頻率波數(shù)域波動(dòng)方程偏移

中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）課程名稱：應(yīng)用地震學(xué)教師：段云卿第30冊(cè)PAGE1PAGE5（二）頻率波數(shù)域波動(dòng)方程偏移序：有限差分法是在時(shí)空域進(jìn)行偏移，利用付氏變換可在頻率波數(shù)域?qū)崿F(xiàn)偏移。1．偏移公式速度減半后的波動(dòng)方程：(6.4-67)對(duì)上式進(jìn)行關(guān)于x和t的二維付氏變換，速度用常數(shù)，得(6.4-77)式中是波場(chǎng)函數(shù)u(x,z,t)的二維付氏變換。求解（6.4-77），有兩個(gè)解，分別對(duì)應(yīng)著上行波和下行波。偏移研究的是上行波的向下延拓問(wèn)題，所以只取上行波解為：（6.4-78）物理意義：用地面波場(chǎng)的付氏變換,可求出地下任何深度處的波場(chǎng)的付氏變換，是頻率波數(shù)域內(nèi)的常速波場(chǎng)延拓公式。求地下任意深度處的波場(chǎng)u(x,z,t)對(duì)（6.4-78）進(jìn)行反付氏變換，得（6.4-79）成像取t=0時(shí)刻的波場(chǎng)，由（6.4-79）得將(6.4-78)代入將(6.4-78)代入（6.4-80）2．頻波域波動(dòng)方程偏移的特點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：=1\*GB3①利用快速付氏變換，偏移效率高。=2\*GB3②適合于大傾角的地區(qū)。缺點(diǎn)：=1\*GB3①速度橫向變化大的地區(qū)不能用。=2\*GB3②必須注意采樣間隔，以免出現(xiàn)假頻。（三）克?；舴蚍e分偏移1.用克希霍夫積分解求解波動(dòng)方程維波動(dòng)方程克?；舴蚍e分解nθ········M(x,y,z)QP13圖6.1-12克希霍夫積分示意圖如果圍繞著震源的封閉曲面Q，已知 Q面上波動(dòng)的位移位φ(x1,y1,z1,t)及其對(duì)時(shí)間對(duì)空間的導(dǎo)數(shù),且這些值是連續(xù)的沒(méi)有奇點(diǎn)。那么可以算出Q面以外（內(nèi)）任意觀測(cè)點(diǎn)M(x,y,z)上由震源引起的位移位：（注：“內(nèi)外”公式差一負(fù)號(hào)，表現(xiàn)為波形反相）(6.1-37)式中[]不是方括號(hào)，表示計(jì)算t時(shí)刻的位移位要用到t1=t-時(shí)刻的位移位及其對(duì)時(shí)間對(duì)空間的導(dǎo)數(shù)，故[φ]叫延遲位。r——M點(diǎn)到Q面上各點(diǎn)和距離n——Q面的外法線方向。說(shuō)明：（6.1-37）更深層的的含義a.已知Q面上的是位移位，算出來(lái)的是M點(diǎn)上的位移位。b.已知Q面上的是位移，算出來(lái)的是M點(diǎn)上的位移。c.1883年出現(xiàn)克?；舴蚬?，1983年用于生產(chǎn)實(shí)踐，用地面波場(chǎng)計(jì)算地下任一點(diǎn)的波場(chǎng)。3．適合地震疊后時(shí)間偏移的克希霍夫積分公式第一步：選擇Q面M*(x,y,-z,t)r*0Q0x(xL,yL,0,t)ryM(x,y,z,t)Q1n與z相反，M*點(diǎn)上波場(chǎng)u(x,y,-z,t)=0z選擇封閉曲面Q由無(wú)限大的地面Q0和地下無(wú)限大的半球面Q1構(gòu)成。因?yàn)镼1上各點(diǎn)的波場(chǎng)值為0，它對(duì)封閉曲面Q內(nèi)任一點(diǎn)M（x,y,z,t）的波場(chǎng)沒(méi)有貢獻(xiàn)。