高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1講 坐標(biāo)系學(xué)案-人教版高三全冊數(shù)學(xué)學(xué)案

第1講坐標(biāo)系

考點回顧考綱解讀考向預(yù)測

年份卷型考點題號分值

2019年高考定要考查極坐標(biāo)與直

掌握平面坐標(biāo)系中伸縮變換，了解

2017極坐標(biāo)方程2210角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，極坐標(biāo)方程變?yōu)橹苯亲?/p>

II極坐標(biāo)的基本概念，能進行極坐標(biāo)與直

標(biāo)方程.應(yīng)用直線、圓的極坐標(biāo)方程是

2016極坐標(biāo)方程2310角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，畫出極坐標(biāo)的圖象.能

m重點，主要與參數(shù)方程相結(jié)合進行考查.

求簡單曲線的極坐標(biāo)方程.

2015I極坐標(biāo)方程2310以解答題的形式出現(xiàn)，難度中檔.

板塊一知識梳理?自主學(xué)習(xí)

［必備知識］

考點1坐標(biāo)變換

平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換

x'=4.*A>0）,

設(shè)點。（x,力是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換血，人的

,y=〃?M〃>0）

作用下，點。（x,力對應(yīng)到點〃（/,V）,稱。為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，

簡稱伸縮變換.

考點2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)

1.極坐標(biāo)系：在平面內(nèi)取一個定點0,叫做極點,自極點。引一條射線。x,叫做極軸:

再選定一個長度單位、一個角度單位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆時針方向），就建立

了極坐標(biāo)系.

2.點的極坐標(biāo)：對于極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的任一點若設(shè)網(wǎng)=。（。20）,以極軸

念為始邊，射線為終邊的角為0,則點材可用有序數(shù)對（0,。）表示.

3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：在平面直角坐標(biāo)系*以中，以。為極點，射線Ox

的正方向為極軸方向，取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系.設(shè)點尸的直角坐標(biāo)為（x,y）,它

的極坐標(biāo)為（o,。），則相互轉(zhuǎn)化公式為

p2=i±±,

X—pcos0,

y

psin0,tan8=;(xW0).

考點3常用簡單曲線的極坐標(biāo)方程

1.判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）點，在曲線。上，則點尸的極坐標(biāo)一定滿足曲線C的極坐標(biāo)方程.（）

⑵tan8=1與■表示同一條曲線(夕20).()

(3)點尸的直角坐標(biāo)為(一鏡，鏡)，那么它的極坐標(biāo)可表示為(2,斗^.()

(4)過極點，作傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程可表示為6=。或。=JT+a(0G

R).()

(5)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點。的圓的極坐標(biāo)方程為P=2asin0.()

答案⑴X(2)X(3)V(4)V(5)X

2.[2018?開封模擬]方程p=-2cos0和p+-1-=4-\/2sin0的曲線的位置關(guān)系為

()

A.相離B.外切C.相交D.內(nèi)切

答案B

4L

解析方程P=-2cos?；癁橹苯亲鴺?biāo)方程為(才+1尸+/=1,p+—=4yj2sin?；?/p>

為直角坐標(biāo)方程為x2+(y-2$)2=4,兩圓圓心距為4(-1?+(2,)2=3=1+2,所以兩圓

外切.

3.[2018?皖北協(xié)作區(qū)聯(lián)考]在極坐標(biāo)系中，直線o(mcos夕一sin。)=2與圓。=

4sin，的交點的極坐標(biāo)為()

看)

答案A

解析0(mcos夕一sin=2可化為直角坐標(biāo)方程y=2,即尸小了一2.

P=4sin0可化為f+/=4y,把y=/x—2代入f+/=4y,得4x‘一8"\/§x+12=0,

即夕―245X+3=0,所以X=，5,y=l.所以直線與圓的交點坐標(biāo)為(水,1),化為極坐標(biāo)

為(2,高.故選A.

4.[2018?株洲模擬]在極坐標(biāo)系中，直線osin(。+2)=2被圓。=4截得的弦長為

)

A.2由B.2^3C.4mD.4^3

答案D

解析直線Psin(?+寧)=2可化為x+y—29=0,圓。=4可化為/+/=16,由

圓中的弦長公式得2，尸4?—(患)=4/.

