專題12.3一次函數(shù)的性質(zhì)（舉一反三）（滬科版）

專題12.3一次函數(shù)的性質(zhì)【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】 1【題型2確定一次函數(shù)的增減性】 4【題型3由一次函數(shù)經(jīng)過的象限求字母的取值范圍】 6【題型4由一次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】 8【題型5比較一次函數(shù)值的大小】 10【題型6一次函數(shù)中的對(duì)稱性問題】 12【題型7由兩直線的位置關(guān)系求解析式】 15【題型8兩直線的相交問題】 19【題型9由一次函數(shù)解決最值問題】 23【題型10一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用】 29知識(shí)點(diǎn)1：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0)性質(zhì)k＞0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；k＜0時(shí)，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號(hào)之間的關(guān)系.（1）k>0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、三象限；（2）k>0，b＜0圖像經(jīng)過一、三、四象限；（3）k>0，b＝0圖像經(jīng)過一、三象限；（4）k＜0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0圖像經(jīng)過二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0圖像經(jīng)過二、四象限?！绢}型1確定一次函數(shù)經(jīng)過的象限】【例1】（2324九年級(jí)·上海寶山·期中）如果ab<0，ac<0，則直線y=?abx?A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)ab<0，ac<0，可以?ab>0，且b,c【詳解】解：∵ab<0，ac<0，∴a,b異號(hào)，a,c異號(hào)，∴?ab>0∴?c一次函數(shù)y=?a故選B【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．【變式11】（2324九年級(jí)·浙江杭州·期中）一次函數(shù)y=(m+1)x?2m+3的圖象一定經(jīng)過第象限．【答案】一【分析】由一次函數(shù)的定義可知m+1≠0，故可分類討論：當(dāng)m+1>0和m+1<0時(shí)，分別求出?2m+3的取值范圍，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵該函數(shù)為一次函數(shù)，∴m+1≠0，即m≠?1分類討論：①當(dāng)m+1>0，即m>?1時(shí)，∴?2m+3<5，∴此時(shí)該函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、三象限．當(dāng)0<?2m+3<5時(shí)，經(jīng)過第二象限，當(dāng)?2m+3<0時(shí)，經(jīng)過第四象限；②當(dāng)m+1<0，即m<?1時(shí)，∴?2m+3>7，∴此時(shí)該函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，綜上可知，該函數(shù)圖象必經(jīng)過第一象限．故答案為：一．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．掌握一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，當(dāng)k>0，b>0時(shí)，其圖象經(jīng)過第一、二、三象限；當(dāng)k>0，b<0時(shí)，其圖象經(jīng)過第一、三、四象限；當(dāng)【變式12】（2324九年級(jí)·河北唐山·期中）一次函數(shù)y=k+1x+3的圖像經(jīng)過點(diǎn)P，且k>?1，則點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為（A．5,4 B．?1,2 C．?2,?2 D．5,?1【答案】D【分析】由k>?1，即k+1>0，則y的值隨x值的增大而增大．又因?yàn)?>0，所以一次函數(shù)y=k+1【詳解】解：∵k>?1，∴k+1>0，∴y的值隨x值的增大而增大，又∵3>0，∴一次函數(shù)y=k+1∵5,?1在第四象限，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)不可能為5,?1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，由一次函數(shù)解析式系數(shù)確定一次函數(shù)圖像的位置是解題的關(guān)鍵．【變式13】（2324九年級(jí)·四川達(dá)州·期中）如果ab>0，ac<0則直線y=?ab【答案】一【分析】先根據(jù)ab＞0，ac＜0討論出a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而可得出ab，【詳解】∵ab＞0，ac∵a、b同號(hào)，a、c異號(hào)，當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，c＜0，∴ab＞0，c∴直線y=abx+c當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，c＞0，∴ab＞0，c∴直線y=?a∴這條直線不經(jīng)過第一象限，故答案為：一．【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)ab＞0，ac＜0討論出a、b、c的符號(hào)，進(jìn)而可得出ab，【題型2確定一次函數(shù)的增減性】【例2】（2324九年級(jí)·河北石家莊·期中）如圖，一個(gè)函數(shù)的圖象由射線BA、線段BC、射線CD組成，其中點(diǎn)A（2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），則此函數(shù)(

