的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)解析式畫出大致圖像．【解答】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）是冪函數(shù)，則m2+m﹣1＝1，解得m＝﹣2或m＝1，又因?yàn)閒（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，所以m＝﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝x﹣2，則f（x）的大致圖象如圖所示：【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的定義和圖像，是基礎(chǔ)題．三．冪函數(shù)的性質(zhì)（共13小題）23．（2023?河南模擬）已知冪函數(shù)的圖象過，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．x1f（x1）＞x2f（x2） B．x1f（x2）＜x2f（x1） C． D．【分析】用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷選項中的命題是否正確．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，圖象經(jīng)過點(diǎn)（，），所以（）α＝，解得α＝，所以f（x）＝x，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝x在定義域[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)0＜x1＜x2時，0＜f（x1）＜f（x2），所以x1f（x1）＜x2f（x2），選項A，C錯誤；又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的圖象是上凸的，所以當(dāng)0＜x1＜x2時，＞，選項D錯誤．所以x2f（x1）＞x1f（x2），即x1f（x2）＜x2f（x1），選項B正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了利用冪函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．24．（2023?秀英區(qū)校級三模）設(shè)，則a，b，c的大小順序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先判斷b＞1，再化a、c，利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷a、c的大?。窘獯稹拷猓篴＝＝＜1，b＝＞1，c＝＝＜1；且0＜＜＜1，函數(shù)y＝在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以＜，所以c＜a；綜上知，c＜a＜b．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小的問題，是基礎(chǔ)題．25．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn的圖象過點(diǎn)（m，8）．設(shè)a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用冪函數(shù)的定義，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，從而判斷a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn的圖象過點(diǎn)（m，8），∴m﹣1＝1，且mn＝8，求得m＝2，n＝3，故f（x）＝x3．∵a＝f（20.3）＝20.9＞1，b＝f（0.32）＝0.36∈（0，1），c＝f（log20.3）＝＜0，∴a＞b＞c，故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023?大英縣校級模擬）在[﹣1，1]上是（）A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【分析】做出冪函數(shù)的圖象，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：可得在[﹣1，1]上的單調(diào)性和奇偶性．【解答】解：考查冪函數(shù)．∵＞0，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得在[﹣1，1]上的單調(diào)增函數(shù)，是奇函數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)模型之一．學(xué)習(xí)冪函數(shù)重點(diǎn)是掌握冪函數(shù)的圖形特征，即圖象語言，熟記冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)．27．（2022秋?遼寧期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減．（1）求f（x）的解析式；（2）若?x∈[1，2]，，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性列式求解即可；（2）根據(jù)題意分離變量得到在[1，2]恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)f（x）＝（m2﹣3）?xm在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以，解得m＝﹣2，所以f（x）的解析式為f（x）＝x﹣2；（2）由，可得，則，因?yàn)樵赱1，2]上單調(diào)遞增，所以在[1，2]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時，取得最小值1，所以a的取值范圍為（﹣∞，1]．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，還考查了由不等式恒成立求解參數(shù)范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．28．（2022秋?慶陽期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2?x2m﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求f（x）的值域；（2）若?x＞0，，求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性列式求解即可；（2）由題意可得?x＞0，a≥4x﹣2x2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出y＝4x﹣2x2的最大值即可．