2025屆河南省漯河市召陵區(qū)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆河南省漯河市召陵區(qū)數(shù)學(xué)八年級(jí)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E為AC邊上的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，P是AD上的動(dòng)點(diǎn)，若AD=3，則EP+CP的最小值是為（）A．3 B．4 C．6 D．102．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B． C． D．3．已知等腰三角形的一個(gè)外角等于，則它的頂角是（）A． B． C．或 D．或4．下列各式中，相等關(guān)系一定成立的是（）A．B．C．D．5．如圖，在中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分，且于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn).若，，則的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．86．滿足的整數(shù)是（）A．－1，0，1，2 B．－2，－1，0，1 C．－1，1，2，3 D．0，1，2，37．已知,如圖,△ABC是等邊三角形,AE=CD,BQ⊥AD于Q,BE交AD于點(diǎn)P,下列說(shuō)法：①∠APE=∠C,②AQ=BQ,③BP=2PQ,④AE+BD=AB,其中正確的個(gè)數(shù)有()個(gè)．A．4 B．3 C．2 D．18．下列因式分解正確的是（）A．x2+xy+x＝x（x+y） B．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2）C．a(chǎn)2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1 D．x2﹣6x+5＝（x﹣5）（x﹣1）9．如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，若AB＝6，EF＝2，則BC的長(zhǎng)為()A．8 B．10 C．12 D．1410．如圖，在中，點(diǎn)是邊上任一點(diǎn)，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，若的面積為，則的面積為（）A． B． C． D．11．如圖，將兩個(gè)全等的直角三角尺ABC和ADE如圖擺放，∠CAB＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠DEA＝30°，使點(diǎn)D落在BC邊上，連結(jié)EB，EC，則下列結(jié)論：①∠DAC＝∠DCA；②ED為AC的垂直平分線；③EB平分∠AED；④△ACE為等邊三角形．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④12．下列各式由左邊到右邊的變形中，是分解因式的為()A． B．C． D．二、填空題（每題4分，共24分）13．如圖，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，垂足為點(diǎn)E，△BDE是等邊三角形，若AD＝4，則線段BE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．14．若x,y都是實(shí)數(shù)，且，則x+3y=_____．15．函數(shù)y＝自變量x的取值范圍是__．16．如圖所示的坐標(biāo)系中，單位長(zhǎng)度為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，3)，四邊形ABCD的各個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)P也在格點(diǎn)上，的面積與四邊形ABCD的面積相等，寫出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)_____________．（不超出格子的范圍）17．已知，則代數(shù)式______.18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），B（1，2），點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_______．三、解答題（共78分）19．（8分）某公司開(kāi)發(fā)處一款新的節(jié)能產(chǎn)品，該產(chǎn)品的成本價(jià)為6元/件，該產(chǎn)品在正式投放市場(chǎng)前通過(guò)代銷點(diǎn)進(jìn)行了為期一個(gè)月(30天)的試銷售，售價(jià)為10元/件，工作人員對(duì)銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，并將記錄情況繪制成圖象，圖中的折線ABC表示日銷售量y(件)與銷售時(shí)間x(天)之間的函數(shù)關(guān)系．(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫出x的取值范圍；(2)若該節(jié)能產(chǎn)品的日銷售利潤(rùn)為W(元)，求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出日銷售利潤(rùn)不超過(guò)1040元的天數(shù)共有多少天？(3)若5≤x≤17，直接寫出第幾天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是多少元？20．