5.[2017?北京高考]在極坐標(biāo)系中，點力在圓M—Zocos0一4osin6+4=0上，

點〃的坐標(biāo)為(1,0),則|/fP|的最小值為.

答案1

解析由浦一2ocos。-4Osin。+4=0,得

x+/—2x—4y+4=0,即(x—1尸+(y—2”=1,

圓心坐標(biāo)為C(l,2),半徑長為1.

?點P的坐標(biāo)為(1,0),。點尸在圓C外.

又?.?點4在圓。上，二|明min=|闈-1=2-1=1.

6.[2017?天津高考]在極坐標(biāo)系中，直線40cos一-1)+1=0與圓0=2sin。的

公共點的個數(shù)為.

答案2

解析由40cos|Pcos0+2Psin?+1=0,故直線的直角坐標(biāo)

方程為2mx+2y+l=0.

由P=2sin0得p2=2psin0,

故圓的直角坐標(biāo)方程為f+/=2y,

即f+(y-1尸=1.圓心為(0,1),半徑為1.

2X1+13

?.?圓心到直線24x+2y+l=0的距離d=.,.直線與圓相交，有兩

叱2啊+2?十

個公共點.

板塊二典例探究?考向突破

考向平面直角坐標(biāo)系下圖形的變換

x'—lx,

例1在平面直角坐標(biāo)系中，求下列方程所對應(yīng)的圖形經(jīng)過伸縮變換，.后

17=3y

的圖形.

(l)2%+3y=0；(2)f+/=L

_1,

[x'=2x,

解由伸縮變換，c得到

[y=3y,1,

尸”-

(1)將(*)代入2x+3y=0,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形方程是/+/=0.

\xf=2x,

因此，經(jīng)過伸縮變換，c后，

1/=3y

直線2x+3y=0變成直線V+/=0.

I2/2

(2)將(*)代入/+/=1,得到經(jīng)過伸縮變換后的圖形的方程是、一+『=L

3=2M父2yf2

因此，經(jīng)過伸縮變換，、后，圓V+/=l變成橢圓一1+?=1.

y=3y4y

觸類旁通

平面直角坐標(biāo)系下圖形的變換技巧

平面圖形的伸縮變換可以用坐標(biāo)伸縮變換來表示.在伸縮變換，、:

_y=口?M“>°)

下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓,

橢圓也可以變成圓.

X,x'=\x,

【變式訓(xùn)練1]求橢圓了+/=1,經(jīng)過伸縮變換J2后的曲線方程.

1/=y

,1

xx=2x'

解由J2得到①

y-y'

./=y，

JAy'2

將①代入彳+/=1,得一J-+/”=1,即x''=1.

2

因此橢圓?+/=1經(jīng)伸縮變換后得到的曲線方程是/+/=1.

考向2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化

例2[2017?全國卷II]在直角坐標(biāo)系x片中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極

軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為0cos6=4.

（DM為曲線G上的動點，點P在線段OML,且滿足|〃必?|8|=16,求點P的軌跡

C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點力的極坐標(biāo)為（2,鼻），點5在曲線G上，求△2B面積的最大值.

解⑴設(shè)尸的極坐標(biāo)為（夕，。）（〃>0）,步的極坐標(biāo)為（夕1,〃）（21>0）.

4

由題設(shè)知\0P\=P,\0M\=Pi=-F

由I0M\?如=16得C的極坐標(biāo)方程為P=4cos。（夕>0）.

因此G的直角坐標(biāo)方程為（x—2）2+/=4（xWO）.

⑵設(shè)點少的極坐標(biāo)為（。6,。）（。/>0）.

由題設(shè)知1處1=2,P/?=4cosa,于是△刃〃的面積

S=-|0A\?PH9sinZJ6?=4cosa

乙

=2sin(2a一高一乎W2+”.

當(dāng)。=一適時，S取得最大值2+4.

所以△的6面積的最大值為2+4.

觸類旁通

直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化的方法

直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只需把公式x=PCOS，及y=osin。直接代入并化簡

即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程要通過變形，構(gòu)造形如0cos8,Psin9,腦的形

式，進行整體代換.其中方程的兩邊同乘以（或同除以）。及方程兩邊平方是常用的變形方

法.但對方程進行變形時，方程必須保持同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗.

【變式訓(xùn)練2】已知直線/的參數(shù)方程為j-2'（1為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原

）=小+小t

點為極點，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線。的方程為sin個一小0cos28=0.

