專題02數(shù)軸中的九類動態(tài)模型(原卷版+解析)

專題02數(shù)軸中的九類動態(tài)模型數(shù)軸中的動態(tài)問題屬于七年級上冊必考壓軸題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時，一般遵循“點、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動點的出發(fā)位置，移動方向和速度，用含t的式子表示動點，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動點的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗解是否符合動點的運動時間范圍）?！局R儲備】①求A、B兩點間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無法確定左右位置：；②求A、B的中點：；③數(shù)軸動點問題主要步驟：1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；2）寫點——寫出所有點表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動點是否會來回往返運動。模型1.左右跳躍模型（動態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·北京朝陽·七年級校考階段練習(xí)）一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達(dá)點P1，第2次向右移動2個單位長度到達(dá)點P2，第3次向左移動3個單位長度到達(dá)點P3，第4次向左移動4個單位長度到達(dá)點P4，第5次向右移動5個單位長度到達(dá)點P5…，點P按此規(guī)律移動，則移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1例2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機器人從數(shù)軸原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運動，設(shè)該機器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是_______．變式1．（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖，A點的初始位置在數(shù)軸上表示1的點上，先對A做如下移動：第一次向右移動3個單位長度到達(dá)點B，第二次從B點出發(fā)向左移動6個單位長度到達(dá)點C，第三次從C點出發(fā)向右移動9個單位長度到達(dá)點D，第四次從D點出發(fā)向左移動12個單位長度到達(dá)點E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（

）次移動到的點到原點的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19變式2．（2022秋·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸和5的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲．每次的移動游戲規(guī)則如下：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正另一面是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動．①若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位；②若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位；③若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位．(1)若第一次移動游戲，甲、乙兩人都猜對了，則甲、乙兩人之間的距離是_______________個單位；(2)若完成了10次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對一錯．設(shè)乙猜對n次，且他最終停留的位置對應(yīng)的數(shù)為m．請你用含n的代數(shù)式表示m；(3)經(jīng)過_______________次移動游戲，甲、乙兩人相遇．模型2.點的常規(guī)運動模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點C移動，設(shè)點P的移動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為，點Q對應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為．（3）在點P運動到C點的過程中（點Q運動到C點后停止運動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點間的距離．變式1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，在點P的運動過程中，M，N始終為AP，BP的中點，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對應(yīng)的數(shù)是－4；②點P到達(dá)點B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點P的運動過程中，線段MN的長度不變A．1個 B．2個 C．3個 D．4個變式1．（2022·江蘇南京·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點C移動，設(shè)點P的移動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為，點Q對應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為．（3）在點P運動到C點的過程中（點Q運動到C點后停止運動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點間的距離．變式2．（2022·河北·邯鄲七年級階段練習(xí)）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)所對應(yīng)的點；兩點間距離=____；兩點間距離=；數(shù)軸上有兩點，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，那么兩點之間的距離=；若動點分別從點同時出發(fā)，沿數(shù)軸負(fù)方向運動；已知點的速度是每秒個單位長度，點的速度是每秒個單位長度，設(shè)運動時間為，問：①為何值時兩點重合？②為何值時兩點之間的距離為？模型3.中點與n等分點模型【模型解讀】例1．（2022·河北唐山·七年級期末）如圖，已知在數(shù)軸上有、兩點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是．點在數(shù)軸上從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動，同時，點在數(shù)軸上從點出發(fā)，以每秒個單位的速度在沿數(shù)軸負(fù)方向運動，當(dāng)點到達(dá)點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為秒．（1）_______；時，點表示的數(shù)是_______；當(dāng)_______時，、兩點相遇；（2）如圖，若點為線段的中點，點為線段中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長；（3）如圖，若點為線段的中點．點為線段中點，則直接寫出用含的代數(shù)式表示的線段的長．例2．（2022·四川綿陽·七年級校考階段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點，對應(yīng)數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點、B點距離的和為10．(2)若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．①幾秒中后點P為線段的中點？并求出此時x的值；②是否存在點P，使得點P為線段的三等分點，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點（點B在點A的右邊），點C是數(shù)軸上不與A，B兩點重合的一個動點，點M、N分別是線段AC，BC的中點，如果點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，求線段MN的長度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（

）甲說：若點C在線段AB上運動時，線段MN的長度為；乙說：若點C在射線AB上運動時，線段MN的長度為；丙說：若點C在射線BA上運動時，線段MN的長度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確變式2．（2022秋·安徽滁州·七年級校考階段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點、點表示的數(shù)分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問題：(1)若，則=_____；(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數(shù)軸上表示的點重合，將圓沿數(shù)軸無滑動的滾動周，點到達(dá)點的位置，則點表示的數(shù)為______用含有的代數(shù)式表示；(3)，為數(shù)軸上的兩個動點，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，且，點C表示的數(shù)為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．模型4.動態(tài)定值（無參型）模型【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動點對應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運動時間為t，從而表示出兩點之間的距離。當(dāng)計算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。例1．（2022秋·福建福州·七年級?？计谀c在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點P在B點右側(cè)，的中點為為靠近于B點的四等分點，當(dāng)P在B的右側(cè)運動時，有兩個結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并求出其值．例2．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點A與點B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．請問：2BC－AC的值是否隨著運動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點C以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時，點A和點B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運動．求隨著運動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．變式1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，記AB＝|a﹣b|．（1）求AB的值；（2）如圖，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，點P的速度是每秒1個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，當(dāng)BQ＝2BP時，P點對應(yīng)的數(shù)是多少？（3）在（2）的條件下，點M從原點與P、Q點同時出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，速度是每秒x個單位長度（1＜x＜2），若在運動過程中，2MP—MQ的值與運動的時間t無關(guān)，求x的值．變式1．（2022·江西·七年級期末）已知數(shù)軸上點在原點的左邊，到原點的距離為4，點在原點右邊，從點走到點，要經(jīng)過16個單位長度．（1）寫出、兩點所對應(yīng)的數(shù)；（2）若點也是數(shù)軸上的點，點到點的距離是點到原點距離的3倍，求對應(yīng)的數(shù)；（3）已知點從點開始向右出發(fā)，速度每秒1個單位長度，同時從點開始向右出發(fā)，速度每秒2個單位長度，設(shè)線段的中點為，線段的值是否會發(fā)生變化？若會，請說明理由，若不會，請求出求其值．變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數(shù)軸上兩點A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點；(1)a＝，b＝.(2)若點C從O點出發(fā)向右運動，經(jīng)過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，求點C的運動速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）(3)若點D以2個單位每秒的速度從點O向右運動，同時點P從點A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運動，點Q從點B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運動．在運動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣.模型5.折線數(shù)軸（雙動點）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級?？计谥校?shù)軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點A運動，其中一點到達(dá)終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．(1)當(dāng)秒時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當(dāng)點M、N都運動到折線段上時，O、M兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點相遇；(3)當(dāng)__________時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當(dāng)__________時，M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．變式1．（2023·廣東·七年級專題練習(xí)）如下圖，數(shù)軸上，點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為，點C表示的數(shù)為9，點D表示的數(shù)為13，在點B和點C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，我們稱點A和點D在數(shù)軸上相距20個長度單位，動點P從點A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運動，同時，動點Q從點D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運動，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運動速度相同均為2個單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍．設(shè)運動的時間為t秒，問：(1)動點Q從點C運動到點B需要的時間為______秒；(2)動點P從點A運動至D點需要的時間為多少秒？(3)當(dāng)P、O兩點在數(shù)軸上相距的長度與Q、O兩點在數(shù)軸上相距的長度相等時，求出動點P在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)．變式2．（2022·重慶·七年級期中）數(shù)軸上點A表示－12，點B表示12，點C表示24，如圖，將數(shù)軸在原點O和點B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離，那么我們稱點A和點C在折線數(shù)軸上的和諧距離為36個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以3個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，過點B后繼續(xù)以原來的速度向正方向運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點C出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運動，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄^點O后繼續(xù)以原來的速度向負(fù)方向運動．設(shè)運動的時間為t秒．（1）當(dāng)秒時，求M，N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離；（2）當(dāng)M，N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度時，求運動時間t的值；（3）當(dāng)點M運動到點C時，立即以原速返回，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话耄划?dāng)點N運動到點A時，點M、N立即停止運動，是否存在某一時刻t使得M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等？若存在，請直接寫出t的取值；若不存在，請說明理由．模型6.動點往返運動模型【模型解讀】例1．（2022秋·重慶·七年級專題練習(xí)）如圖，A、O、B兩點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為﹣20、0、40，C點在A、B之間，在A、B兩點處各放一個擋板，M、N兩個小球同時從C處出發(fā)，M以2個單位/秒的速度向數(shù)軸負(fù)方向運動，N以4個單位/秒的速度向數(shù)軸正方向運動，碰到擋板后則反方向運動，速度大小不變．設(shè)兩個小球運動的時間為t秒鐘（0＜t＜40），當(dāng)M小球第一次碰到A擋板時，N小球剛好第一次碰到B擋板．則：①C點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為0；②當(dāng)10＜t＜25時，N在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)可以表示為80﹣4t；③當(dāng)25＜t＜40時，2MA+NB始終為定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上結(jié)論正確的有（）A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④例2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級校考期中）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別是6，﹣8，M、N、P為數(shù)軸上三個動點，點M從A點出發(fā)速度為每秒2個單位長度，點N從點B出發(fā)速度為點M的3倍，點P從原點出發(fā)速度為每秒1個單位長度．（1）求A、B兩點的距離為個單位長度．（2）若點M向右運動，同時點N向左運動，求經(jīng)過多長時間點M與點N相距54個單位長度？（3）若點M、N、P同時都向右運動，當(dāng)點M與點N相遇后，點M、P繼續(xù)以原來的速度向右運動，點N改變運動方向，以原來的速度向左運動，求從開始運動后，經(jīng)過多長時間點P到點M、N的距離相等？變式1．（2023春·廣東·七年級期末）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為、3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點P到點A，點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)；(2)數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A、點B的距離之和為6？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；(3)點A、點B分別以2個單位長度/分、1個單位長度/分的速度向右運動，同時點P以6個單位長度/分的速度從O點向左運動．