函數(shù)的單調(diào)性與最值14種常見考點（老師版）

更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)更多見微信號：alarmact，微信號：abcshuxue，微信號：antshuxue微信號：AA-teacher更多見微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感；微信公眾號：數(shù)學(xué)三劍客；微信公眾號：ABC數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性與最值14種常見考點考點1定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性1．（2024·山東濟南·三模）已知函數(shù)，且.(1)求的值;(2)判斷函數(shù)在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明.【答案】(1)1(2)增函數(shù)，證明見解析【分析】（1）將代入函數(shù)求值即可；（2）利用單調(diào)性的定義判斷即可.【詳解】（1），（2）函數(shù)為增函數(shù)，證明如下：設(shè)是1,+∞上的任意兩個實數(shù)，且，則當(dāng)時，，，從而，即，∴函數(shù)在1,+∞上為增函數(shù).2．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)判斷的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.【答案】(1)(2)在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，求出的值，結(jié)合函數(shù)的解析式求出的值，計算可得答案；（2）根據(jù)題意，根據(jù)單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法證明可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則有，解得，又由，解得，所以，定義域為，且，所以；（2）在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)．證明如下：設(shè)任意，則，由，得，即，，，所以，即，故在區(qū)間上為嚴(yán)格增函數(shù)．3．（2024高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求實數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性（不用證明）；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)在，上單調(diào)遞減.(3)【分析】（1）考慮和兩種情況，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計算得到答案.（2）確定定義域，設(shè)，且，計算，得到單調(diào)性.（3）根據(jù)單調(diào)性確定時的值域，設(shè)，換元得到二次函數(shù)，計算最大值和最小值，根據(jù)值域的包含關(guān)系得到答案.【詳解】（1）由已知函數(shù)需滿足，當(dāng)時，函數(shù)的定義域為，函數(shù)為奇函數(shù)，所以f?x=?f即在上恒成立，即，（舍），當(dāng)時，，函數(shù)的定義域為，又函數(shù)為奇函數(shù)，所以，此時，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，綜上所述：；（2）在和0,+∞上單調(diào)遞減，證明如下：本號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感，定義域為，設(shè)，且，則因為，且，所以，所以，所以在0,+∞上單調(diào)遞減，同理可證，所以在上單調(diào)遞減；所以在0,+∞，上單調(diào)遞減.（3）函數(shù)在和0,+∞上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)x∈0,+∞時，，時，，所以當(dāng)時的值域，又，設(shè)，則，當(dāng)時，取最小值為，當(dāng)時，取最大值為，即在上的值域，又對任意的，總存在，使得成立，即，所以，解得，即.4．（2024高二下·陜西西安·階段練習(xí)）已知奇函數(shù)的定義域為.(1)求實數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；(3)存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增，證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由求得，再根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱求解；（2）利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）存在，使得恒成立，令，，轉(zhuǎn)化為，存在時成立求解.【詳解】（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，則，整理可得，所以，又因為定義域關(guān)于原點對稱，所以，即，所以;（2）在上單調(diào)遞增，設(shè)任意，且,則,因為，所以，又，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；（3）因為，所以，由存在，使得成立，則，存在時成立，令，，則，存在時成立，構(gòu)造函數(shù)，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號，對于單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，,所以,∴故的取值范圍為.考點2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間5．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．的零點為3C．在上為增函數(shù) D．的定義域為【答案】C【分析】由函數(shù)性質(zhì)依次判斷各選項可得出結(jié)果.【詳解】,可知函數(shù)的零點為3，可知A,B正確；中，由，解得：，故函數(shù)的定義域為，且函數(shù)在為增函數(shù)，故C錯誤，D正確.故選：C6．（2024·江西·二模）已知函數(shù)若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）本號資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感A． B．C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)題目條件求出的值，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】解：依題意，解得a＝－1，故，可知在上單調(diào)遞增故選：D7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．的圖象關(guān)于點對稱本號資料全部來源于微信#公眾號：數(shù)學(xué)第六*感【答案】C【分析】首先求函數(shù)的定義域，再化簡函數(shù)，分析內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，從而判斷選項.【詳解】函數(shù)的定義域滿足，即，即函數(shù)的定義域是，，設(shè)，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故AB不正確；,,所以，函數(shù)關(guān)于直線對稱.