（1）求曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）寫出直線/與曲線C交點的一個極坐標(biāo).

解（1）；sin。一:0cos2夕=0,/.Psin0—yf3P'cos'^—0,

即y一小x?=0.

X=\+-t,L

⑵將12代入y-鎘公。得,

尸小十小3

1+1)=0,即t=0,

從而，交點坐標(biāo)為(1,小)

交點的一個極坐標(biāo)為(2,yl

考向3極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用

例3[2016?全國卷II]在直角坐標(biāo)系x行中，圓。的方程為(X+6)2+/=25.

(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求。的極坐標(biāo)方程；

x=tcosa

(2)直線/的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，/與C交于4,6兩點，

y=tsina

求/的斜率.

解(1)由X—0cos9,y—Psin0,可得圓C的極坐標(biāo)方程為儲+12ocos。+11=

0.

(2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線/的極坐標(biāo)方程為仁a(pGR).

設(shè)46所對應(yīng)的極徑分別為P”0”將/的極坐標(biāo)方程

代入C的極坐標(biāo)方程，得浦+12ocos。+11=0.

于是。i+。2=-12cosa,Pip2=ll.

2-22

14冽=IP\~Pi\i+P2)4p?P2=A/144COSa—44.由|AB\—^10,得cosa

=*tana=±*5.所以/的斜率為或一書可

OOOO

觸類旁通

極坐標(biāo)方程及其應(yīng)用的類型及解題策略

(1)求極坐標(biāo)方程.可在平面直角坐標(biāo)系中，求出曲線方程，然后再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.

(2)求點到直線的距離、線段的長度.先將極坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)、直線、曲線方程轉(zhuǎn)化

為平面直角坐標(biāo)系下點的坐標(biāo)、直線、曲線方程，然后利用直角坐標(biāo)系中點到直線的距離、

線段公式求解.

fx=2cosa,

【變式訓(xùn)練3】在直角坐標(biāo)系x"中，曲線。的參數(shù)方程為一°.(。為

[y=2+2sma

參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為“為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點。為極點,

y=3+-t

X軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，過極點。的射線與曲線。相交于不同于極點的點4且

點力的極坐標(biāo)為(24，，)，其中9G

(1)求0的值；

(2)若射線力與直線/相交于點6,求|四|的值.

解(1)由題意知，曲線。的普通方程為f+(y-2)2=4,

Vx="cosy=psin。，：?曲線C的極坐標(biāo)方程為(ocos0)2+(psin〃-2產(chǎn)=4,

即p=4sin0,

r

由P=2^/3,得sinJ=3-,

(2)由題易知直線1的普通方程為x+/y-4/=0,

，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos夕+/osin0—4^3=0.

2n

又射線勿的極坐標(biāo)方程為，=丁(020),

,Pcos，+小。sin。-4小=0,

點B的極坐標(biāo)為(4，5,()，

|AB\=|PLP..,\=4小一2木=2?

IS幺師篤記?〃/納領(lǐng)帶I

(核心規(guī)律

如何解決極坐標(biāo)問題

(1)解決極坐標(biāo)系中的一些問題時，主要的思路是將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)

系下求解后，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).

(2)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化的核心公式:

[x=0cos9,

[y=Psin9tan0=fx#0).

(3)由極坐標(biāo)系上點的對稱性可得到極坐標(biāo)方程0=0(的圖形的對稱性：若O(夕)

=。(一《),則相應(yīng)圖形關(guān)于極軸對稱；若。(。)=0(“一夕)，則圖形關(guān)于射線所

在的直線對稱；若。(6)=。(n+。)，則圖形關(guān)于極點。對稱.

滿分策略

極坐標(biāo)應(yīng)用中的注意事項

(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：①極點與原點重合；②極軸與x軸正方向重合;

③取相同的長度單位.

(2)若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)，求極角0時，應(yīng)注意判斷點尸所在的象限(即角0的終

邊的位置)，以便正確地求出角，.利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉

的問題.

(3)由極坐標(biāo)的意義可知平面上點的極坐標(biāo)不是唯一的，如果限定。取正值，9G

[0,2"),平面上的點(除去極點)與極坐標(biāo)(。，6)(oH0)建立一一對應(yīng)關(guān)系.