)A．當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而增大 B．當(dāng)x<2時(shí)，y隨x的增大而減小C．當(dāng)x>2時(shí)，隨的增大而增大 D．當(dāng)x≥2時(shí)，y隨x的增大而減小【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和各點(diǎn)坐標(biāo)，可得出各段中函數(shù)圖象的變化情況，即可得答案．【詳解】∵A（2，2），B（1，3），C（2，1），D（6，5），∴由圖象可知：當(dāng)x＜1時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的圖象及函數(shù)的增減性，正確得出對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式21】（2324九年級(jí)·吉林長(zhǎng)春·期末）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的是（）A．y=2x B．y=2x+1 C．y=x?4 D．y=?x+3【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，據(jù)此即可判斷求解，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵k=2>0，∴y隨x的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；B、∵k=2>0，∴y隨x的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；C、∵k=1>0，∴y隨x的增大而增大，該選項(xiàng)不合題意；D、∵k=?1<0，∴y隨x的增大而減小，該選項(xiàng)不合題意；故選：D．【變式22】（2324九年級(jí)·安徽蚌埠·期末）在一次函數(shù)y=?23x+13的圖像上任取不同兩點(diǎn)P1xA．y2?y1x2?x1【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)．根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵?2∴y隨x的增大而減小，當(dāng)x2>x∴y2故選：A．【變式23】（2024·浙江杭州·一模）若Ax1,y1，Bx2,【答案】＜【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?4x+5，y隨x增大而減小，∴當(dāng)x1<x∴x1∴W=x當(dāng)x1>x∴x1∴W=x故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的圖形性質(zhì)．【題型3由一次函數(shù)經(jīng)過的象限求字母的取值范圍】【例3】（2324九年級(jí)·寧夏銀川·期中）如果直線y=2?kx+k不經(jīng)過第二象限，那么k的取值范圍是（A．k≤0 B．k<2 C．0≤k<2 D．k<0【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)圖象不經(jīng)過第二象限可得2?k>0且k≤0，結(jié)合不等式的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大取中間，大大小小無解”的方法即可求解，掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，不等式的取值方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵不經(jīng)過第二象限，∴2?k>0，且k≤0，∴k≤0，故選：A【變式31】（2324九年級(jí)·河南駐馬店·期中）已知點(diǎn)A(?1,2)、B(3,2)，若一次函數(shù)y=?x+b的圖象與線段AB有交點(diǎn)，則b的取值范圍為．【答案】1≤b≤5【分析】把A、B分別代入y＝﹣x+b，分別求得b的值，即可求得b的取值范圍．【詳解】解：∵A（﹣1，2），B（3，2），∴若過A點(diǎn)，則2＝1+b，解得b＝1，若過B點(diǎn)，則2＝﹣3+b，解得b＝5，∴1≤b≤5．故答案：1≤b≤5．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)符合解析式是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2024九年級(jí)·全國·專題練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)?2,3的直線l經(jīng)過一、二、三象限，若點(diǎn)0,a，?1,b，c,?1都在直線l上，則下列判斷正確的是（

）A．a(chǎn)<b B．a(chǎn)<3 C．b<3 D．c<?2【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)直線l經(jīng)過第一、二、三象限且過點(diǎn)?2,3，得出y隨x的增大而增大，則3<b<a，再根據(jù)點(diǎn)c,?1在直線l上，得出c<?2，即可解答．【詳解】解：∵直線l經(jīng)過第一、二、三象限且過點(diǎn)?2,3，∴y隨x的增大而增大．∵?2<?1<0，∴3<b<a，∴A、B、C均錯(cuò)；∵點(diǎn)c,?1在直線l上，∴c<?2．故選D．【變式33】（2324九年級(jí)·江蘇南通·期中）已知過點(diǎn)1,3的直線y=ax+ba≠0不經(jīng)過第四象限，設(shè)S=a+2b，則S的取值范圍為（

A．3<S<6 B．3≤S<6 C．3<S≤6 D．3≤S≤6【答案】B【分析】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解一元一次不等式組，以及不等式的性質(zhì)．掌握一次函數(shù)y=kx+bk≠0中，當(dāng)k＞0根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可得a＞0，b≥0，將點(diǎn)1,3代入y=ax+ba≠0，得到a+b=3，即b=3?a．由a＞0，b≥0得出不等式組3?a≥0【詳解】∵過點(diǎn)1,3的直線y=ax+ba≠0∴a＞0，b≥0，∴b=3?a，∴3?a≥0a>0，解得：0<a≤3∴S=a+2b=a+23?a∵?3≤?a<0，∴3≤6?a<6，即S的取值范圍為：3≤S<6，故選B．【題型4由一次函數(shù)的增減性求字母的取值范圍】【例4】（2324九年級(jí)·湖南長(zhǎng)沙·期中）對(duì)某一個(gè)函數(shù)給出如下定義:若存在實(shí)數(shù)M>0，對(duì)于任意的函數(shù)值y，都滿足?M≤y≤M，則稱這個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個(gè)函數(shù)的邊界值．例如，圖中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1．若函數(shù)y=?x+1(a≤x≤b，b>a)的邊界值是2，且這個(gè)函數(shù)的最大值也是2，則b的取值范圍是．

