專題訓(xùn)練之勾股定理典型例題及易錯(cuò)題（一）2024－2025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)

勾股定理專題訓(xùn)練（一）☆本課目標(biāo)勾股定理的探索、勾股定理在幾何計(jì)算中的應(yīng)用☆☆知識(shí)點(diǎn)梳理一、勾股定理的幾何語(yǔ)言：在RT△ABC中2、常見的勾股數(shù)：二、勾股定理的逆定理幾何語(yǔ)言在△ABC中或△ABC是直角三角形勾股定理在幾何計(jì)算的應(yīng)用：翻折旋轉(zhuǎn)☆☆☆典型例題板塊一、勾股定理的探索例1、如圖1，有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在它的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，如圖2，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形．再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成圖3；“生長(zhǎng)”10次后，變成圖4．如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得更加“枝繁葉茂”．（1）隨著不斷的“生長(zhǎng)”，形成的圖形中所有正方形的面積和也隨之變化．若生長(zhǎng)n次后，變成的圖中所有正方形的面積用Sn表示，則Sn=；（2）S0=，S1=，S2=，S3=；（3）S0+S1+S2+…+S10=．變式練習(xí)：1、在直線上依次擺放著七個(gè)正方形，已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是、、、，則（）A.2B.3C.4D.52、如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，則S2的值為板塊二：勾股定理在幾何計(jì)算中的應(yīng)用例2、如圖，已知中，，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線、、上，且，之間的距離為2，,之間的距離為3，則AC的長(zhǎng)是（）B.C.D.7變式練習(xí)：1、如圖，已知△ABC中，=90°，AB=BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則△ABC的面積是例3、在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，若AD=，BC=，則△ABC的周長(zhǎng)為。變式練習(xí)：1、有一個(gè)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為p，q，斜邊長(zhǎng)為r，且p+q=6,r=5，則此三角形的面積為2、如圖，在直角三角形ABC中，斜邊AB長(zhǎng)為5，周長(zhǎng)為，則斜邊上的高CD是；224題圖3、如圖，中，，為邊上的中線，若，周長(zhǎng)為，則的面積為板塊三：利用勾股定理求最短距離例4、（1）如圖，長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)分別為1cm和3cm,高為6cm，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)A開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)B，那么所用細(xì)線最短需要____________cm.（2）如圖，圓柱形容器中，高為120cm，底面周長(zhǎng)為100cm，在容器內(nèi)壁離容器底部40cm的點(diǎn)B處有一蚊子，此時(shí)一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿40cm與蚊子相對(duì)的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為cm．（容器厚度忽略不計(jì)）變式練習(xí)：1、如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為24cm，高為5cm，在圓柱的側(cè)面上，過點(diǎn)A和點(diǎn)C嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的長(zhǎng)度至少長(zhǎng)cm．2、如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長(zhǎng)為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為

cm.3、如圖，將一根長(zhǎng)為24cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露在杯子外面的長(zhǎng)度為h，則h的最小值是cm例5、在△ABC中，AB，BC,AC三邊的長(zhǎng)分別為，求這個(gè)三角形的面積，小明同學(xué)在解答這道題時(shí)，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格(每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）如圖①所示．這樣不需要求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積，這種方法叫做構(gòu)圖法．（3）利用第（2）小題解題方法完成下題：如圖②，一個(gè)六邊形綠化區(qū)ABCDEF被分割成7個(gè)部分，正方形ABQP，CDRQ，EFPR的面積分別為10，13，17；=1\*GB3①證明△PQR的面積與△APF的面積相等=2\*GB3②求六邊形綠化區(qū)ABCDEF的面積（直接寫出答案，不用寫過程）．變式練習(xí)：閱讀下列材料：小明遇到這樣一個(gè)問題：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三邊的長(zhǎng)分別為、、，求△ABC的面積．小明是這樣解決問題的：如圖1所示，先畫一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），從而借助網(wǎng)格就能計(jì)算出△ABC的面積．他把這種解決問題的方法稱為構(gòu)圖法．請(qǐng)回答：（1）圖1中△ABC的面積為；參考小明解決問題的方法，完成下列問題：（2）圖2是一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）．①利用構(gòu)圖法在答題卡的圖2中畫出三邊長(zhǎng)分別為、、的格點(diǎn)△DEF；②計(jì)算△DEF的面積為．（3）如圖3，已知△ABC，以AB，AC為邊向外作正方形ABDE，ACFG，連接EG．若AB=，BC=，AC=，則六邊形BCFGED的面積為．板塊四：動(dòng)點(diǎn)問題例6、如圖,在中，，，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)停止，若設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．（1）當(dāng)時(shí)，=______，=______；（2）求當(dāng)為何值時(shí)，；（3）求當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形，并說明理由．勾股定理易錯(cuò)題（一）1．如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面積依次為4、6、18，則正方形B的面積為（）A．8 B．9 C．10 D．121題5題6題7題2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，根據(jù)以下條件：①b2＝（a+c）（a﹣c）；②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；③∠A＝∠C；④a：b：c＝7：24：25．其中能判定△ABC為直角三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè):3．已知三角形的三邊分別為5，12，13，則最長(zhǎng)邊上的高等于．4．若一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為5、12、x，則使此三角形是直角三角形的x的平方的值是．5．如圖，一棵大樹（樹干與地面垂直）在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面8米的B處折斷倒下，倒下后的樹頂C與樹根A的距離為15米，則這棵大樹在折斷前的高度為米．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝32，BC＝24，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，則AE的長(zhǎng)是．7．如圖是“趙爽弦圖”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH為a，BH為b，則ab＝．9．如圖所示為一塊鐵皮，測(cè)得AB＝6，BC＝8，CD＝24，AD＝26，∠ABC＝90°，求這塊鐵皮的面積．10.（1）點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，AB＝15，BD＝9，AD＝12，AC＝20，求△ABC的面積為；（2）在△EFG中，EF＝13，EG＝20，F(xiàn)G＝11，求△EFG的面積．11．綜合與實(shí)踐【問題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為20、3、2，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】（1）老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是（要求畫出展開圖）圖1圖2圖3圖4【變式探究】（2）如圖2，是一只圓柱形玻璃杯，該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是30cm，高是8cm，若螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，則螞蟻爬行的最短距離為．（要求畫出展開圖）（3）如圖3，一個(gè)長(zhǎng)方體形盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為3cm，4c