（8分）（1）因式分解：（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中21．（8分）已知：如圖OA平分∠BAC，∠1=∠1．求證：AO⊥BC．同學(xué)甲說(shuō)：要作輔助線；同學(xué)乙說(shuō)：要應(yīng)用角平分線性質(zhì)定理來(lái)解決：同學(xué)丙說(shuō)：要應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)定理來(lái)解決．請(qǐng)你結(jié)合同學(xué)們的討論寫出證明過(guò)程．22．（10分）自2019年11月20日零時(shí)起，大西高鐵車站開(kāi)始試點(diǎn)電子客票業(yè)務(wù)，旅客購(gòu)票乘車更加便捷．大西高鐵客運(yùn)專線是國(guó)家《中長(zhǎng)期鐵路網(wǎng)規(guī)劃》中的重要組成部分，它的建成將意味著今后山西人去西安旅行的路程與時(shí)間將大大縮短，但也有不少游客根據(jù)自己的喜好依然選擇乘坐普通列車．已知高鐵線路中從A地到某市的高鐵行駛路程是400km，普通列車的行駛路程是高鐵行駛路程的1.3倍，若高鐵的平均速度（km/h）是普通列車平均速度（km/h）的2.5倍，且乘坐高鐵所需時(shí)間比乘坐普通列車所需時(shí)間縮短3.6h，求普通列車和高鐵的平均速度．23．（10分）如圖，在△ABC中，D、E為BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAE，CA=CD．（1）求證：∠CAE＝∠B；（2）若∠B＝50°，∠C＝3∠DAB，求∠C的大?。?4．（10分）如圖，AC平分鈍角∠BAE交過(guò)B點(diǎn)的直線于點(diǎn)C，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求證：AE∥BC；（2）點(diǎn)F是射線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)B，C重合），連接AF，與射線BD相交于點(diǎn)P．（?。┤鐖D1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，試探究線段BF與CF之間滿足的數(shù)量關(guān)系；（ⅱ）如圖2，若AB＝10，S△ABC＝30，∠CAF＝∠ABD，求線段BP的長(zhǎng)．25．（12分）如圖，直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與、軸交于兩點(diǎn)，正比例函數(shù)的圖像與交于點(diǎn)．（1）求的值及的解析式；（2）求的值；（3）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)，使以為腰的為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．26．已知：如圖，，求證：．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、A【分析】先連接PB，再根據(jù)PB=PC，將EP+CP轉(zhuǎn)化為EP+BP，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求得BE的長(zhǎng)，即為EP+CP的最小值．【詳解】連接PB，如圖所示：∵等邊△ABC中，AD是BC邊上的中線∴AD是BC邊上的高線，即AD垂直平分BC∴PB=PC，當(dāng)B、P、E三點(diǎn)共線時(shí)，EP+CP=EP+PB=BE，∵等邊△ABC中，E是AC邊的中點(diǎn)，∴AD=BE=3，∴EP+CP的最小值為3，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的軸對(duì)稱性質(zhì)，解題時(shí)注意，最小值問(wèn)題一般需要考慮兩點(diǎn)之間線段最短或垂線段最短等結(jié)論．2、D【分析】根據(jù)分式的除法法則，即可得到答案．【詳解】原式====，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的除法法則，掌握分式的約分，是解題的關(guān)鍵．3、D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形的內(nèi)角和定理，分兩種情況：①若等腰三角形頂角的外角等于110°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，分別求出答案即可．【詳解】①若等腰三角形頂角的外角等于110°，則它的頂角是：180°-110°=70°，②若等腰三角形底角的外角等于110°，則它的頂角是：180°-2×(180°-110°)=40°，∴它的頂角是：或．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)定理與三角形的內(nèi)角和定理，掌握等腰三角形的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4、A【分析】用平方差公式和完全平方公式分別計(jì)算，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：A．，故A正確；B．應(yīng)為，故B錯(cuò)誤；C．應(yīng)為，故C錯(cuò)誤；D．應(yīng)為，故D錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式及完全平方公式的計(jì)算．5、B【分析】根據(jù)平分，且可得△ADB≌△ADN，得到BD=DN，AN=AB=4，根據(jù)三角形中位線定理求出NC，計(jì)算即可．【詳解】解：∵平分，且∴，在△ADB和△ADN中，∴△ADB≌△ADN（ASA）