由（6.1-37）得由地面Q0計(jì)算地下任一點(diǎn)的位移波場(chǎng)的公式為：(6.4-83a)∵n與z方向相反∴∴(6.4-83b)第二步：消去對(duì)空間求導(dǎo)數(shù)項(xiàng)（6.4-83b）中含有波場(chǎng)對(duì)空間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，實(shí)際記錄沒(méi)有對(duì)空間進(jìn)行連續(xù)觀測(cè),而是r固定，u=u(t),沒(méi)法求，想法消去這一項(xiàng)。計(jì)算M*(x,y,-z,t)的波場(chǎng)，M*(x,y,-z,t)是地下點(diǎn)M（x,y,z,t）關(guān)于地面的鏡象,地震勘探中地面以上波場(chǎng)值為0，用克?；舴蚍e分結(jié)果應(yīng)為0,即(6.4-83c)在地面Q。上，代入（6.4-83-c），得(6.4-83d)即(6.4-83e)將(6.4-83b)與(6.4-83e)相加，得（書(shū)上Q╳）(6.4-83)該式已消去對(duì)空間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，可以實(shí)用。第三步：延遲位、超前位及速度減半延遲位：用u(t-)求u（t）?？讼；舴蚍e分是用前一時(shí)刻波場(chǎng)u(t-)求后一時(shí)刻波場(chǎng)u（t）。超前位：用u(t+)求（t）。用地面波場(chǎng)向反時(shí)間方向“倒退”求出t=0時(shí)的波場(chǎng)，可理解為用u(t+)倒退求u（t）。由（6.4-83）得反時(shí)間方向克?；舴蚍e分公式為：(6.4-84a)地面波場(chǎng)地面波場(chǎng)據(jù)爆炸反射界面模型，將速度減半，有(6.4-84)注：書(shū)上有錯(cuò)第四步：成像取t=0時(shí)刻波場(chǎng)得偏移結(jié)果，將空間深度Z轉(zhuǎn)換為時(shí)間深度，考慮二維偏移，去掉y坐標(biāo)。由（6.4-84），得(6.4-85)注：zt=0t=0∵注：將該式與P154(6.4-66)比較xL-為地面記錄道的橫坐標(biāo)，x-為偏移后剖面道的橫坐標(biāo)。u(xL,0,τ=2r/V)xdrθdzM(x,z,t=0)u(x,z,0)等時(shí)面z,代入(6.4-85)，得(6.4-86)4.（6.4-86）式的物理意義(x1,0)(x2,0)(x3,0)(x4,0)(x5,0)(x6,0)xΔR(x,z)Z或t0按雙曲線到地面地震記錄上取波場(chǎng)值，將取來(lái)的波場(chǎng)值本身加權(quán)參加疊加，將取來(lái)的波場(chǎng)值求導(dǎo)數(shù)后加權(quán)參加疊加，將疊加結(jié)果放在雙曲線的頂點(diǎn)上。5．克?；舴蚍e分偏移與繞射掃描偏移的區(qū)別繞射掃描疊加偏移：按雙曲線取波場(chǎng)值，直接放在地下雙曲線的頂點(diǎn)上，只恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)特征?？讼；舴蚍e分偏移：按雙曲線取波場(chǎng)值，經(jīng)計(jì)算加權(quán)后放在地下雙曲線的頂點(diǎn)上，既恢復(fù)了運(yùn)動(dòng)學(xué)特征，也恢復(fù)了動(dòng)力學(xué)特征?？讼；舴蚍e分偏移的特點(diǎn)能適合大傾角的地層。不適合速度橫向變化大的情況。噪音對(duì)偏移結(jié)果影響大，因?yàn)樵胍魠⒓盈B加。（四）二維波動(dòng)方程偏移剖面的優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：（1）除水平疊加的優(yōu)點(diǎn)以外，波場(chǎng)的位置和時(shí)間在上下左右得到了歸位，即運(yùn)動(dòng)學(xué)特征在上下左右得到了恢復(fù)，提高了橫向分辨率。（2）用地面波場(chǎng)值計(jì)算地下網(wǎng)格點(diǎn)上的波場(chǎng)值，即波的振幅、頻率等動(dòng)力學(xué)特征得到恢復(fù)。缺點(diǎn)：波場(chǎng)前后沒(méi)有歸位。三維波動(dòng)方程偏移y0xz優(yōu)點(diǎn)：（1）除水平疊加的