【解答】解：（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)f（x）＝（m﹣1）2?x2m﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以解得m＝2，所以f（x）＝x3．故f（x）的值域?yàn)镽．（2）由題可得?x＞0，，則a≥4x﹣2x2，當(dāng)時，y＝4x﹣2x2有最大值2，則a≥2，即a的取值范圍為[2，+∞）．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．29．（2023?安康開學(xué)）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1為偶函數(shù)．（1）求冪函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣2a?x在[2，4]上單調(diào)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）由f（x）是冪函數(shù)得m2﹣3m+3＝1，解方程，代入判斷函數(shù)是否為偶函數(shù)即可；（2）化簡g（x）＝x2﹣2a?x，由二次函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．【解答】解：（1）∵f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1為冪函數(shù)，∴m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或m＝2，當(dāng)m＝2時，m+1＝3，冪函數(shù)f（x）＝x3是奇函數(shù)，故不成立，舍去；當(dāng)m＝1時，m+1＝2，故冪函數(shù)f（x）＝x2是偶函數(shù)，故f（x）＝x2；（2）g（x）＝f（x）﹣2a?x＝x2﹣2a?x，∵函數(shù)g（x）在[2，4]上單調(diào)，∴≤2或≥4，解得a≤2或a≥3；故實(shí)數(shù)a的取值范圍為{a|a≤2或a≥3}．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)的定義及性質(zhì)，同時考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．30．（2022秋?葫蘆島期末）已知冪函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（2x﹣1）＜f（2﹣x），求x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求出m的值，再結(jié)合冪函數(shù)的奇偶性確定函數(shù)解析式；（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性列不等式，能求出結(jié)果．【解答】解：（1）冪函數(shù)是偶函數(shù)，∴，解得m＝2，∴函數(shù)f（x）的解析式為f（x）＝x4；（2）∵f（x）＝x4在[0，+∞）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，f（2x﹣1）＜f（2﹣x），∴|2x﹣1|＜|2﹣x|，平方后解得﹣1＜x＜1，∴x的取值范圍是（﹣1，1）．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．31．（2022秋?新化縣期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣3m+3）xm+1為偶函數(shù)．（1）求冪函數(shù)f（x）的解析式；（2）若函數(shù)，根據(jù)定義證明g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義以及奇偶性建立方程求出m的值，進(jìn)而可以求解；（2）求出函數(shù)g（x）的解析式，然后根據(jù)單調(diào)性定義證明即可．【解答】解：（1）由已知可得m2﹣3m+3＝1，解得m＝1或2，又函數(shù)為偶函數(shù)，則m＝1，則f（x）＝x2；（2）g（x）＝，證明：設(shè)任意1＜x1＜x2，則g（x1）﹣g（x2）＝＝（x1﹣x2）（1﹣），因?yàn)?＜x1＜x2，則x1﹣x2＜0，x1x2＞1，所以1﹣＞0，則g（x1）﹣g（x2）＜0，即g（x1）＜g（x2），所以函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)的性質(zhì)以及對勾函數(shù)單調(diào)性的證明，屬于中檔題．32．（2022秋?湘潭期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值；（2）若?x＞0，，求a的取值范圍．【分析】（1）利用冪函數(shù)的定義和性質(zhì)列方程組，求出m的值．（2）由題可得，即a≥4x﹣2x2恒成立，由此求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）2x2m﹣1在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴，解得m＝2．（2）由（1）知，f（x）＝x3，?x＞0，，即，∴a≥4x﹣2x2恒成立，當(dāng)時，4x﹣2x2有最大值2，∴a≥2，∴a的取值范圍為[2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的定義和不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．33．（2022秋?威海期末）已知冪函數(shù)f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm（其中m為實(shí)數(shù)）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．（1）若，求a2+a﹣2的值；（2）解關(guān)于x的不等式lgf（x）＞f（16）．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及單調(diào)性，即可求解．【解答】解：（1）f（x）＝（2m2﹣3m﹣1）xm為冪函數(shù)，則2m2﹣3m﹣1＝1，解得m＝或m＝2，當(dāng)m＝2時，冪函數(shù)f（x）＝x2在（0，+∞）上單調(diào)遞增，不符合題意，舍去，當(dāng)m＝﹣時，冪函數(shù)f（x）＝，符合題意，，則，兩邊同時平方可得，a﹣1+a+2＝16，故a﹣1+a＝14，兩邊同時平方可得，a﹣2+a2+2＝196，解得a﹣2+a2＝194；（2）lgf（x）＞f（16），則，即lgx＜，解得0＜x＜，故原不等式的解集為．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．（2022秋?潢川縣校級期末）已知冪函數(shù)f（x）＝x（m∈Z）是奇函數(shù)，且f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．