∴BD=DN，AN=AB=4，

∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，

∴NC=2DM=2，

∴AC=AN+NC=6，

故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．6、A【解析】因?yàn)?≈?1.414，≈2.236，所以滿足?<x<的整數(shù)x是?1，0，1，2.故選A.7、B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，利用“邊角邊”證明△ABE和△CAD全等，然后分析判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC,∠BAE=∠C=60°,在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴∠1=∠2，∴∠BPQ=∠2+∠3=∠1+∠3=∠BAC=60°，∴∠APE=∠C=60°，故①正確∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=90°?∠BPQ=90°?60°=30°，∴BP=2PQ.故③正確，∵AC=BC.AE=DC，∴BD=CE，∴AE+BD=AE+EC=AC=AB，故④正確，無(wú)法判斷BQ=AQ，故②錯(cuò)誤，故選B.【點(diǎn)睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于掌握各性質(zhì)定義.8、D【分析】各項(xiàng)分解得到結(jié)果，即可作出判斷．【詳解】A、原式＝x（x+y+1），不符合題意；B、原式＝（x﹣2）2，不符合題意；C、原式不能分解，不符合題意；D、原式＝（x﹣5）（x﹣1），符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握因式分解的概念以及應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9、B【解析】試題分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.故選B.點(diǎn)睛：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是把所求線段轉(zhuǎn)化為題目中已知的線段，根據(jù)等量代換可求解.10、C【分析】根據(jù)三角形中線及中位線的性質(zhì)即可得到三角形面積之間的關(guān)系，進(jìn)而由的面積即可得到的面積.【詳解】∵G，E分別是FB，F(xiàn)C中點(diǎn)∴，∴∵∴∵F是AD中點(diǎn)∴，∵，∴∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積與中位線和中線的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.11、B【分析】先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB＝AC，AC＝AE，則可判斷△ABD為等邊三角形，所以∠BAD＝∠ADB＝60°，則∠EAC＝∠BAD＝60°，再計(jì)算出∠DAC＝30°，于是可對(duì)①進(jìn)行判斷；接著證明△AEC為等邊三角形得到EA＝EC，得出④正確，加上DA＝DC，則根據(jù)線段垂直平分線的判定方法可對(duì)②進(jìn)行判斷；然后根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)，則可對(duì)③進(jìn)行判斷；即可得出結(jié)論．【詳解】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，AC＝AE，∴△ABD為等邊三角形，∴∠BAD＝∠ADB＝60°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠EAC＝∠BAD＝60°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝30°＝∠ACB，∴∠DAC＝∠DCA，①正確；∵AC＝AE，∠EAC＝60°，∴△ACE為等邊三角形，④正確；∴EA＝EC，而DA＝DC，∴ED為AC的垂直平分線，②正確；∴DE⊥AC，∵AB⊥AC，∴AB∥DE，∴∠ABE＝∠BED，∵AB≠AE，∴∠ABE≠∠AEB，∴∠AEB≠∠BED，∴EB平分∠AED不正確，故③錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)等，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.12、C【解析】試題分析：根據(jù)分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，利用排除法求解．解：A、是多項(xiàng)式乘法，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、右邊不是積的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、提公因式法，故C選項(xiàng)正確；D、右邊不是積的形式，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．考點(diǎn)：因式分解的意義．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【解析】本題首先由等邊三角形的性質(zhì)及垂直定義得到∠DBE=60°，∠BEC=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以得出∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出關(guān)系式∠C-60°+∠C=90°解出∠C，推出AD=DE，于是得到結(jié)論．【詳解】∵△BDE是正三角形，∴∠DBE=60°；∵在△ABC中，∠C=∠ABC，BE⊥AC，∴∠C=∠ABC=∠ABE+∠EBC，則∠EBC=∠ABC-60°=∠C-60°，∠BEC=90°；∴∠EBC+∠C=90°，即∠C-60°+∠C=90°，解得∠C=75°，∴∠ABC=75°，∴∠A=30°，∵∠AED=90°-∠DEB=30°，∴∠A=∠AED，∴DE=AD=1，∴BE=DE=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)及垂直定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出符合題意的簡(jiǎn)易方程，從而求出結(jié)果．14、1【分析】根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)，可得答案．【詳解】由題意，得x?3≥0且3?x≥0，解得x＝3，y＝8，x＋3y＝3＋3×8＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，利用被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)得出不等式是解題關(guān)鍵．15、【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開(kāi)方數(shù)大于等于0即可確定a的取值范圍．【詳解】∵二次根式有意義，，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．16、(0，4)，(1，2)，(2，0)，(4，4)【分析】算出四邊形ABCD的面積等于△ABC面積與△ACD面積之和即為2，同時(shí)矩形AEDC面積也為2，且E為AP1的中點(diǎn)，由中線平分所在三角形面積即為所求．【詳解】解：∵，又，∴，又E為AP1的中點(diǎn)，∴DE平分△ADP1的面積，且△AED面積為1，∴△ADP1面積為2，故P1點(diǎn)即為所求，且P1(4，4)，同理C為DP3的中點(diǎn)，AC平分△ADP3面積，且△ACD面積為1，故△ADP3面積為2，故P3點(diǎn)即為所求，且P3(1，2)，由兩平行線之間同底的三角形面積相等可知，過(guò)P3作AD的平行線與網(wǎng)格的交點(diǎn)P2和P4也為所求，故P2(0，4)，P4(2，0)，故答案為：P(0，4)，(1，2)，(2，0)，(4，4)．【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握中線平分所在三角形的面積，兩平行線之間同底的三角形面積相等這些知識(shí)點(diǎn)．17、1【分析】x2-1=x，則x2-x=1，x3-x2=x，x3-2x2+2020=x3-x2-x2+2020，即可求解．【詳解】x2-1=x，則x2-x=1，

