安徽省淮北市樹人高級中學2024-2025學年高二數(shù)學上學期開學考試試題理

PAGE17-安徽省淮北市樹人高級中學2024-2025學年高二數(shù)學上學期開學考試試題理一．選擇題（每題5分，共12小題）1．設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，則A∩B＝（）A．{1} B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]2．f（x）＝在（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函數(shù) B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是減函數(shù) C．（﹣∞，1），（1，+∞）分別是增函數(shù) D．（﹣∞，1），（1，+∞）分別是減函數(shù)3．能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是（）.A．眾數(shù) B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．方差4．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎˋ） （B） （C） （D）5．如圖，已知點C為△OAB邊AB上一點，且AC=2CB，若存在實數(shù)m，n，使得，則的值為（）．A． B．0 C． D．6．若變量x，y滿意約束條件，則z＝3x﹣y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣7．若，為互斥事務，則（）A． B．C． D．8．如圖是2024年某高校自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)依次為（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 9．從1,2,3,4,5中任取三個數(shù)，則這三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列的概率為（）A．B．C.D．10．已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則點P到四個頂點的距離均大于2的概率是（）A． B．1﹣ C． D．11．若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能12．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角的對邊分別是，內(nèi)角滿意，若，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．二．填空題（每題5分，共20分）13．一組樣本數(shù)據(jù)x，4，5，6，y的平均數(shù)為5，標準差為4，則x2+y2＝128．14．已知某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）具有線性相關關系，在生產(chǎn)過程中收集了6組數(shù)據(jù)，由6組數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的中心點為（4.5，3.5），y關于x的線性回來方程為＝x+0.35，據(jù)此可估計x＝7時，＝15．從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事務中是互斥事務的序號為③④．①至少有1個白球；都是白球．②至少有1個白球；至少有1個紅球．③恰有1個白球；恰有2個白球．④至少有1個白球；都是紅球．16．三棱柱各頂點都在一個球面上，側棱與底面垂直，，，，則這個球的表面積為．三．解答題（共6小題，計70分）17．（10分）已知三內(nèi)角，，的對邊分別為，，，點為邊的中點，，.（1）求；（2）求面積的最大值.18．（12分）廬江縣統(tǒng)計局統(tǒng)計了該縣2024年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如表：年收入（萬元）24466677810年飲食支出y（萬元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散點圖可知y與x是線性相關的，求線性回來方程；（2）若某家庭年收入為9萬元，預料其年飲食支出．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝＝，＝﹣．（參考數(shù)據(jù)：．）19．（12分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）數(shù)列前n項和為Tn，求證：．20．（12分）疫情期間，在家中適當熬煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，反抗病毒．某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運動狀況，從該小區(qū)隨機抽取了100位居民，記錄了他們某天的熬煉時間，其頻率分布直方圖如下：（1）求a的值；（2）估計這100位居民熬煉時間的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）（3）求中位數(shù)的估計值．21．(12分)如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面平面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.22．