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，重點考察轉(zhuǎn)化與化歸的思想，復(fù)合函數(shù)判斷函數(shù)性質(zhì)的方法，屬于基礎(chǔ)題型。8．（2024·廣東深圳·三模）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是．【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可求出結(jié)果.【詳解】函數(shù)，由，解得或，函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：.9．（2024·全國·三模）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的減區(qū)間【詳解】當(dāng)時，，則其在上遞減，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，所以在上遞減，綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：考點3根據(jù)圖像判斷函數(shù)單調(diào)性10．（2024高一上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù)的圖象，圖中曲線與直線無限接近但是永不相交，則以下描述正確的是（

）A．函數(shù)的定義域為B．函數(shù)的值域為C．此函數(shù)在定義域中不單調(diào)D．對于任意的，都有唯一的自變量x與之對應(yīng)【答案】C【分析】由函數(shù)圖象確定定義域和值域，單調(diào)性判斷各項的正誤.【詳解】由圖知：的定義域為，值域為，A、B錯；顯然在分別遞增，但在定義域上不單調(diào)，C對；顯然，對應(yīng)自變量x不唯一，D錯.故選：C11．（2024·遼寧丹東·二模）設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，函數(shù)，則（

）A．為增函數(shù) B．為奇函數(shù)C．值域為 D．函數(shù)沒有正零點【答案】D【分析】化簡已知函數(shù)并作出圖像，即可得出結(jié)論【詳解】由題意，在函數(shù)中，，可知畫以下曲線：，，．這些曲線合并組成圖象，是兩段以為漸近線的雙曲線和一段圓弧構(gòu)成．因為作圖象在軸右側(cè)部分包括點關(guān)于x軸對稱，得到曲線，再作關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，去掉點得到曲線，與合并組成圖象．由圖象可知，不是奇函數(shù)，不是增函數(shù)，值域為R．當(dāng)時，圖象與圖象沒有公共點，從而函數(shù)沒有正零點．故選：D.12．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象與軸圍成的三角形面積為2【答案】C【分析】去掉絕對值，得到，畫出其圖象，進而判斷出四個選項.【詳解】A選項，，畫出其函數(shù)圖象，如下：故不是偶函數(shù)，A錯誤；B選項，在上單調(diào)遞減，故B錯誤；C選項，的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；D選項，的圖象與軸圍成的三角形面積為，D錯誤.故選：C13．（2024高三上·廣西·學(xué)業(yè)考試）在2小時內(nèi)將某種藥物注射進患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中藥物含量呈指數(shù)衰減，能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性判斷.【詳解】根據(jù)題意函數(shù)先遞增再遞減，進而判斷C選項符合題意.故選：C.考點4根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性14．（24-25高一上·全國·隨堂練習(xí)）函數(shù)在上的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合單調(diào)性求最值.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且恒成立，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上的最小值為.故選：B.15．（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先檢驗函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再考查是否為偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)解析式，分析函數(shù)在0,+∞【詳解】對于A，因，則函數(shù)為偶函數(shù)，且顯然在0,+∞上先減后增，故A錯誤；本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六*#感對于B，因，則函數(shù)為偶函數(shù)，且，顯然函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，故B錯誤；對于C，函數(shù)的定義域為0,+∞，故是非奇非偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，因的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，即函數(shù)是偶函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞減,即D正確.故選：D.16．（2024高一上·北京·期中）下列函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)解析式直接判斷各選項中的函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】函數(shù)、在R上單調(diào)遞增，AB不是；函數(shù)在上單調(diào)遞增，C不是；函數(shù)在上單調(diào)遞減，D是.故選：D17．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）下列函數(shù)中，在上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷函數(shù)單調(diào)性即可.【詳解】對于選項A：因為在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于選項B：因為在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于選項C：因為在上單調(diào)遞增，故C正確；對于選項D：因為在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D錯誤；故選：C.考點5復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性18．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的定義域，再根據(jù)二次函數(shù)及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意可得，即，解得或，令（或），則，因為的對稱軸為，所以在上遞減，在上遞增，因為在定義域內(nèi)遞增，所以在上遞減，在上遞增.故選：C19．