考研數(shù)學(xué)二模擬395

考研數(shù)學(xué)二模擬395一、選擇題下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的．1.

設(shè)存在正整數(shù)N，使得n＞N時，有an≤A≤bn，且則______

A．但不一定存在．

B．都存在，但不一定相等．

C．都不一定存在．

D．正確答案：D[解析]因?yàn)榇嬖贜，當(dāng)n＞N時，an≤A≤bn，所以0≤A-an≤bn-an．

對上述不等式令n→∞，由題設(shè)條件及夾逼準(zhǔn)則，有

即得另外由bn=(bn-an)+an，又得到

注意：由an≤bn和推不出存在，例如：

2.

若f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，且f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．今給出下列論斷：

①f(x)在(a，b)內(nèi)必有拐點(diǎn)．

②f(x)在(a，b)內(nèi)必有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)．

③f(x)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在(a，b)內(nèi)．

④f(x)在(a，b)內(nèi)只可能有有限個極值點(diǎn)．

其中正確的論斷有______A.一個．B.二個．C.三個．D.四個．正確答案：C[解析]對選項(xiàng)①：用反證法，如果f(x)在(a，b)內(nèi)沒有拐點(diǎn)，則f(x)在(a，b)內(nèi)都是上凸的，或者都是下凸的．即f'(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)減的，或者f'(x)在(a，b)內(nèi)是單調(diào)增的．因此f'(x)在(a，b)至多有一個零點(diǎn)．但由條件f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0，可推出f(x)在(a，b)內(nèi)至少還有一個零點(diǎn)，即f(x)在[a，b]內(nèi)至少有三個零點(diǎn)，因此f'(x)在(a，b)內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)，這與f'(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)矛盾．因此①正確．

對選項(xiàng)②③：f(x)在[a，b]上連續(xù)f(x)在[a，b]上有最大、最小點(diǎn)；

f(a)=f(b)和f'(a)·f'(b)＞0最大最小點(diǎn)不在端點(diǎn)；

區(qū)間內(nèi)的最大值、最小值點(diǎn)必是極大值、極小值點(diǎn)f(x)在(a，b)內(nèi)必有極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，②③正確．

對選項(xiàng)④：不正確，可舉反例：

滿足條件：在[a，b]上可導(dǎo)，且f'+(a)·f'-(b)＞0和f(a)=f(b)=0．其導(dǎo)函數(shù)為

顯然它在x=0點(diǎn)附近有無窮多個極值點(diǎn)．

3.

設(shè)Dt={(x，y)∈R2|x2+y2≤t2，t＞0}，f(x)為滿足的連續(xù)函數(shù)，則F'(1)=______A.π．B.2π．C.-2π．D.-π．正確答案：B[解析]依題得

令u=t-ρ，得

因?yàn)閒(u)是連續(xù)函數(shù)，所以F(t)可導(dǎo)，且

所以

4.

A．

B．

C．

D．正確答案：C[解析]因?yàn)?/p>

又

則

5.

設(shè)則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=a處______A.取極大值．B.取極小值．C.可導(dǎo)．D.不可導(dǎo)．正確答案：D[解析]由極限的保號性可知，存在x=a點(diǎn)的某鄰域U(a)，當(dāng)x∈U(a)時，

即當(dāng)x＜a時，f(x)＜f(a)；當(dāng)x＞a時，f(x)＞f(a)，故點(diǎn)x=a不是極值點(diǎn)．

又所以f(x)在點(diǎn)x=a不可導(dǎo)．

6.

設(shè)f0(x)在(-∞，+∞)上可積，且滿足則f4(x)在(-∞，+∞)上______A.連續(xù)，但不一定可導(dǎo)．B.可導(dǎo)，但不一定二階可導(dǎo)．C.二階可導(dǎo)，但不一定三階可導(dǎo)．D.三階可導(dǎo)，但不一定四階可導(dǎo)．正確答案：D[解析]f0(x)在(-∞，+∞)上可積，則

連續(xù)，但不一定可導(dǎo)；

可導(dǎo)，但不一定二階可導(dǎo)；

二階可導(dǎo)，但不一定三階可導(dǎo)；

三階可導(dǎo)，但不一定四階可導(dǎo)．

7.

n階矩陣A經(jīng)初等行變換得到矩陣B，下列命題正確的是______A.A與B有相同的特征值和特征向量．B.Ax=b是Bx=b的同解方程組．C.A的行向量組與B的行向量組是等價的．D.A的列向量組與B的列向量組是等價的．正確答案：C[解析]矩陣A經(jīng)初等行變換得到矩陣B，故有可逆矩陣P，使PA=B，將A，B按行分塊，有