【答案】?1<b≤3【分析】根據(jù)函數(shù)的增減性、邊界值確定a=1；然后由“函數(shù)的最大值也是2”來求b的取值范圍．【詳解】解：∵k=1，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=a時(shí)，a+1=2，解得a=1，而x=b時(shí)，y=b+1，∴2≤b+1≤2，且b＞a，∴1＜b≤3．故答案為1＜b≤3．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)y=kx+b的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y=kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線與y軸交于負(fù)半軸．【變式41】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）若一次函數(shù)y=k?2x?1的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則A．1 B．52 C．32 【答案】B【分析】本題主要考查了一次函數(shù)．熟練掌握一次函數(shù)的增減性，是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的增減性質(zhì)，逐一判斷可得答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=k?2x?1的函數(shù)值y隨著∴k?2>0，解得k>2．所以k的值可以是52【變式42】（2024·浙江寧波·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)a≤x≤a+3（其中a為常數(shù)）時(shí)．函數(shù)y=x?1的最小值為2a+4，則滿足條件的a的值為（

）A．－5 B．－2 C．?32【答案】A【分析】此題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)y=x?1的函數(shù)值隨著x的增大而增大，根據(jù)自變量取值范圍即可得到當(dāng)a≤x≤a+3時(shí)，則當(dāng)x=a時(shí)取得最小值2a+4，列方程并解方程即可.【詳解】解：∵k=1>0∴函數(shù)y=x?1的函數(shù)值隨著x的增大而增大，當(dāng)a≤x≤a+3時(shí)，則當(dāng)x=a時(shí)取得最小值2a+4，即a?1=2a+4，解得a=?5，故選：A【變式43】（2324九年級(jí)·福建福州·期末）我是一條直線，很有名氣的直線，數(shù)學(xué)家們給我命名為y=kx+bk≠0．在我的圖象上有兩點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2A．m>0 B．m≥0 C．m=0 D．m<0【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，再將兩式相減即可解決問題．【詳解】解：將A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)解析式得，y1兩式相減得，y1所以k=y因?yàn)閗>0，所以y1則(y所以(x則m>0．故選：A．【題型5比較一次函數(shù)值的大小】【例5】（2324九年級(jí)·山東聊城·期末）一次函數(shù)y=?x+b的圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為?13,y1,?1,A．y1<yC．y3<y【答案】C【分析】本題主要考查了根據(jù)一次函數(shù)的增減性判斷函數(shù)值的大?。鶕?jù)一次函數(shù)y=?x+b中的k=?1<0可得出y隨x的增大而減小，根據(jù)?1<?13<2【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?x+b中的k=?1<0，∴y隨x的增大而減小，∵?1<?1∴y2故選：C．【變式51】（2324九年級(jí)·廣西崇左·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(1,a)和點(diǎn)B(?2,b)是一次函數(shù)y=?12x+c圖象上的兩點(diǎn)，則a【答案】＜【分析】把A(1,a),B(?2,b)代入一次函數(shù)y=?12x+c【詳解】解：把A(1,a),B(?2,b)代入一次函數(shù)y=?1?①-②得：a?b=?3∴a<b,故答案為：<．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握比較兩數(shù)大小的幾種常用方法．【變式52】（2324九年級(jí)·江西撫州·期中）已知一次函數(shù)y=?2x+1的圖象經(jīng)過P1m,a，P2m+1,b兩點(diǎn)，則a【答案】>【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．根據(jù)一次函數(shù)圖象的增減性進(jìn)行判斷．判斷出一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=?2x+1中的?2<0，∴該函數(shù)圖象是直線，且y的值隨x的增大而減小，∵m+1>m，∴a>b．故答案為：>．【變式53】（2324九年級(jí)·福建廈門·期末）點(diǎn)M(a,2)、N(b,3)是一次函數(shù)y=2x?3圖像上兩點(diǎn)，則ab（填“>”、“=”或”<”）．【答案】<【分析】由k=2>0結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出該函數(shù)為增函數(shù)，再結(jié)合2＜3即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵k=2>0，∴一次函數(shù)y隨x增大而增大，同理當(dāng)y越大時(shí)x也越大，∵2＜3，∴a<b．故答案為<．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵確定一次函數(shù)的增減性．【題型6一次函數(shù)中的對(duì)稱性問題】【例6】（2324九年級(jí)·陜西西安·開學(xué)考試）若直線y=kx+2與直線y=?3x+b關(guān)于直線x=?1對(duì)稱，則k、b值分別為（