當(dāng)遇到A時，點P立即以同樣的速度向右運動，并不停地往返于點A與點B之間，求當(dāng)點A與點B重合時，點P所經(jīng)過的總路程是多少？變式2．（2022秋·七年級課時練習(xí)）已知點O是數(shù)軸的原點，點A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動點P從點A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，以1個單位/秒速度向左運動，O、B兩點之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點O運動到點B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，之后立刻恢?fù)原速，從點B運動到點O期間速度變?yōu)樵瓉淼?倍，之后立刻恢復(fù)原速，運動時間為_____秒時，P、Q兩點到點B的距離相等．模型7.線段和差且含參模型【模型解讀】例1．（2023春·廣東深圳·七年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知：數(shù)軸上點A表示的為8，B是數(shù)軸上一點，點B在點A左邊且點A與點B的距離，動點P、Q分別從點A、B兩點同時向左移動，點P的速度為每秒3個單位長度，點Q的速度為每秒1個單位長度．(1)寫出數(shù)軸上點B表示的數(shù)；(2)經(jīng)過多少秒以后，P、Q兩點的距離為6個單位長度，并求出此時點P表示的數(shù)是多少？(3)若點M為中點，N為中點，是否存在常數(shù)k使得的值為定值，若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．例2．（2022春·湖南衡陽·七年級校考階段練習(xí)）如圖，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是，滿足，動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，設(shè)運動時間為秒，動點表示的數(shù)是．(1)直接寫______，______，______用含的代數(shù)式表示；(2)動點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，若點、同時出發(fā)，①問點運動多少秒時追上點？②問點運動多少秒時與點相距個單位長度？并求出此時點表示的數(shù)；(3)點、以（2）中的速度同時分別從點、向右運動，同時點從原點以每秒個單位的速度向右運動，是否存在常數(shù)，使得的值為定值，若存在請求出值以及這個定值；若不存在，請說明理由．變式1．（2022秋·福建廈門·七年級?？计谥校┮阎欣頂?shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為A，B，C，且滿足，．(1)分別求a，b，c的值；(2)若點D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，當(dāng)A、D間距離是B、C間距離的4倍時，請求出x的值；(3)若點A和點B分別以每秒2個單位長度和每秒1個單位長度的速度在數(shù)軸上同時向右運動，設(shè)運動時間為t秒，是否存在一個常數(shù)k，使得的值在一定時間范圍內(nèi)不隨運動時間t的改變而改變？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．變式2．（2022秋·浙江·七年級專題練習(xí)）已知：有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，且|c|>|a|．（1）若|a+10|=20，b2=400，c的相反數(shù)是30，求a、b、c的值；（2）在（1）的條件下，a、b、c分別是A、B、C點在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)，①線段AC的長是________，將數(shù)軸折疊使得點A和點C重合，則折痕處在數(shù)軸上表示的數(shù)是__________②數(shù)軸上是否存在一點P，使得P點到C點的距離加上P點到A點的距離減去P點到B點的距離為50，即PC+PA?PB=50?若存在，求出P點在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)；若不存在，請說明理由；③點C，B分別以4個單位/秒和3個單位/秒的速度同時向右運動，點A以7個單位/秒的速度向右運動，是否存在常數(shù)m，使得3CA+2mOB-mOA為定值，若存在，請求出m值以及這個定值；若不存在，請說明理由.模型8.數(shù)軸折疊（翻折）模型【模型解讀】例1．（2022秋·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）操作探究：已知在紙上有一數(shù)軸（如圖所示）．(1)操作一：折疊紙面，若使1表示的點與表示的點重合，則表示的點與________表示的點重合．(2)操作二：折疊紙面，若使表示的點與3表示的點重合，回答以下問題：①5表示的點與數(shù)________表示的點重合；②若數(shù)軸上A，B兩點之間距離為10（A在B左側(cè)），且A，B兩點經(jīng)折疊后重合，則點A表示的數(shù)為________，點B表示的數(shù)為________；(3)操作三：點E以每秒3個單位長度的速度從數(shù)5對應(yīng)的點沿著數(shù)軸的負(fù)方向運動，點F以每秒1個單位長度的速度從數(shù)對應(yīng)的點沿著數(shù)軸的負(fù)方向運動，且兩個點同時出發(fā)，請直接寫出多少秒后，折疊紙面，使1表示的點與表示的點重合時，點E與點F也恰好重合．變式1．（2023·浙江·七年級期中）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖）折疊紙面．（1）若1表示的點與表示的點重合，則表示的點與數(shù)_____表示的點重合；（2）若1表示的點與表示的點重合，回答以下問題：①13表示的點與數(shù)_____表示的點重合；②若數(shù)軸上A、B兩點之間的距離為2022（A在B的左側(cè)），且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，求A、B兩點表示的數(shù)是多少？變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期中）平移和翻折是初中數(shù)學(xué)中兩種重要的圖形變化，閱讀并回答下列問題：（一）平移：在平面內(nèi)，講一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移．（1）把筆尖放在數(shù)軸的原點處，先向左移動3個單位長度，再向右移動2個單位長度，這時筆尖的位置表示的數(shù)是；（2）一個機器人從數(shù)軸上原點出發(fā)，并在數(shù)軸上移動2次，每次移動2個單位后到達(dá)B點，則B點表示的數(shù)是；（3）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)為?1，點B表示的數(shù)為1，點P從5出發(fā)，若P，A兩點的距離是A，B兩點距離的2倍，則需將點P向左移動個單位．（二）翻折：將一個圖形沿著某一條直線折疊的運動．（4）若折疊紙條，表示?3的點與表示1的點重合，則表示?4的點與表示的點重合；（5）若數(shù)軸上A，B兩點之間的距離為10，點A在點B的左側(cè)，A，B兩點經(jīng)折疊后重合，折痕與數(shù)軸相交于表示?1的點，則A點表示的數(shù)為；（6）在數(shù)軸上，點M表示是的數(shù)為4，點N表示的數(shù)為x，將點M，N兩點重合后折疊，得折痕①，折痕①與數(shù)軸交于P點；將點M與點P重合后折疊，得折痕②，折痕②與數(shù)軸交于Q點．若此時點M與點Q的距離為2，則x＝．模型9.數(shù)軸上的線段移動模型【模型解讀】例1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）如圖，有兩條線段，（單位長度），（單位長度）在數(shù)軸上，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是-12，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是15．（1）點在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是______，線段的長=______；（2）若線段以1個單位長度秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度秒的速度向左勻速運動．當(dāng)點與重合時，點與點在數(shù)軸上表示的數(shù)是多少？（3）若線段以1個單位長度秒的速度向左勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度也向左勻速運動．設(shè)運動時間為秒，當(dāng)為何值時，點與點之間的距離為1個單位長度？變式1．（2022·山東濟南·七年級期末）在數(shù)學(xué)綜合實踐活動課上，小亮同學(xué)借助于兩根小木棒m、n研究數(shù)學(xué)問題：如圖，他把兩根木棒放在數(shù)軸上，木棒的端點A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的長度；(2)小亮把木棒m、n同時沿x軸正方向移動，m、n的速度分別為4個單位/s和3個單位/s，設(shè)平移時間為t（s）①若在平移過程中原點O恰好是木棒m的中點，則t＝（s）；②在平移過程中，當(dāng)木棒m、n重疊部分的長為2個單位長度時，求t的值．變式2．（2022·河南信陽·七年級?？计谥校┮阎狹，N兩點在數(shù)軸上所表示的數(shù)分別為m，n，且m，n滿足：|m﹣12|+（n+3）2＝0（1）則m＝，n＝；（2）①情境：有一個玩具火車AB如圖所示，放置在數(shù)軸上，將火車沿數(shù)軸左右水平移動，當(dāng)點A移動到點B時，點B所對應(yīng)的數(shù)為m，當(dāng)點B移動到點A時，點A所對應(yīng)的數(shù)為n．則玩具火車的長為個單位長度：②應(yīng)用：一天，小明問奶奶的年齡，奶奶說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢；你若是我現(xiàn)在這么大，我已是老壽星，116歲了!”小明心想：奶奶的年齡到底是多少歲呢？聰明的你能幫小明求出來嗎？（3）在（2）①的條件下，當(dāng)火車AB以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時點P和點Q從N、M出發(fā)，分別以每秒1個單位長度和3個單位長度的速度向左和向右運動．記火車AB運動后對應(yīng)的位置為A′B′．是否存在常數(shù)k使得3PQ﹣kB′A的值與它們的運動時間無關(guān)？若存在，請求出k和這個定值；若不存在，請說明理由．課后專項訓(xùn)練1．（2022·四川樂山·七年級期末）如圖，點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為﹣3，點B對應(yīng)的數(shù)為2，點P在數(shù)軸上對應(yīng)的是整數(shù)，點P不與A、B重合，且PA+PB＝5．則滿足條件的P點對應(yīng)的整數(shù)有幾個（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·廣東七年級課時練習(xí)）已知數(shù)軸上，點A表示的數(shù)是-2，點B在點A的右側(cè)8個單位長度處，動點M從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，動點N從點B出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸運動，已知點M，N同時出發(fā)，相向運動，運動時間為t秒．當(dāng)時，運動時間t的值為（