（12分）某公司安排購買1臺機器,該種機器運用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器運用期間,假如備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年運用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：記x表示1臺機器在三年運用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺機器在購買易損零件上所需的費用（單位：元）,表示購機的同時購買的易損零件數(shù).（=1\*ROMANI）若=19,求y與x的函數(shù)解析式；（=2\*ROMANII）若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于”的頻率不小于0.5,求的最小值；（=3\*ROMANIII）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買19個易損零件,或每臺都購買20個易損零件,分別計算這100臺機器在購買易損零件上所需費用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購買1臺機器的同時應購買19個還是20個易損零件？高二第一期開學考數(shù)學試卷一．選擇題（每題5分，共12小題）1．設集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|y＝，x∈R}，則A∩B＝（）A．{1} B．（0，+∞） C．（0，1） D．（0，1]【解答】解：A＝{y|y＞0}，B＝{x|x≤1}；∴A∩B＝（0，1]．故選：D．2．f（x）＝在（）A．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是增函數(shù) B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）上是減函數(shù) C．（﹣∞，1），（1，+∞）分別是增函數(shù) D．（﹣∞，1），（1，+∞）分別是減函數(shù)【解答】解：f（x）＝＝﹣＝﹣1﹣，由函數(shù)y＝在x＞0，x＜0均為增函數(shù)，則將y＝的圖象向右平移1個單位，可得y＝﹣的圖象，再向下平移1個單位，即可得到f（x）的圖象，則有f（x）在x＞1，x＜1上均為增函數(shù)，則有函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，1），（1，+∞）．無減區(qū)間．故選：C．3．能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度的是（）.A．眾數(shù) B．平均數(shù) C．中位數(shù) D．方差【答案】D4．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎˋ） （B） （C） （D）【答案】A【解析】甲不輸?shù)氖聞?，包括兩人下成和棋或甲獲勝，且兩個事務互斥，所以甲不輸概率為選A.5．如圖，已知點C為△OAB邊AB上一點，且AC=2CB，若存在實數(shù)m，n，使得，則的值為（）．A． B．0 C． D．【答案】A【解析】【分析】依據(jù)平面對量的基本定理和共線定理，結合已知求出的值.【詳解】，所以.故選：A6．若變量x，y滿意約束條件，則z＝3x﹣y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣9 C．﹣1 D．﹣【解答】解：由變量x，y滿意約束條件，作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z＝3x﹣y的最小值為3×（﹣2）﹣1＝﹣7．故選：A．7．15．若，為互斥事務，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為A,B互斥，但A,B不肯定對立，所以8．如圖是2024年某高校自主招生面試環(huán)節(jié)中，七位評委為某考生打出的分數(shù)的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)依次為（）A．84，84 B．84，85 C．86，84 【解答】解：由莖葉圖知，去掉一個最高分93和一個最低分79后，所剩數(shù)據(jù)84，84，86，84，87的中位數(shù)為84；眾數(shù)為：84；故選：A．9．從1,2,3,4,5中任取三個數(shù)，則這三個數(shù)成遞增的等差數(shù)列的概率為（）A．B．C.D．【答案】B【解析】成等差的基本領件有，故選B10．已知點P是邊長為4的正方形內(nèi)任一點，則點P到四個頂點的距離均大于2的概率是（）A． B．1﹣ C． D．【解答】解：滿意條件的正方形ABCD如下圖所示：其中正方形的面積S正方形＝4×4＝16；滿意到正方形的頂點A、B、C、D的距離均不小于2的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示則S陰影＝16﹣4π，故該正方形內(nèi)的點到正方形的頂點A、B、C、D的距離均不小于1的概率是P＝＝＝1；故選：B．11．若直線與圓有兩個公共點，則點與圓的位置關系是（）A．在圓上 B．在圓外 C．在圓內(nèi) D．以上都有可能【答案】B【解析】【分析】直線與圓有兩個公共點，可得，即為，由此可得點與圓的位置關系?！驹斀狻拷猓阂驗橹本€與圓有兩個公共點，所以有，即，因為點與圓心的距離為，圓的半徑為1，所以點在圓外，故選B。12．已知函數(shù)，在中，內(nèi)角的對邊分別是，內(nèi)角滿意，若，則的面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，為三角形內(nèi)角，則，，當且僅當時取等號二．填空題（每題5分，共20分）13．