故

βi=Pi1α1+Pi2α2+…+Pinαn(i=1，2，…，n)，

故β1，β2，…，βn可由α1，α2，…，αn線性表出．

又因?yàn)锳=P-1B，從而

即α1，α2，…，αn可由β1，β2，…，βn線性表出．

所以A與B的行向量組是等價的．

由于|λE-B|=|λE-PA|≠|(zhì)λE-A|，經(jīng)初等變換，矩陣A，B的特征值是不同的，從而特征向量也不同．A不成立．

對于B，僅對系數(shù)矩陣而非增廣矩陣作初等行變換，兩個方程組不同解，B不成立．

初等行變換后，A，B的列向量組不等價，如

A，B的列向量組不等價，D不成立，故選C．

總結(jié)：PA=B(P可逆)，A與B的行向量組是等價的，

AP=C(P可逆)，A與C的列向量組是等價的．

8.

已知則______A.a=-10.B.a=10．C.a≠10.D.a≠-10.正確答案：A[解析]已知

則b=2是A的二重特征值，應(yīng)對應(yīng)兩個線性無關(guān)特征向量，故r(2E-A)=1，

所以a=-10．

二、填空題1.

微分方程y'''-4y"+4y'=1的一般解為______．正確答案：(C1，C2，C3為任意常數(shù))[解析]y'''-4y"+4y'=0的特征方程為λ3-4λ2+4λ=0，特征根是λ1=0，λ2=λ3=2．因而齊次微分方程一般解為

觀察得到非齊次微分方程的一個特解為

因此非齊次微分方程的一般解為(C1，C2，C3為任意常數(shù))．

2.

定積分正確答案：[解析]思路一：

又

則

思路二：

令φ=arcsinx，則x=sinφ，dx=cosφdφ，故

3.

若f(x)在(-1，1)內(nèi)可微，且f'(0)=0，f"(0)=A，則正確答案：[解析]

其中ξ在x與ln(1+x)之間，即

由夾逼準(zhǔn)則得到再由極限運(yùn)算準(zhǔn)則得

4.

設(shè)z=xf(y)-yg(xy)，其中函數(shù)f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)．若f'(0)=1，g'(0)=g"(0)=A．則正確答案：1[解析]由已知得

所以

5.

設(shè)則正確答案：[解析]令x-2=t，則dx=dt，故

6.

設(shè)A是n(n＞2)階非零實(shí)矩陣，滿足aij=Aij(i=1，2，…，n；j=1，2，…，n)，若a11=a12=a13=…=a1n，則a11=______．正確答案：[解析]因?yàn)閍ij=Aij，故A*=[Aji]=[Aij]T=[aij]T=AT，則

AA*=AAT=|A|E|A|2=|A|nA2(|A|n-2-1)=0．

所以|A|=0或者|A|n-2=1．因?yàn)锳為非零矩陣，所以A中至少有一元素aij不等于0，則

因此得|A|n-2=1|A|=1(n＞2)，則

得

三、解答題解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．1.

求極限正確答案：利用等價無窮小：1-ex2～-x2，sinx2～x2．

2.

設(shè)F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，且F(0)=1，F(xiàn)(x)f(x)=cos2x，求的值．正確答案：由已知得F'(x)=f(x)，又由F(x)f(x)=cos2x，得

從而有F2(x)=sin2x+C．

又由F(0)=1，得C=1，所以

F2(x)=sin2x+1，

則

因此

3.

求常微分方程初始值問題的解．正確答案：思路一：將y看成自變量，x看成是y的函數(shù)，則原方程是關(guān)于未知函數(shù)x=x(y)的一階線性微分方程此方程的通解為

由初始條件得C=e，所求特解為x=ey-yey．

思路二：

若f(x)=3x2+64x-3．4.

在(0，+∞)內(nèi)作y=f(x)的圖形；正確答案：考察(0，+∞)內(nèi)的函數(shù)特性．

因?yàn)閒'(x)=6x-192x-4=6x(1-32x-5)，

由f'(x)=6x-192x-4=0，得唯一駐點(diǎn)x1=2．

又f"(x)=6+768x-5＞0，曲線為下凸，

x1=2為極小值點(diǎn)，極小值為f(2)=20．

因?yàn)樗詅(x)在(0，+∞)內(nèi)有垂直漸近線x=0．

因?yàn)樗詅(x)在(0，+∞)內(nèi)沒有斜漸近線．

由以上分析，得下圖．

5.