（1）求m的值，并求f（x）的解析式；（2）求y＝的[log2f（x）]2﹣log[2f（x）]，x∈[，2]最值的最值，并求出取得最值時x的取值．【分析】（1）由已知結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)可建立關(guān)于m的不等式即可求解m；（2）先求出y的解析式，然后利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）冪函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則＞0，解得，因?yàn)閙∈Z，所以m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時，f（x）＝x3為奇函數(shù)，符合題意，當(dāng)m＝1時，f（x）＝x2為偶函數(shù)，不符合題意，故f（x）＝x3；（2）y＝[log2f（x）]2﹣log[2f（x）]＝（log2x3）2﹣log（2x3）＝9（log2x）2+3log2x+1，因?yàn)閤∈[，2]，則t＝log2x∈[﹣1，1]，y＝9t2+3t+1＝9（t+）2+，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t＝時，ymin＝，此時x＝2，當(dāng)t＝1時，ymax＝13，此時x＝2．【點(diǎn)評】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，還考查了二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．35．（2022秋?周村區(qū)校級期末）已知冪函數(shù)是奇函數(shù)，且f（1）＜f（2）．（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；（2）求，的值域．【分析】（1）先得到﹣2m2+m+3是正奇數(shù)，且m∈Z，由此能求出m＝0即可．（2）先得到y(tǒng)＝9﹣，﹣1≤log2x≤1，求解即可．【解答】解：（1）∵冪函數(shù)是奇函數(shù)，且f（1）＜f（2），∴﹣2m2+m+3是正奇數(shù)，且m∈Z，∴m＝0，∴f（x）＝x3．（2）＝（log2x3）2+（2x3）＝9﹣3log2x﹣1＝9﹣，∵，∴﹣1≤log2x≤1，∴當(dāng)log2x＝時，y取最小值﹣，當(dāng)log2x＝﹣1時，y取最大值11．∴函數(shù)的值域?yàn)閇﹣，11]．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)的解析式，函數(shù)的值域的求法，是中檔題．四．冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用（共4小題）36．（2022?衡水模擬）若a＝20.4，b＝30.3，c＝40.2，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞a C．c＝a＞b D．b＞a＝c【分析】利用指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則求出a＝c，再利用冪函數(shù)的單調(diào)性求出c＞b即可．【解答】解：a＝20.4＝40.2＝c，∵c＝40.2＝＝，b＝30.3＝＝，又∵冪函數(shù)y＝在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴b＞c，∴b＞a＝c，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則，冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．37．（2022?貴州模擬）已知a＝（）25，b＝1.0250，c＝1.01100，則（）A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【分析】a＝（）25，b＝1.0250＝（1.022）25，c＝1.01100＝（1.014）25，然后結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性可解決此題．【解答】解：∵a＝（）25，b＝1.0250＝（1.022）25，c＝1.01100＝（1.014）25，≈1.041，1.022＝1.0404，1.014≈1.0406，函數(shù)y＝x25在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴b＜c＜a．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查冪函數(shù)單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．38．（2021秋?靈丘縣校級期中）已知冪函數(shù)f（x）＝（m2﹣5m+7）x﹣m﹣1（m∈R）為偶函數(shù)．（1）求的值；（2）若f（2a+1）＝f（a），求實(shí)數(shù)a的值．【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的系數(shù)一定為1可先確定參數(shù)m的值，再根據(jù)奇偶性進(jìn)行驗(yàn)證，可得答案．（2）由（1）知f（x）＝x﹣4，利用函數(shù)的單調(diào)性及f（2a+1）＝f（a）可得|2a+1|＝|a|，從而求出a的值．【解答】解：（1）由m2﹣5m+7＝1得m＝2或3，…2當(dāng)m＝2時，f（x）＝x﹣3是奇函數(shù)，∴不滿足．當(dāng)m＝3時，∴f（x）＝x﹣4，滿足題意，…4∴函數(shù)f（x）的解析式f（x）＝x﹣4，所以．…6（2）由f（x）＝x﹣4和f（2a+1）＝f（a）可得|2a+1|＝|a|，…8即2a+1＝a或2a+1＝﹣a，∴a＝﹣1或．…12【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的表達(dá)形式以及冪函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．39．（2020春?石家莊期末）已知函數(shù)f（x）＝（m∈Z）為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；（2）若g（x）＝loga[f（x）﹣2x]（a＞0且a≠1），求g（x）在（2，3]上值域．【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，求出m的取值范圍，驗(yàn)證得出符合題意的m值即可；（2）求出g（x）的解析式，討論a＞1和0＜a＜1時，求出函數(shù)g（x）的值域．