山東省濟(jì)南市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

濟(jì)南市2024年高一學(xué)情檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.據(jù)教育部統(tǒng)計(jì)，2024屆全國(guó)普通高校畢業(yè)生規(guī)模達(dá)1179萬(wàn)人，將數(shù)字11790000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由科學(xué)記數(shù)法要求可得.【詳解】，故選：A2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】舉例說(shuō)明判斷ABC；利用冪的運(yùn)算法則判斷D.【詳解】對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：D3.小剛同學(xué)一周的跳繩訓(xùn)練成績(jī)（單位：次/分鐘）如下：156，158，158，160，162，165，169.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）A.160，162 B.158，162C.160，160 D.158，160【答案】D【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義易得.【詳解】因在156，158，158，160，162，165，169這組數(shù)據(jù)中，158出現(xiàn)了2次，次數(shù)最多，故眾數(shù)是158；根據(jù)中位數(shù)的定義知，按照從小到大排列的七個(gè)數(shù)據(jù)中，第四個(gè)數(shù)160為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).故選：D.4.某幾何體是由四個(gè)大小相同的小立方塊搭成，其俯視圖如圖所示，圖中數(shù)字表示該位置上的小立方塊個(gè)數(shù)，則這個(gè)幾何體的主視圖是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三視圖的相關(guān)概念分析即可.【詳解】由題意可知從前方看第一排有3個(gè)正方體，且從左到右依次有2個(gè)、1個(gè)，第二排有1個(gè)正方體在左側(cè)，故A正確.故選：A5.已知點(diǎn)，，，都在反比例函數(shù)（）的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先代入點(diǎn)的坐標(biāo)，得到函數(shù)的解析式，再代入其他點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷.【詳解】將點(diǎn)代入反比例函數(shù)，得，即反比例函數(shù)的解析式是，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得，，，即.故選：B6.如圖，在矩形中，，，是上不與和重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作和的垂線，垂足為，，則的值為（）A. B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】連接，利用勾股定理列式求出，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且相互平分求出，然后根據(jù)列式求解即可.【詳解】如圖，連接，四邊形為矩形，，，，，，，，解得，故選：B.7.如圖，在中，，，，在和上分別截取，，使，分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)G，作射線交于點(diǎn)H，連接，分別以為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線交于點(diǎn)K，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用角平分線、垂直平分線的作法與性質(zhì)確定相應(yīng)線段長(zhǎng)度，利用全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，設(shè)直線分別交直線于，作，垂足為R，根據(jù)題意易知分別為的角平分線，線段的垂直平分線，所以，所以為正三角形，則，所以，而，則，易證，故，易知，故，解之得.故選：C8.如圖，拋物線，頂點(diǎn)為A，拋物線與x軸正半軸的交點(diǎn)為B，連接AB，C為線段OB上一點(diǎn)（不與O，B重合），過(guò)點(diǎn)C作交y軸于點(diǎn)D，連接AD交拋物線于點(diǎn)E，連接OE交CD于點(diǎn)F，若，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)并表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用三角形面積關(guān)系列式計(jì)算即得.【詳解】拋物線的頂點(diǎn)，由，得，即點(diǎn)，設(shè)直線方程為，由，解得，則直線，設(shè)點(diǎn)，由，設(shè)直線方程為，由，得，由，得，即點(diǎn)，直線，設(shè)直線的方程為，則，解得，即直線，由，解得，即點(diǎn)，顯然，由，得，則，因此點(diǎn)，由，得，因此，解得，所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.小明周六從家出發(fā)沿一條路勻速步行去圖書館查閱資料，資料查閱完畢后沿原路勻速返回，速度與來(lái)時(shí)相同，途中遇到同學(xué)小亮，交談一段時(shí)間后以相同速度繼續(xù)行進(jìn)，直至返回家中，如圖是小明離家距離y（km）與時(shí)間x（h）的關(guān)系，則（）A.小明家與圖書館的距離為2kmB.小明的勻速步行速度是3km/hC.小明在圖書館查閱資料的時(shí)間為1.5hD.