）A．k=?3、b=?2 B．k=3、b=?2 C．k=3、b=?4 D．k=3、b=4【答案】C【分析】本題考查的是一次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，先根據(jù)題意得出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵．先求出一次函數(shù)y=kx+2與y軸交點(diǎn)關(guān)于直線x=?1的對(duì)稱點(diǎn)，代入y=?3x+b得到b的值，再求出一次函數(shù)y=?3x+b與y軸交點(diǎn)關(guān)于直線x=?1的對(duì)稱點(diǎn)，代入一次函數(shù)y=kx+2，求出k的值即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=kx+2與y軸交點(diǎn)為0,2，∴點(diǎn)0,2關(guān)于直線x=?1的對(duì)稱點(diǎn)為?2,2，把?2,2代入直線y=?3x+b，可得2=?3×?2解得b=?4，則y=?3x+b=?3x?4，一次函數(shù)y=?3x?4與y軸交點(diǎn)為0,?4，0,?4關(guān)于直線x=?1的對(duì)稱點(diǎn)為?2,?4，代入直線y=kx+2，可得?4=?2k+2，解得k=3．故選：C．【變式61】（2324九年級(jí)·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A2,m在第一象限，若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B在直線y=?x+1上，則m的值為（

A．1 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可得B（2，?m），然后再把B點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝?x＋1可得m的值．【詳解】點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（2，﹣m），將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線y＝﹣x+1得：﹣m＝﹣2+1，解得：m＝1，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握凡是函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)必能使解析式左右相等．【變式62】（2324九年級(jí)·四川成都·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(?3,0),B(1,4)，直線BC交x軸于4,0，過點(diǎn)A作AD∥BC交y軸于點(diǎn)(1)求直線BC和直線AD的關(guān)系式；(2)點(diǎn)M在直線AD上，且△ABM與△ABO的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)直線AD的解析式為：y=?43x?4；直線(2)?127【分析】本題考查了一次函數(shù)的解析式求解、平行線間的距離處處相等等知識(shí)點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，將B,C兩點(diǎn)代入即可求解；設(shè)直線AD的解析式為：y=?43x+（2）求出直線AB的解析式，過點(diǎn)O作AB的平行線l，則點(diǎn)M是直線AD與直線l的交點(diǎn)，據(jù)此即可求解；【詳解】（1）解：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則k+b=44k+b=0解得：b=16∴直線BC的解析式為：y=?4∵AD∴設(shè)直線AD的解析式為：y=?4則0=?4解得：b∴直線AD的解析式為：y=?4（2）解：如圖所示：過點(diǎn)O作AB的平行線l，設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，則?3m+n=0m+n=4解得：m=1n=3∴直線AB的解析式為：y=x+3，則直線l的解析式為：y=x，∵點(diǎn)M在直線AD上，且△ABM與△ABO的面積相等，∴點(diǎn)M是直線AD與直線l的交點(diǎn)則y=xy=?解得：x=?∴M點(diǎn)M?127,?綜上所述：點(diǎn)M的坐標(biāo)為?127【變式63】（2024·江西南昌·一模）定義：若兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．請(qǐng)寫出函數(shù)y＝2x+1的反函數(shù)的解析式．【答案】y＝12x﹣【分析】求出函數(shù)y＝2x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出其對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法1求得函數(shù)解析式即可．【詳解】y＝2x+1，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝1，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣12即函數(shù)和x軸的交點(diǎn)為（﹣12所以兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，﹣12設(shè)反函數(shù)的解析式是y＝kx+b，代入得：b=?1解得：k＝12，b＝﹣1即y＝12x﹣1故答案為y＝12x﹣1【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，根據(jù)題意求得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵.知識(shí)點(diǎn)2：兩直線的位置關(guān)系同一平面直角坐標(biāo)系中兩直線，的位置關(guān)系：的關(guān)系與的關(guān)系與相交，與相交于y軸上的一點(diǎn)，與平行【題型7由兩直線的位置關(guān)系求解析式】【例7】（2324九年級(jí)·福建南平·期末）探究活動(dòng)一：如圖1，某數(shù)學(xué)興趣小組在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)在直線AB上的三點(diǎn)A1,3，B2,5，C4,9，有kAB=5?32?1=2，kAC=9?34?1=2，kAB=kAC（1）請(qǐng)你應(yīng)用以上規(guī)律直接寫出過S?2,?2，T4,2兩點(diǎn)的直線ST的斜率探究活動(dòng)二：數(shù)學(xué)興趣小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到正確結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積是定值．（2）如圖2，直線DE與直線DF垂直于點(diǎn)D，且D2,2，E1,4，F(xiàn)4,3．請(qǐng)求出直線DE綜合應(yīng)用：（3）如圖3，M1,2，N4,5，請(qǐng)結(jié)合探究活動(dòng)二的結(jié)論，求出過點(diǎn)N且與直線【答案】（1）23；（2）1，當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積等于1；（3）【分析】（1）直接利用公式計(jì)算即可；（2）運(yùn)用公式分別求出kDE和kDF的值，再計(jì)算kDE×kDF=1；（3）先求直線MN的斜率kMN，根據(jù)探究活動(dòng)二的結(jié)論可得直線PQ的斜率kPQ，待定系數(shù)法即可求得直線PQ解析式．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：kST（2）∵D2,2，E1,4，∴kDE=4?2∴kDE結(jié)論：當(dāng)任意兩條不和坐標(biāo)軸平行的直線互相垂直時(shí)，這兩條直線的斜率之積等于1．（3）設(shè)過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線為PQ，解析式為y=k∵M(jìn)1,2，N∴kMN∵PQ⊥MN，∴kPQ∴kPQ∵直線PQ經(jīng)過點(diǎn)N4,5∴5=?1×4+b，解得b=9．∴過點(diǎn)N且與直線MN垂直的直線的解析式為y=?x+9．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，新定義：直線斜率；是一道創(chuàng)新題，引入新定義：直線斜率，理解和掌握直線斜率的概念是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2324九年級(jí)·遼寧鞍山·階段練習(xí)）函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象平行于直線y=3x+2，且交y軸于點(diǎn)0,?1，則其函數(shù)表達(dá)式是【答案】y=3x?1【分析】本題考查了求一次函數(shù)解析式，涉及了兩直線平行的問題，熟知兩直線平行時(shí)，k值相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行直線的解析式求出k值，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式求出b值即可．【詳解】解：∵函數(shù)y=kx+bk≠0的圖象平行于直線y=3x+2∴k=3，∴y=3x+b交y軸于點(diǎn)0,?1，∴b=?1，∴函數(shù)的表達(dá)式是y=3x?1，故答案為：y=3x?1．【變式72】（2024·河北石家莊·一模）某個(gè)一次函數(shù)的圖象與直線y=12x+3平行，與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，并且過點(diǎn)?2,?4，則在線段AB上（包括點(diǎn)A，BA．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】B【分析】本題考查了平行線的解析式之間的關(guān)系．平行線的解析式一次項(xiàng)系數(shù)相等，設(shè)直線AB為y=12x+b，將點(diǎn)(?2,?4)代入可求直線AB的解析式，可得點(diǎn)A(6,0)，B(0,?3)，再根據(jù)x【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=1由點(diǎn)(?2,?4)在該函數(shù)圖象上，得?4=12×(?2)+b所以，y=12x?3．可得點(diǎn)A(6,0)由0≤x≤6，且x為整數(shù)，取x=0，2，4，6時(shí)，對(duì)應(yīng)的y是整數(shù)．因此，在線段AB上（包括點(diǎn)A、B)，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)有4個(gè)．故選：B．【變式73】（2324九年級(jí)·遼寧葫蘆島·期末）數(shù)學(xué)精英小組利用平面直角坐標(biāo)系在研究直線上點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律時(shí)，發(fā)現(xiàn)直線y=kx+b上的任意三點(diǎn)Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3（x1≠x2≠x(1)已知直線y=kx+b經(jīng)過A2,3，B4,?2兩點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出(2)如圖，直線y1⊥y2于點(diǎn)A，直線y1，y2分別交y軸于B，C兩點(diǎn)，A，【答案】(1)?(2)?1【分析】（1）直接根據(jù)y1（2）根據(jù)y1?y2x1?【詳解】（1）解：∵A(2,3)，B(4,2)，∴k=3?(?2)2?4故答案為：?5（2）解：∵y1=k1x+b1經(jīng)過A(2,0)，B(0,4)，∴k1=0?42?0∵y2=k2x+b2經(jīng)過A(2,0)，C(0,1)，∴k1=0??1∴k1k2=2×12=【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，本題屬閱讀材料題，理解題目中介紹的解題方法并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【題型8兩直線的相交問題】【例8】（2324九年級(jí)·四川自貢·階段練習(xí)）已知一次函數(shù)y=kx+bk≠0的圖像經(jīng)過點(diǎn)A9,0，且與正比例函數(shù)y=?2x交于點(diǎn)B3,m【答案】m=?6，y=x?9【分析】本題考查了求一次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的方法和步驟．把B3,m代入y=?2x求出m的值，進(jìn)而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把A9,0，B3,?6代入y=kx+bk≠0，求出【詳解】解：把B3,m代入y=?2x得：m=?2×3=?6∴B3,?6把A9,0，B3,?6代入9k+b=03k+b=?6解得：k=1b=?9∴一次函數(shù)解析式為y=x?9．【變式81】（2324九年級(jí)·遼寧沈陽·期中）如圖，已知直線y1=?2x+3和y2=mx?1分別交y軸于點(diǎn)A，（1）求m，n的值；（2）求△ABC的面積．【答案】（1）m=2，n=1；（2）△ABC的面積為2．【分析】（1）先利用直線y1求出點(diǎn)C坐標(biāo)，再利用直線y（2）兩個(gè)函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為A、B，即x=0時(shí)，可以求出A、B坐標(biāo)，即可得出三角形面積．【詳解】解：（1）∵兩直線交于點(diǎn)C∴將C1,n代入y1即：C點(diǎn)坐標(biāo)為：（1,1）將C（1,1）代入y2=mx?1即：m=2故：m=2，n=1．（2）∵當(dāng)x=0時(shí)，y∴A（0,3）當(dāng)x=0時(shí)，y∴B（0，1）∴SΔABC故：△ABC的面積為2．【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)的基礎(chǔ)題型，根據(jù)已知點(diǎn)求出函數(shù)解析式，然后利用解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，并求出三角形面積．【變式82】（2324九年級(jí)·四川達(dá)州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y1=?23x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，直線y2(1)求A、B的坐標(biāo)；(2)求△ABO的面積；(3)若△ABO被直線CP分成的兩部分的面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線CP的函數(shù)表達(dá)式．

【答案】（1）A(3，0)，B(0，2)；（2）3；（3）P(34，32【分析】（1）已知直線y1的解析式，分別令x=0和y=0即可求出A和B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)（1）中求出的A和B的坐標(biāo)，可知OA和OB的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可求出S△ABO；（3）由（2）中的S△ABO，可推出S△APC的面積，求出yp，繼而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，將點(diǎn)C和點(diǎn)P的坐標(biāo)聯(lián)立方程組求出k和b的值后即可求出函數(shù)解析式．【詳解】解：（1）∵一次函數(shù)的解析式為y1=23令x=0，得y1=2，∴B(0，2)，令y1=0，得x=3，∴A(3，0)；（2）由（1）知：OA=3，OB=2，∴S△ABO=12OA?OB=1（3）∵12S△ABO=12×3=∴S△APC=12AC?yp=12×(31)×yp=解得：yp=32又點(diǎn)P在直線y1上，∴32=2解得：x=34∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(34，3將點(diǎn)C(1，0)、P(34，30=k+b3解得：k=?6b=6故可得直線CP的函數(shù)表達(dá)式為y=6x+6．【點(diǎn)睛】本題是一道一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積公式、待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式等知識(shí)點(diǎn)，解題關(guān)鍵是根據(jù)S△APC=12AC?yp【變式83】（2324九年級(jí)·安徽蕪湖·階段練習(xí)）如圖，已知直線AB:y1=kx+3分別與y軸，x軸交于A，B兩點(diǎn)，直線CD:y2=ax+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)C(?6,0)，點(diǎn)

(1)求k，a，b的值．(2)連接OM，試說明S△BCM(3)若x軸上存在點(diǎn)P，使得S三角形APM=12【答案】(1)k=1，a=?(2)證明見解析(3)P?6,0或【分析】（1）把M?4,?1代入y1=kx+3，求出k（2）求出A,B,D的坐標(biāo)，分別求出S△BCM（3）設(shè)Pm,0，利用S【詳解】（1）解：∵直線y1=kx+3和直線y2∴?1=?4k+3，∴k=1；又直線y2=ax+b與坐標(biāo)軸交于∴?1=?4a+b0=?6a+b，解得：a=?（2）由（1）知：y1=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y1=3,y2=?3∴A0,3∴AO=3,OD=3,OB=3,BC=3，∴S△BCM∴S△BCM（3）設(shè)Pm,0

