模型32 平行四邊形-對(duì)角互補(bǔ)模型-原卷版

平行四邊形模型（三十二）——對(duì)角互補(bǔ)模型◎結(jié)論1：如圖，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC，則①BC+AB=2BD，②S四邊形ABCD=12BD2，【證明】【關(guān)鍵：把互補(bǔ)轉(zhuǎn)化成相等，看到互補(bǔ)的條件，找其中一角的鄰補(bǔ)角，轉(zhuǎn)化成相等】旋轉(zhuǎn)相等邊的夾角⑴AD.CD夾角90°,旋轉(zhuǎn)90°,延長(zhǎng)BC至E，使CE＝AB,連接DE，∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°∴△BED是等腰直角三角形BE＝2BD,BC＋CE＝2BD，BC＋AB＝2BD⑵S四邊形ABCD=S△ABD＋S△BCD＝S△由⑴得，BD=DE，∴S四邊形ABCD＝12BD·DE＝1⑶由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45o，∴BD是角平分線.◎結(jié)論2：如圖，∠ABC=60o，∠ADC=120°，AD=DC，則①BC+AB=3BD，②S四邊形ABCD=34BD【證明】⑴滿(mǎn)足對(duì)角互補(bǔ)，鄰邊相等AD.CD夾角120°，旋轉(zhuǎn)120°延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝120°∴∠2＋∠3＝120°過(guò)D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝60°，BM＝ME∴sin60°＝BMBD∴BMBD＝∴2BMBD＝3，即BE＝3BD，∴BC＋AB＝⑵由⑴得DM=12BD，BE=3S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝＝12·3BD·12BD＝3⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120o，∴∠B＝∠E＝30o，∴BD是角平分線補(bǔ)充：圖形如果是下圖這樣，結(jié)論會(huì)稍有不同【結(jié)論】∠AOB=120o，∠DCE＝60o，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上，則，①CD=CE②OD+OE=OC①在OB上取一點(diǎn)F，連結(jié)CF，使△OCF為等邊三角形，∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60°∴∠FCE＝∠DCO∵△OCF為等邊三角形∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO，易證△CDO≌△CEF∴CD＝CE②∵△CDO≌△CEF∴DO＝EF，∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF∴OD＋OE＝OC◎結(jié)論3：如圖，∠ABC=α，∠ADC=180o－α，AD=DC，則①BC+AB=2BDcos12α，②S四邊形ABCD=①【證明】滿(mǎn)足對(duì)角互補(bǔ)，鄰邊相等AD,CD夾角180－a,旋轉(zhuǎn)180－a延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE＝AB，連接DE∵∠DAB＋∠DCB＝180°∠DCE＋∠DCB＝180°∴∠DAB＝∠DCE在△DAB和△DCE中DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE∴△DAB≌△DCE∴BD＝ED，∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝180－a∴∠2＋∠3＝180－a（把圖形抽離出來(lái)）過(guò)D作DM⊥BE于M，∴∠BDM＝90°－12∴∠DBM＝12a，BE＝2BM，cos12a＝∴2cos12a＝2BMBD＝BE＝2BDcos12∴BC＋AB＝2BDCOS12②【證明】由上可知△DAB≌△DCE，所以△DAB的面積＝△DCE的面積∴S四邊形ABCD（把圖形抽離出來(lái)）由①過(guò)程可知BE＝2BDcos12DM＝BDsin12∴S△BDE＝12BEDM＝2BDcos12aBDsin1∴S四邊形ABCD＝3③∵BD＝ED∴∠E＝∠DBE∵△DAB≌△DCE∴∠ABD＝∠E∴∠ABD＝∠DBE∴BD為角平分線。1．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線；②平分；③；④．其中正確的有（

）．2．（2021·重慶·西南大學(xué)銀翔實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，于，則的長(zhǎng)為_(kāi)_________1．（2019·江蘇南京·八年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_(kāi)________．2．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四邊形ABCD的面積為4，則AC＝_____．3．（2021·陜西·交大附中分校八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）問(wèn)題探究（（1）如圖①，已知∠A=45°，∠ABC=30°，∠ADC=40°，則∠BCD的大小為_(kāi)__________；（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，對(duì)角線BD=6．求四邊形ABCD的面積；小明這樣來(lái)計(jì)算．延長(zhǎng)DC，使得CE=AD，連接BE，通過(guò)證明△ABD≌△CBE，從而可以計(jì)算四邊形ABCD的面積．請(qǐng)你將小明的方法完善．并計(jì)算四邊形ABCD的面積；問(wèn)題解決（3）如圖③，四邊形ABCD是正在建設(shè)的城市花園，其中AB=BC，∠ABC=60°，∠ADC=30°，DC=40米，AD=30米．請(qǐng)計(jì)算出對(duì)角線BD的長(zhǎng)度．1．（2012·黑龍江黑河·中考真題）Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD與EF可能互相平分，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【

】A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2019·江蘇常州·一模）我們定義：有一組對(duì)角為直角的四邊形叫做“對(duì)直角四邊形”．（1）如圖①，四邊形