高考總復(fù)習(xí)理數(shù)（北師大版）第7章第4節(jié)合情推理與演繹推理

第四節(jié)合情推理與演繹推理考點(diǎn)高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)合情推理與演繹推理2017·全國卷Ⅱ·T7·5分依據(jù)給出的說法進(jìn)行推理邏輯推理2016·全國卷Ⅱ·T15·5分依據(jù)給出的說法進(jìn)行推理邏輯推理2014·全國卷Ⅰ·T14·5分依據(jù)給出的說法進(jìn)行推理邏輯推理命題分析本節(jié)對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查主要是合情推理和演繹推理的理解及應(yīng)用，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度中高檔，分值5分.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P90)1．合情推理類型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中__每一個(gè)事物__都有這種屬性的推理方式由__部分__到__整體__、由__個(gè)別__到__一般__類比推理由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征的推理過程由__特殊__到__特殊__2.演繹推理(1)定義：根據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則__得到新結(jié)論__的推理過程．(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷．提醒：1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性．(2)合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)．2．把握合情推理與演繹推理的三個(gè)特點(diǎn)(1)合情推理包括歸納推理和類比推理，所得到的結(jié)論都不一定正確，其結(jié)論的正確性是需要證明的．(2)在進(jìn)行類比推理時(shí)，要盡量從本質(zhì)上去類比，不要被表面現(xiàn)象所迷惑；否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象甚至假象就去類比，就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤．(3)應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)首先明確什么是大前提，什么是小前提，如果大前提與推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的．如果大前提錯(cuò)誤，盡管推理形式是正確的，所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確．()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理．()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適．()(4)演繹推理的結(jié)論一定是正確的．()(5)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()(6)在演繹推理中，只要符合演繹推理的形式，結(jié)論就一定正確．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)×2．(教材習(xí)題改編)已知13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……按此規(guī)律，則13＋23＋33＋…＋n3＝()A．n2 B．eq\f(1,4)n2(n＋1)2C.eq\f(nn＋1,2) D．n3解析：選B觀察已知等式可得13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.3．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于()A．28 B．76C．123 D．199解析：選C從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，依據(jù)此規(guī)律，a10＋b10＝123.4．觀察下列不等式：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，……照此規(guī)律，第五個(gè)__不等式為____________.解析：觀察每行不等式的特點(diǎn)，每行不等式左端最后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母的開方與右端值的分母相等，且每行右端分?jǐn)?shù)的分子構(gòu)成等差數(shù)列．∴第五個(gè)不等式為1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋eq\f(1,52)＋eq\f(1,62)<eq\f(11,6)5．在平面上，若兩個(gè)正三角形的邊長的比為1∶2，則它們的面積比為1∶4.類似地，在空間中，若兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為____________.解析：由類比可知面積與邊長是平方關(guān)系，則體積與棱長是立方關(guān)系，兩個(gè)正四面體的棱長的比為1∶2，則它們的體積比為1∶8.答案：1∶8(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P91)歸納推理[析考情]歸納推理問題的常見類型及解題策略(1)與“數(shù)字”相關(guān)問題：主要是觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律．(2)與不等式有關(guān)的推理：觀察所給幾個(gè)不等式兩邊式子的特點(diǎn)，注意縱向看，找出隱含規(guī)律．(3)與圖形有關(guān)推理：合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論．[提能力]【典例】(1)(2018·鄭州模擬)從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列，現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng)，使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi)，則這九個(gè)數(shù)的和可以為()A．2011 B．2012C．2013 D．2014解析：選B根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列，設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a,則第二層的三個(gè)數(shù)為a＋7,a＋8,a＋9,第三層的五個(gè)數(shù)為a＋14,a＋15,a＋16,a＋17,a＋18,這9個(gè)數(shù)之和為a＋3a＋24＋5a＋80＝9a＋104.由9a＋104＝2012,得a＝212(2)(2018·陜西質(zhì)檢)觀察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推測出一個(gè)一般性結(jié)論：對(duì)于n∈N＋，1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝____________.解析：∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴歸納可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.答案：n2[刷好題]1．某種樹的分枝生長規(guī)律如圖所示，第1年到第5年的分枝數(shù)分別為1,1,2,3,5，則預(yù)計(jì)第10年樹的分枝數(shù)為()A．21 B．34C．52 D．55解析：選D因?yàn)?＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即從第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，所以第10年樹的分枝數(shù)為21＋34＝55.2．已知x∈(0，＋∞)，觀察下列各式：x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)＝eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(x,3)＋eq\f(27,x3)≥4，…，類比得x＋eq\f(a,xn)≥n＋1(n∈N＋)，則a＝____________.解析：第一個(gè)式子是n＝1的情況，此時(shí)a＝11＝1；第二個(gè)式子是n＝2的情況，此時(shí)a＝22＝4；第三個(gè)式子是n＝3的情況，此時(shí)a＝33＝27，歸納可知a＝nn.答案：nn類比推理[明技法]類比推理的分類[提能力]【典例】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)a，b，c分別表示三條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想．解：如題圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.設(shè)a，b，c分別表示3條邊的長度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.類似地，在四面體P-DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.設(shè)S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積，相應(yīng)于直角三角形的2條直角邊a，b和1條斜邊c，圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.于是，類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)成立．[母題變式]若本例條件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”換成“cos2A＋cos2B＝1”，解：如圖，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把結(jié)論類比到四面體P-A′B′C′中，我們猜想，四面體P-A′B′C′中，若三個(gè)側(cè)面PA′B′，PB′C′，PC′A′兩兩互相垂直，且分別與底面所成的角為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.[刷好題](2018·杭州模擬)已知命題：“若數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且an＞0，bn＝eq\r(n,a1a2…an)(n∈N＋)，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個(gè)什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)是：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)(n∈N＋)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)＝eq\f(na1＋\f(nn－1d,2),n)＝a1＋eq\f(d,2)(n－1)，所以數(shù)列{bn}是以a1為首項(xiàng)，eq\f(d,2)為公差的等差數(shù)列．演繹推理[析考情]演繹推理的推證規(guī)則(1)演繹推理是從一般到特殊的推理，其一般形式是三段論，應(yīng)用三段論解決問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提，如果前提是顯然的，則可以省略；(2)在推理論證過程中，一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成．[提能力]【典例】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N＋)．證明：(1)數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an.證明：(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，又eq\f(S1,1)＝eq\f(a1,1)＝1≠0∴eq\f(\f(Sn＋1,n＋1),\f(Sn,n))＝2(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以2為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列．(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，∴Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．(小前提)又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提∴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有Sn＋1＝4an.(結(jié)論)[刷好