（2024高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求函數(shù)的定義域，在結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】令，解得，所以函數(shù)的定義域為，因為開口向下，對稱軸為，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，本#號資#料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.20．（2024高三上·廣東湛江·開學(xué)考試）已知函數(shù)，則的增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的增區(qū)間.【詳解】函數(shù)定義域為，令，又在上單調(diào)遞增，的增區(qū)間為，所以的增區(qū)間為.故選：A.21．（2024高一上·北京·階段練習(xí)）函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是.【答案】【分析】把已知函數(shù)解析式變形，再由正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解即可．【詳解】解：函數(shù)，則函數(shù)在上的單增區(qū)間滿足：，，解得，．函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是．故答案為：．考點6根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值22．（2024·廣東揭陽·二模）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍為（

）本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學(xué)第六感A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.【詳解】函數(shù)的圖象對稱軸為，依題意，，得，所以的取值范圍為.故選：C23．（2024·天津河北·一模）設(shè)，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系以及充分性與必要性的應(yīng)用，即可得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)的對稱軸為，由函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，即，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.故選：A24．（2024·山東·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）．A．7,+∞ B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得，再由，進而求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的對稱軸是，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，解得，又因為，因此，所以的取值范圍是7,+∞.故選：A．25．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析得在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，易知函數(shù)是增函數(shù)，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.26．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件得即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，由二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最值即可解決問題.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，變形得，因為，所以，所以當(dāng)，即時，，所以.故選：A．27．（2024·陜西榆林·一模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分情況討論，當(dāng)時直接代入可得函數(shù)遞減；當(dāng)時，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時的情況，綜合得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B28．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.29．（2024·江蘇無錫·二模）已知函數(shù)滿足對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】運用分段函數(shù)單調(diào)性知識，結(jié)合一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)單調(diào)性知識可解.【詳解】由題意，為定義在上的減函數(shù)，則各段為減函數(shù)，還要區(qū)間端點附近遞減，所以，解得，則.故答案為：.30．（2024·遼寧·三模）已知函數(shù)存在兩個極值點，若對任意滿足的，均有，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的兩個零點求出的單調(diào)區(qū)間，求出所在區(qū)間，再由已知可得在同一單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，進而求得，然后借助對勾函數(shù)單調(diào)性求出的范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，由函數(shù)存在兩個極值點，得，即有兩個不等的正根，則，解得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，令，，則直線與的圖象有3個公共點，此時，顯然，令，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，則，即，于是，本號資料全部來源于微*信公眾號：*數(shù)學(xué)第六感由，得，因為對任意滿足的，均有，則有必在同一單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，因此，而恒成立，從而，又，則，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，本號資料*全部來源于微信公眾號：#數(shù)學(xué)第六感而，因此，由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是求出所在區(qū)間，由已知探討得在同一單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，再求出極小值點的范圍.考點7根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式31．（2024高三下·山西·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=log2x,0<x≤22x?3,x>2，若A． B． C． D．【答案】D【分析】先求解函數(shù)的單調(diào)性，接著根據(jù)已知條件結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性即可求解.本號資*料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】因為當(dāng)x∈0,2時，fx=當(dāng)x∈2,+∞時，fx

所以fx=log所以若fa+1?f2a?1則a+1≥2a?1>0，?1故選：D.32．（2024·陜西商洛·三模）已知為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)的對稱性、單調(diào)性即可列出不等式求解.【詳解】因為為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又在上單調(diào)遞增，，所以，解得．故選：B．33．（2024·黑龍江大慶·三模）已知函數(shù)fx=2x,x≥0x3A．?∞,?2∪3,+∞ B．?2,3 【答案】D【分析】由函數(shù)的圖象可知其單調(diào)性，進而利用單調(diào)性求解即可.本號資料全部來源于*微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】函數(shù)的圖象如下，由圖可知在R上單調(diào)遞增.因為fa所以a<6?a2，解得故選：D.34．（2024·四川資陽·二模）若定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式特征構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性進行求解即可.【詳解】由，可得.令，因為是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，所以也是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，從而，解得或.故選：A35．（2024·四川德陽·三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)f′x在定義域均為且是偶函數(shù)，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，得，求解即可．【詳解】由，得，則當(dāng)時，得，，則當(dāng)時，，得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，由于是偶函數(shù)，則，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，得，得，故選：C36．（2024·云南·模擬預(yù)測）已知f′x是定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集為．【答案】【分析】由已知，設(shè)，可得函數(shù)單調(diào)遞減，則由，可得，即為不等式的解集.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，得，所以，所以不等式的解集為．故答案為：．考點8比較函數(shù)值的大小關(guān)系37．（2024·湖北·模擬預(yù)測）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】轉(zhuǎn)化和，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，比較和的大小，轉(zhuǎn)化和，設(shè)，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，比較和的大小.【詳解】，設(shè)，則，當(dāng)時，在1,+∞上單調(diào)遞增，，即，，又，設(shè)，則，令，則，在1,+∞上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于通過所比較值的變形，構(gòu)造函數(shù)和進行大小比較.38．（2024·湖南·三模）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先得出，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)逐一判定即可.【詳解】依題意，（c為常數(shù)），是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，又，，則，對于A，，A錯誤；對于B，，，，B正確；對于C，，，C錯誤；對于D，，，，D錯誤.故選：B39．（2025·全國·模擬預(yù)測）已知：，，，那么三者的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先比較和，注意到，，從而通過比較的大小可，再比較和，注意到，而又有,從而只需要證明即可.【詳解】因為，，而，所以，得，令，則，所以在上遞減，因為當(dāng)時，，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查對數(shù)式和指數(shù)式比較大小，考查對數(shù)的運算，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求其單調(diào)性，從而可得其取值范圍，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.40．（2024·四川自貢·三模）已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以即；因為為增函數(shù)，故即；因為為減函數(shù)，故即，綜上.故選：A.41．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦函數(shù)、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷大小關(guān)系即可得，即可得結(jié)果.【詳解】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即，又因為在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，則，，可得；令，則，，構(gòu)建，則，可知在上遞減，則，即；綜上所述：.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進而可得.42．（2024·四川雅安·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，作差比較得，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性得，進而利用函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)值的大小.本號資料全部來源于微信公眾*號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】因為，所以，當(dāng)時，f′x<0，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，f′x>0，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟：（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)?x（3）利用導(dǎo)數(shù)研究?x（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式.43．（2024·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）已知定義在上的函數(shù)，記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)的性質(zhì)比較的大小，再利用的單調(diào)性可比較出的大小.【詳解】因為在上遞減，且，所以，因為在上遞增，且，所以，得，因為在上遞增，所以，因為在上遞增，，所以，即，所以，所以，因為在上遞減，所以，即.故選：C44．（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，從而得解.【詳解】因為，所以，令，則恒成立，所以當(dāng)時，，即，又在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，可得，，所以，，所以，，即所以，，即.故選：D.【點睛】思路點睛：先利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷得，是解決本題的關(guān)鍵.45．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，從而可得，進而可得比較函數(shù)值的大?。驹斀狻俊?，∴，∴是偶函數(shù)，，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即可，而，所以，∴．故選：C．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．考點9利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域46．（2024高一·上?！ふn堂例題）已知對數(shù)函數(shù)在區(qū)間上的最大值比最小值大1，求a的值．【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知列出方程，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，函數(shù)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增，又對數(shù)函數(shù)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大1，所以，，解得.故答案為：.47．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)，函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)．(1)求實數(shù)a的值；(2)求在上的值域．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由偶函數(shù)定義即可求解；（2）利用單調(diào)性定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可以判斷在上單調(diào)遞增，進而可得在上的值域.本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學(xué)第六感【詳解】（1）由，得，即，所以，根據(jù)題意，可得，又，所以．（2）由（1）可知，設(shè)任意的，且，則．因為，又指數(shù)函數(shù)增函數(shù)，所以，所以．又因為，所以，所以，所以，即．所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在上的最大值為；最小值為．故在上的值域為．48．（2024高一·上?！ふn堂例題）設(shè)t是實數(shù)，且．求函數(shù)，的最小值．【答案】【分析】先將函數(shù)去絕對值符號化為分段函數(shù)并求其單調(diào)性，進而可求得參數(shù)的不同取值對函數(shù)單調(diào)性的影響，從而依據(jù)單調(diào)性即可求得函數(shù)最值.【詳解】令，所以函數(shù)，又因為是增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，如圖：所以當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)的最小值為；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在2,4上單調(diào)遞增，此時函數(shù)的最小值為.所以函數(shù)，的最小值為.49．（2024高一上·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù)，記函數(shù)值域為，若，則的最小值為【答案】5【分析】根據(jù)圖象得到函數(shù)的值域，然后借助對勾函數(shù)的單調(diào)性求最小值即可.【詳解】函數(shù)的圖象如下：

所以，函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以在時取得最小值，最小值為5.故答案為：5.考點10復(fù)合函數(shù)的最值50．（2024高二·全國·競賽）的最大值為．本號資料全部來源于微信公眾號#：數(shù)學(xué)第六感【答案】【分析】根據(jù)換元后的新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間，再求最大值即可.【詳解】令所以，所以，令，所以；令，所以.所以.故答案為：.51．（2024·青?！つM預(yù)測）若函數(shù)的最小值為，則函數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由于與的最小值相同，故可知的最小值，由即可確定答案.【詳解】由題意知定義域為，則，由于的最小值為，則最小值也為m，因為，故的最小值為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于利用整體代換思想得出，明確與的最小值相同，從而由解決問題.本號*資料全部來源*于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感52．（2024高三下·河北石家莊·期中）已知為整數(shù)，若關(guān)于的方程有正數(shù)解，則．【答案】【分析】將方程化為，運用換元法可求得，進而可得，解方程即可.【詳解】由得，所以．設(shè)，則，，因為為整數(shù)，所以，即，解得，即，解得．故答案為：.考點11判別式法求最值53．（2024高一上·陜西西安·期末）已知正實數(shù)滿足則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，代入已知等式，化為關(guān)于x的方程，由判別式非負(fù)，解得t的最大值.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即：，所以，解得：，又因為，為正實數(shù)，所以，所以的最大值為.故選：C.54．（2024·廣東茂名·二模）已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是.【答案】【分析】先判斷出，且.令，利用判別式法求出的最小值.【詳解】因為實數(shù)a，b滿足，所以，且.令，則，所以，代入，則有，所以關(guān)于b的一元二次方程有正根，只需，解得：.此時，關(guān)于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.綜上所述：.即的最小值是（此時，解得：）.故答案為：.55．（2024高一下·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】將已知轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次方程，根據(jù)，可求得最值.【詳解】根據(jù)題意，若方程有解，則，即，所以，當(dāng)時，，此時，即，也就是說當(dāng)且僅當(dāng)時，.故選：D考點12根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)56．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)在閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題可知當(dāng)時，函數(shù)取得最小值2，而，再結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性可求出的取值范圍.【詳解】因為，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值2，因為，而函數(shù)閉區(qū)間上有最大值3，最小值2，所以.故選：D57．（2024·江西鷹潭·三模）若的最小值是4，則實數(shù)的值為（