證明：3x5-20x3+64≥0．正確答案：由于f(x)=3x2+64x-3在(0，+∞)上連續(xù)且有唯一極值點(diǎn)x=2，且所以x=2也是f(x)=3x2+64x-3在(0，+∞)內(nèi)的最小值點(diǎn)，最小值為f(2)=20．

所以，f(x)=3x2+64x-3≥20，即3x5-20x3+64≥0

6.

已知平面圖形D由y軸、曲線y=ex(x≥0)和該曲線過原點(diǎn)的切線圍成，求D的面積和D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積．正確答案：曲線y=ex(x≥0)在(x0，ex0)處的切線方程為y=ex0+ex0(x-x0)，令x=0，y=0，得x0=1，故曲線y=ex(x≥0)過原點(diǎn)的切線方程為y=e+e(x-1)(如下圖)，所以D的面積為

D繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

7.

設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)非負(fù)，且單調(diào)增加，為區(qū)域D={(x，y)∈R2|a≤x≤b，0≤y≤f(x)}的重心，證明正確答案：本題要證即要證

思路一：將b視為變量，引入變上限的積分F(x)，證明函數(shù)不等式F(x)≥0．

令則F(a)=0．

又

其中ξ∈(a，x)，又f(x)單調(diào)增加，因而F(x)＞0，令x=b，則不等式(1)成立．

思路二：利用積分的不等性質(zhì)和對區(qū)間的可加性，按被積函數(shù)同號劃分區(qū)間

其中用到：

思路三：利用廣義積分中值定理

因?yàn)?，其中則有ξ2＞ξ1，由f(x)單調(diào)增加，則有

f(ξ2)≥f(ξ1)．

8.

若當(dāng)x→0時，nlnf(x)與lncosx是等價無窮小，求參數(shù)n的值；正確答案：當(dāng)x→0時，

由即當(dāng)x→0時，lnf3(x)～lncosx．

9.

證明不等式：f3(x)≥cosx，正確答案：證明不等式：由于f(x)，cosx都是偶函數(shù)，及f3(0)=cos0=1，所以只需考慮x∈(0，π]．

引入函數(shù)得

再引入函數(shù)

h(0)=0．

h'(0)=0，

h"(x)=12x2-6xsin2x=6x(2x-sin2x)≥0．

由此得，當(dāng)x∈(0，π]，

即有f3(x)≥cosx，

10.

(Ⅰ)求滿足AX-XA=0的所有X；

(Ⅱ)AX-XA=E，E是二階單位矩陣，是否有解．若無解，說明理由；若有解，求滿足方程的所有的X．正確答案：(Ⅰ)設(shè)則

得齊次方程組

由

得其基礎(chǔ)解系α1=[2，2，1，0]T，α2=[1，0，0，1]T，其通解為[x1，x2，x3，x4]T=c1α1+c2α2，即

x1=2c1+c2，x2=2c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2為任意常數(shù))．

所求的所有矩陣為其中c1，c2為任意常數(shù)．

故AX-XA=E無解．

11.

若n階矩陣A滿足AAT=E，其中E是n階單位矩陣，則稱A為正交矩陣．證明：

(Ⅰ)若A，B是n階正交矩陣，則ATB也是n階正交矩陣；

(Ⅱ)若λ是正交矩陣A的實(shí)特征值，則λ只可能是1或-1；

(Ⅲ)若|A||B|＜0，則|A+B|=|A|+|B|．正確答案：[證明]A，B為正交矩陣，則AAT=E，|A|=|AT||A|2=1|A|=±1；同理有|B|=±1．因此|A|+|B|=0或±2．

(Ⅰ)A為正交矩陣，則有AAT=E，即A-1=AT，從而有

A-1(A-1)T=AT(A-1)T=(A-1A)T=E，

由此證得A-1，AT為正交矩陣．

A，B為正交矩陣，則

(AB)(AB)T=ABBTAT=A(BBT)AT=AAT=E，

所以AB也為正交矩陣．

綜上可知ATB也為正交矩陣．

(Ⅱ)若A為正交矩陣，λ是A的實(shí)特征值，設(shè)p≠0為相應(yīng)λ的特征向量，則

Ap=λppTAT=λpT

pTAT(Ap)=λpT(λp)

pT(ATA)p=λ2(pTp)

pTp=λ2(pTp)．

由pTp≠0λ2=1．由于λ是實(shí)數(shù)，因此