∴BP=∵S△ADM∴S△APM∴m+3=3∴m=?6或m=0；∴P?6,0或P【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練的利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．【題型9由一次函數(shù)解決最值問題】【例9】（2324九年級(jí)·四川內(nèi)江·期中）對(duì)于幾個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c，我們規(guī)定符號(hào)min{a,b,c}表示a、b、c中較小的數(shù)，如：min{2,?1,4}=?1．按照這個(gè)規(guī)定，已知函數(shù)：y=minx,1【答案】3717/【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，求不等式組的解集，分3種情況列出不等式組求出x的取值范圍，再結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)x≤13x+1則y=x，∵y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=32時(shí)，y取的最大值當(dāng)13x+1≤x1則y=1∵y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=6017時(shí)，y取的最大值當(dāng)?45x+5≤則y=?4∵y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=6017時(shí)，y取的最大值綜上可知，y的最大值是3717故答案為：3717【變式91】（2024·四川南充·二模）如圖，直線y=kx+3與直線y=?12x交于點(diǎn)A?2,1，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)Mm,y1在線段AB上，點(diǎn)N【答案】52/21【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，先利用A?2,1求出直線解析式為：y=x+3，再求出B0,3，根據(jù)點(diǎn)Mm,y1在線段AB【詳解】∵直線y=kx+3與直線y=?12x∴將A?2,1代入y=kx+3，有：?2k+3=1解得：k=1，即直線解析式為：y=x+3，當(dāng)x=0時(shí)，y=x+3=3，即B0,3∵點(diǎn)Mm,y1在線段AB上，點(diǎn)N∴y1=m+3，y2∴y1∵?2≤m≤0，∴當(dāng)m=?2時(shí)，y1?y故答案為：52【變式92】（2324九年級(jí)·北京海淀·期中）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)M4,3，N?3,2，

(1)若一次函數(shù)y=2x+b的圖象經(jīng)過已知三個(gè)點(diǎn)中的某一點(diǎn)，求b的最大值；(2)當(dāng)k>14時(shí)，在圖中用陰影表示直線y=kx+1運(yùn)動(dòng)的區(qū)域，并判斷在點(diǎn)M，N，P中直線y=kx+1不可能經(jīng)過的點(diǎn)是【答案】(1)8(2)圖見解析，N【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得應(yīng)用．用到的知識(shí)點(diǎn)為：一次函數(shù)的比例系數(shù)大于0，常數(shù)項(xiàng)大于0，圖象過第一、二、三象限，一次函數(shù)的比例系數(shù)越大，y隨x的增大越明顯．（1）根據(jù)一次函數(shù)的比例系數(shù)大于0，圖象過第一、三象限，求b的最大值，那么把第二象限內(nèi)的點(diǎn)代入即可；（2）求的當(dāng)k=14時(shí)直線與x軸的交點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)經(jīng)過點(diǎn)0,1和k>1【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)的比例系數(shù)為2，2>0，∴一次函數(shù)一定經(jīng)過第一、三象限．∵求b的最大值，∴圖象還應(yīng)該經(jīng)過第二象限的點(diǎn)N?3,2∴3×?3∴b=8答：b的最大值為8；（2）當(dāng)k=14∵圖象必過點(diǎn)0,1，k>1∴直線y=kx+1運(yùn)動(dòng)的區(qū)域?yàn)檫^點(diǎn)?4,0和點(diǎn)0,1的直線l與y軸之間的區(qū)域（不包括直線l和y軸）．∴直線y=kx+1不可能經(jīng)過的點(diǎn)是N．故答案為：N．

【變式93】（2324九年級(jí)·天津薊州·期末）如圖，直線l1:y1=x+1與x軸交于點(diǎn)A，直線l2:y2=kx+4與

(1)求直線l2的解析式及點(diǎn)M(2)點(diǎn)P是直線l1①當(dāng)S△ABP=5時(shí)，求點(diǎn)②點(diǎn)Q是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在①的條件下，當(dāng)QP+QM取最小值時(shí)，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為52(2)①點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2或點(diǎn)?3,?2；②點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,0或1711【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求出直線l2（2）①先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后設(shè)點(diǎn)Px,x+1，根據(jù)S②利用①的結(jié)論分兩種情況討論，利用兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解題即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)B4,0代入y2=kx+4，得0=4k+4∴y解方程組y=x+1y=?x+4，解得x=∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為52（2）解：①令y=0，則x+1=0，解得x=?1，∴直線l1與x軸的交點(diǎn)A設(shè)點(diǎn)Px,x+1∴S∴x+1=2，即x+1=2或x+1=?2，解得x=1或x=?3則點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2或?3,?2；②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,2時(shí)，如圖，作點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接PM′交x