）A． B． C．或 D．或3．（2022·北京·七年級期末）已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點是原點，點所對應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運動（點在點的左側(cè)），，下列結(jié)論①；②當(dāng)點與點重合時，；③當(dāng)點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．其中正確的是（

）A．①③ B．①④ C．①②③④ D．①③④4．（2022·浙江七年級課時練習(xí)）如圖，數(shù)軸上線段，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是－10，點在數(shù)軸上表示的數(shù)是16，若線段以6個單位長度/秒的速度向右勻速運動，同時線段以2個單位長度/秒的速度向左勻速運動．當(dāng)點運動到線段上時，是線段上一點，且有關(guān)系式成立，則線段的長為_________．5．（2022·江蘇連云港·七年級?？茧A段練習(xí)）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．例如：若數(shù)軸上數(shù)2表示的點與數(shù)﹣2表示的點重合，則數(shù)軸上數(shù)﹣4表示的點與數(shù)4表示的點重合，根據(jù)你對例題的理解，解答下列問題：若數(shù)軸上數(shù)﹣3表示的點與數(shù)1表示的點重合．（根據(jù)此情境解決下列問題）（1）則數(shù)軸上數(shù)3表示的點與數(shù)表示的點重合．（2）若點A到原點的距離是5個單位長度，并且A、B兩點經(jīng)折疊后重合，則B點表示的數(shù)是_________．（3）若數(shù)軸上M、N兩點之間的距離為2020，并且M、N兩點經(jīng)折疊后重合，如果M點表示的數(shù)比N點表示的數(shù)大，則M點表示的數(shù)是________，N點表示的數(shù)是________．6．（2022·四川·宜賓八中七年級階段練習(xí)）已知數(shù)軸上有A，B，C三點，分別表示數(shù)﹣24，﹣10，10．兩只電子螞蟻甲、乙分別從A，C兩點同時相向而行，甲的速度為4個單位/秒，乙的速度為6個單位/秒．（1）問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點相遇？（2）問多少秒后甲到，，三點的距離之和為40個單位？．（3）若甲、乙兩只電子螞蟻（用表示甲螞蟻、表示乙螞蟻）分別從，兩點同時相向而行，甲的速度變?yōu)樵瓉淼?倍，乙的速度不變，直接寫出多少時間后，原點、甲螞蟻與乙螞蟻三點中，有一點恰好是另兩點所連線段的中點．7．（2022·湖南·鳳凰縣七年級期末）已知：A，B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別用a，b表示，O表示原點，且，P是數(shù)軸上的一個動點．(1)在數(shù)軸上標(biāo)出A、B的位置，并求出A、B之間的距離．(2)已知線段OA上有點C且|AC|=9，當(dāng)數(shù)軸上有點P滿足PB=2PC時，求P點對應(yīng)的數(shù)．(3)在（2）的條件下，點P第一次向右移動1個單位長度，第二次向左移動3個單位長度，第三次向右移動5個單位長度第四次向左移動7個單位長度，點P能移動到與A或B重合的位置嗎？若都不能，請直接回答．若能，請指出，第幾次移動與哪一點重合？8．（2022·吉林·四平市七年級期中）如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向左移動到達(dá)A點，再向右移動到達(dá)B點，然后再向右移動到達(dá)C點，數(shù)軸上一個單位長度表示．（1）請你在數(shù)軸上表示出A，B，C三點的位置；（2）把點C到點A的距離記為，則_______．（3）若點A沿數(shù)軸以每秒勻速向右運動，經(jīng)過多少秒后點A到點C的距離為？（4）若點A以每秒的速度勻速向左移動，同時點B、點C分別以每秒、的速度勻速向右移動。設(shè)移動時間為t秒，試探索：的值是否會隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由，若無變化，請直接寫出的值．9．（2022·廣東廣州·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為﹣6，點B表示的數(shù)為10，點M、N分別從原點O、點B同時出發(fā)，都向左運動，點M的速度是每秒1個單位長度，點N的速度是每秒3個單位長度，運動時間為t秒．（1）求點M、點N分別所對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）；（2）若點M、點N均位于點A右側(cè)，且AN＝2AM，求運動時間t；（3）若點P為線段AM的中點，點Q為線段BN的中點，點M、N在整個運動過程中，當(dāng)PQ+AM＝17時，求運動時間t．10．（2022·廣東七年級期中）如圖，若點A在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為a，點B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為b，且a，b滿足|a＋2|＋（b﹣1）2＝0，點A與點B之間的距離表示為AB＝|a﹣b|．（1）求AB的長；（2）若點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為，在數(shù)軸上是否存在點P，使得PA＋PB＝PC？若存在，求出點P對應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由；（3）在（1）、（2）的條件下，點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和C分別以每秒4單位長度和9個單位長度的速度向右運動，經(jīng)過t秒后，請問：AB﹣BC的值是否隨著時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其常數(shù)值．11．（2022·河北·景縣七年級期中）自主學(xué)習(xí)：連接兩點之間的線段的長度叫做這兩點之間的距離．[問題1]數(shù)軸上任意兩點之間的距離與這兩點對應(yīng)的數(shù)的關(guān)系．觀察數(shù)軸如圖，填空：①點與點的距離是2；②點與點的距離是________；③點與點的距離是________；[發(fā)現(xiàn)1]在數(shù)軸上如果點對應(yīng)的數(shù)是，點對應(yīng)的數(shù)是，則、兩點之間的距離是________（用含，的代數(shù)式表示）如果線段上有一點，把線段分成相等的兩條線段，這個點叫做這條線段的中點．[問題2]以數(shù)軸上任意兩點為端點的線段中點所表示的數(shù)與這兩個點對應(yīng)的數(shù)的關(guān)系．①的中點表示的數(shù)是1；②的中點表示的數(shù)是________；③的中點表示的數(shù)是________；[發(fā)現(xiàn)2]在數(shù)軸上如果點對應(yīng)的數(shù)是，點對應(yīng)的數(shù)是，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是________（用含，的代數(shù)式表示）[應(yīng)用]在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為-6，且、兩點之間的距離是9，則線段的中點表示的數(shù)是______．12．（2022·四川·成都市七年級階段練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)為．（1）點與點相距4個單位長度，則點所對應(yīng)的數(shù)為______．（2）在（1）的條件下，如圖，點以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向左運動，點以每秒2個單位長度沿數(shù)軸向右運動，當(dāng)點運動到所在的點處時，求，兩點間距離．（3）如圖，若點對應(yīng)的數(shù)是10，現(xiàn)有點從點出發(fā)，以4個單位長度/秒的速度向右運動，同時另一點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間為秒．在運動過程中，到的距離、到的距離以及到的距離中，是否會有某兩段距離相等的時候？若有，請求出此時的值；若沒有，請說明理由．13．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖，射線上有三點，滿足cm，cm，cm.點從點出發(fā)，沿方向以2cm/秒的速度勻速運動，點從點出發(fā)在線段上向點勻速運動，兩點同時出發(fā)，當(dāng)點運動到點時，點停止運動.(1)若點運動速度為3cm/秒，經(jīng)過多長時間兩點相遇?(2)當(dāng)時，點運動到的位置恰好是線段的中點，求點的運動速度;(3)自點運動到線段上時，分別取和的中點，求的值.14．（2022·山東濟南·七年級期末）已知數(shù)軸上兩點A、B對應(yīng)的數(shù)分別為一1、5，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．（1）若點P到點A點B的距離相等，求點P對應(yīng)的數(shù)是；（2）數(shù)軸上是否存在點P，使點P到點A點B的距離之和為8？若存在，請求出x的值；若不存在，說明理由；（3）現(xiàn)在點A點B分別以2個單位長度每分和1個單位長度每分的速度同時向右運動，點P以6個單位長度每分的速度向O點向左運動，當(dāng)遇到A時，點P以原來的速度向右運動，并不停得往返于A與B之間，求當(dāng)A遇到B重合時，P所經(jīng)過的總路程．15．（2022·山東·梁山縣水泊街道初級中學(xué)七年級期中）已知，如圖，、、分別為數(shù)軸上的三個點，點對應(yīng)的數(shù)為60，點在點的左側(cè)，并且與點的距離為30，點在點左側(cè)，點到距離是點到點距離的4倍．（1）求出數(shù)軸上點對應(yīng)的數(shù)及的距離．（2）點從點出發(fā)，以3單位/秒的速度項終點運動，運動時間為秒．①點點在之間運動時，則_______．（用含的代數(shù)式表示）②點在點向點運動過程中，何時、、三點中其中一個點是另外兩個點的中點？求出相應(yīng)的時間．③當(dāng)點運動到點時，另一點以5單位/秒速度從點出發(fā)，也向點運動，點到達(dá)點后立即原速返回到點，那么點在往返過程中與點相遇幾次？直接寫出相遇是點在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)．