x3-x2=x，

x3-2x2+2020=x3-x2-x2+2020=x-x2+2020=-1+2020=1，

故答案為1．【點(diǎn)睛】此題考查分解因式的實(shí)際運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是由x2-x=1推出x3-x2=x．18、（﹣1，0）【詳解】解：由三角形兩邊之差小于第三邊可知，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)不共線時(shí)，由三角形三邊關(guān)系|PA﹣PB|＜AB；當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，∵A（0，1），B（1，2）兩點(diǎn)都在x軸同側(cè)，∴|PA﹣PB|=AB．∴|PA﹣PB|≤AB．∴本題中當(dāng)點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P在直線AB上．設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，∵A（0，1），B（1，2），∴，解得．∴直線AB的解析式為y=x+1．令y=0，得0=x+1，解得x=﹣1．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）日銷售利潤(rùn)不超過(guò)1040元的天數(shù)共有18天；（3）第5天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是880元.【分析】（1）這是一個(gè)分段函數(shù)，利用待定系數(shù)法求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并確定x的取值范圍；

（2）根據(jù)利潤(rùn)=（售價(jià)-成本）×日銷售量可得w與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并分別根據(jù)分段函數(shù)計(jì)算日銷售利潤(rùn)不超過(guò)1040元對(duì)應(yīng)的x的值；