板塊三模擬演練?提能增分

[基礎(chǔ)能力達標(biāo)]

1.[2018?廣東珠海模擬]在極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為P2=4P(cos&+sin9)

-6.若以極點。為原點，極軸所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系.

(1)求圓C的參數(shù)方程；

(2)在直角坐標(biāo)系中，點戶(x,y)是圓C上一動點，試求x+y的最大值，并求出此時點

。的直角坐標(biāo).

解⑴因為腦=4o(cos，+sin0)—6,

所以/=4x+4y—6,

所以f+y—4x—4y+6=0,

整理得理-2)2+(y-2)z=2.

x=2+/cos0,

所以圓C的參數(shù)方程為<>(。為參數(shù)).

j=2+*\/2sine

(2)由(1)可得x+y=4+"^2(sin?+cos，)

JI

當(dāng)0=—,即點尸的直角坐標(biāo)為（3,3）時，x+y取得最大值，其值為6.

x=4+5cost,

2.[2018?寧波模擬]已知曲線G的參數(shù)方程為“為參數(shù)），以坐標(biāo)

j=5+5sin￡

原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為夕=2sin%

（1）把G的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）求G與G交點的極坐標(biāo)（Q20,0W—<2冗）.

x=4+5cosf,

解（1）將消去參數(shù)3

y=5+5sint

化為普通方程(才-4)?+(y—5尸=25,即G：x+y—8^r—10y+16=0.

x—Pcos0,

將代入x+y—8%—10y+16=0得P2—8Pcos—10Psin夕+16

y=Psin夕，

=0.

所以G的極坐標(biāo)方程為P—8PCOSJ—100sinG+16=0.

(2)a的直角坐標(biāo)方程為x+y-2y=0.

[x+/—8x—10y+16=0,

[x+y—2y=0,

[%=1,（x=0,

解得1或o

[y=l[y=2.

所以G與G交點的極坐標(biāo)分別為母，（2,習(xí).

x=2cos。，

3.[2018?南通模擬]在直角坐標(biāo)系x0中，圓C的參數(shù)方程為,,（。為

j=2+2sin。

參數(shù)）.以。為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求圓C的普通方程；

（2）直線1的極坐標(biāo)方程是2osin[，+專）=5鎘，射線0M-.”春與圓C的交點為0,

P,與直線/的交點為。，求線段圖的長.

fx=2cos。，

解（1）因為圓C的參數(shù)方程為,（。為參數(shù)），所以圓心，的坐標(biāo)為

Lr=2+2sin<p

(0,2),半徑為2,圓。的普通方程為V+(p—2)2=4.

(2)將X—PCOS0,y=psin0代入x+(y—2)2=4,得圓。的極坐標(biāo)方程為P=

4sin。.

P=4sin夕，

,,JT

設(shè)P(0i,01),則曲解得小=2,'尸百

2Psin

設(shè)。(。2,，2),則由<

JT

<9=—,

I6

解得02=5,%=右所以‘%=3.

4.[2018?昆明模擬]將圓f+/=l上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵?/p>

來的3倍，得曲線P.

(1)寫出〃的參數(shù)方程：

(2)設(shè)直線/：3x+2y-6=0與廠的交點為凡P>,以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為

極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段的中點且與/垂直的直線的極坐標(biāo)方程.

解(D設(shè)(為，/)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)閞上的點(x,力，依題意，得

x

劉=亍

x=2x”

y=3yi,y

由后+1=1,即曲線「的方程為今+]=1.

故r的參數(shù)方程為

y=3sint

解得

y=3.

3x+2y—6=0,

不妨設(shè)P\d0),8(0,3),則線段AR的中點坐標(biāo)為(1,號，所求直線的斜率在=|.于

32

是所求直線方程為y—5=W(x—1),即4x—6y+5=0,化為極坐標(biāo)方程，得40cos。一

4O

62sin夕+5=0.

X=\[3cosa,

5.[2016?全國卷m]在直角坐標(biāo)系*如中，曲線G的參數(shù)方程為＜?(Q

、y=sina

為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方

程為Osin(夕+寧)=2*.

(1)寫出G的普通方程和C的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點夕在。上，點。在G上，求1/皆的最小值及此時P的直角坐標(biāo).

x

^=A/3COSa,~cosa,

解(1)由曲線G：<