小明與小亮交談的時(shí)間為0.4h【答案】AD【解析】【分析】由圖象可判斷A選項(xiàng)；結(jié)合圖象可求小明的勻速步行速度，可判斷B選項(xiàng)；通過(guò)計(jì)算點(diǎn)C到D所需的時(shí)間，可判斷C選項(xiàng)；通過(guò)計(jì)算點(diǎn)E到F所需的時(shí)間，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：由圖象可知小明家與圖書館的距離為2km，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)樾∶餮匾粭l路勻速步行去圖書館查閱資料，所以小明的勻速步行速度是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：小明返回的路上走后遇到小亮，則走所需的時(shí)間為，所以小明在圖書館查閱資料的時(shí)間為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：走所需的時(shí)間為，所以小明與小亮交談的時(shí)間為，故D正確.故選：AD.10.如圖，點(diǎn)B在線段AD上，分別以線段AB和線段BD為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形和等邊三角形，連接AE，AE與BC相交于點(diǎn)G，連接CD，CD與AE，BE分別相交于點(diǎn)F，H，連接BF，GH，則（）A. B.FB平分C. D.【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合圖形和題設(shè)條件，易得，可推得D項(xiàng)；由此得到，可證，可得，從而得到正三角形，由易得A正確；再由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的高相等，易得點(diǎn)到的兩邊距離相等，故得B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，可采用反向推理，假設(shè)結(jié)論正確，經(jīng)過(guò)推理產(chǎn)生矛盾，即得原命題不成立，排除C項(xiàng).【詳解】因和都是正三角形，故，則,即，由可得，故D正確；由可得，,因，由可得，,則有，故為正三角形，則,故，即A正確；如圖，分別作,垂足分別是，由上知，，故，由角平分線的性質(zhì)定理，可得FB平分，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)，則,故，而在中，,故產(chǎn)生矛盾，故假設(shè)不成立，即C錯(cuò)誤.故選：ABD.11.如圖1，在中，，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A開始沿AB邊以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B開始沿BC邊以相同速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接AF，CF，設(shè)時(shí)間為t（s），為y，y關(guān)于t的函數(shù)圖象如圖2所示，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.C.DE有最小值，最小值為2 D.有最小值，最小值為【答案】BD【解析】【分析】設(shè)，列出y關(guān)于t的函數(shù)式，結(jié)合圖2，列方程求出的值，判斷B項(xiàng)，繼而代值檢驗(yàn)A項(xiàng)；利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可得到的最小值，判斷C項(xiàng)；最后通過(guò)建系，將轉(zhuǎn)化為，利用距離的幾何意義，借助于點(diǎn)的對(duì)稱即可求得其最小值.【詳解】設(shè)，則，則（*），由圖2知，函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，整理得，，解得或（舍去），故B正確；由B項(xiàng)知，，當(dāng)時(shí)，，即,故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由題意易得，，由可得，當(dāng)時(shí)，，即有最小值，最小值為,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立直角坐標(biāo)系.則，因F為DE中點(diǎn)，故，于是結(jié)合此式特點(diǎn)，設(shè),則,作出圖形如下.作出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為使取得最小值的點(diǎn).(理由：可在直線上任取點(diǎn)，利用對(duì)稱性特點(diǎn)，即可證明,即得)，此時(shí),即的最小值為.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在平面直角坐標(biāo)系中有五個(gè)點(diǎn)，分別是，，，，，從中任選一個(gè)點(diǎn)，選到的這個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是______.【答案】##04【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【詳解】五個(gè)點(diǎn)中在第一象限的點(diǎn)有A和D兩個(gè)，從中任選一個(gè)點(diǎn)共有5種等可能結(jié)果，這個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限有2種結(jié)果，所以從中任選一個(gè)點(diǎn)恰好在第一象限的概率是.故答案為：.13.在中，，，的周長(zhǎng)為14，則AB邊上的高為________.【答案】##【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面積可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)，所以，可得，又，利用勾股定理可得；可得；所以，即；設(shè)AB邊上的高為，由三角形面積可得，解得.故答案為：14.如圖，在矩形紙片中，，，為中點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，為邊上一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好也為，則________.【答案】【解析】【分析】過(guò)作，交于，交于，過(guò)作，利用等積法可求，再根據(jù)可求的長(zhǎng)度.【詳解】由題設(shè)，過(guò)作，交于，交于，過(guò)作，則，則，故，所以，故，故，設(shè)，則，故，故，故答案：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.