高中數(shù)學(xué) 1.6.2 垂直關(guān)系的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固 北師大版必修2

【成才之路】-學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固北師大版必修2一、選擇題1．直線l⊥平面α，直線mα，則l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．垂直[答案]D[解析]由于l⊥平面α，mα，所以l⊥m，所以D正確．2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β，且mα B．m∥n，且n⊥βC．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β[答案]B[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,n⊥β))?m⊥β.3．已知α，β為互不重合的平面，m，n為互不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：①若m⊥α，nα，則m⊥n；②若mα，nα，m∥β，n∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝m，nα，n⊥m，則n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥n，則n∥β.其中所有正確命題的序號(hào)是()A．①③ B．②④C．①④ D．③④[答案]A[解析]eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,nα))?m⊥n，故①正確；由面面垂直的性質(zhì)可知③正確；對(duì)于②，α與β可能相交；對(duì)于④，直線n可能在β內(nèi)，故②④錯(cuò)誤．因此選A.4．給定下列四個(gè)命題：①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直③垂直于同一條直線的兩條直線相互平行④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中為真命題的是()A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④[答案]D[解析]考查空間線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)．①錯(cuò)，②正確，③錯(cuò)，④正確．故選D.5．設(shè)m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個(gè)不同的平面．考查下列命題，其中正確的命題是()A．m⊥α，nβ，m⊥n?α⊥β B．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β?m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β[答案]B[解析]A中可能α∥β；C中可能m∥n；D中可能nβ.6．下列命題中錯(cuò)誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β[答案]D[解析]本題主要考查空間中的線面、面面關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．對(duì)于A，α內(nèi)存在直線平行于α與β的交線，故α內(nèi)必存在直線平行于β，正確；對(duì)于B，由于α不垂直于β，α內(nèi)一定不存在直線垂直于β，否則α⊥β，正確；對(duì)于C，由平面與平面垂直的性質(zhì)知正確，故D不正確，選D.二、填空題7．空間四邊形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD，E、F、G、H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的形狀是________．[答案]正方形[解析]∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，故有EF綊eq\f(1,2)AC，HG綊eq\f(1,2)AC，∴EF綊HG，則四邊形EFGH為平行四邊形，又所有邊長(zhǎng)均相等，故EF＝FG＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD，所以四邊形為菱形，取BD中點(diǎn)O，連接AO、CO，∴AO⊥BD，CO⊥BD?BD⊥面AOC，∵AC⊥BD.∴EF⊥FG，故四邊形EFGH為正方形．8．以下三個(gè)命題：①垂直于同一條直線的兩條直線必平行②兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線都垂直于另一個(gè)平面③二面角的兩個(gè)面必垂直于這個(gè)二面角的任一平面角所在的平面．其中正確命題的序號(hào)是________(把你認(rèn)為正確的都寫上)．[答案]③[解析]①中，垂直于同一條直線的兩條直線平行或相交或異面，∴①錯(cuò)；兩個(gè)平面互相垂直，其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線才垂直于另一個(gè)平面，∴②錯(cuò)．故正確的只有③.三、解答題9．正三棱錐A－BCD中，∠BAC＝30°，AB＝a，平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H.(1)判定四邊形EFGH的形狀，并說明理由；(2)設(shè)P是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，平面PBC⊥平面EFGH？請(qǐng)給出說明．[解析](1)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD∥平面EFGH,平面ACD∩平面EFGH＝HG,AD平面ACD))?AD∥HG，同理EF∥AD，∴HG∥EF，同理EH∥FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵A－BCD是正三棱錐，∴A在底面上的正投影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四邊形EFGH是矩形．(2)當(dāng)AP＝eq\f(\r(3),2)a時(shí)，平面PBC⊥平面EFGH，在△ACP中∠CAP＝30°，AC＝a，∴AP⊥PC，又AD⊥BC，∴AD⊥平面BCP，∵HG∥AD，∴HG⊥平面BCP，又HG平面EFGH，∴平面BCP⊥平面EFGH.一、選擇題1．如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1A．EF與BB1垂直 B．EF與BD垂直C．EF與CD異面 D．EF與A1C1[答案]D[解析]連接B1C，則B1C與BC1相交于點(diǎn)∵E，F(xiàn)分別是AB1，CB1的中點(diǎn)，∴EF∥AC.又BB1⊥AC，∴BB1⊥EF.∴選項(xiàng)A成立．又BD⊥AC，EF∥AC，∴BD⊥EF.∴選項(xiàng)B成立．觀察圖形易知選項(xiàng)C成立．∵EF∥AC，A1C1∥AC∴EF∥A1C1故選項(xiàng)D不成立．2．在三棱錐A－BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是銳角三角形，那么必有()A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCD D．平面ABC⊥平面BCD[答案]C[解析]由AD⊥BC，BD⊥AD?AD⊥平面BCD，又AD平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.二、填空題3．下列三個(gè)命題在“________”處都缺少同一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成正確命題(其中l(wèi)，m為直線，α，β為平面)，則此條件為________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(mα,l∥m,))?l∥α②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥m,m∥α,))?l∥α③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,α⊥β,))?l∥α[答案]l?α[解析]通過分析可以看出本題實(shí)際上考查的是線面平行的判定定理，缺少的條件是“l(fā)為平面α外的直線”．4．α、β是兩個(gè)不同的平面，m、n是α，β之外的兩條不同直線，給出以下四個(gè)論斷：①m⊥n②α⊥β③n⊥β④m⊥α以其中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________(填一個(gè)即可)．[答案]①③④?②或②③④?①[解析]假設(shè)①③④為條件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，過m上一點(diǎn)P作PB∥n，則PB⊥m，PB⊥β，設(shè)垂足為B.又設(shè)m⊥α，垂足為A，過PA、PB的平面與α、β的交線l交于C點(diǎn)．∵l⊥PA，l⊥PB，∴l(xiāng)⊥平面PACB.∴l(xiāng)⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α－l－β的平面角．由m⊥n，顯然PA⊥PB，∴∠ACB＝90°.∴α⊥β.由①③④?②成立．反過來，如果②③④成立，與上面證法類似可得①成立．三、解答題5．已知四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝a，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：平面MND⊥平面PCD.[解析]取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，如圖．∵M(jìn)，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，∴EN＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)AB＝AM，且EN∥CD∥AB.∴四邊形AMNE是平行四邊形．∴MN∥AE.∵在等腰直角三角形PAD中，AE是斜邊上的中線，∴AE⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥PA，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AE.又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN∥AE，∴MN⊥平面PCD.又MN平面MND，∴平面MND⊥平面PCD.6．如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[證明](1)在四棱錐P－ABCD中，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD平面ABCD，故AP⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，且AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD.又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又因?yàn)锳B∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.7．如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA⊥PD，底面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一點(diǎn)．(1)若CD∥平面PBO，試指出點(diǎn)O的位置；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD.[分析](1)可以證明BO∥CD，則四邊形BCDO是平行四邊形，從而確定點(diǎn)O的位置；(2)轉(zhuǎn)化為證明PD⊥平面PAB.[解析](1)解：∵CD∥平面PBO,CD平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD