新定義型二次函數(shù)的綜合探究問(wèn)題壓軸題八種模型全攻略（學(xué)生版）

新定義型二次函數(shù)的綜合探究問(wèn)題壓軸題八種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】 1【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】 11【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】 19【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】 25【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】 29【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——反碟長(zhǎng)拋物線】 34【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】 41【考點(diǎn)八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】 46【典型例題】【考點(diǎn)一新定義型二次函數(shù)——關(guān)聯(lián)拋物線】例題：如圖①，直線l：y=mx+n（m＞0，n＜0）與x，y軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△COD，過(guò)點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做l的關(guān)聯(lián)拋物線，而l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．（1）若l：y=﹣2x+2，則P表示的函數(shù)解析式為；若P：y=﹣x2﹣3x+4，則l表示的函數(shù)解析式為．（2）求P的對(duì)稱軸（用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）如圖②，若l：y=﹣2x+4，P的對(duì)稱軸與CD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在l上，點(diǎn)Q在P的對(duì)稱軸上．當(dāng)以點(diǎn)C，E，Q，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是以CE為一邊的平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）如圖③，若l：y=mx﹣4m，G為AB中點(diǎn)，H為CD中點(diǎn)，連接GH，M為GH中點(diǎn)，連接OM．若OM=，直接寫(xiě)出l，P表示的函數(shù)解析式．【變式訓(xùn)練】1．新定義：我們把拋物線（其中）與拋物線稱為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．(1)寫(xiě)出的解析式（用含a的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若，過(guò)x軸上一點(diǎn)P，作x軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)M，N．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；2．如果拋物線的頂點(diǎn)在拋物線上，拋物線的頂點(diǎn)也在拋物線上，且拋物線與的頂點(diǎn)不重合，那么我們稱拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．(1)請(qǐng)你根據(jù)以上信息，判斷以下三種說(shuō)法是否正確，在題后相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”．①拋物線與拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線．（）②與拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線有且只有一條．（）③若兩條拋物線是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，則這兩條拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)．（）(2)已知拋物線：，拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，且拋物線與關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，求拋物線的解析式；(3)已知拋物線：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，拋物線：的頂點(diǎn)為點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)、，若拋物線與是“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線，且，求線段的長(zhǎng)．3．如圖1，直線與x，y軸分別相交于A、B兩點(diǎn)．將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，過(guò)點(diǎn)A，B，D的拋物線P叫做直線l的關(guān)聯(lián)拋物線，直線l叫做P的關(guān)聯(lián)直線．(1)若直線，則拋物線P表示的函數(shù)解析式為_(kāi)_____，若拋物線，則直線l表示的函數(shù)解析式為_(kāi)_____；(2)如圖2，若直線，G為AB中點(diǎn)，H為CD的中點(diǎn)，連接GH，取GH中點(diǎn)M，連接OM，已知．求直線l的關(guān)聯(lián)拋物線P表示的函數(shù)解析式；本號(hào)資料全部來(lái)源于微信公#眾號(hào)：數(shù)學(xué)(3)若將某直線的關(guān)聯(lián)拋物線向右平移個(gè)單位得到拋物線，則a、m、n應(yīng)滿足的關(guān)系式為_(kāi)_____．【考點(diǎn)二新定義型二次函數(shù)——友好同軸二次函數(shù)】例題：．定義：若拋物線與拋物線的開(kāi)口大小相同，方向相反，且拋物線經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)，我們稱拋物線為的“友好拋物線”．（1）若的表達(dá)式為，求的“友好拋物線”的表達(dá)式；（2）已知拋物線為的“友好拋物線”．求證：拋物線也是的“友好拋物線”；（3）平面上有點(diǎn)，，拋物線為的“友好拋物線”，且拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，縱坐標(biāo)為2，當(dāng)拋物線與線段沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．【變式訓(xùn)練】1．【概念感知】我們把兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為1，對(duì)稱軸相間，且圖象與y軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)稱為“友好對(duì)稱二次函數(shù)”，例如：的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為．【特例求解】（1）的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為_(kāi)_____________；的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為_(kāi)___________．【性質(zhì)探究】（2）關(guān)于“友好對(duì)稱二次函數(shù)”，下列結(jié)論正確的是___________（填入正確的序號(hào)）①二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次函數(shù)沒(méi)有“友好對(duì)稱二次函數(shù)”；②二次項(xiàng)系為的二次函數(shù)的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”是它本身；③的“友好對(duì)稱二次函數(shù)”為．④任意兩個(gè)“友好對(duì)稱二次函數(shù)”與y軸一定有交點(diǎn)，與x軸至少有一個(gè)二次函數(shù)有交點(diǎn)．【拓屐應(yīng)用】（3）如圖，二次函數(shù)與其“友好對(duì)稱二次函數(shù)”都與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C分別在，上，點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)均為，它們關(guān)于的對(duì)稱軸的稱點(diǎn)分別力，，連接，，，．①若，且四邊形為正方形，求m的值；②若，且四邊形鄰邊之比為，直接寫(xiě)出a的值．2．定義：若兩條拋物線的對(duì)稱軸相同，則稱這兩條拋物線為同軸拋物線．若拋物線與拋物線：為同軸拋物線，將拋物線上的部分與拋物線上的部分合起來(lái)記作圖象G．（1）①_____（用含m的式子表示）；②若點(diǎn)在圖象G上，求m的值；（2）若，當(dāng)時(shí)，求圖象G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范圍；（3）正方形的中心為原點(diǎn)O，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，當(dāng)圖象G與正方形有3個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【考點(diǎn)三新定義型二次函數(shù)——衍生拋物線】例題：（2023秋·江西南昌·九年級(jí)南昌市第十七中學(xué)?？计谀┬≠t與小杰在探究某類二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：求解體驗(yàn)：(1)已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則b＝，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，該拋物線關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是．抽象感悟：我們定義：對(duì)于拋物線，以y軸上的點(diǎn)為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的拋物線，則我們又稱拋物線為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．(2)已知拋物線關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍．問(wèn)題解決：(3)已知拋物線．①若拋物線y的衍生拋物線為，兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，且恰好是它們的頂點(diǎn)，求a，b的值及衍生中心的坐標(biāo)；②若拋物線y關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為；…；關(guān)于點(diǎn)的衍生拋物線為，其頂點(diǎn)為，…（為正整數(shù)）．求的長(zhǎng)（用含n的式子表示）．【變式訓(xùn)練】1．我們定義：對(duì)于拋物線（a≠0），以y軸上的點(diǎn)M（0，m）為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)M成中心對(duì)稱的拋物線y'，則我們稱拋物線y'為拋物線y的“衍生拋物線”，點(diǎn)M為“衍生中心”．（1）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，0），則b=_______，頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______，該拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，1）成中心對(duì)稱的拋物線的表達(dá)式是_______；（2）已知拋物線關(guān)于點(diǎn)（0，m）的衍生拋物線為y'，若這兩條拋物線有交點(diǎn)，求m的取值范圍；（3）已知拋物線（a≠0）．若拋物線y關(guān)于點(diǎn)（0，k+12）的衍生拋物線為y1，其頂點(diǎn)為A1；關(guān)于點(diǎn)（0，k+22）的衍生拋物線為y2，其頂點(diǎn)為A2；…；關(guān)于點(diǎn)（0，k+n2）的衍生拋物線為yn，其頂點(diǎn)為An；…（n為正整數(shù)），直接寫(xiě)出AnAn+1的長(zhǎng)_________（用含n的式子表示）．【考點(diǎn)四新定義型二次函數(shù)——旋轉(zhuǎn)函數(shù)】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）定義：如果二次函數(shù)，（，、、是常數(shù)）與，、、是常數(shù)）滿足，，，則這兩個(gè)函致互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．例如：求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，由函數(shù)可知，，，．根據(jù)，，求出、、就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)思考并解決下面問(wèn)題：(1)寫(xiě)出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、，試求證：經(jīng)過(guò)點(diǎn)、、的二次函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【變式訓(xùn)練】1．小明在學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如果二次函數(shù)（，，，是常數(shù)）與（，，，是常數(shù)）滿足，，，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．小明是這樣思考的：由函數(shù)可知，，，根據(jù)，，，求出，，，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．請(qǐng)參考小明的方法解決下面的問(wèn)題：(1)寫(xiě)出函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”；(2)若函數(shù)與互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的值；(3)已知函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，，試證明經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．【考點(diǎn)五新定義型二次函數(shù)——孔像拋物線】例題：二次函數(shù)的圖象交軸于原點(diǎn)及點(diǎn)．感知特例（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)，，，，分別關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如下表：…（___，___）………①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問(wèn)題（2）①當(dāng)時(shí)，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為_(kāi)______；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時(shí)，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”，都有唯一交點(diǎn)，這條拋物線的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個(gè)交點(diǎn)，求的值．【變式訓(xùn)練】1．二次函數(shù)的圖象交x軸于原點(diǎn)O及點(diǎn)A，感知特例．…A(___,___)………(1)當(dāng)時(shí)，如圖1，拋物線上的點(diǎn)B，O，C，A，D分別關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，如表：①補(bǔ)全表格；②在圖1中描出表中對(duì)稱后的點(diǎn)，再用平滑的曲線依次連接各點(diǎn)，得到的圖像記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點(diǎn)和拋物線L上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A中心對(duì)稱，則稱是L的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時(shí)，圖2中的拋物線是拋物線L的“孔像拋物線”．則此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（____,_____）探究問(wèn)題(2)①求二次函數(shù)的“孔像拋物線”的解析式（含參數(shù)m）；本號(hào)資料全部來(lái)源于#：數(shù)學(xué)②當(dāng)時(shí)，若拋物線L于它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，求x的取值范圍．【考點(diǎn)六新定義型二次函數(shù)——反碟長(zhǎng)拋物線】例題：定義：若直線與開(kāi)口向下的拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，則這兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離叫做這條拋物線的“反碟長(zhǎng)”．如圖，已知拋物線：與直線相交于P，Q兩點(diǎn)．

(1)拋物線的“反碟長(zhǎng)”______．(2)拋物線隨其頂點(diǎn)沿直線向上平移，得到拋物線．①當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)平移到點(diǎn)時(shí)，拋物線的解析式是______，拋物線的“反碟長(zhǎng)”是______；②若拋物線的“反碟長(zhǎng)”是一個(gè)偶數(shù)，則其頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)可能是______（填寫(xiě)所有正確的選項(xiàng)）；A．15；B．16；C．24；D．25③當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)A和拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)B，C構(gòu)成一個(gè)等邊三角形時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．【變式訓(xùn)練】1．如圖1，拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）的頂點(diǎn)為M，直線y=m與x軸平行，且與拋物線交于點(diǎn)A，B，若△AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形，線段AB稱為碟寬，頂點(diǎn)M稱為碟頂，點(diǎn)M到線段AB的距離稱為碟高．（1）拋物線y=x2對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=4x2對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=ax2（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為；拋物線y=a（x﹣2）2+3（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為；（2）拋物線y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）對(duì)應(yīng)的碟寬為6，且在x軸上，求a的值；（3）將拋物線y=anx2+bnx+cn（an＞0）的對(duì)應(yīng)準(zhǔn)蝶形記為Fn（n=1，2，3…），定義F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n為相似準(zhǔn)蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比．若Fn與Fn﹣1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn﹣1的碟寬的中點(diǎn)，現(xiàn)將（2）中求得的拋物線記為y1，其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)蝶形記為F1．①求拋物線y2的表達(dá)式；②若F1的碟高為h1，F(xiàn)2的碟高為h2，…Fn的碟高為hn，則hn=，F(xiàn)n的碟寬有端點(diǎn)橫坐標(biāo)為2；F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的碟寬右端點(diǎn)是否在一條直線上？若是，直接寫(xiě)出該直線的表達(dá)式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)七新定義型二次函數(shù)——月牙線拋物線】例題：定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．如圖①，拋物線與拋物線組成一個(gè)開(kāi)口向下的“月牙線”，拋物線與拋物線與x軸有相同的交點(diǎn)M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．本號(hào)資料全部來(lái)*源于微信*公眾號(hào)：數(shù)學(xué)

(1)求出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸上方拋物線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)Q，試證明：的值為定值，并求出該定值；(3)如圖②，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式訓(xùn)練】1．定義：由兩條與軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線所圍成的封閉曲線稱為“月牙線”．

(1)【概念理解】拋物線與拋物線________（填“能”或“不能”）圍成“月牙線”．本號(hào)資料*全部來(lái)源于：*數(shù)學(xué)(2)【嘗試應(yīng)用】如圖，拋物線與拋物線組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線”，拋物線與拋物線與軸有相同的交點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的交點(diǎn)分別為，，拋物線的解析式為，拋物線的解析式為．①求的長(zhǎng)和的值；②將拋物線與拋物線所圍成的“月牙線”向左或向右平移，平移后的“月牙線”與軸的交點(diǎn)記為，，與軸的交點(diǎn)記為，，當(dāng)時(shí)，求平移的方向及相應(yīng)的距離．【考點(diǎn)八新定義型二次函數(shù)——系列平移拋物線】例題：【特例感知】（1）如圖1，對(duì)于拋物線，，，下列結(jié)論正確的序號(hào)是_______；