（3）分別根據(jù)5≤x≤10和10<x≤17兩個(gè)范圍的最大日銷售利潤(rùn)，對(duì)比可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)線段AB段所表示的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b（1≤x≤10）；BC段表示的函數(shù)關(guān)系式為y=mx+n（10＜x≤30），把（1,300）、（10,120）帶入y=ax+b中得，解得，∴線段AB表示的函數(shù)關(guān)系式為y=-20x+320（1≤x≤10）；把（10,120），（30,400）代入y=mx+n中得，解得，∴線段BC表示的函數(shù)關(guān)系式為y=14x-20（10＜x≤30），綜上所述.（2）由題意可知單件商品的利潤(rùn)為10-6=4(元/件)，∴當(dāng)1≤x≤10時(shí)，w=4×（-20x+320）=-80x+1280；當(dāng)10＜x≤30時(shí)，w=4×（14x-20）=56x-80，∴,日銷售利潤(rùn)不超過(guò)1040元，即w≤1040，∴當(dāng)1≤x≤10時(shí)，w=-80x+1280≤1040，解得x≥3；當(dāng)10＜x≤30時(shí)，w=56x-80≤1040，解得x≤20，∴3≤x≤20，∴日銷售利潤(rùn)不超過(guò)1040元的天數(shù)共有18天.（3）當(dāng)5≤x≤17，第5天的日銷售利潤(rùn)最大，最大日銷售利潤(rùn)是880元.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用題解方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意.20、（1）；（2），【分析】（1）先利用平方差公式進(jìn)行因式分解，然后再利用完全平方公式因式分解，即可得到答案；（2）先把分式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后把m的值代入計(jì)算，即可得到答案．【詳解】解：（1）==；（2）∵，∴===；把代入，得原式=；【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式和平方差公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則，正確的進(jìn)行因式分解，正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)．21、見(jiàn)解析【分析】作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OD=OE，然后根據(jù)等角對(duì)等邊證出OB=OC，然后利用HL證出Rt△ODB≌Rt△OEC，可得∠ABO=∠ACO，再利用等角對(duì)等邊證出AB=AC，最后根據(jù)三線合一即可證出結(jié)論．【詳解】解：作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E∵AO平分BAC，∴OD=OE∵∠1=∠1∴OB=OC在Rt△ODB和Rt△OEC中∴Rt△ODB≌Rt△OEC∴∠ABO=∠ACO又∵∠1=∠1∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∵AO平分∠BAC∴AO⊥BC【點(diǎn)睛】此題考查的是角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定和全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定和全等三角形的判定及性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．22、普通列車的平均速度是100km/h，高鐵的平均速度是250km/h．【分析】由高鐵行駛路程×1.3即可求出普通列車的行駛路程；設(shè)普通列車的平均速度為xkm/h，則高鐵的平均速度為2.5km/h，根據(jù)乘坐高鐵所需時(shí)間比乘坐普通列車所需時(shí)間縮短3.6h列出分式方程即可求解。【詳解】解：普通列車的行駛路程為：400×1.3=520（km）．設(shè)普通列車的平均速度為xkm/h，則高鐵的平均速度為2.5km/h，則根據(jù)題意得：，解得x=100，經(jīng)檢驗(yàn)，x=100是原分式方程的解，且符合題意．則高鐵的平均速度是100×2.5=250（km/h）．答：普通列車的平均速度是100km/h，高鐵的平均速度是250km/h．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確解讀題意，設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)等量關(guān)系列出分式方程．23、（1）證明見(jiàn)解析（2）48°【解析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠CDA，根據(jù)角平分線的定義得到∠EAD＝∠BAD，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)∠DAB＝x，得到∠C＝3x，根據(jù)角平分線的定義得到∠EAB＝2∠DAB＝2x，求得∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵CA＝CD，∴∠CAD＝∠CDA，∵AD平分∠BAE，∴∠EAD＝∠BAD，∵∠B＝∠CDA﹣∠BAD，∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∴∠CAE＝∠B；（2）設(shè)∠DAB＝x，∵∠C＝∠3∠DAB，∴∠C＝3x，∵∠CAE＝∠B，∠B＝50°，∴∠CAE＝50°，∵AD平分∠BAE，∴∠EAB＝2∠DAB＝2x，∴∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝50°+2x，∵∠CAB+∠B+∠C＝180°，∴50°+2x+50°+3x＝180°，∴x＝16°，∴∠C＝3×16°＝48°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24、（1）見(jiàn)解析；（2）（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由見(jiàn)解析；（ⅱ）BP＝．【分析】（1）先求出∠BAE+∠ABC＝180°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，即可證明AE∥BC．（2）（?。┻^(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，如圖1所示，先證明△ABH、△BAF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求證BF＝（2+）CF即可．（ⅱ）①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，作PG⊥AB于G，如圖2所示，先通過(guò)三角形面積公式求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求得BF、AC、BD的長(zhǎng)，證明Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），以此得到AD的長(zhǎng)，設(shè)AP＝x，則PG＝PF＝6﹣x，利用勾股定理求出AP的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，通過(guò)BP＝BD﹣PD即可求出線段BP的長(zhǎng)．②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，則∠CAF＝∠ACF'，P’和F’分別對(duì)應(yīng)圖2中的P和F，如圖3所示，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得PD＝P'D＝，再根據(jù)①中的結(jié)論，可得BP＝BP'+P'P＝．【詳解】（1）∵AC平分鈍角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于H，如圖1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）①當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C的左側(cè)時(shí)，如圖2所示：同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，則S△ABC＝BC?AF＝×10×AF＝30，∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，∵S△ABC＝AC?BD＝×2×BD＝30，∴BD＝3，作PG⊥AB于G，則PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△B