先化簡(jiǎn)再求值：（1）求的值，其中；（2）求值，其中.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先因式分解進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而代入即可求解；（2）先同分母進(jìn)行化簡(jiǎn)并轉(zhuǎn)化的表達(dá)式，進(jìn)而代入即可求解.【小問(wèn)1詳解】.即代入可得.【小問(wèn)2詳解】.即代入可得.16.某超市銷售兩種品牌的牛奶，購(gòu)買3箱種品牌的牛奶和2箱種品牌的牛奶共需285元；購(gòu)買2箱種品牌的牛奶和5箱種品牌的牛奶共需410元.（1）求種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是多少元？（2）若某公司購(gòu)買兩種品牌的牛奶共20箱，且種品牌牛奶的數(shù)量至少比種品牌牛奶的數(shù)量多6箱，又不超過(guò)種品牌牛奶的3倍，購(gòu)買兩種品牌的牛奶各多少箱才能使總費(fèi)用最少？最少總費(fèi)用為多少元？【答案】（1）種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是元、元.（2）最小費(fèi)用為（元），此時(shí)購(gòu)買兩種品牌的牛奶分別為箱、箱.【解析】【分析】（1）設(shè)種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是元，根據(jù)題設(shè)列方程組后可求各自的單價(jià)；（2）購(gòu)買品牌的牛奶箱，則購(gòu)買總費(fèi)用，由題設(shè)條件可得可為中的某個(gè)數(shù)，故可求最小費(fèi)用及相應(yīng)的箱數(shù).【小問(wèn)1詳解】設(shè)種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是元，則，故.故種品牌的牛奶，種品牌的牛奶每箱價(jià)格分別是元、元.【小問(wèn)2詳解】設(shè)購(gòu)買品牌的牛奶箱，則購(gòu)買品牌的牛奶箱，此時(shí)總費(fèi)用，而，故，而為整數(shù)，故可為中的某個(gè)數(shù)，故的最小費(fèi)用為（元），此時(shí)購(gòu)買兩種品牌的牛奶分別為箱、箱.17.如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，，點(diǎn)在上，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，垂足為.（1）求證：；（2）求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角為直角可判斷，再利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，從而證明；（2）在中，求出，，利用，設(shè)，把的三邊表示出來(lái)，再利用求出，最后在中求出的值，也即是的長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】是的直徑，，，又,.【小問(wèn)2詳解】在中，，，又，則，，又，，在中，設(shè)，則，故，又，，，即，解得，，在中，，即，解得，即.18.閱讀材料：直線（）上任意兩點(diǎn)Mx1,y1，Nx2,y2，，線段MN的中點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)及k可用公式：，；計(jì)算.例如：直線上兩點(diǎn)，，則，，即線段MN的中點(diǎn)，.已知拋物線（），根據(jù)以上材料解答下列問(wèn)題：（1）若該拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求m的值；（2）在（1）的條件下，B，C為該拋物線上兩點(diǎn)，線段BC的中點(diǎn)為D，若點(diǎn)，求直線BC的表達(dá)式；以下是解決問(wèn)題的一種思路，僅供大家參考：設(shè)直線BC的表達(dá)式為：，，則有①，②.①-②得：，兩邊同除以，得……；（3）該拋物線上兩點(diǎn)E，F(xiàn)，直線EF的表達(dá)式為：（）.(ⅰ).請(qǐng)說(shuō)明線段EF的中點(diǎn)在一條定直線上；(ⅱ).將ⅰ中的定直線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線，當(dāng)時(shí)，該拋物線與只有一個(gè)交點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）ⅰ.線段EF的中點(diǎn)在定直線上；ⅱ.或或.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，計(jì)算即得m的值；（2）按照題中的思路先求出，再由線段的中點(diǎn)為求得的值，利用直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)即可求得直線BC的表達(dá)式；（3）(ⅰ)由消去，利用韋達(dá)定理即可得到線段EF的中點(diǎn)在定直線上；(ⅱ)根據(jù)題意，作出圖形，利用平面幾何知識(shí)即可求得；根據(jù)函數(shù)與在時(shí)的圖象特點(diǎn)，依題意可得，解之即得.【小問(wèn)1詳解】因經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，解得，；【小問(wèn)2詳解】時(shí)，，設(shè)直線BC的表達(dá)式為：，,則①，②.由①-②：，兩邊同除以，則，因線段BC的中點(diǎn)為，則，即，則，將點(diǎn)代入解得，，故直線BC的表達(dá)式為：；【小問(wèn)3詳解】（i）由消去，整理得，，依題意，設(shè),的中點(diǎn)為,則，，即線段EF的中點(diǎn)在定直線上；(ⅱ)如圖，將定直線繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線,則點(diǎn)轉(zhuǎn)到了點(diǎn),則,設(shè)點(diǎn)，則,即，,設(shè)，則得，，解得，，即得；因拋物線的對(duì)稱軸為，故該函數(shù)在時(shí)，隨著的增大而增大，且時(shí)，，時(shí)，，要使拋物線與只有一個(gè)交點(diǎn)，可分以下種情況討論：①當(dāng)拋物線頂點(diǎn)在直線下方時(shí)，