專題02數(shù)軸中的九類動態(tài)模型數(shù)軸中的動態(tài)問題屬于七年級上冊必考壓軸題型，主要以數(shù)軸為載體，體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合等思想，考查學(xué)生的分析與綜合能力。解題時，一般遵循“點、線、式”三步策略。即：先根據(jù)題意中動點的出發(fā)位置，移動方向和速度，用含t的式子表示動點，然后根據(jù)題中要求提煉出線段，用動點的含t表達(dá)式表示線段，最后根據(jù)線段間的等量關(guān)系，列出式子，然后求解（注意：要檢驗解是否符合動點的運動時間范圍）。【知識儲備】①求A、B兩點間的距離：若能確定左右位置：右—左；若無法確定左右位置：；②求A、B的中點：；③數(shù)軸動點問題主要步驟：1）畫圖——在數(shù)軸上表示出點的運動情況：運動方向和速度；2）寫點——寫出所有點表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運動用“+”表示，向左運動用“-”表示；3）表示距離——右—左，若無法判定兩點的左右需加絕對值；4）列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。注意：要注意動點是否會來回往返運動。模型1.左右跳躍模型（動態(tài)規(guī)律模型）【模型解讀】例1．（2022·北京朝陽·七年級?？茧A段練習(xí)）一個動點P從數(shù)軸上的原點O出發(fā)開始移動，第1次向右移動1個單位長度到達(dá)點P1，第2次向右移動2個單位長度到達(dá)點P2，第3次向左移動3個單位長度到達(dá)點P3，第4次向左移動4個單位長度到達(dá)點P4，第5次向右移動5個單位長度到達(dá)點P5…，點P按此規(guī)律移動，則移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)為（）A．159 B．-156 C．158 D．1【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)軸，按題目敘述的移動方法即可得到點前五次移動后在數(shù)軸上表示的數(shù)；根據(jù)移動的規(guī)律即可得移動第158次后到達(dá)的點在數(shù)軸上表示的數(shù)．【詳解】解：設(shè)向右為正，向左為負(fù)，則表示的數(shù)為+1，表示的數(shù)為+3表示的數(shù)為0，表示的數(shù)為-4，表示的數(shù)為+1……由以上規(guī)律可得，每移動四次相當(dāng)于向左移動4個單位長度．所以當(dāng)移動156次時，156=39×4相當(dāng)于向左移動了39次四個單位長度．此時表示的數(shù)為．則第157次向右移動157個單位長度，；第158次還是向右，移動了158個單位長度，所以．故在數(shù)軸上表示的數(shù)為159．故選A．【點睛】本題考查了數(shù)軸上點的運動規(guī)律，正確理解題意，找出點在數(shù)軸上的運動次數(shù)與對應(yīng)點所表示的數(shù)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·浙江嘉興·七年級期末）一個機器人從數(shù)軸原點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向，以每前進(jìn)3步后退2步的程序運動，設(shè)該機器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離為1個單位長度，表示第n秒時機器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的序號是_______．【答案】①②④【分析】“前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，先根據(jù)題意列出幾組數(shù)據(jù)，從數(shù)據(jù)找尋規(guī)律：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)就是第5m個數(shù)，即x5m=m．然后再根據(jù)“前進(jìn)3步后退2步”的運動規(guī)律來求取對應(yīng)的數(shù)值．【詳解】根據(jù)題意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列舉知①②正確，符合題意；由上可知：第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5=1，第二個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x10=2，第三個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x15=3，…，即第m個循環(huán)節(jié)結(jié)束的數(shù)即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③錯誤，不合題意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正確．符合題意．故答案為：①②④．【點睛】本題考查了規(guī)律型——數(shù)字的變化類，主要考查了數(shù)軸，要注意數(shù)軸上點的移動規(guī)律是“左減右加”．把數(shù)和點對應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來．前進(jìn)3步后退2步”這5秒組成一個循環(huán)結(jié)構(gòu)，讓n÷5看余數(shù)，余數(shù)是幾，那么第n秒時就是循環(huán)節(jié)中對應(yīng)的第幾個數(shù)．變式1．（2022·福建龍巖·七年級期末）如圖，A點的初始位置在數(shù)軸上表示1的點上，先對A做如下移動：第一次向右移動3個單位長度到達(dá)點B，第二次從B點出發(fā)向左移動6個單位長度到達(dá)點C，第三次從C點出發(fā)向右移動9個單位長度到達(dá)點D，第四次從D點出發(fā)向左移動12個單位長度到達(dá)點E，……．以此類推，按照以上規(guī)律第（

）次移動到的點到原點的距離為20.A．7 B．10 C．14 D．19【答案】C【分析】次數(shù)的序號為奇數(shù)的點在點A的右邊，各點所表示的數(shù)依次增加3，序號為偶數(shù)的點在點A的左側(cè)，各點所表示的數(shù)依次減少3，用n的代數(shù)式表示出一般規(guī)律，即可解答．【詳解】解：第1次點A向右移動3個單位長度至點B，則B表示的數(shù)，1+3=4；第2次從點B向左移動6個單位長度至點C，則C表示的數(shù)為46=2；第3次從點C向右移動9個單位長度至點D，則D表示的數(shù)為2+9=7；第4次從點D向左移動12個單位長度至點E，則E表示的數(shù)為712=5；第5次移動后表示的數(shù)為5+15=10；第6次移動后表示的數(shù)為1018=8；…；當(dāng)移動次數(shù)為奇數(shù)時，對應(yīng)的數(shù)是4，7，10，…，第n次移動后表示的數(shù)是，當(dāng)時，解得，n=（不符合題意，舍去）．當(dāng)移動次數(shù)為偶數(shù)時，對應(yīng)的數(shù)是2，5，8，…，第n次移動后表示的數(shù)是，當(dāng)時，解得，n=14．故選：C．【點睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給點的運動關(guān)系，探索出對應(yīng)點所表示數(shù)的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·河北石家莊·七年級?？计谀┤鐖D，甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸和5的位置上，沿數(shù)軸做移動游戲．每次的移動游戲規(guī)則如下：裁判先捂住一枚硬幣，再讓兩人猜向上一面是正另一面是反，而后根據(jù)所猜結(jié)果進(jìn)行移動．①若都對或都錯，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位；②若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位；③若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位．(1)若第一次移動游戲，甲、乙兩人都猜對了，則甲、乙兩人之間的距離是_______________個單位；(2)若完成了10次移動游戲，發(fā)現(xiàn)甲、乙每次所猜結(jié)果均為一對一錯．設(shè)乙猜對n次，且他最終停留的位置對應(yīng)的數(shù)為m．請你用含n的代數(shù)式表示m；(3)經(jīng)過_______________次移動游戲，甲、乙兩人相遇．【答案】(1)6(2)(3)4【分析】（1）利用規(guī)則可知甲乙都對兩人移動后兩人的距離縮短2個單位，甲對乙錯兩人移動后兩人的距離縮短2個單位，由此可得結(jié)論；（2）根據(jù)乙猜對n次，則甲猜對次，利用平移規(guī)則即可推算出結(jié)果；（3）由題意可得開始時兩人相距8個單位，根據(jù)情況推算3種情況縮小的距離即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：∵甲、乙兩人（看成點）分別在數(shù)軸和5的位置上，∴甲乙之間的距離為8，∵若甲乙都對，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位，∴移動后甲乙的距離縮小2個單位，∴移動后甲乙的距離為：個單位)；（2）解：由題意可得，乙猜對n次，則乙猜錯次，則有：；（3）解：由題意可得，∵若甲乙都對，則甲向東移動1個單位，同時乙向西移動1個單位，∴移動后甲乙的距離縮小2個單位，∵若甲對乙錯，則甲向東移動4個單位，同時乙向東移動2個單位，∴移動后甲乙的距離縮小2個單位，∵若甲錯乙對，則甲向西移動2個單位，同時乙向西移動4個單位，∴移動后甲乙的距離縮小2個單位，∵甲乙之間的距離為8，∴甲、乙兩人相遇要經(jīng)過：（次）．【點睛】本題考查了列代數(shù)式，數(shù)軸，本題是動點型題目，找出移動后甲乙距離變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型2.點的常規(guī)運動模型【模型解讀】例1．（2023·江蘇、·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點C移動，設(shè)點P的移動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為，點Q對應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為．（3）在點P運動到C點的過程中（點Q運動到C點后停止運動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動點向正方向移動用加法以及兩點間距離公式進(jìn)行分析計算；（2）根據(jù)題意點P的移動時間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時，當(dāng)8＜t≤12時，當(dāng)12＜t≤20時三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為：，點Q對應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握列代數(shù)式表示動點以及兩點間距離公式，運用數(shù)形結(jié)合思維和分類討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式1.（2022·河北石家莊·七年級期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點，點A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動點P從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左運動，在點P的運動過程中，M，N始終為AP，BP的中點，設(shè)運動時間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（

）①B對應(yīng)的數(shù)是－4；②點P到達(dá)點B時，t＝6；③BP＝2時，t＝5；④在點P的運動過程中，線段MN的長度不變A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)兩點間距離進(jìn)行計算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點P在點B的右側(cè)，點P在點B的左側(cè)，由題意求出AP的長，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點P在點B的右側(cè)，點P在點B的左側(cè)，利用線段的中點性質(zhì)進(jìn)行計算即可．【詳解】解：設(shè)點B對應(yīng)的數(shù)是x，∵點A對應(yīng)的數(shù)為8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴點B對應(yīng)的數(shù)是-4，故①正確；由題意得：12÷2=6（秒），∴點P到達(dá)點B時，t=6，故②正確；分兩種情況：當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2時，t=5，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2時，t=7，綜上所述，BP=2時，t=5或7，故③錯誤；分兩種情況：當(dāng)點P在點B的右側(cè)時，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，當(dāng)點P在點B的左側(cè)時，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在點P的運動過程中，線段MN的長度不變，故④正確；所以，上列結(jié)論中正確的有3個，故選：C．【點睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇南京·七年級期中）已知數(shù)軸上有A、B、C三點，分別對應(yīng)有理數(shù)－26、－10、10，動點P從B出發(fā)，以每秒1個單位的速度向終點C移動，同時，動點Q從A出發(fā)，以每秒3個單位的速度向終點C移動，設(shè)點P的移動時間為t秒．（1）當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為，點Q對應(yīng)的數(shù)為；P、Q兩點間的距離為．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為．（3）在點P運動到C點的過程中（點Q運動到C點后停止運動），請用含t的代數(shù)式表示P、Q兩點間的距離．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝2t－16；當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝20－t．【分析】（1）由題意根據(jù)數(shù)軸上動點向正方向移動用加法以及兩點間距離公式進(jìn)行分析計算；（2）根據(jù)題意點P的移動時間為t秒列出代數(shù)式即可；（3）根據(jù)題意分當(dāng)0≤t≤8時，當(dāng)8＜t≤12時，當(dāng)12＜t≤20時三種情況進(jìn)行分析即可.【詳解】解：（1）由題意可得當(dāng)t＝5秒時，數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為：，點Q對應(yīng)的數(shù)為：，P、Q兩點間的距離為：，故答案為：－5,－11；

6．（2）用含t的代數(shù)式表示數(shù)軸上點P對應(yīng)的數(shù)為：－10＋t．故答案為：－10＋t．（3）當(dāng)0≤t≤8時，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；當(dāng)8＜t≤12時，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

當(dāng)12＜t≤20時，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【點睛】本題考查數(shù)軸上的動點問題，熟練掌握列代數(shù)式表示動點以及兩點間距離公式，運用數(shù)形結(jié)合思維和分類討論思維進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.變式2．（2022·河北·邯鄲七年級階段練習(xí)）在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)所對應(yīng)的點；兩點間距離=____；兩點間距離=；數(shù)軸上有兩點，點對應(yīng)的數(shù)為，點對應(yīng)的數(shù)為，那么兩點之間的距離=；若動點分別從點同時出發(fā)，沿數(shù)軸負(fù)方向運動；已知點的速度是每秒個單位長度，點的速度是每秒個單位長度，設(shè)運動時間為，問：①為何值時兩點重合？②為何值時兩點之間的距離為？【答案】（1）見解析；（2）；（3）（4）①；②2或4【分析】直接根據(jù)數(shù)軸上的點與有理數(shù)的對應(yīng)關(guān)系即可得出答案；用數(shù)軸上右邊的點對應(yīng)的有理數(shù)減去左邊點對應(yīng)的有理數(shù)即可求出距離；根據(jù)距離等于兩點表示的數(shù)之差的絕對值即可得出答案；①分別用含t的代數(shù)式表示出P，Q表示的有理數(shù)，通過題意建立方程，解方程即可；②根據(jù)兩點之間的距離為1，建立方程，解方程即可．【詳解】如圖，之間的距離為，B，C兩點間距離為；兩點之間的距離為；①設(shè)點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，令解得，②間的為，令解得．【點睛】本題考查數(shù)軸上的點與有理數(shù)，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離的求法是解題的關(guān)鍵．模型3.中點與n等分點模型【模型解讀】例1．（2022·河北唐山·七年級期末）如圖，已知在數(shù)軸上有、兩點，點表示的數(shù)是，點表示的數(shù)是．點在數(shù)軸上從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿數(shù)軸正方向運動，同時，點在數(shù)軸上從點出發(fā)，以每秒個單位的速度在沿數(shù)軸負(fù)方向運動，當(dāng)點到達(dá)點時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為秒．（1）_______；時，點表示的數(shù)是_______；當(dāng)_______時，、兩點相遇；（2）如圖，若點為線段的中點，點為線段中點，點在運動過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段的長；（3）如圖，若點為線段的中點．點為線段中點，則直接寫出用含的代數(shù)式表示的線段的長．【答案】（1）15；；3；（2）不變化，=7.5；（3）．【分析】（1）根據(jù)兩點間距離的定義，線段的和差定義計算即可；（2）根據(jù)線段的中點定義，可得MN=MP+NP=（AP+BP）=AB；（3）由題意根據(jù)線段的中點定義，線段和差定義計算即可.【詳解】解：（1）AB=9-（-6）=15，t=1時，BQ=3，OQ=6，設(shè)t秒后相遇，由題意（2+3）t=15，t=3，故答案為：15，6，3.（2）答：MN長度不變，理由如下：∵M(jìn)為AP中點，N為BP中點∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=（AP+BP）=AB=7.5．（3）根據(jù)題意分別得到點M表示的數(shù)為t-6；點T表示的數(shù)為9-1.5t；根據(jù)兩點間距離的定義可得MT=9-1.5t-（t-6）=15-2.5t.故答案為：.【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，線段中點定義，線段的和差定義等知識，解題關(guān)鍵是掌握相關(guān)基本知識．例2．（2022·四川綿陽·七年級?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點，對應(yīng)數(shù)為x．(1)請直接寫出P所表示的數(shù)，使P到A點、B點距離的和為10．(2)若點A、點B和點P（點P在原點）同時向左運動，他們的速度分別為每秒1、2、1個（單位長度/秒）．①幾秒中后點P為線段的中點？并求出此時x的值；②是否存在點P，使得點P為線段的三等分點，若存在請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)或(2)①2秒中后點P為線段的中點；②或【分析】(1)分計算即可．（2）①根據(jù)題意,點B表示的數(shù)為，點A表示的數(shù)為，點P表示的數(shù)為，根據(jù)點P為線段的中點，得到，化簡計算即可．②分兩種情況計算求解即可．【詳解】（1）因為數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為和4，P為數(shù)軸上一點，對應(yīng)數(shù)為x，P到A點、B點距離的和為10，當(dāng)時，則，解得，符合題意；當(dāng)時，則，解得，符合題意；當(dāng)時，則，不符號題意，故或．（2）①根據(jù)題意,點B表示的數(shù)為，點A表示的數(shù)為，點P表示的數(shù)為，因為點P為線段的中點，所以，解得．②因為數(shù)軸上A、B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為和4，所以，當(dāng)時，則，解得．當(dāng)時，則，解得．當(dāng)或時，點P為線段的三等分點．【點睛】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，兩點間的距離，線段的中點即線段上一點把線段分成相等的兩條相等，線段的三等分點，熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·成都市·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上有A，B兩點（點B在點A的右邊），點C是數(shù)軸上不與A，B兩點重合的一個動點，點M、N分別是線段AC，BC的中點，如果點A表示數(shù)a，點B表示數(shù)b，求線段MN的長度．下列關(guān)于甲、乙、丙的說法判斷正確的是（

）甲說：若點C在線段AB上運動時，線段MN的長度為；乙說：若點C在射線AB上運動時，線段MN的長度為；丙說：若點C在射線BA上運動時，線段MN的長度為．A．只有甲正確 B．只有乙正確 C．只有丙正確 D．三人均不正確【答案】A【分析】分別求得點C在線段AB上運動時，點C在射線AB上運動時和點C在射線BA上運動時，線段的長度，判定即可．【詳解】解：點C在線段AB上運動時，如下圖：甲說法正確；當(dāng)點C在射線AB上運動時，如下圖：乙說法不正確；當(dāng)點C在射線BA上運動時，如下圖：丙說法不正確故選A【點睛】此題考查數(shù)軸上的動點以及兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是對點C的位置進(jìn)行分類討論分別求解．變式2．（2022秋·安徽滁州·七年級?？茧A段練習(xí)）在數(shù)軸上，若點、點表示的數(shù)分別是、，則、兩點間的距離可以表示為，例如，在數(shù)軸上，表示數(shù)和數(shù)的兩點間的距離是，表示數(shù)和數(shù)的兩點間的距離是，利用上述結(jié)論，解決問題：(1)若，則=_____；(2)若有一個半徑為的圓上有一點，與數(shù)軸上表示的點重合，將圓沿數(shù)軸無滑動的滾動周，點到達(dá)點的位置，則點表示的數(shù)為______用含有的代數(shù)式表示；(3)，為數(shù)軸上的兩個動點，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，且，點C表示的數(shù)為，若點、、、三點中的某一點到另外兩點的距離相等，求、的值．【答案】(1)10或-4；(2)或；(3)，或，或，．【分析】（1）根據(jù)距離公式進(jìn)行求解即可；（2）分向左和向右兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)左減右加進(jìn)行求解即可；（3）分、、分別為線段的中點進(jìn)行分類討論進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴在數(shù)軸上，表示數(shù)的點與數(shù)的點之間的距離為，或，解得或．故答案為：或；（2）解：∵圓的半徑為，此圓的周長，當(dāng)圓向左滾動時點表示的數(shù)是；當(dāng)圓向右滾動時點表示的數(shù)是．故答案為：或；（3）解：∵，∴在數(shù)軸上，點與點之間的距離為，且點在點的右側(cè)．①當(dāng)點為線段的中點時，．點表示的數(shù)為，，．②當(dāng)點為線段的中點時，．點表示的數(shù)為，，．③當(dāng)點為線段的中點時，．點表示的數(shù)為，，．綜上所述，，或，或，．【點睛】本題考查數(shù)軸上兩點間的距離問題．熟練掌握兩點間的距離公式是解題的關(guān)鍵．模型4.動態(tài)定值（無參型）模型【模型解讀】設(shè)未知數(shù)并表示各動點對應(yīng)的數(shù)，若是行程問題一般設(shè)運動時間為t，從而表示出兩點之間的距離。當(dāng)計算結(jié)果中不含有未知數(shù)，則為定值。例1．（2022秋·福建福州·七年級?？计谀c在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為，且滿足．(1)如圖，求線段的長；(2)若點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點P使，若存在，求出點P對應(yīng)的數(shù)，若不存在，說明理由；(3)如圖，點P在B點右側(cè)，的中點為為靠近于B點的四等分點，當(dāng)P在B的右側(cè)運動時，有兩個結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個結(jié)論正確，請判斷正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)4(2)或(3)正確的結(jié)論為①的值不變，其值為2【分析】（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a與b的值，即可確定出的長；（2）求出已知方程的解確定出x，得到C表示的點，設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，由確定出P位置，即可做出判斷；（3）設(shè)P點所表示的數(shù)為n，就有，，根據(jù)條件就可以表示出，，再分別代入①和②求出其值即可．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴．答：的長為4；（2）∵，∴，∴BC==5．設(shè)點P在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)是m，∵，∴，令，，∴或．①當(dāng)時，，；②當(dāng)時，，（舍去）；③當(dāng)時，，．∴當(dāng)點P表示的數(shù)為或時，；（3）解：設(shè)P點所表示的數(shù)為n，∴，．∵PA的中點為M，∴．∵N為的四等分點且靠近于B點，∴B，∴①=2（不變），②（隨點P的變化而變化），∴正確的結(jié)論為①，且．【點睛】此題考查了數(shù)軸的運用，數(shù)軸上任意兩點間的距離公式的運用，去絕對值的運用，一元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是靈活運用兩點間的距離公式．例2．（2022秋·廣西·七年級專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，點A、B、C表示的數(shù)分別為－2、1、6（點A與點B之間的距離表示為AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若點A以每秒1個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒2個單位長度和5個單位長度的速度向右運動．請問：2BC－AC的值是否隨著運動時間t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，求其值．（3）若點C以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時，點A和點B分別以每秒1個單位長度和每秒2個單位長度的速度向右運動．求隨著運動時間t的變化，AB、BC、AC之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）3，5，8；（2）不會，理由見解析；（3）當(dāng)t<1時，AB+BC=AC；當(dāng)t大于或等于1，且t小于或等于2時，BC+AC=AB；當(dāng)t>2時，AB+AC=BC【分析】（1）根據(jù)點A、B、C在數(shù)軸上的位置，寫出AB、BC、AC的長度；（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC?AC的值，判斷即可；（3）分別表示出AB、BC、AC的長度，然后分情況討論得出之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）由圖可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案為：3，5，8；（2）2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變．設(shè)運動時間為t秒，則2BC?AC＝2[6＋5t?（1＋2t）]?[6＋5t?（?2?t）]＝12＋10t?2?4t?8?6t＝2，故2BC?AC的值不會隨著時間t的變化而改變；（3）由題意得，AB＝t＋3，BC＝5?5t（t＜1時）或BC＝5t?5（t≥1時），AC＝8?4t（t≤2時）或AC＝4t?8（t＞2時），當(dāng)t＜1時，AB＋BC＝（t＋3）＋（5?5t）＝8?4t＝AC；當(dāng)1≤t≤2時，BC＋AC＝（5t?5）＋（8?4t）＝t＋3＝AB；當(dāng)t＞2時，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t?8）＝5t?5＝BC．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸及兩點間的距離，解題的關(guān)鍵是能求出兩點間的距離．變式1．