一組樣本數(shù)據(jù)x，4，5，6，y的平均數(shù)為5，標準差為4，則x2+y2＝128．【解答】解：平均數(shù)為×（x+4+5+6+y）＝5，即x+y＝10，方差為×[（x﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（y﹣5）2]＝16，所以（x﹣5）2+（y﹣5）2＝78，即x2+y2﹣10（x+y）＝28，所以x2+y2＝28+10（x+y）＝28+10×10＝128．故答案為：128．14．已知某種產(chǎn)品產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）具有線性相關關系，在生產(chǎn)過程中收集了6組數(shù)據(jù)，由6組數(shù)據(jù)得到數(shù)據(jù)的中心點為（4.5，3.5），y關于x的線性回來方程為＝x+0.35，據(jù)此可估計x＝7時，＝5.25．【解答】解：由題意中心點為（4.5，3.5），代入回來方程為：＝x+0.35，可得3.5＝4.5+0.35，解得＝0.7，所以：＝0.7x+0.35，x＝7時，＝0.7×7+0.35＝5.25，故答案為：5.25．15．從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事務中是互斥事務的序號為③④．①至少有1個白球；都是白球．②至少有1個白球；至少有1個紅球．③恰有1個白球；恰有2個白球．④至少有1個白球；都是紅球．【解答】解：從裝有大小相同的2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，在①中，至少有1個白球和都是白球能同時發(fā)生，不是互斥事務，故①錯誤；在②中，至少有1個白球與至少有1個紅球能同時發(fā)生，不是互斥事務，故②錯誤．在③中，恰有1個白球與恰有2個白球不能同時發(fā)生，是互斥事務，故③正確；在④中，至少有1個白球與都是紅球不能同時發(fā)生，是互斥事務，故④正確．故選：③④．16．三棱柱各頂點都在一個球面上，側棱與底面垂直，，，，則這個球的表面積為．【答案】【解析】試題分析：在中，，，則依據(jù)余弦定理求出，設與的外接圓的圓心分別為，半徑分別為，則，連接，線段的中點O為球心，，連接，；三．解答題（共6小題，計70分）17．（10分）已知三內(nèi)角，，的對邊分別為，，，點為邊的中點，，.（1）求；（2）求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理得：即：（2）為邊的中點，又，即當且僅當時取等號（當且僅當時取等號）面積的最大值為18．（12分）廬江縣統(tǒng)計局統(tǒng)計了該縣2024年10戶家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如表：年收入（萬元）24466677810年飲食支出y（萬元）1.01.51.62.01.81.91.82.02.12.3（1）由散點圖可知y與x是線性相關的，求線性回來方程；（2）若某家庭年收入為9萬元，預料其年飲食支出．附：回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：＝＝，＝﹣．（參考數(shù)據(jù)：．）【解答】解：（1）（2+4+4+6+6+6+7+7+8+10）＝6，（1.0+1.5+1.6+2.0+1.8+1.9+1.8+2.0+2.1+2.3）＝1.8．＝＝．．∴y關于x的線性回來方程為；（2）在為中，取x＝9，得≈2.26．∴若某家庭年收入為9萬元，預料其年飲食支出為2.26萬元．19．（12分）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且向量=（-4，n），=（Sn，n+3）垂直．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）數(shù)列前n項和為Tn，求證：．【答案】（1）（2）見解析20．（12分）疫情期間，在家中適當熬煉，合理休息，能夠提高自身免疫力，反抗病毒．某小區(qū)為了調(diào)查“宅”家居民的運動狀況，從該小區(qū)隨機抽取了100位居民，記錄了他們某天的熬煉時間，其頻率分布直方圖如下：（1）求a的值；（2）估計這100位居民熬煉時間的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）（3）求中位數(shù)的估計值．【解答】解：（1）由題意，得（0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003）×10＝1．解得a＝0.03．（2）估計這100位居民熬煉時間的平均值為：＝5×0.005×10+15×0.012×10+25×0.03×10+35×0.035×10+45×0.015×10+55×0.003×10＝30.2（分鐘）．（3）設中位數(shù)的估計值為x+30．由（0.005+0.012+0.03）×10+0.035x＝0.035（10﹣x）+（0.015+0.003）×10，得，所以中位數(shù)的估計值為．21．(12分)如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面平面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，則為的中點，利用中位線的性質可得出，然后利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；（2）取的中點，連接，利用面面垂直的性質定理可得出平面，由此可計算出三棱錐的體積，并計算出的面積，并設點到平面的距離為，由可計算出點到平面的距離的值.【詳解】（1）如圖，連接交于，連接，則為的中點.又為上的中點，所以.又平面，平面，所以平面；（2）如圖，取的中點，連接，因為，，所以，，，又平面平面，平面平面，平面，所以平