）A．6或 B．或18C．6或18 D．或【答案】A【分析】分，，三種情況，得出每種情況下的最小值，令其為4，解出的值.【詳解】當(dāng)時，，，解得，符合題意；當(dāng)時，，，解得，符合題意；當(dāng)時，，，舍掉.故選：A.58．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值比最小值大，則.【答案】1【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和和對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增，分和兩種情況討論，求出最值即可求解.【詳解】，所以為奇函數(shù)，且在上的最大值比最小值大，所以在上的最大值比最小值大.由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞增.則，解得.當(dāng)時，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.，因為，所以，所以，解得（舍去）或9（舍去）.綜上，故答案為：159．（2024高一下·上?！るA段練習(xí)）若函數(shù)無最大值，則實數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】分類討論a的取值范圍，脫掉絕對值符號，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及無最大值，列出相應(yīng)不等式，即可求得答案.*本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】由題意知當(dāng)時，，當(dāng)時，在上，，此時在上單調(diào)遞增，且，故時，有最大值，不合題意；當(dāng)時，在時，，在上單調(diào)遞減，在時，，在上單調(diào)遞增，此時要使得函數(shù)無最大值，需滿足且，即，解得，結(jié)合，則；當(dāng)時，在上，，在上單調(diào)遞減，此時要使得函數(shù)無最大值，需滿足，即，即，結(jié)合，可得，綜合以上，實數(shù)a的取值范圍為，故答案為：60．（2024高一下·陜西咸陽·期末）已知函數(shù)且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值與最小值的差為1，求的值．【答案】(1)(2)或．【分析】（1）由，結(jié)合對數(shù)運算即可求解.（2）結(jié)合題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論求解.【詳解】（1），，即，解得或（舍）．（2）當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則，由題意得，，解得．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則，由題意得，，解得．綜上，或．61．（2024高一上·黑龍江牡丹江·期末）已知函數(shù).(1)若函數(shù)是上的奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù)在上的最小值是4，救實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可得解；（2）利用換元法，分類討論的取值范圍，結(jié)合基本不等式即可得解.本號資料全*部#來源于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】（1）若函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，即，此時，經(jīng)檢驗滿足，符合題意，故；（2）令，則，原函數(shù)可化為，因為函數(shù)在上的最小值是4，即在時的最小值為4，故，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時沒有最小值，不符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學(xué)第六感所以，即.考點13函數(shù)不等式恒成立問題62．（2024·河北·模擬預(yù)測）當(dāng)時，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】化簡得到，再由，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由，可得，因為，可得，所以，可得，又因為，所以即，因為，因為，可得，所以，則，則，要使得不等式，即恒成立，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.63．（2024·北京昌平·二模）已知函數(shù)若對任意的都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）本號資料全部來源于微信公眾號：數(shù)#學(xué)第六感A． B． C． D．【答案】B【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合求實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，令，作出圖象，如圖所示，令，由圖知，要使對任意的都有恒成立，則必有，本*號資料全部來源#于微信公眾號：數(shù)學(xué)第六感當(dāng)時，，由，消得到，由，得到，即，由圖可知，故選：B.64．（2024·上海黃浦·二模）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分和兩種情況下恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為最值求解即可.【詳解】當(dāng)時，恒成立，即恒成立，當(dāng)時，上式成立；當(dāng)，，明顯函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)時，恒成立，即恒成立，令，則在上恒成立，又開口向下，對稱軸為，所以的最大值為，所以，綜上：實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.65．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知，且在區(qū)間恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在區(qū)間恒成立，只需要即可，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出最大值即可得解.【詳解】由解析式易知：單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒成立，則，得．故選：B．66．（2024高二下·廣西玉林·期末）已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】恒成立求參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題求解即可.本號資料全#部來源于微信公#眾號：數(shù)學(xué)第六感【詳解】因為，所以，不等式在上恒成立，所以在恒成立即可，在恒成立即可，令，則即可，所以的對稱軸為：，所以在的最大值為：，所以，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：67．（20