（2022秋·全國·七年級專題練習(xí)）在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)a、b，且（a+2）2+|b﹣4|＝0，記AB＝|a﹣b|．（1）求AB的值；（2）如圖，點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，點P的速度是每秒1個單位長度，點Q的速度是每秒2個單位長度，當(dāng)BQ＝2BP時，P點對應(yīng)的數(shù)是多少？（3）在（2）的條件下，點M從原點與P、Q點同時出發(fā)沿數(shù)軸向右運動，速度是每秒x個單位長度（1＜x＜2），若在運動過程中，2MP—MQ的值與運動的時間t無關(guān)，求x的值．【答案】（1）6；（2）1；（3）【分析】（1）由（a+2）2+|b﹣4|＝0，得a＝—2，b＝4，即可求解；（2）設(shè)P運動t秒時，BQ＝2BP，①當(dāng)0≤t＜6時，BP＝6?t，BQ＝2t，得2t＝2（6?t），②當(dāng)t≥6時，BQ＝2BP不成立；（3）點P、M、Q向運動t秒后，分別表示的數(shù)是：?2＋t，xt，4＋2t，得MP＝xt?（?2＋t），MQ＝4＋2t?xt，表示出2MP?MQ＝2[xt?（?2＋t）]?（2＋2t?xt）＝（3x?4）t，由當(dāng)2MP?MQ的值與運動時間t無關(guān)時，得3x?4＝0，解方程即可．【詳解】解：（1）∵（a+2）2+|b﹣4|＝0，∴a＝﹣2，b＝4，∴AB＝|﹣2﹣4|＝6；（2）設(shè)P運動t秒時，BQ＝2BP，①當(dāng)0≤t＜6時，BP＝6﹣t，BQ＝2t，2t＝2（6﹣t），解得t＝3，點P對應(yīng)的數(shù)是﹣2+1×3＝1；②當(dāng)t≥6時，BQ＝2BP不成立，綜上，點P對應(yīng)的數(shù)是1；（3）點P、M、Q向運動t秒后，分別表示的數(shù)是：﹣2+t，xt，4+2t，∴MP＝xt﹣（﹣2+t），MQ＝4+2t﹣xt，∴2MP﹣MQ＝2[xt﹣（﹣2+t）]﹣（2+2t﹣xt）＝（3x﹣4）t，∵當(dāng)2MP﹣MQ的值與運動時間t無關(guān)時，∴3x﹣4＝0，解得：．【點睛】本題考查了數(shù)軸表示數(shù)的方法和意義，掌握數(shù)軸上兩點之間的距離與這兩點所表示的數(shù)之間的關(guān)系式解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江西·七年級期末）已知數(shù)軸上點在原點的左邊，到原點的距離為4，點在原點右邊，從點走到點，要經(jīng)過16個單位長度．（1）寫出、兩點所對應(yīng)的數(shù)；（2）若點也是數(shù)軸上的點，點到點的距離是點到原點距離的3倍，求對應(yīng)的數(shù)；（3）已知點從點開始向右出發(fā)，速度每秒1個單位長度，同時從點開始向右出發(fā)，速度每秒2個單位長度，設(shè)線段的中點為，線段的值是否會發(fā)生變化？若會，請說明理由，若不會，請求出求其值．【答案】（1）-4，12；（2）-6或3；（3）不變化，6【分析】（1）直接根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸上各點的對應(yīng)關(guān)系求出A，B表示的數(shù)即可；（2）設(shè)點C表示的數(shù)為c，再根據(jù)點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍列出關(guān)于c的方程，求出c的值即可；（3）設(shè)運動時間為t秒，則AM=t，NO=12+2t，再根據(jù)點P是NO的中點用t表示出PO的長，再求出PO-AM的值即可．【詳解】（1）∵數(shù)軸上點A在原點左邊，到原點的距離為4個單位長度，點B在原點的右邊，從點A走到點B，要經(jīng)過16個單位長度，∴點A表示-4，點B表示12；（2）設(shè)點C表示的數(shù)為c，∵點C到點B的距離是點C到原點的距離的3倍，∴|c-12|=3|c|，∴c-12=3c或c-12=-3c，解得c=-6或c=3；（3）不變化．設(shè)運動時間為t秒，則AM=t，NO=12+2t，∵點P是NO的中點，∴PO=6+t，∴PO-AM=6+t-t=6，∴PO-AM的值沒有變化．【點睛】本題考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上各點與全體實數(shù)是一一對應(yīng)關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．變式2.（2022·福建·廈門市七年級期中）已知數(shù)軸上兩點A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點；(1)a＝，b＝.(2)若點C從O點出發(fā)向右運動，經(jīng)過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，求點C的運動速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）(3)若點D以2個單位每秒的速度從點O向右運動，同時點P從點A出發(fā)以3個單位每秒的速度向左運動，點Q從點B出發(fā)，以6個單位每秒的速度向右運動．在運動過程中，M、N分別為PD、OQ的中點，問的值是否發(fā)生變化，請說明理由.（注：PD指的是點P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長度的差.類似的，其它的兩個大寫字母寫在一起時意義一樣.【答案】（1）-3、9；（2）點C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個數(shù)都是0，建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據(jù)點C從O點出發(fā)向右運動，經(jīng)過3秒后點C到A點的距離等于點C到B點距離，可表示，，再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)點的運動速度和方向，分別用含t的代數(shù)式表示點D、P、Q、M、N對應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長，然后求出的值為常量，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；（2）設(shè)3秒后點C對應(yīng)的數(shù)為x，則，，∵CA=CB，∴，當(dāng)，無解；當(dāng)，解得x=3，此時點C的速度為3÷3=1個單位每秒，∴點C的速度為每秒1個單位長度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運動時間為t秒，則點D對應(yīng)的數(shù)為2t；點P對應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點Q對應(yīng)的數(shù)為9+6t；點M對應(yīng)的數(shù)為-1.5-0.5t；點N對應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，∴，為定值，即的值沒有發(fā)生變化.【點睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.模型5.折線數(shù)軸（雙動點）模型【模型解讀】例1．（2022秋·浙江寧波·七年級校考期中）數(shù)軸上點A表示，點B表示6，點C表示12，點D表示18．如圖，將數(shù)軸在原點O和點B、C處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．在“折線數(shù)軸”上，把兩點所對應(yīng)的兩數(shù)之差的絕對值叫這兩點間的和諧距離．例如，點A和點D在折線數(shù)軸上的和諧距離為個單位長度．動點M從點A出發(fā)，以4個單位/秒的速度沿著折線數(shù)軸的正方向運動，從點O運動到點C期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，過點C后繼續(xù)以原來的速度向終點D運動；點M從點A出發(fā)的同時，點N從點D出發(fā)，一直以3個單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”負(fù)方向向終點A運動，其中一點到達(dá)終點時，兩點都停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．(1)當(dāng)秒時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為__________；(2)當(dāng)點M、N都運動到折線段上時，O、M兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；C、N兩點間的和諧距離__________（用含有t的代數(shù)式表示）；__________時，M、N兩點相遇；(3)當(dāng)__________時，M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度；當(dāng)__________時，M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）當(dāng)秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，即的M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為；（2）當(dāng)點M、N都運動到折線段上，即時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，而M、N兩點相遇時，M、N表示的數(shù)相同，即得，可解得答案；（3）根據(jù)M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為4個單位長度，得，可解得或，由時，M運動到O，同時N運動到C，可知時，不存在M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，當(dāng)，即M在從點O運動到點C時，有，可解得或，當(dāng)時，M在從C運動到D，速度變?yōu)?個單位/秒，不存在M、O兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離與N、B兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離相等，即可得答案．【詳解】（1）當(dāng)秒時，M表示的數(shù)是，N表示的數(shù)是，∴M、N兩點在折線數(shù)軸上的和諧距離為，故答案為：12；（2）由（1）知，2秒時M運動到O，N運動到C，∴當(dāng)點M、N都運動到折線段上，即時