【解答】解：（1）因?yàn)閒（3）＜f（5），所以由冪函數(shù)的性質(zhì)得，﹣2m2+m+3＞0，解得﹣1＜m＜，又因?yàn)閙∈Z，所以m＝0或m＝1，當(dāng)m＝0時，f（x）＝x3不是偶函數(shù)；當(dāng)m＝1時，f（x）＝x2是偶函數(shù)，所以m＝1，f（x）＝x2；（2）由（1）知g（x）＝loga（x2﹣2x），設(shè)t＝x2﹣2x，x∈（2，3]，則t∈（0，3]，此時g（x）在（2，3]上的值域，就是函數(shù)y＝logat，t∈（0，3]的值域；當(dāng)a＞1時，y＝logat在區(qū)間（0，3]上是增函數(shù)，所以y∈（﹣∞，loga3]；當(dāng)0＜a＜1時，y＝logat在區(qū)間（0，3]上是減函數(shù)，所以y∈[loga3，+∞）；所以當(dāng)a＞1時，函數(shù)g（x）的值域?yàn)椋ī仭?，loga3]，當(dāng)0＜a＜1時，g（x）的值域?yàn)閇loga3，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是中檔題目．六六、易錯分析易錯點(diǎn)1：冪函數(shù)中忽視定義域致錯已知冪函數(shù)f(x)＝x，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍為________．【錯解】∵f(x)＝＝eq\f(1,\r(x))(x＞0)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴，解得3＜a.答案：(3,＋∞)．【錯因】沒有考慮函數(shù)的定義域，【正解】∵f(x)＝x＝eq\f(1,\r(x))(x＞0)，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a.))解得3＜a＜5.答案：(3,5)七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共5小題）1．（2023?大英縣校級模擬）在[﹣1，1]上是（）A．增函數(shù)且是奇函數(shù) B．增函數(shù)且是偶函數(shù) C．減函數(shù)且是奇函數(shù) D．減函數(shù)且是偶函數(shù)【分析】做出冪函數(shù)的圖象，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)：可得在[﹣1，1]上的單調(diào)性和奇偶性．【解答】解：考查冪函數(shù)．∵＞0，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得在[﹣1，1]上的單調(diào)增函數(shù)，是奇函數(shù)．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)是重要的基本初等函數(shù)模型之一．學(xué)習(xí)冪函數(shù)重點(diǎn)是掌握冪函數(shù)的圖形特征，即圖象語言，熟記冪函數(shù)的圖象、性質(zhì)．2．（2023?河南模擬）已知冪函數(shù)的圖象過，P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1＜x2）是函數(shù)圖象上的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．x1f（x1）＞x2f（x2） B．x1f（x2）＜x2f（x1） C． D．【分析】用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷選項中的命題是否正確．【解答】解：設(shè)冪函數(shù)f（x）＝xα，圖象經(jīng)過點(diǎn)（，），所以（）α＝，解得α＝，所以f（x）＝，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝在定義域[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)0＜x1＜x2時，0＜f（x1）＜f（x2），所以x1f（x1）＜x2f（x2），選項A，C錯誤；又因?yàn)楹瘮?shù)＝單調(diào)遞增，所以當(dāng)0＜x1＜x2時，＜，選項D正確．所以x2f（x1）＜x1f（x2），即x1f（x2）＜x2f（x1），選項B錯誤．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了利用冪函數(shù)的定義與應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題．3．（2023?秀英區(qū)校級三模）設(shè)，則a，b，c的大小順序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a(chǎn)＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先判斷b＞1，再化a、c，利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷a、c的大?。窘獯稹拷猓篴＝＝＜1，b＝＞1，c＝＝＜1；且0＜＜＜1，函數(shù)y＝在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，所以＜，所以c＜a；綜上知，c＜a＜b．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小的問題，是基礎(chǔ)題．4．（2023?東莞市校級模擬）已知函數(shù)y＝loga（x﹣1）+4（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)P，點(diǎn)P在冪函數(shù)y＝f（x）的圖象上，則lgf（2）+lgf（5）＝（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)恒過點(diǎn)（1，0）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入冪函數(shù)y＝f（x）中求出函數(shù)解析式，再計算lgf（2）+lgf（5）的值．【解答】解：函數(shù)y＝loga（x﹣1）+4中，令x﹣1＝1，解得x＝2，此時y＝loga1+4＝4；所以函數(shù)y的圖象恒過定點(diǎn)P（2，4），又點(diǎn)P在冪函數(shù)y＝f（x）＝xα的圖象上，所以2α＝4，解得α＝2；所以f（x）＝x2，所以lgf（2）+lgf（5）＝lg[f（2）f（5）]＝lg（22×52）＝2lg10＝2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn的圖象過點(diǎn)（m，8）．設(shè)a＝f（20.3），b＝f（0.32），c＝f（log20.3），則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a【分析】利用冪函數(shù)的定義，先求出f（x）的解析式，可得a、b、c的值，從而判斷a，b，c的大小關(guān)系．【解答】解：∵冪函數(shù)f（x）＝（m﹣1）xn的圖象過點(diǎn)（m，8），∴m﹣1＝1，且mn＝8，求得m＝2，n＝3，故f（x）＝x3．∵a＝f（20.3）＝20.9＞1，