此時(shí)QP+QM=PM∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為52∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為5設(shè)PM′的解析式為則52a+b=?7∴PM′的解析式為令y=0，則?11解得x=17∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)1711當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為?3,?2時(shí)，如圖，

當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，此時(shí)QP+QM=AP+AM=PM有最小值，∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,0；綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,0或1711【題型10一次函數(shù)與幾何圖形的綜合運(yùn)用】【例10】（2324九年級(jí)·河南商丘·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2,0)，B(0,4)，C(?3,2)．(1)求三角形ABC的面積．(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，①請(qǐng)直接寫出線段AP的長(zhǎng)為；(用含m的式子表示)②當(dāng)S△PAB=2S(3)若AC交y軸于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)8(2)①|(zhì)m?2|；②10或?6(3)0,【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算方法、待定系數(shù)法求直線的解析式；熟練掌握坐標(biāo)與圖形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足為M，過點(diǎn)B作BE⊥CM，交MC延長(zhǎng)線于E，過點(diǎn)A作AF⊥BE，交EB延長(zhǎng)線于F，由題意得出M(?3,0)，E(?3,4)，F(xiàn)(2,4)．得出AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，DE=4，BF=2，AF=4．S△ABC（2）①根據(jù)題意容易得出結(jié)果；②由三角形面積關(guān)系得出方程，解方程即可；（3）與待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：過點(diǎn)C作CM⊥x軸，垂足為M，過點(diǎn)B作BE⊥CM，交MC延長(zhǎng)線于E，過點(diǎn)A作AF⊥BE，交EB延長(zhǎng)線于F．如圖1所示：∵A(2,0)，B(0,4)，C(?3,2)∴M(?3,0)，E(?3,4)，F(xiàn)(2,4)，OB=4．∴AM=5，CM=2，BE=3，CE=2，ME=4，BF=2，AF=4．∴=AM?DE?1答：△ABC的面積是8．（2）解：①根據(jù)題意得：AP=|m?2|；故答案為：|m?2|；②∵∴1∴AP=|m?2|=8，∴m?2=8或m?2=?8，∴m=10或m=?6；（3）解：設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：2k+b=0?3k+b=2解得：k=?25，∴直線AC的解析式為y=?2當(dāng)x=0時(shí)，y=4∴M0,【變式101】（2024·陜西西安·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置三個(gè)長(zhǎng)為2，寬為1的長(zhǎng)方形，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A與點(diǎn)B，則k與b的值為（

）A．k=32，b=34 B．kC．k=?34，b=?32 D．k【答案】D【分析】首先由圖可知A(2,0)，B(2,3)，再把A、B的坐標(biāo)分別代入解析式，解方程組，即可求得．【詳解】解：由圖可知A(2,0)，B(2,3)，把A、B的坐標(biāo)分別代入解析式，得?2k+b=02k+b=3解得k=3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形，結(jié)合題意和圖形得到A、B的坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．【變式102】（2024·陜西·一模）問題探究：（1）將一直角梯形ABCD放在如圖1所示的正方形網(wǎng)格（圖中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為一個(gè)單位長(zhǎng)度）中，梯形ABCD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)你在圖中作一條直線l，使它將梯形ABCD分成面積相等的兩部分；（畫出一種即可）（2）如圖2，l1∥l2，點(diǎn)A、D在l1上，點(diǎn)B、C在l2上，連接AC、BD，交于點(diǎn)O，連接問題解決：（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，不規(guī)則五邊形ABCDE是李大爺家的一塊土地的示意圖，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上，CD邊在x軸正半軸上，AE平行于x軸，AE的中點(diǎn)P處有一口灌溉水井，現(xiàn)結(jié)合實(shí)際耕種需求，需在CD上找一點(diǎn)Q，使PQ將這塊土地的面積分為相等的兩部分，用于耕種兩種不同的作物，并沿PQ修一條灌溉水渠（水渠的寬度忽略不計(jì)）．①請(qǐng)你利用有刻度的直尺在圖中畫出PQ的位置，并簡(jiǎn)要說明作圖過程；②若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4)，OB=1，OC=4，OD=12，AE=6，請(qǐng)求出直線PQ的解析式．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②直線PQ的解析式為y=?【分析】本題考查同底等高的三角形